新课标人教版A高中数学必修5优秀教案全套

联系来体现事物之间的普 遍联系与辩证统一．
教学过程
导入新课

师如右图，固定△ABC的边CB及∠B，使边AC绕着顶点C转动．
师思考：∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
生显然，边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．
师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

师在初中，我们已学过如何解直角 三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式
关系．如右图，在Rt△ABC中，设BC =A,AC =B,AB =C,根据锐角三角函数中正弦函数的定
义，有
abcabc
=sinA， =sin B，又sinC=1=,则
???c
.从而在直角三角形
cccsinAsinBsi mC
ABC中，
abc
.
??
sinAsinBsimC
推进新课
[合作探究]
师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）
生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如右图，当△ABC是锐角三角形时 ，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=AsinB=BsinA,则
abcb
，同理，可得.从而
??
sinAsinBsinCsinB
abc
??
.
sinAsinBsinC
（当△ABC是钝角三角形时，解法类似 锐角三角形的情况，由学生自己完成）
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc
??
.
sinAsinBsinC
师是否可以用其他方法证明这一等式？
生可以作△ABC 的外接圆，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根据直径所对的圆周角是直角

以及同弧所对的圆周角相等，来证明
abc
这一关系．
??
sinAs inBsinC
师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题，我们一起来看下面的证 法.
在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圆,O为圆心,连结B O并延长交圆于B′,
设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以 得到
∠BAB′=90°，∠C =∠B′，

∴sinC=sinB′=
sinC?sinB
?
?
∴
c
.
2R
c
?2R
.
sinC
ab
同理,可得
?2R,?2R
.
sinAsinB
abc
∴
???2R
.
sinAsin BsinC
这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式
abc
.
??
sinAsinBsinC
点评:上述证法采用了初 中所学的平面几何知识,将任意三角形通过外接圆性质转化为直角
三角形进而求证,此证法在巩固平面几 何知识的同时,易于被学生理解和接受,并且消除了学
生所持的“向量方法证明正弦定理是唯一途径”这 一误解.既拓宽了学生的解题思路,又为下一
步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.
[知识拓展]
师接下来,我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理.从定理内容可以看出, 定理
反映的是三角形的边角关系,而在向量知识中,哪一知识点体现边角关系呢?
生向量的数量积的定义式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ为两向量的夹角.
师回答得很好,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化呢?
生 可以通过三角函数的诱导公式sinθ=Cos(90°-θ)进行转化.
师这一转化产生了新角90 °-θ,这就为辅助向量j的添加提供了线索,为方便进一步的运算,辅
助向量选取了单位向量j,而j 垂直于三角形一边,且与一边夹角出现了90°-θ这一形式,这是作
辅助向量j垂直于三角形一边的原 因.
师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原则可得
AC?CB?AB

而添加垂直于
AC
的单位向量j是关键,为了 产生j与
AB
、
AC
、
CB
的数量积,
而在上面向 量等式的两边同取与向量j的数量积运算,也就在情理之中了.
师下面,大家再结合课本进一步体会向 量法证明正弦定理的过程,并注意总结在证明过程中所
用到的向量知识点.
点评: (1)在 给予学生适当自学时间后,应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提,以及

两向量 垂直的充要条件的运用.
(2)要求学生在巩固向量知识的同时,进一步体会向量知识的工具性作用.
向量法证明过程:
(1)△ABC为锐角三角形,过点A作单位向量j垂直于
与AC
,则j与
AB
的夹角为90°-A,j
CB
的夹角为90° -C.


由向量的加法原则可得
AC?CB?AB
,
为 了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积
运算,得到
j?(AC?CB)?j?AB

由分配律可得
AC?j?CB?j?AB
.
∴|j|

AC
Cos90° +|j|
CB
Cos(90°-C)=|j|
AB
Cos(90°-A).
∴AsinC=CsinA.
∴
ac
.
?
sinAsi nC
另外,过点C作与
CB
垂直的单位向量j,则j与
90°+B,可得AC
的夹角为90°+C,j与
AB
的夹角为
cb
.
?
sinCsinB
(此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提,防止误解为j与与
∴
AC
的夹角为90°-C,j
AB
的夹角为90°-B)
abc
.
??
sinAsinBsinC
(2)△ABC为钝角三 角形,不妨设A＞90°,过点A作与
的夹角为A-90°,j与
AC
垂直的单位向量 j,则j与
AB
CB
的夹角为90°-C.
由
AC?CB?AB
,得j·
AC
CB
=j·
AB
,+j·
即A·Co s(90°-C)=C·Cos(A-90°),
∴AsinC=CsinA.
∴
ac
?

sinAsinC

另外,过点C 作与
CB
垂直的单位向量j,则j与
90°+B.
AC
的夹角为90°+C,j与
AB
夹角为
bc
.
?
sinBsinC
abc
∴（形式1）.
??
simA sinBsinC
同理,可得
综上所述,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均 成立.
师在证明了正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用.
[教师精讲] < br>（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即
存在正 数k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；
abc

??
sinAsinBsinC
abcbac
等价于 (形式2).
?,?,?
sinAsinBsinCsinBsinAsinC
（2）
我们通过观 察正弦定理的形式2不难得到,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.
①已知三角形的 任意两角及其中一边可以求其他边，如
a?
bsinA
.这类问题由于两角已知,sinB
a
sinB
．此
b
故第三角确定,三角形唯一,解唯一 ,相对容易,课本P
4
的例1就属于此类问题.
②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值，如
sinA?
类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的 条件．
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形．
师接下来,我们通过例题评析来进一步体会与总结.
［例题剖析］
【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形. < br>分析:此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,若求边C,
再 利用正弦定理即可.
解：根据三角形内角和定理，
C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;
根据正弦定理，
asinB42.9sin81.8
o
?
b=≈80.1(cm);
o
sinA
sin32.0
asinC42.9sin66.2
o
?
c=≈74.1(cm).
sinA
sin32.0
o
[方法引导]
(1)此类问题结果为 唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和
180°求出第三角,再利用 正弦定理.
(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器.
【例2】在△ABC中，已知 A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精确到1°，边长精
确到1 cm）． < /p>

分析:此例题属于BsinA＜a＜b的情形,故有两解,这样在求解之后呢,无需作进一 步的检验,使
学生在运用正弦定理求边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.
解：根据正弦定理，
bsinA28sin40
o
?
sinB =≈0.899 9.
a20
因为0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.
（1）当B≈64°时，
C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°，
asinC20sin76
o
?
C =≈30(cm).
sinA
sin40
o
（2）当B≈116°时，
C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°，
asinC20sin24
o
?
C=≈13(cm).
sinA
sin40
o
[方法引导]通过此例题可使学生明确,利用正弦定 理求角有两种可能,但是都不符合题意,
可以通过分析获得,这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对 角时解三角形的各种情形.当
然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判断,对于这 一点,我们通过下
面的例题来体会.
变式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝ 38°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).
分析:此题属于A≥B这一类情形,有一 解,也可根据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质
来排除B为钝角的情形.
解：已知BbsinA50sin38
o
?
∵sinB=≈0.513 1,
a60
∴B≈31°.
∴C=180°-(A+B)=180°-(38°+31°)=111°.
asinC60sin111
o
?
∴C=≈91.
sinA
sin38
o
[方法引导]
同样是已知两边和一边对角 ,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活性,对于
本题,如果没有考虑角B所受限制而求出角 B的两个解,进而求出边C的两个解,也可利用三
角形内两边之和大于第三边,两边之差小于第三边这一 性质进而验证而达到排除不符合题意
的解.
变式二：在△ABC中,已知A＝28,B＝20 ,A＝120°,求B(精确到1°)和C(保留两个有效数字).
分析:此题属于A为钝角且A> B的情形,有一解,可应用正弦定理求解角B后,利用三角形内角
和为180°排除角B为钝角的情形.
bsinA20sin120
o
?
解：∵sinB=≈0.618 6,
a28

∴B≈38°或B≈142°(舍去).
∴C =180°-（A+B）=22°.
∴ C =
asinC28sin22?
≈12.
?
sinAsin120?
[方法引导](1)此题要求学生注意考虑问题的全面性 ,对于角B为钝角的排除也可以结合三
角形小角对小边性质而得到.
(2)综合上述例题要求 学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中一边的
对角解三角形.
(3)对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.
师为巩固本节我们所学内容,接下来进行课堂练习：
1.在△ABC中(结果保留两个有效数字)，
(1)已知C =
3
,A =45°,B=60°，求B;
(2)已知B＝12,A＝30°,B＝120°,求A.
解：(1)∵C=180°-(A+B)=180°-(45°+60°)=75°，
bc
，
?
sinBsinC
∴B =
csinB3sin60?
?
≈1.6.
sinCsin75?

ab
，
?
sinAsinB
bsinA12sin30?
∴A =
≈6.9.
?
sinBsin120?
(2)∵
点评:此题为正 弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩较弱的
学生进行在黑板上解答,以 增强其自信心.
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1):
(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;
(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.
ab
.
?
sinAsinB
asinB20sin30?
∴sinA =
≈0.909 1.
?
b11
解： (1) ∵
∴A
1
≈65°，A
2
≈115°.
当A
1< br>≈65°时，C
1
=180°-(B+A
1
)=180°-(30°+ 65°)=85°，
∴C
1
=

bsinC
1
11sin85?
?
≈22.
sinsin Bsin30?
当A
2
≈115°时，C
2
=180°-(B+A< br>2
)=180°-(30°+115°)=35°,
bsinC
2
11sin35?
?
≈13.
sinBsi n30?
bsinA20sin45?
?
(2)∵sinB=
≈0.505 1,
a28
∴C
2
=
∴B
1
≈30°，B
2
≈150°.
由于A+B
2
=45°+150°＞180°,故B2
≈150°应舍去(或者由B＜A知B＜A,故B应为锐角).

∴C=180°-(45°+30°)=105°.
asinC28sin105?
≈38.
?
sinAsin45?
bc
(3)∵,
?
sinBsi nC
bsinC39sin115?
∴sinB=
≈0.654 6.
?< br>c54
∴C=
∴B
1
≈41°,B
2
≈139°.
由于B＜C,故B＜C,∴B
2
≈139°应舍去.
∴当B=41°时，A=180°-(41°+115°)=24°,
csinA54sin24?
≈24.
?
sinCsin115?
bsinA28sin120?
(4) sinB= =1.212＞1.
?
a20
A=
∴本题无解.
点 评:此练习目的是使学生进一步熟悉正弦定理,同时加强解三角形的能力,既要考虑到已知
角的正弦值求 角的两种可能,又要结合题目的具体情况进行正确取舍.
课堂小结
通过本节学习,我们一起 研究了正弦定理的证明方法,同时了解了向量的工具性作用,并
且明确了利用正弦定理所能解决的两类有 关三角形问题:已知两角、一边解三角形;已知两边
和其中一边的对角解三角形.
布置作业
（一）课本第10页习题1.1 第1、2题.
（二）预习内容：课本P
5
～P
8
余弦定理
[预习提纲]
(1)复习余弦定理证明中所涉及的有关向量知识.
(2)余弦定理如何与向量产生联系.
(3)利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.
板书设计
正弦定理
1.正弦定理: 2.证明方法: 3.利用正弦定理,能够解决两类问题:
abc
(1)平面几何法 (1)已知两角和一边
??
sinAsinBsinC
(2)向量法 (2)已知两边和其中一边的对角

备课资料
一、向量方法证明三角形中的射影定理

在△ABC中,设三内角A、B、C的对边分别是A、B、C.
∵
AC?CB?AB
,

∴
∴
AC?(AC?CB)?AB?AC
.
AC?AC?AC?CB?AB?AC
.
2
∴
AC?ACCBcos(1 80??C)?ABACcosA
.
∴
AC?CBcosC?AB?cosA.
.
∴b-acosC=ccosA,
即B=ccosA+acosC.
类似地有C =acosB+bcosA,a=bcosC +ccosB.
上述三式称为三角形中的射影定理.
二、解斜三角形题型分析
正弦定理和余弦定理的每一个等式中都包含三角形的四个元素,如果 其中三个元素是已知的
(其中至少有一个元素是边),那么这个三角形一定可解.
关于斜三角形的解法,根据所给的条件及适用的定理可以归纳为下面四种类型:
(1)已知两角及其中一个角的对边,如A、B、A,解△ABC.
解：①根据A+B+C=π,求出角C;
②根据
abac
,求B、C. < br>?及?
sinAsinBsinAsinC
如果已知的是两角和它们的夹边,如A、B、 C，那么先求出第三角C,然后按照②来求解.求解
过程中尽可能应用已知元素.
(2)已知两边和它们的夹角,如A、B、C,解△ABC.
解：①根据C
2
=A
2
+B
2
-2abcosC,求出边C;
b
2?c
2
?a
2
②根据cosA=
cosA
,求出角A;
2bc
③由B=180°-A-C,求出角B.
求出第三边C后,往往为了计算上的 方便,应用正弦定理求角,但为了避免讨论角是钝角还是
锐角,应先求A、B较小边所对的角(它一定是 锐角),当然也可以用余弦定理求解.
(3)已知两边及其中一条边所对的角,如a、b、A,解△ABC.
解：①
ab
,经过讨论求出B;
?
sinAsinB
ac
,求出边C.
?
sinAsinC
②求出B后,由A+B+C=180°，求角C;
③再根据
(4)已知三边A、B、C,解△ABC.
解：一般应用余弦定理求出两角后,再由A+B+C=180°,求出第三个角.
另外,和第 二种情形完全一样,当第一个角求出后,可以根据正弦定理求出第二个角,但仍然需
注意要先求较小边所 对的锐角.
(5)已知三角,解△ABC.
解：满足条件的三角形可以作出无穷多个,故此类问题解不唯一.
三、“可解三角形”与“需解三角形”
解斜三角形是三角函数这章中的一个重要内容,也是求 解立体几何和解析几何问题的一

个重要工具．但在具体解题时，有些同学面对较为复杂( 即图中三角形不止一个)的斜三角形
问题,往往不知如何下手．至于何时用正弦定理或余弦定理也是心中 无数，这既延长了思考
时间，更影响了解题的速度和质量．但若明确了“可解三角形”和“需解三角形” 这两个概念，
则情形就不一样了．
所谓“可解三角形”,是指己经具有三个元素(至少有一边 )的三角形；而“需解三角形”则是
指需求边或角所在的三角形．当一个题目的图形中三角形个数不少于 两个时,一般来说其中
必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个“可解三角形”的某些边和角,从 而使“需解三
角形”可解.在确定了“可解三角形”和“需解三角形”后,就要正确地判断它们的类型, 合理地选
择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素，并确定解的情况．
“可解三角 形”和“需解三角形”的引入，能缩短求解斜三角形问题的思考时间．一题到手
后，先做什么，再做什么 ，心里便有了底．分析问题的思路也从“试试看”“做做看”等不大确
定的状态而变为“有的放矢”地去 挖掘，去探究．

1.1.2 余弦定理
从容说课
课本在引入余弦定理 内容时，首先提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹
的角,根据三角形全等的判定方法，这 个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从
量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已 知的两边和它们的夹角计算出三角形的另
一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过 去的问题，使学生对过去的
知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，使学生能够 形成良好的知
识结构．设置这样的问题，是为了更好地加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证
明，常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，通过向量知
识给 予证明,引起学生对向量知识的学习兴趣,同时感受向量法证明余弦定理的简便之处.教
科书就是用了向 量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．
在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理 与勾股定理的比较中，提出了一个
思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定 理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？”并进而指出，“从余弦 定理以及
余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，
那么第三 边所对的角是锐角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推广”．还要启发引导学生注
意余弦定理的各种变 形式,并总结余弦定理的适用题型的特点,在解题时正确选用余弦定理达
到求解、求证目的.
启发学生在证明余弦定理时能与向量数量积的知识产生联系,在应用向量知识的同时,注
意使学生体会三 角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系.
教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用.
教学难点 1.向量知识在证明余弦定理时的应用,与向量知识的联系过程;
2.余弦定理在解三角形时的应用思路;
3.勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用．
教具准备 投影仪、幻灯片两张
第一张:课题引入图片(记作1.1.2A)

如图(1),在Rt △ABC中,有A
2
+B
2
=C
2

问题:在图(2)、(3)中,能否用b、c、A求解a?
第二张:余弦定理(记作1.1.2B)
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的
积的两倍.
形式一: a
2
=b2
+c
2
-2bccosA，b
2
=c
2
+a
2
-2cacosB,c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC,
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
a
2
?b
2
? c
2
形式二:cosA=,cosB=,cosC=.
2bc2ca2ab

三维目标
一、知识与技能
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法;
2.会利用余弦定理解决两类基本的解三角形问题;
3.能利用计算器进行运算.
二、过程与方法
1.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论;
2.通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.
三、情感态度与价值观
1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；
2.通过三角函数、余弦定理 、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与
辩证统一．
教学过程
导入新课
师 上一节,我们一起研究了正弦定理及其应用,在体会向量应用的同时,解决了在 三角形已知
两角、一边和已知两边与其中一边对角这两类解三角形问题.当时对于已知两边夹角求第三< br>边问题未能解决,下面我们来看幻灯片1.1.2A,如图(1)，在直角三角形中,根据两直角边及直角
可表示斜边,即勾股定理,那么对于任意三角形,能否根据已知两边及夹角来表示第三边呢?下
面我们根据初中所学的平面几何的有关知识来研究这一问题.

在△ABC中,设BC=A,AC=B,AB=C,试根据B、C、A来表示A.
师 由于初 中平面几何所接触的是解直角三角形问题，所以应添加辅助线构成直角三角形，
在直角三角形内通过边角 关系作进一步的转化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在
Rt△BDC中，边A可利用勾股定理用C D、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用边角关系
表示,DB可利用AB- AD转化为AD,进而在Rt△ADC内求解.
解：过C作CD⊥AB,垂足为D,则在Rt△CDB中,根据勾股定理可得
A
2
=CD
2
+BD
2
.

∵在Rt△ADC中,CD
2
=B
2
-AD
2
,
又∵BD
2
=(C-AD)
2
=C
2
-2C·AD+AD
2
,
∴A
2
=B
2
-AD
2
+ C
2
-2C·AD+AD
2
=B
2
+C
2
-2C·AD.
又∵在Rt△ADC中,AD=B·COsA,
∴a
2
=b
2
+c
2
-2abcosA.
类似地可以证明b
2
=c
2
+a
2
-2cacosB.
c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC.
另外,当A为钝角时也可证得上述结论,当A为直角时，a
2
+b
2
=c2
也符合上述结论,这也正是我
们这一节将要研究的余弦定理,下面我们给出余弦定理的具 体内容.(给出幻灯片1.1.2B)
推进新课
1.余弦定理:三角形任何一边的平方等于 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的
积的两倍.
在幻灯片1.1.2B中我们可以看到它的两种表示形式:
形式一:
a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA,
b
2
=c+a
2
-2cacosB,
c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC.
形式二:
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
,
2bc
c
2
?a
2
?b
2
cosB?
,
2ca
a
2
?b
2
?c
2
cosC?.
2ab
师 在余弦定理中,令C =90°时,这时cosC=0,所以c
2
=a
2
+b
2
,由此可知余弦定理是勾股定理的推
广.另外 ,对于余弦定理的证明,我们也可以仿照正弦定理的证明方法二采用向量法证明,以进
一步体会向量知识 的工具性作用.
[合作探究]
2.向量法证明余弦定理
(1)证明思路分析
师 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A 、B均未知，所以较难求边C．由于余弦定理中涉及到的角是以
余弦形式出现,从而可以考虑用向量来研 究这个问题．由于涉及边长问题，那么可以与哪些
向量知识产生联系呢?

生 向量数量积的定义式a·b=|a||b|cosθ,其中θ为A、B的夹角.
师 在这一点联系上与 向量法证明正弦定理有相似之处,但又有所区别.首先因为无须进行正、
余弦形式的转换,也就少去添加 辅助向量的麻烦.当然,在各边所在向量的联系上仍然通过向

量加法的三角形法则,而在 数量积的构造上则以两向量夹角为引导,比如证明形式中含有角C,
则构造
CB?CA
这一数量积以使出现COsC.同样在证明过程中应注意两向量夹角是以同
起点为前提.

(2)向量法证明余弦定理过程:
如图，在△ABC中,设AB、BC、CA的长分别是c、a、b.
由向量加法的三角形法则，可得
AC?AB?BC
,
∴
22
AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)?AB?2AB?BC?BC?AB?2ABBCcos(18 0??B)?BC
?c
2
?2accosB?a
2
,
即B< br>2
=C
2
+A
2
-2ACCOsB.
由向量减法的 三角形法则，可得
BC
∴
22
?AC?AB
,
2

22
BC?BC?(AC?AB)?(AC?AB)?AC?2AC?AB?AB?AC?2A C?ABcosA?AB
?b
2
?2bccosA?c
2
即a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA.
由向量加法的三角 形法则,可得
∴
2
AB?AC?CB?AC?BC
,
22

AB?AB?(AC?BC)?(AC?BC)?AC?2AC?BC?BC?AC?2AC?BCco sC?BC
?b
2
?2bacosC?a
2
,
即c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC.
[方法引导]
(1)上述证明过程中应注意正确运用向量加法(减法)的三角形法则.
(2)在证明过程中 应强调学生注意的是两向量夹角的确定,
2
2
AC
与
AB
属 于同起点向量,则
夹角为A;
AB
与
BC
是首尾相接,则夹角为角B 的补角180°-B;
AC
与
BC
是同终点,则夹
角仍是角C.
[合作探究]
师 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出 第四个量，能
否由三边求出一角？
生（留点时间让学生自己动手推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

b2
?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
b
2
?a
2
?c
2
cosA?,c osB?,cosC?
.
2bc2ac2ba
师 思考：勾股定理指出了直角三角形 中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角
形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的 关系？
生（学生思考片刻后会总结出）若△ABC中，C =90°，则cosC=0，这时c
2
=a
2
+b
2
.由此可知
余弦定理是勾股定理的推广， 勾股定理是余弦定理的特例．
师 从余弦定理和余弦函数的性质可知，在一个三角形中，如果两边的平 方和等于第三边的
平方，那么第三边所对的角是直角；如果两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边 所对
的角是钝角，如果两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角．从上可知，
余弦定理可以看作是勾股定理的推广．现在，三角函数把几何中关于三角形的定性结果都变
成可定量计 算的公式了．
师 在证明了余弦定理之后,我们来进一步学习余弦定理的应用(给出幻灯片1.1.2B)
通过幻灯片中 余弦定理的两种表示形式我们可以得到,利用余弦定理,可以解决以下两类有关
三角形的问题:
(1)已知三边,求三个角.
这类问题由于三边确定,故三角也确定,解唯一,课本P
8
例4属这类情况.
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
这类问题第三边确定,因而其他两个 角唯一,故解唯一,不会产生类似利用正弦定理解三角形
所产生的判断取舍等问题.
接下来,我们通过例题来进一步体会一下.
［例题剖析］
【例1】在△ABC中，已知B=60 cm，C=34 cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长
精确到1 cm）.
解：根据余弦定理，
a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA=60
2
+34
2
-2·60·34cos41°≈3 600+1 156-4 080×0.754 7≈1 676.82,所以A≈41
cm. 由正弦定理得sinC=
csinA34?sin41?34?0.656
≈≈0.544 0,
?
a4141
因为C不是三角形中最大的边，所以C是锐角.利用计数器可得C ≈33°,
B=180°-A-C=180°-41°-33°=106°.
【例2】在△ABC中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形.
解：由余弦定理的推论,得
b
2
?c
2
?a
2
87.8
2
?161.7
2
?134.6
2
?
cosA=
≈0.554 3,A≈56°20′;
2bc2?87. 8?161.7
c
2
?a
2
?b
2
134.62
?161.7
2
?87.8
2
?
cosB=
≈0.839 8,B≈32°53′;
2ca2?134.6?161.7
C =180°-(A+B)=180°-(56°20′+32°53′)=90°47′.
[知识拓展]
补充例题：
【例1】在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求A、B和C.(精确到1°)
分 析:此题属于已知三角形三边求角的问题,可以利用余弦定理,意在使学生熟悉余弦定理的

形式二.
b
2
?c
2
?a
2
10
2< br>?6
2
?7
2
??0.725
, 解：∵
cosA?
2bc2?10?6
∴A≈44°.
a
2
?b
2
?c
2
7
2
?10
2
?6
2
113
??
∵cosC=
≈0.807 1,
2ab2?7?10140
∴C≈36°.
∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.
[教师精讲]
(1)为保证求解结果符合三角形内角和定理,即三角形内角和为180°,可用余弦定理求出两角,
第三角用三角形内角和定理求出.
(2)对于较复杂运算,可以利用计算器运算.
【例2】在△ABC中,已知a=2.730,b=3.696,c=82°28′,解这个三角形(边长保留四 个有效数字,
角度精确到1′).
分析:此题属于已知两边及其夹角解三角形的类型,可通过 余弦定理形式一先求出第三边,在
第三边求出后其余角求解有两种思路:一是利用余弦定理的形式二根据 三边求其余角,二是利
用两边和一边对角利用正弦定理求解,但根据1.1.1斜三角形求解经验,若用 正弦定理需对两
种结果进行判断取舍,而在0°～180°之间,余弦有唯一解,故用余弦定理较好.
解：由c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC=2. 730
2
+3.696
2
-2×2.730×3.696×cos82°28 ′,
得c≈4.297.
b
2
?c
2
?a
2< br>3.696
2
?4.297
2
?2.730
2
?∵cosA=
≈0.776 7,
2bc2?3.696?4.297
∴A≈39°2′.
∴B=180°-(A+C)=180°-(39°2′+82°28′)=58°30′.
[教师精讲]
通过例2,我们可以体会在解斜三角形时,如果正弦定理与余弦定理都可选用,那么求边 用
两个定理均可,求角则用余弦定理可免去判断取舍的麻烦.
【例3】在△ABC中,已知A=8,B=7,B=60°,求C及S
△ABC
. < br>分析:根据已知条件可以先由正弦定理求出角A,再结合三角形内角和定理求出角C,再利用正
弦 定理求出边C,而三角形面积由公式S
△ABC
=
1
acsinB可以求出.
2
若用余弦定理求C,表面上缺少C,但可利用余弦定理b
2
=c
2
+a
2
-2cacosB建立关于C的方程,亦
能达到求C的目的.
下面给出两种解法.
解法一:由正弦定理得
87
?
,
s inAsin60?
∴A
1
=81.8°,A
2
=98.2°,
∴C
1
=38.2°,C
2
=21.8°.
由
7c
?
,得c
1
=3,c
2
=5, < br>sin60?sinC

∴S
△ABC
=
11
a c
1
sin
B?
63
或S
△ABC
=
ac
2
sin
B?
103
.
22
解法二:由余弦定理 得b
2
=c+a
2
-2cacosB,
∴7
2
=c+8
2
-2×8×ccos60°,
整理得c
2
-8c+15=0,
解之,得c
1
=3,c< br>2
=5.∴S
△ABC
=
11
ac
1
sin
B?
63
或S
△ABC
=
ac
2
sin
B?
103
.
22
[教师精讲]
在解法一的思路里,应注意由正弦定理应有两种结果,避免遗漏;而解法二更有耐人寻味
之处,体现出余弦定理作为公式而直接应用的另外用处,即可以用之建立方程,从而运用方程
的 观点去解决,故解法二应引起学生的注意.
综合上述例题,要求学生总结余弦定理在求解三角形时的适 用范围;已知三边求角或已知
两边及其夹角解三角形,同时注意余弦定理在求角时的优势以及利用余弦定 理建立方程的解
法，即已知两边、一角解三角形可用余弦定理解之.
课堂练习
1.在△ABC中:
(1)已知c=8,b=3,b=60°,求A;
(2)已知a=20,bB=29,c=21，求B;
(3)已知a=33,c=2,b=150°,求B;
(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求A.
解： (1)由a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA，得a
2
=8
2
+3
2
-2×8×3cos60°=49.∴A=7.
c
2
?a
2
?b
2
20
2
?21
2
?29
2
?0
.∴B=90°(2)由
cosB?
,得
cosB?
.
2ca2?20?21
(3)由b
2
=c
2
+a
2
-2cacosB,得b
2
=(33)
2
+2
2
-2×33×2cos150°=49.∴b=7.
b
2
?c
2
?a
2
(2)
2
?(3?1)
2
?2
2
2
(4)由
cosA?
,得
cosA?
.∴A=45°.
?
2bc
2
22(3?1)
评述:此练习目的在于让学生熟悉余弦定理的基本形 式,要求学生注意运算的准确性及解题
效率.
2.根据下列条件解三角形(角度精确到1°).
(1)a=31,b=42,c=27;
(2)a=9,b=10,c=15.
b
2
?c
2
?a< br>2
42
2
?27
2
?31
2
解：(1)由< br>cosA?
,得
cosA?
≈0.675 5,∴A≈48°.
2b c2?42?27
c
2
?a
2
?b
2
31
2
?27
2
?42
2
?
由
cosB?
≈- 0.044 2,∴B≈93°.
2ca2?31?27
∴C=180°-(A+B)=18 0°-(48°+93°)≈39°.
b
2
?c
2
?a
2
10
2
?15
2
?9
2
,
得
co sA?
(2)由≈0.813 3,
2bc2?10?15
∴A≈36°.

c
2
?a
2
?b
2
15
2
?9
2
?10
2
?
由
cosB?
≈0.763 0,
2ca2?9?15
∴B≈40°.
∴C=180°-(A+B)=180°-(36°+40°)≈104°.
评述:此练习的 目的除了让学生进一步熟悉余弦定理之外,还要求学生能够利用计算器进行
较复杂的运算.同时,增强解 斜三角形的能力.
课堂小结
通过本节学习,我们一起研究了余弦定理的证明方法,同时又进 一步了解了向量的工具性
作用,并且明确了利用余弦定理所能解决的两类有关三角形问题:
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①已知三边求三角；②已知两边、一角解三角形．
布置作业
课本第8页练习第1（1）、2（1）题.
板书设计
余弦定理
1.余弦定理 2.证明方法: 3.余弦定理所能解决的两类问题:
(1)平面几何法; (1)已知三边求任意角;
(2)向量法 (2)已知两边、一角解三角形
4.学生练习

备课资料
一、正、余弦定理的边角互换功能
对于正、余 弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到
三角形的其他问题中, 也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把
边的关系转化为角的关系,也可以 把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决.
【例1】已知A、B为△ABC的边,A、 B分别是A、B的对角,且
sinA3a?b
的值.
?
求
sinB2b
ab
,
?
sinAsinB
sinAa
∴
?
.
sinBb
sinA2
又
?
(这是角的关系)，
sinB3
a3
∴
?
(这是边的关系).于是,由合比定理得
b2
a?b3?25
??
.
b22
解：∵
【例2 】已知△ABC中,三边A、B、C所对的角分别是A、B、C,且a、b、c成等差数列.
求证:sinA+sinC=2sinB.
证明:∵a、b、c成等差数列，
∴a+c=2B(这是边的关系).①

abc
,
??
sinAsinBsinC
bsinC
∴
a?
,②
sinB
bsinC
.③
c?
sinB
bsinAbsi nC
将②③代入①,得
??2b
=2B.
sinBsinB
又
整理得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).
二、正、余弦定理的巧用
某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多 繁杂的运算,从而使问
题较轻松地获得解决,现举例说明如下:
【例3】求sin
2
20°+cos
2
80°+
3
sin20°cos80°的值. < br>解：原式=sin
2
20°+sin
2
10°-2sin20°sin 10°cos150°,
∵20°+10°+150°=180°,
∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.
设这三个内角所对的边依次是A 、B、C,由余弦定理得a
2
+b
2
-2abcos150°=C
2
.(*)
而由正弦定理知A=2Rsin20°,B=2Rsin10°,C=2Rsin15 0°,
代入(*)式得sin
2
20°+sin
2
10°-2si n20°sin10°cos150°=sin
2
150°=
∴原式=

1
.
4
1
.
4
三、构造正三角

通常，我们使用标尺作正三角形．以标尺作正三角形，只需相异两点A、B，再配合工
具即可． 分别以A、B点为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于C点，△ABC就是正三角
形了．因为，圆A中 ，AB=AC(半径)；而且圆B中，BA=BC(半径)，所以AB=BA=AC．(参
见上图)

如果没了圆规，我们要如何作出正三角形呢？再者连标尺也没了，那么万能的双手又要
如何作出正三角形呢？这时我们可以考虑折纸来协助完成．取适当大小的矩形纸张，先对折，
取得一边 的中垂线；再以A点为基点，将此边向内翻折，并使得顶点落在中垂线上B点；
最后再将B点和A、C点 连成三角形(参见右图)，就是正三角形了．因为，AC=AB，又B点
在中垂线上，所以，BA=BC ，因此，AB=BC=CA．

1.1.3 解三角形的进一步讨论
从容说课
本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指 出
正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之
亦 然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦
定理解斜三角形 的问题进行归类，列表如下：
解斜三角形时可用的定理和
公式
余弦定理
a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA
b
2
=a
2
+c
2
-2accosB
c
2
=b
2
+a
2
-2bacosC
正弦定理
适用类型
（1）已知三边
（2）已知两边及其夹角
备注
类型（1）（2）有解时只有一
解
abc
???2R

sinAsinBsinC
三角形面积公式
（3）已知两角和一边
（4）已知两边及其中一边的
对角
（5）已知两边及其夹角
类型（3）在有解时只有一解，
类型（4）可有两解、一解或
无解

1
S?bcsinA?

2
1
acsinB?

2
1
absinC

2
同时应指出，在解斜三角形问题时， 经常要利用正弦、余弦定理实施边角转换，转化的
主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换 找出角与角之间的关系，进而解决问题；
（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地 ，当已知三角形三边或三边
数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦 定理或余弦定
理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及
公式．
教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情
形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;
2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；
3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．
教具准备 投影仪、幻灯片
第一张:课题引入图片(记作1．1．3A)
正弦定理:
abc
???2R
；
sinAsinBsinC
余弦定理:a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA,b2
=c
2
+a
2
-2cacosB,c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC，
b
2
?c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2
a< br>2
?b
2
?c
2
cosA?
,
cosB?< br> ,
cosC?
.
2bc2ca2ab

第二张:例3、例4(记作1．1．3B)
[例3]已知△ABC, BD为角B的平分线,求证: AB∶BC＝AD∶DC.
[例4]在△ABC中,求证:a
2
sin2B+b
2
sin2A=2absinC.
第三张:例5(记作1．1．3C)
[例5]在△ABC中,bcosA=acosB,试判断三角形的形状.
三维目标
一、知识与技能
1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情
形；
2.三角形各种形状的判定方法；
3.三角形面积定理的应用．
二、过程与方法
通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数
公式及三 角形有关性质求解三角形问题．
三、情感态度与价值观
通过正、余弦定理，在解三角形问题 时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反
映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能 ，从而从本质上反映了事物之间的内
在联系．
教学过程
导入新课
师 前 面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解
三角形的有关题 型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片1.1.3A).从幻灯
片大体可以看 出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行
边与角之间的转换,这一 节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断
三角形形状和证明三角恒等式时的应 用.
推进新课
思考：在△ABC中，已知A=22cm，B=25cm,A=133°，解 三角形．（由学生阅读课本第9
页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及 其中一边的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的 问题．
【例1】在△ABC中，已知A,B,A，讨论三角形解的情况.
师 分析：先由
sinB?
bsinAasinC
可进一步求出B；则C =180°-(A+B),从而
c?
.
asinA
一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．
1.当A为钝角或直角时，必须a＞b才能有且只有一解；否则无解．
2.当A为锐角时，
如果a≥b，那么只有一解；
如果a＜b，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若a＞bsinA，则有两解；
（2）若a=bsinA，则只有一解；

（3）若a＜bsinA，则无解．
（以上解答过程详见课本第9到第10页）
师 注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解 三角形时，只有当A为锐角且bsinA＜a＜
b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．
（1）A为直角或钝角

（2）A为锐角

【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．
分析：由余弦定理可知
a
2
=b
2
+c
2
?
A是直角
?
△ABC是直角三角形，
a
2
＞b
2
+c
2
?
A是钝角
?
△ABC是钝角三角形，
a
2
＜b
2
+c
?
A是锐角△ABC是锐角三角形。
（注意：A是锐角 △ABC是锐角三角形 ）
解：∵7
2
＞5
2
+3
2
,即a
2
＞b
2
+c
2
，
∴△ABC是钝角三角形．
[教师精讲]
1．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题．
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
2．正弦 定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中边角关系转化．例
如：在判断三角形形状 时，经常把a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替．
3.余弦定理的主 要作用一是解三角形，二是判断三角形的形状，它的主要功能是实现边
角之间的转化．
（1）已知三边，求三个角．
（2）已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
4． 用方程的思想理解和运用余弦定理，当等式a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA中含有未知数时，这
便成为方程，式中有四个量，知道三个，便可以解出另一个，运 用此式可以求A或B或C
或cosA．
师 下面,我们来看幻灯片上的例题.(给出幻灯片1.1.3B)

［例题剖析］

【例3】分析：前面接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题,而角B的平分线BD将
△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD,故要证结论成立,可证明它的等价形式: AB∶B C
＝AD∶DC,从而把问题转化到两个三角形内,而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比,故可利用正弦定理将所证继续转化为
互补角正弦值也相等即可证明结论.
BCDC
,再根据相等角正弦值相等,
?
sin?BDCsin?DBC
ABADABsin ?ADB
,即,
??
sin?ADBsin?ABDADsin?ABD
B CDCBCsin?BDC
在△BCD内,利用正弦定理得,即,
??
sin?BD Csin?DBCDCsin?DBC
证明:在△ABD内,利用正弦定理得
∵BD是角B的平 分线,∴∠ABD=∠DBC
∴sin∠ABD=sin∠DBC.
∵∠ADB+∠BDC=180°,
∴sin∠ADB=sin(180°-∠BDC)=sin∠BDC.
ABsin?ADBsin?BDCBC
.
???
ADsin?ABDsin?DBCDC
ABAD
∴.
?< br>BCDC
∴
评述:此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系,并且注意 互补角的正弦
值相等这一特殊关系式的应用.
［例题剖析］
【例4】分析:此题所 证结论包含关于△ABC的边角关系,证明时可以考虑两种途径:一是把角
的关系通过正弦定理转化为边 的关系,若是余弦形式则通过余弦定理;二是把边的关系转化为
角的关系,一般是通过正弦定理.
另外,此题要求学生熟悉相关的三角函数的有关公式,如sin2B=2sinbcosB
等,以便在化为角的关系时进行三角函数式的恒等变形.
证明一: (化为三角函数) a
2
sin2B+b
2
sin2A=(2RsinA)
2
·2sinB·COsB+(2RsinB)
2
·2sinA·cosA=8R
2< br>sinA·sinB(sinAcosB+cosA
sinB)=8R
2
sin asinbsinC =2·2RsinA·2RsinB·sinC=2absinC.
所以原式得证.
证明二: (化为边的等式)
左边=A
2
·2s inBcosB+B
2
·2sinAcosA=
2ba
2
?c
2
?b
2
2ab
2
?c
2
?a
2
2
a???b??
=
2R2ac2R2bc
2
ab
2
abc
(a?c
2
?b
2
?b
2
?c2
?a
2
)?2c
2
?2ab??2absinC
=
2Rc2Rc2R
[教师精讲]
由边向角转化,通常利用正弦定理的变形式:A= 2RsinA,B=2RsinB,C=2RsinC,在转化为角
的关系式后,要注意三角函数公式的 运用,在此题用到了正弦二倍角公式sin2A=2sinA·cosA,正

弦两角和公 式sin(A+B)=sinA·cosB+cosA·sinB;由角向边转化,要结合正弦定理变形式以及余 弦
定理形式二.
三角形的有关证明问题,主要围绕三角形的边和角的三角函数展开,从某种意 义上来看,
这类问题就是有了目标的含边和角的式子的化简问题.
【例5】分析:三角形形状 的判断,可以根据角的关系,也可根据边的关系,所以在已知条件的运
用上,可以考虑两种途径,将边转 化为角,将角转化为边,下面,我们从这两个角度进行分析.
解法一:利用余弦定理将角化为边.
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?c2
?b
2
?a?
∵bcosA=acosB,∴
b?
. ∴b
2
+c
2
-a
2
=a
2
+c
2
-b
2
.∴a
2
=b
2
.
2bc2ac
∴a=b.
故此三角形是等腰三角形.
解法二:利用正弦定理将边转化为角.
∵bcosA=acosB,又B=2RsinB，A =2RsinA,∴2RsinbcosA=2RsinAcosB.
∴sinAcosB- cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∵0＜A,B＜π,∴-π＜A-B＜π.
∴A-B=0,即A=B.
故此三角形是等腰三角形.

评述: (1)在判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形,一个方向是边,走代数变形之路,< br>通常是正、余弦定理结合使用;另一方向是角,走三角变形之路,通常是运用正弦定理.要求学生
要注重边角转化的桥梁——正、余弦定理.
(2)解法二中用到了三角函数中两角差的正弦公式,但应 注意在根据三角函数值求角时,一定
要先确定角的范围.另外,也可运用同角三角函数的商数关系,在等 式sinBcosA=sinAcosB两端
同除以sinAsinB,得cotA=cotB,再由0 ＜A,B＜π,而得A=B.
课堂小结
通过本节学习,我们熟悉了正、余弦定理在进行边角 关系转换时的桥梁作用,并利用正、
余弦定理对三角恒等式进行证明以及对三角形形状进行判断,其中, 要求大家重点体会正、余
弦定理的边角转换功能.
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形形状的判定方法.
布置作业
1.在△ABC中,已知
sinAsin(A?B)
?
,求证: a
2
、b
2
、c
2
成等差数列.
sinCsin(B?C)
证明: 由已知得sin(B+C)sin(B-C)=sin(A+B)sin(A-B),
cos2B-cos2C=cos2A-cos2B,
1?cos
2
B1? cos
2
A1?cos
2
B
??
2cos2B=coOs2 A+cos2C,2·=
222
∴2sin
2
B=sin
2
A+sin
2
C.
由正弦定理,可得2b
2
=a
2
+c
2
,
即a
2
、b
2
、c
2
成等差数列.
2.在△ABC中,A=30°,cosB=2sinB-3sinC.
(1)求证:△ABC为等腰三角形;(提示B =C =75°)

(2)设 D为△ABC外接圆的直径BE与边AC的交点,且AB＝2,求AD∶CD的值.
答案: (1)略；(2)1∶3.
板书设计
解三角形的进一步讨论
一、三角形形状判定 二、三角形问题证明思路 三、学生练习
1.等腰三角形:a＝b或 1.向边转化利用正、余弦定理 四、布置作业
A＝B 2.向角转化
利用正弦定理
2.直角三角形:a
2
+b
2
=c
2
或C =90°
3.钝角三角形:C＞90°

备课资料
利用余弦定理证明正弦定理
在△ABC中,已知a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA,b
2
=c
2
+a
2< br>-2cacosB,c
2
=a
2
+b
2
-2abco sC,
求证:
abc
.
??
sinAsinBsinC
222
b?c?a
证明:由a
2
=b+c
2
-2bccos A,得
cosA?
,
2bc
22222222
(b?c?a)(2 bc)?(b?c?a)
?
∴sin
2
A =1-cos
2
A =1-
2
2bc
(2bc)
(2b c?b
2
?c
2
?a
2
)(2bc?b
2
?c
2
?a
2
)(b?c?a)(b?c?a)(a?b?c)
?< br>=.
2222
4bc4bc
a
2
4a
2
b
2
c
2
?
∴
2
sinB
(a?b?c) (?a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)
记该式右端为M,同理可得
b
2< br>c
2
a
2
b
2
c
2
?M,
2
?M,
∴
2
??
.
sin
2
Bsin CsinAsin
2
Bsin
2
C
∴

1.2 应用举例
1.2.1 解决有关测量距离的问题
从容说课
解斜三角形知识在实际 问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知
识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在 理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、
方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度 看成三角形相应的边和角，创造可
解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．学 习这部分知识有助于
增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力．
本节的例1、例2是两 个有关测量距离的问题.例1是测量从一个可到达的点到一个不可
abc
.
??sinAsinBsinC

到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点 之间距离的问题.对于例1可以引
导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问 题，从而可以用正弦
定理去解决．对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定 理求三
角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不
可到达的一点之间的距离问题．
教学重点 分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法.
教学难点 实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图．
教具准备 三角板、直尺、量角器等
三维目标
一、知识与技能
能够运用 正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常
用的测量相关术语，如:坡 度、俯角、方向角、方位角等.
二、过程与方法
1.首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课 ，为以后的几节课做良好铺垫．其次结合学生
的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想— —总结规律——反馈训练”的教学
过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变 式，同时通过多媒体、
图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题．对于例2这样 的开放性
题目要鼓励学生讨论，引导学生从多角度发现问题并进行适当的指点和矫正．
2.通过解三角形的应用的学习,提高解决实际问题的能力.
三、情感态度与价值观
1.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；
2.通过解斜三角形在实际中的应用 ,要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题,
以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作 用.同时培养学生运用图形、数学符号表
达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．
教学过程
导入新课
师 前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题， “遥不可及的月亮离我们地球究
竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的 距离，是什么神奇
的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选 择的
测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的
方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施．如因为没有足够的空间，
不能用全等 三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性．于是上面介绍的问题是用以
前的方法所不能解决的． 今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，
首先研究如何测量距离．
推进新课
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确作出图形，把实际问题里的 条
件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解.
［例题剖析］

【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在< br>所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC=51°，∠ACB=75°．求A、B两

点的距离.(精确到0.1 m)
师（启发提问）1：△ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？
师（启发提问）2：运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答．
生 从题中可以知道角A和角C，所以角B就可以知道，又因为AC可以量出来，所以应该
用正弦定理．
生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件
告诉 了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算
出AC的对角，应 用正弦定理算出AB边．
解：根据正弦定理，得
ABAC
，
?
sin?ACBsin?ABC
AB?
ACsin?ACB55sin?ACB55sin75 ?55sin75?
≈65.7(m).
???
sin?ABCsin?ABCsin (180??51??75?)sin54?

答:A、B两点间的距离为65.7米.
[知识拓展]
变题：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于A km,灯塔A在观察站 C的北偏东30°，
灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？
老师指导学生画图，建立数学模型．

解略：
2a
km.
【例2】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方
法
[教师精讲]
这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题．首先需 要构造三
角形，所以需要确定C、D两点．根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出A、B的距离．
解：测量者可 以在河岸边选定两点C、D，测得CD=A，并且在C、D两点分别测得
∠BCA=α,∠ACD =β,∠CDB=γ,∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
AC?
as in(
?
?
?
)asin(
?
?
?
)?
，
sin[180??(
?
?
?
?
?)]sin(
?
?
?
?
?
)
asin
?
asin
?
?
.
sin[180??(
?
?< br>?
?
?
)]sin(
?
?
?
?
?< br>)
BC?
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理计算出A、B两点间的距 离
AB?AC
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?
.
[活动与探究]
还有没有其他的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析．

[知识拓展]
若在河岸边选取相距40米的C、D两点，测得∠BCA=6 0°，∠ACD=30°，∠CDB=45°，
∠BDA=60°,略解：将题中各已知量代入例2推出 的公式，得AB=206.
[教师精讲]
师 可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理 可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过
程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理 的特点，结合题目条件来选择
最佳的计算方式．
〔学生阅读课本14页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子〕
师 解三角形的 知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,如果我们抽去
每个应用题中与生产生活实 际所联系的外壳,就暴露出解三角形问题的本质,这就要提高分析
问题和解决问题的能力及化实际问题为 抽象的数学问题的能力.
下面,我们再看几个例题来说明解斜三角形在实际中的一些应用.
【例3】如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，
活塞做直线 往复运动，当曲柄在CB
0
位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A
0处，设连杆AB长为340 mm，曲柄CB长为85 mm，曲柄自CB
0
按顺时针方向 旋转80°，求
活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离A
0
A）.（精确到1 mm）

师 用实物模型或多媒体动画演示，让学生观察到B与B
0
重合时，A与A
0
重合，故A
0
C=AB
＋CB＝425 mm，且A
0
A=A
0
C-AC．
师 通过观察你能建立一个数学模型吗？
生 问题可归结为：已知△ABC中， BC＝85 mm，AB＝34 mm，∠C＝80°，求AC．
师 如何求AC呢？
生 由已知AB、 ∠C、BC，可先由正弦定理求出∠A，再由三角形内角和为180°求出∠B，
最后由正弦定理求出A C．
解：（如图）在△ABC中，由正弦定理可得

sinA?
BCsinC85?sin80?
?
≈0.246 2.
AB340
因为BC＜AB，所以A为锐角.
∴A=14°15′，∴ B＝180°-（A＋C）＝85°45′.
又由正弦定理，

AC?
ABsinB340?sin85?45
?
≈344.3(mm).
?
sinC0.9848
∴A
0
A =A
0
C –AC =(AB +BC)-AC =(340+85)-344.3=80.7≈81(mm).
答：活塞移动的距离为81 mm．
师 请同学们设AC=x，用余弦定理解之，课后完成.
[知识拓展]
变题：我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北 偏西10°的方向以
10海里时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌 舰？
师 你能根据方位角画出图吗？
生（引导启发学生作图）
师 根据题意及画出的方位图请大家建立数学模型．
生 例题归结为已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角.
解：如图，在△ABC中,由余弦定理得

BC
2
=AC
2
+AB
2
-2·AB·AC·cos∠BAC
=20
2
+12
2
-2×12×20×(-
1
)=784,
2
BC =28,
∴我舰的追击速度为14海里时.
又在△ABC中,由正弦定理得
AC BCACsinA
?,即sinB??
sinBsinABC
20?
3
2
?
53
∴
?ABC?arcsin
53
.
1 4
2814
答：我舰航行的方向为北偏东50°-arcsin
53
.
14
[方法引导]
师 你能归纳和总结解斜三角形应用题的一般方法与步骤吗？
生
①分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
②建模：根据已知条件与求 解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一
个解斜三角形的数学模型．
③求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
④检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
生 即解斜三角形的基本思路：

师 解斜三角形应用题常见的会有哪几种情况？
生 实际问题经抽象概括后，已知与未知量全部集中在一个三角形中，一次可用正弦定理或
余弦定理解之．
生 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个三角形中，这时需按顺序逐步在两个
三角 形中求出问题的解．
生 实际问题经抽象概括后，涉及的三角形只有一个，但由题目已知条件解此三角 形需连续
使用正弦定理或余弦定理．
某人在M汽车站的北偏西20°的方向上的A处，观察到 点C处有一辆汽车沿公路向M
站行驶．公路的走向是M站的北偏东40°．开始时，汽车到A的距离为3 1千米，汽车前进
20千米后，到A的距离缩短了10千米．问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？
解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC=31，BC=20，
AB=21，由余弦定理得

AC
2
?BC
2
? AB
2
23
cosC??

2AC?BC31
,则
sinC?1?cosC?
22
432
,
31
2
sinC ?
123353
,所以sin∠MAC=sin（120°-C）=sin120°cosC -cos120°sinC =.
3162
在△MAC中，由正弦定理得
MC?
ACsin?MAC31353
???35
，从而有MB= MC- BC=15.
sin?AMC62
3
2
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站．
课堂小结
通过本节学习,要求大家在了解解斜三角形知识在实际中的应用的同时,掌握由实际 问题
向数学问题的转化,并提高解三角形问题及实际应用题的能力.
布置作业
课本第14页练习 1、2.
板书设计
解决有关测量距离的问题

1.提出问题
2.分析问题 演示反馈
3.解决问题 总结提炼

备课资料
备用例题

1.地平面上有一旗杆OP，为了测得它的高度h，在地面上选一基线AB，AB=20 m ,在A点处
测得P点的倾角∠OAP=30°,在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠A OB=60°，求
旗杆的高度h.（结果保留两个有效数字）
思路分析：在看图时要注意结合 实际——旗杆OP垂直地面，所以△AOP和△BOP都是直
角三角形．又这两个三角形中各已知一个锐 角，那么其他各边均可用h的代数式表示．在
△AOB中，已知一边及其对角，另两边均为h的代数式， 可利用余弦定理构造方程，解这
个方程即求出旗杆高h．
解：在Rt△AOP中，∠OAP=30°，OP=h,
∴OA=OP·cot30°=3h.
在Rt△BOP中，∠OBP=45°，∴OB=OP·cot45°=h.
在△AOB中，AB=20，∠AOB=60°，
由余弦定理得
AB
2< br>=OA
2
+OB
2
-2×OA×OB·cos60°，
即2 0
2
=（
3h
）
2
+h
2
-2·3h·h ·,解得h
2
=
1
2
400
≈176.4,∴h≈13.
4?3
答：旗杆高度约为13 m．
点评：（1）仰角和俯角是在同一铅垂面内视线 与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称
为仰角，当视线在水平线之下时称为俯角．
（2 ）由余弦定理（正弦定理）构造方程，是解决此问题的关键．方程思想是解决问题的一
种常用思想方法．
2.在某时刻，A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向
直线前进，以台风中心为圆心、300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多
长时间A 进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？

解：如图，以AB为边，B为顶点作∠ABP=45°
（点P在B点的东北方向上），射线B P即台风中心B的移动方向，以A点为圆心、300千

米为半径画弧交射线BP于C、D 两点，显然当台风中心从B点到达C点时，A点开始进入
台风圈，台风中心在CD上移动的时间即为A处 在台风圈中的时间．设台风中心由B到C
要t小时，在△ABC中，AB=400（千米），AC=30 0（千米），BC=40t（千米），∠ABC=45°，
由余弦定理得
AC
2=AB
2
+BC
2
-2AB·BC·cos∠ABC，
即30 0
2
=400
2
+(40t)
2
-2×400×40t·c os45°.
∴4t
2
-402t+175=0.
∴
t?
402?20102?5
?
.
82
102?51
?5(2?)
=4.6（小时）.
22
∴
t?
t
2
-t
1
=
102?5102?5
?
=5（小时）.
22
答：经过4.6小时A进入台风圈，A处在台风圈中的时间为5小时．

1.2.2 解决有关测量高度的问题
从容说课
本节的例3、例4和例5是有关测 量底部不可到达的建筑物等的高度的问题．由于底部
不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法 去解决,但常常用正弦定理和余弦定理
计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离,然后转化 为解直角三角形的问
题．在例3中是测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA，并测出点C观察A的仰角 ；在
例4中是计算出AB的长；在例5中是计算出BC的长，然后转化为解直角三角形的问题．
本节课主要是研究解斜三角形在测量中的应用，关于测量问题，一是要熟悉仰角、俯角
的意义，二是要 会在几个三角形中找出已知与未知之间的关系，逐步逐层转化，最终归结为
解三角形的问题．
教学重点 1.结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；
2.画出示意图是解应用题 的关键，也是本节要体现的技能之一，需在反复的练习和动手操作
中加强这方面能力．日常生活中的实例 体现了数学知识的生动运用，除了能运用定理解题之
外，特别要注重数学表达需清晰且富有逻辑，可通过 合作学习和相互提问补充的方法来让学
生多感受问题的演变过程．
教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；
教具准备 直尺和投影仪
三维目标
一、知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量
的问题.
二、过程与方法
本节课是解三角形应用举例的延伸．采用启发与尝试的方法，让学生在温故知 新中学会
正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架．通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法．教学形式要坚持引导——讨论——归纳，目的不在
于让学生 记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯．作业设计思考题，提供学生更广

阔的思 考空间.
三、情感态度与价值观
进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.
教学过程
导入新课
师 设问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水 平飞行的
飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的问题.
推进新课

【例1】AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设 计一种测量建筑物
高度AB的方法．
[合作探究]
师 这个建筑物就不好到达它 的底部去测量，如果好去的话，那就直接用尺去量一下就行了，
那么大家思考一下如何去测量这个建筑物 的高呢？
生 要求建筑物AB的高，我只要能把AE的长求出来，然后再加上测角仪的高度EB的长就
行了.
师 对了，求AB长的关键是先求AE，那谁能说出如何求AE？
生 由解直角三角形的知识 ，在△ADC中，如能求出C点到建筑物顶部A的距离CA，再测
出由C点观察A的仰角，就可以计算出 AE的长．
师 那现在的问题就转化成如何去求CA的长，谁能说说？
生 应该设法借助解三角形的知识测出CA的长．
生 为了求CA的长，应该把CA放到△DCA中，由于 基线DC可以测量，且β也可以测量，
这样在△DCA中就已知两角和一边，所以由正弦定理可以解出C A的长．
解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上．由在H、G两点用测角仪< br>器测得A的仰角分别是α、β，CD = A，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦
定理可得
AC?
asin
?
asin
?
sin
?
,AB=AE+h=acsinα+h=+h.
sin(
?
?
?< br>)sin(
?
?
?
)
师 通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢？
生 要测量某一高度AB，只要 在地面某一条直线上取两点D、C，量出CD=A的长并在C、
D两点测出AB的仰角α、β，则高度< br>AB?
asin
?
sin
?
?h
，其中h为测角器的 高．
sin(
?
?
?
)
【例2】如图，在山顶铁塔上B处 测得地面上一点A的俯角α=54°40′，在塔底C处测得A
处的俯角β=50°1′．已知铁塔BC 部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m).

[合作探究]
师 根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？（给出时间让学生讨论思考）要 在△ABD中求
CD，则关键需要求出哪条边呢？
生 需求出BD边．
师 那如何求BD边呢？
生 可首先求出AB边，再根据∠BAD=α求得．
解：在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠ABC=90°-α,∠BAC =α-β,∠BAD =α.
根据正弦定理,
BCABBCsin(90??
?
)BCcos< br>?
??
=，所以
AB?
.
sin(
?
?< br>?
)sin(90??
?
)sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)
在Rt△ABD中,得BD =ABsin∠BAD=
将测量数
BCcos
?
sin
?
.
sin(
?
?
?
)
代入上式,得据
BD?
27.3cos50?1
?
sin54?40
?
27.3cos50?1?
sin54?40
?
?
≈177(m),
sin(54?4 0
?
?50?1
?
)sin4?39
?
CD =BD -BC≈177-27.3=150(m).
答:山的高度约为150米.
师 有没有别的解法呢？
生 要在△ACD中求CD，可先求出AC．
师 分析得很好，请大家接着思考如何求出AC？
生 同理，在△ABC中，根据正弦定理求得．（解题过程略）
【例3】如图,一辆汽车在一条水平的公路 上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶
D在东偏南15°的方向上,行驶5 km后到达B处,测得此山顶在东偏南25°的方向上,仰角为8°,
求此山的高度CD.

[合作探究]
师 欲求出CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？
生 在△BCD中.
师 在△BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长？

生BC边.
解：在△ABC中, ∠A=15°,∠C=25°-15°=10°,根据正弦定理,
BCABABsinA5sin15?
,≈ 7.452 4(km),
?,BC? ?
sinAsinCsinCsin10?
CD=BC×tan∠DBC=BC×tan8°≈ 1 047(m).
答:山的高度约为1 047米.
课堂练习

用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别测得
气球的仰角 α和β,已知BD间的距离为A,测角仪的高度为B,求气球的高度.
分析:在Rt△EGA中求解E G,只有角α一个条件,需要再有一边长被确定,而△EAC中有较多
已知条件,故可在△EAC中考虑 EA边长的求解,而在△EAC中有角β,
∠EAC=180°-α两角与AC=BD=A一边,故可以利用正弦定理求解EA.
解：在△ACE中,AC=BD=A,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根据正弦定理,得
AE?
asin
?
asin
?
sin
?
.在Rt△ AEG中，EG=AEsinα=.
sin(
?
?
?
)sin(< br>?
?
?
)
∴EF=EG+b=
asin
?
s in
?
?b
.
sin(
?
?
?
)
asin
?
sin
?
?b
.
sin(
?
?
?
)
答:气球的高度是
评述:此题也可以通过解两个直角三角形来解决, 思路如下:设EG=x,在Rt△EGA中,利用cotα
表示AG,而Rt△EGC中,利用cotβ 表示CG,而CG-AG=CA=BD=A,故可以求出EG,又GF=CD=B,
故EF高度可求.
课堂小结
利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给 的
背景资料中进行加工，抽取主要因素，进行适当的简化．
布置作业
课本第17页练习第1、3题.
板书设计
解决有关测量高度的问题
例1
练习 例2 课堂练习
小结 例3 布置作业

备课资料
1.半角定理
在△ABC中,三个角的半角的正切和三边之间有如下的关系:

tan
A1(p?a)(p?b)(p?c)
,
?
2p?ap
B1(p?a)(p?b)(p?c)
,
?
2p?bp
C1(p?a)(p?b)(p?c)
,
?
2p?cp
tan
tan
1
（a+b+c).
2
A
sin
A
2
, 证明:
tan?
A< br>2
cos
2
AA
因为sin＞0,cos＞0,
22
其中p=
所以
A1?cosA1b
2
?c
2
?a
2
a
2
?(b?c)
2
(a?b?c)(a? b?c)
sin??(1?)??
.
2222bc4bc4bc
因为p =
1
(a+b+c),
2
所以a -b+c =2(p-b),a+b-c=2(p -c).
所以
sin
而
A(p?b)(p?c)
?
. 2bc
A1?cosA1b
2
?c
2
?a
2
)
cos??(1?
2222bc
(b?c)
2
?a
2
(b?c?a)(b?c?a)
??
4bc4bc
所
p(p?a)
bc

以
A
A
2
?tan
A
2
c os
2
sin
所以
tan
(p?b)(p??c)
(p?b )(p?c)1(p?a)(p?b)(p?c)
bc
.
??
p(p?a) p?ap
p(p?a)
bc
A1(p?a)(p?b)(p?c)
.
?
2p?ap

同理,可得
tan
B1(p?a)(p?b) (p?c)
,
?
2p?bp
tan
C1(p?a)(p?b)(p ?c)
.从上面的证明过程中,我们可以得到用三角形的三
??
2p?cp
条 边表示半角的正弦和半角的余弦的公式:
sin
A(p?b)(p?c)A
?,co s?
2bc2
p(p?a)
.
bc
同理可得
sinB(p?a)(p?c)C(p?a)(p?b)B
?,sin?,cos?
2ac2ab 2
p(p?b)C
cos?
ac2
p(p?c)
.
ab2.用三角形的三边表示它的内角平分线
设在△ABC中(如右图),已知三边a、b、c,如果 三个角A、B和C的平分线分别是t
A
、t
B
和t
C
，那么，用已知边表示三条内角平分线的公式是：

2
bcp(p?a)
;
b?c
2
t
b
?acp(p?b)
;
a?c
2
t
c
?abp(p?c)
.
a?bt
a
?
证明：设AD是角A的平分线，并且BD=x，DC=y,那么，在△AD C中，由余弦定理，得
t
A
2
=b
2
+y
2
-2bycosC,①
根据三角形内角平分线的性质，得
cx
?
,
by
所以
c?bx?y
?
.
by
因为x+y=a,
所以
c?ba
?
.
by
所以
y?
ab
.②
b?c

将 ②代入①,得
t
a
?b?(
2
2
ab
2
a b
)?2b()cosC

b?cb?c
b
2
222
[b?c?2bc?a?2a(b?c)cosC]
. =
2
(b?c)
a
2
?b
2
?c
2
因为
cosC?
, 2bc
所以
t
a
2
b
2
a
2
?b
2
?c
2
222
?[a?b?c?2bc?2a(b?c)?]
2
2ab
(b?c)

=
bcbc
222
(b?c?2bc?a)?(a?b?c)(b?c?a)

(b?c)
2
(b?c)
2
bc4
2
?2p?2(p?a)??bcp(p?a),
所以
t?bcp(p?a)
.
a
22
(b?c)(b?c)b?c
=
同理,可得
t
b
?
22
acp(p? b),t
c
?abp(p?c)
.
a?ca?b
这就是已知三边求三角形内角平分线的公式.
3.用三角形的三边来表示它的外接圆的半径
设在△ABC中,已知三边a、b、c,那么用已知边表示外接圆半径R的公式是
R?
abc
.
p(p?a)(p?b)(p?c)
证明: 因为
R?
所以
sinA?
所以
R?

a1
,S?bcsinA
,
2sinA2
2S
.
bc
abc
.
p(p?a)(p?b)(p?c)
aabc
??
2sinA4S
1.2.3 解决有关测量角度的问题
从容说课
本 课时是一个有关测量角度的问题，即课本上的例6.在这里，能否灵活求解问题的关键
是正弦定理和余弦 定理的选用，有些题目只选用其一，或两者混用，这当中有很大的灵活性，
需要对原来所学知识进行深入 的整理、加工，鼓励一题多解，训练发散思维．借助计算机等
媒体工具来进行演示，利用动态效果，能使 学生更好地明辨是非、掌握方法．
教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．
教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题.
教具准备 三角板、投影仪（多媒体教室）
三维目标
一、知识与技能

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
二、过程与方法
本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解， 这节课应
通过综合训练强化学生的相应能力．除了安排课本上的例6，还针对性地选择了既具典型性又具有启发性的1～2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透．课堂中要充分体现学生的
主体地位 ，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问
题的过程中来，逐步让 学生自主发现规律，举一反三．
三、情感态度与价值观
培养学生提出问题、正确分析问题、 独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的
探索精神.
教学过程
导入新课
设置情境设问
师 前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化为已知三角形的 一些边和角
求其余边的问题．然而在实际的生活中,人们又会遇到新的问题，仍然需要用我们学过的解< br>三角形的知识来解决，大家身边有什么例子吗？
生 像航海，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向.
生 飞机在天上飞行时，如何确定地面上的目标.
师 实际生活当中像这样的例子很多，今天我们接着来探讨这方面的测量问题．
推进新课
【例1】（幻灯片放映）如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°
的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后
到达海岛 C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距
离?(角度精确到 0.1°,距离精确到0.01 n mile)
[合作探究]
学生看图思考．

师 要想解决这个问题，首先应该搞懂“北偏东75°的方向”．
生 这是方位角．
生 这实际上就是解斜三角形，由方位角的概念可知，首先根据三角形的内角和定理求出AC
边 所对的角∠ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹
角∠CAB， 就可以知道AC的方向和路程．
师 根据大家的回答，我们已经很清楚解题思路．下面请同学写一下解题过程.
生解：在△ABC中，∠ABC=180°- 75°+ 32°=137°，根据余弦定理， AC?AB
2
?BC
2
?2AB?BC?cos?ABC?67.52
?54.0
2
?2?67.5?54.0?cos137?,
≈113 .15.
根据正弦定理,
BCAC
?,
,
sin?CABsi n?ABC
BCsin?ABC54.0sin137?
≈0.325 5,
sin ?CAB??
AC113.15

所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB =56.0°.
答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15 n mile.
师 这道题综合运用了正、余弦定理，体现了正、余弦定理在解斜三角形中的重要地位．
【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°
的方向以10海里时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里时的速度沿着直线方向追
去，问巡逻艇 应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？
[合作探究]
师 你能否根据题 意画出方位图？（在解斜三角形这一节里有好多都要把实际问题画出平面
示意图，图画的好坏有时也会影 响到解题，这是建立数学模型的一个重要方面）
生甲 如右图．

师 从图上看这道题的关键是计算出三角形的各边，还需要什么呢?
生 引入时间这个参变量,可以设x小时后追上走私船.
生 如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x,
AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理，可得
(1 4x)
2
=9
2
+(10x)
2
-2×9×10xcos1 20°,∴化简得32x
2
-30x-27=0，即x=
所以BC = 10x =15,AB =14x =21.
又因为sin∠BAC =
39
或x=- (舍去).
216
BCsin120?15353
???
,∴∠BAC= 38°13′,或∠BAC=141°47′（钝
AB21214
角不合题意，舍去）.
∴38°13′+45°=83°13′.
答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.
师 这位同学是用正、余弦定理来解决的，我们能不能都用余弦定理来解决呢？
生 同上解得BC=15,AB=21,
在△ABC中，由余弦定理，得
AC
2
?AB
2
?BC
2
81?441?22511
cos?CAB?? ?
≈0.785 7,
2AC?AB2?9?2114
∴∠CAB≈38°13′, 38°13′+45°=83°13′.
∴巡逻艇应沿北偏东83°13′的方向追赶，经过1.4小时追赶上该走私船．
课堂练习
课本第18页练习.
答案：运用余弦定理求得倾斜角α约为116.23°.
[方法引导]
解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角
形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这
时 需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．
[知识拓展]

1.如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小 岛A在船的南偏
东30°，航行30海里到C处，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改 变航向，
继续向南航行，有无触礁的危险？
解：在△ABC中，BC=30，B=30°，
∠ACB=180°-45°=135°,
∴A=15°.
BCAC30AC
,∴.
??
sinAsinBsin15?sin30?
30sin30?
∴
AC??60cos15??156?152
.∴A到B C所在直线的距离为
sin15?
由正弦定理知
AC·sin45°=（15
6
+15
2
）·
2
=15（
3
+1）≈40.9 8＞38（海里），
2
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
答：不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．
2.如图，有两条相交成60°角的直线X X′、YY′，交点是O，甲、乙分别在OX、OY上，起
初甲在离O点3千米的A点，乙在离O点1千 米的B点，后来两人同时以每小时4千米的
速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y方向步行，

（1）起初，两人的距离是多少？
（2）用包含t的式子表示t小时后两人的距离；
（3）什么时候两人的距离最短？
解：（1）因甲、乙两人起初的位置是A、B，
则AB
2
=OA
2
+OB
2
-2OA·OBcos60°= 3
2
+1
2
-2×3×1×=7,
∴起初，两人的距离是
7
千米．
（2）设甲、乙两人t小时后的位置分别是P、Q，
则AP=4t,BQ=4t,
当0≤t≤
当t＞
1
2
3
时，PQ
2
=(3-4t )
2
+(1+4t)
2
-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t
2
-24t+7;
4
3
时,PQ
2
=(4t-3 )
2
+(1+4t)
2
-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48 t
2
-24t+7,
4

所以，PQ =48t
2
-24t+7．
（3）PQ
2
=48t
2-24t+7=48(t-
∴当t=
1
2
)+4,
4
1
时，即在第15分钟末，PQ最短．
4
答：在第15分钟末，两人的距离最短．
课堂小结
在实际问题（航海、 测量等）的解决过程中，解题的一般步骤和方法，及正弦、余弦定
理相关知识点的熟练运用．应用解三角 形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的
三角形，及其中哪些是已知量，哪些是未知量，应该 选用正弦定理还是余弦定理进行求解．应
用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意 图；②所涉及的三角形，搞
清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案．
布置作业
课本第22页习题1.2第9、10、11题.
板书设计
解决有关测量角度的问题
例1 例2 课堂练习
布置作业
备课资料
一、备用例题

1.如图所示，已知A、B 两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海
里时的速度向B航行，同时乙船 自B以30海里时的速度沿方位角150°方向航行．问航行
几小时，两船之间的距离最短？
解：设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC =(100-50x)海里，BD=30x
海里（0≤x≤2），∠CBD=60°，由余弦定理得
CD
2
=(100-50x)
2
+(30x)
2
- 2·(100-50x)·30x·cos60°=4 900x
2
-13 000x+10 000.
130006516
??1
（小时）时，CD
2
最小， 从而得CD最小.
2?49004949
16
∴航行
1
小时，两船之间距离最近． < br>49
∴当
x?
2．我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处 ，已知DC=6 000米，
∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面点B处时，测得∠ BCD=30°,∠BDC=15°．求炮兵阵
地到目标的距离（结果保留根号）．
解：在△ACD中，∠CAD=180°-∠ACD-ADC=60°,CD=6 000,∠ACD=45°,

根据正弦定理，有
AD?
CDsin45?2
CD
.
sin60?3
同理，在△BCD中，∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,
CD=6 000,∠BCD=30°.
根据正弦定理,有
BD?
CDsin30?2
?CD
.
sin135?2
又在△ABD中，∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°.
根据 勾股定理,有
AB?AD
2
?BD
2
?
2142
? CD?CD?100042
.
326
所以炮兵阵地到目标的距离为1 000
42
米.
二、常用术语与相关概念
（1）坡度（亦叫坡角）：坡与水平面的夹角的度数．
（2）坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡角的正切值．
（3）仰角和俯角：与目标 视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线
在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水 平视线下方时叫俯角．
（4）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角．
（5）方位角：从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角．
1.2.4 解决有关三角形计算的问题
从容说课
本节的例7和例8说明了在不同已知条件下三角形面积 问题的常见解法，即在不同已知
条件下求三角形面积的问题，与解三角形有密切的关系.我们可以应用解 三角形的知识,求出
需要的元素,从而求出三角形的面积.已知三角形的三边求三角形面积在历史上是一 个重要的
问题.在西方有海伦公式,在我国数学史上有秦九韶的“三斜求积公式”,教科书在阅读与思考
中对此作了介绍,在习题中要求学生加以证明．例9是关于三角形边角关系恒等式的证明问
题, 课程标准要求不在这类问题上作过于烦琐的训练,教科书例题限于直接用正弦定理和余弦
定理可以证明的 问题.
关于三角形的有关几何计算,教科书涉及了三角形的高和面积的问题,教科书直接给出了计算三角形的高的公式
h
A
=bsinC=csinB,h
B
=csinA=asinC,h
C
=asinB=bsinA.
这三个公式实际上在 正弦定理的证明过程中就已经得到，教科书证明了已知三角形的两
边及其夹角时的面积公式
S=
111
absinC,S= bcsinA,S=casinB.
222

教学重点 推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目.
教学难点 利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.
教具准备 三角板、投影仪等
三维目标
一、知识与技能
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题;
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用．
二、过程与方法
1.本节课补充了 三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的
特点，循序渐进地具体运用于相关 的题型;
2.本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解．只要学生自行
掌握了两 定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点．
三、情感态度与价值观
1.让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；
2．进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验成功的愉悦.
教学过程
导入新课
[设置情境]
师 以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我 们来学习它的另一个表达公式．在
△ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h
A
、h
B
、h
C
，那么它们如何用已知边和角表示？

生h
A
=bsinC=csinB,
h
B
=csinA=asinC,
h
C
=asinB=BsinA.
1
ah
,应用以上求出 的高的公式如h
A
=bsinC代入，
2
1
可以推导出下面的三角形 面积公式：
S?absinC
，大家能推出其他的几个公式吗？
2
11
生 同理，可得
S?bcsinA
,
S?acsinB
.
22
师 根据以前学过的三角形面积公式
S?
师 除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的
面积呢？
生 如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.
推进新课
【例1】 在△ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1 cm
2
）.
（1）已知A=14.8 cm,C =23.5 cm,B=148.5°;
（2）已知B=62.7°,C =65.8°,B =3.16 cm;
（3）已知三边的长分别为A=41.4 cm,B=27.3 cm,C =38.7 cm.
师 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我
们可 以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求出
三角形的面积．
〔生口答，师书写过程〕

11
acsinB
，得 S=×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm
2
).
22
bcbsinC
(2)根据正弦定理，,
?,c?
sinBsinCsinB
11sinCsinA
.
S? bcsinA?b
2
22sinB
解：（1）应用
S?
A = 180°-(B + C)= 180°-(62.7°+ 65.8°)=51.5°,
1sin65.8?sin51.5?
≈4.0(cm
2
).
S? ?3.16
2
?
2sin62.7?
c
2
?a
2< br>?b
2
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
?
(3)根据余弦定理的推论，得
cosB?
≈0.769 7,
2ca2?38.7?41.4
sinB?1?cos
2
B?1?0.76972
≈0.638 4,
应用
S?
11
acsinB
得 S=
×41.4×38.7×0.638 4≈511.4(cm
2
).
22
生 正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧
以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．
【例2】在某市进行城市环境 建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到
这个三角形区域的三条边长分别为68 m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1
cm
2
）？
师 你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？
生 本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解．
〔由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结〕
解：设A=68 m,B=88 m,C=127m,根据余弦定理的推论，
c
2
?a
2
?b
2
127
2
?68
2
?88
2
cosB??≈0.753 2,
2ca2?127?68
sinB?1?0.7532
2
≈0.657 8,
应用S=
11
acsinB,S=×68×127×0.657 8≈2 840.38(m
2
).
22
答：这个区域的面积是2 840.38 m
2
．
【例3】在△ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
?
（1）;
c
2
sin
2
C
（2）a
2
+b
2+c
2
=2（bccosA+cacosB+abcosC）.
[合作探究]
师 这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边有什么样的特点?
生
等式左边是三边的平方关系，而等式的右边是三个角的正弦的平方关系，可以联想到用正弦
定理 来证明.
师 等式两边分别是边和角，所以我们可以选正弦定理来证明，这样我们可以把一边的边或< /p>

角都转化成两边一样的边或角，即“化边为角”或“化角为边”，这也是我们在证明三角恒 等式
时经常用的方法．
证明：（1）根据正弦定理，可设
abc
???k
,
sinAsinBsinC
显然 k≠0，所以
a
2
?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
Bsin
2
A?sin
2
B< br>??
左边==右边.
2222
cksinCsinC
师 那对于第二小题又该怎么化呢？
生 等式左边仍然是三边的平方关系，而等式的右边既有角又有边，而 且是两边和两边夹角
的余弦的积的关系，所以联想到用余弦定理来证明.
师 很好，哪位来板演一下？
生 证明：（2）根据余弦定理的推论，
b
2
? c
2
?a
2
c
2
?a
2
?b
2< br>a
2
?b
2
?c
2
?ca?ab)
右边=< br>2(bc
2bc2ca2ab
=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a2
+b
2
-c
2
)=a
2
+b
2+c
2
=左边.

1.已知在△ABC中，∠B=30°,B=6,C =6
3
,求A及△ABC的面积S.
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题， 注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角
形的题目还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢解或增解 ，养成检验的习惯,但应用余
弦定理会免去讨论.
答案：A=6,S=9
3
;A=12,S=18
3
.
2.判断满足下列条件的三角形形状，
(1)acosA = bcosB;
(2)sinC =
sinA?sinB
.
cosA?cosB
提 示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”，正弦定理和余弦定理的运用除
了记住正确 的公式之外，贵在活用，体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向.
(1)师 大家尝试分别用两个定理进行证明．
b
2
?c
2
?a
2< br>c
2
?a
2
?b
2
?b?
生（余弦定理）得
a?
,
2bc2ca
∴c
2
(a
2
-b
2
)=a
4
-b
4
=(a
2
+b
2
)(a
2
-b
2
).
∴a
2
=b2
或c
2
=a
2
+b
2
.
∴根据边的关系易得是等腰三角形或直角三角形.
生（正弦定理）得
sinAcosA=sinBcosB.∴sin2A=sin2B.∴2A=2B.∴A=B.
∴根据角的关系易得是等腰三角形.
师 根据该同学的做法，得到的只有一种情况，而第一位同学的做法有两种，请大家思考，
谁的正确呢？
生 第一位同学的正确．第二位同学遗漏了另一种情况，因为sin2A=sin2B,有可能推出2A 与

2B两个角互补，即2A+2B=180°，A+B=90°.
(2)（解略）直角三角形.
[知识拓展]
如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠BCD=75°，∠ACB=∠BDC=45°，DC =
3
，求：

(1)AB的长;
(2)四边形ABCD的面积.
略解：（1）因为∠BCD=75°,∠ACB=45°，
所以∠ACD=30°.
又因为∠BDC=45°，
所以∠DAC=180°-（75°+ 45°+ 30°）=30°.所以AD=DC =
3
.
在△BCD中，∠CBD=180°-（75°+ 45°）=60°，所以
BDDC3sin75?6?2
?,BD??
.
sin75?sin60? sin60?2
在△ABD中，AB
2
=AD
2
+ BD
2
-2×AD×BD×cos75°= 5,所以,得AB=
5
. (2)S
△ABD
=
3?3
3?23
1
×AD×BD× sin75°=.同理，S
△BCD
=
.
4
4
2
6?33
.
4
所以四边形ABCD的面积
S?
课堂练习
课本第21页练习第1、2题.
课堂小结
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然 后
化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状．特别是有些条件既可用正弦定理也可用
余 弦定理甚至可以两者混用．正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外，贵在活
用，体会公式变 形的技巧以及公式的常规变形方向，并进一步推出新的三角形面积公式．解
有关已知两边和其中一边对角 的问题，注重分情况讨论解的个数．同时解有关三角形的题目
还要注意讨论最终解是否符合规律，防止丢 解或增解，养成检验的习惯．
布置作业
课本第22页习题1.2第12、14、15题.
板书设计
解决有关三角形计算的问题
例1 例2 例3 变题1
补充练习: 变题2

备课资料
备用例题
A、B两点间有小山和小河,为了求 A、B两点间的距离,选择一点D,使AD可以直接测量且B、
D两点可以通视,再在AD上选一点C, 使B、C两点也可通视,测量下列数据:
AC =m,CD=n,∠ADB=α,∠ACB=β,求AB.
(1)计算方法

如图所示,在△BCD中,CD=n,∠CDB=α,
∴∠DBC=β-α.
由正 弦定理可得
BC?
CD?sin?BDCnsin
?
?
,
sin?DBCsin(
?
?
?
)
在△ABC中,再由余弦定理得
AB
2
=BC
2
+AC
2
-2BC·AC·COs ∠ACB.
其中BC可求, AC=m,∠ACB=β,故AB可求.
(2)实习报告
题目
测得数据 测量项目
AC长
CD长
α
β
计算
测量不可达到的两点A、B间距离
第一次




第二次




∠DBC=β-α
平均值










测量目标
BC?
CD?sin?BDCnsin
?
?

sin?DBCsin(
?
?
?
)
负责人

计算复核人

AB
2
=BC
2
+AC
2
-2BC·AC·cos∠ACB
参加人
计算人
指导教师
备注

1.3 实习作业
从容说课
本节适当安排了一些实习作 业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问
题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数 学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强
学生应用数学的意识和数学实践的能力．教师要注意对于学 生实习作业的指导，包括对于实
际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些 问题．

教学重点 数学模型的建立.
教学难点 解斜三角形知识在实际中的应用.
教具准备 测量工具（三角板、测角仪、米尺等）、实习报告
三维目标
一、知识与技能
1.解斜三角形应用;
2.测角仪原理;
3.数学建模.
二、过程与方法
1.进一步熟悉解斜三角形知识;
2.巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力;
3.加强动手操作的能力;
4.进一步提高数学语言表达实习过程和实习结果的能力;
5.增强数学应用意识.
三、情感态度与价值观
1.认识数学在生产实际中的作用;
2.提高学习数学兴趣,树立建设祖国的远大理想.
导入新课
师 前面几节课，我 们一起学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角形的能力,
并且了解到解斜三角形知识在生 产、生活实际的各个方面的应用.
这一节,我们将一起动手应用解斜三角形的知识来研究实际问题.
推进新课
（1）提出问题：问题（一）：测量学校锅炉房的烟囱的高度.
问题（二）：如图(1)，怎样测量一水塘两侧A、B两点间的距离?
问题（三）：如图(2)，若要测量小河两岸A、B两点间的距离，应怎样测量？

(1)

(2)
（2）分析问题：
师 问题（一）中的学校锅炉房的烟囱的高度无法用皮尺直接量出，那应该怎么去解决？
生 根据实际情况，应该采取下列措施：
1.根据地形选取测量点;2.测量所需要数据;3.多次重复测 量,但改变测量点;4.填写实习报告;5.
总结改进方案.
实习报告（1）
年 月 日
题目 测量底部不能到达的烟囱AB的高度

测量目标

测得数据 测量项目
EF长(m)
ED长(m)
α
1

α
2

计算
第一次




第二次




∵α
3
=α
2
-α
1
，
平均值




AD?
ED?sin
?
1
，
sin
?
3
AC =AD·sinα
2
，
∴AB=AC +BC=AC+EF
减少误差措施
负责人及参加人
计算者及复核者
备注




指导教师审核意见
师 对于问题二、问题三中的A、B两点都不能直达，无法用皮尺直接量 出，如何间接量出？
应再取点C，借助△ABC来测量计算．
在△ABC中要计算AB的长，应采集哪些数据？如何采集？
生 问题二中，先选适当位置C ，用经纬仪器测出角α，再分别量出AC、BC的长B、A，则
可求出A、B两点间的距离．
生 问题三中，可在小河的一侧，如在点B所在的一侧，选择点C，为了算出AB的长，可
先测 出BC的长A，再用经纬仪分别测出α、β的值，那么，根据A、α、β的值，就可算出
AB的长．
生 数据运算：
问题二 计算方法如下：
在△ABC中，已知AC=B，BC=A ,C=α,则由余弦定理得
AB?a
2
?b
2
?2abcos
?

问题三 计算方法如下：
在△ABC中，由正弦定理可得
ABBCa asin
?
??
，所以
AB?
.
sin
?
sinAsin(
?
?
?
)sin(
?
?
?)
实习报告（2）
测量目标（附图）

题目
测得数据
测量一水塘两侧A、B两点间的距离
测量项目
AC的长（m）
BC的长（m）
α
第一次
42.3
34.8
109°2′
第二次
41.9
35.2
108°58′
平均值
42.1
35
109°
计算 A、B两点间距离 （精确到0.1m），
AC=42.1 m，

BC =35 m，
α=109°
∴
AB?AC,
2
?BC
2
?2AC?BCcos
?

=
42.1
2
?35
2
?2?42.1?35?cos109?.

算得AB≈62.9(m)

负责人及参加人
计算者及复核者
备注







指导教师审核意见
实习报告（3）是对一小河两岸两点实际测量的情况．
实习报告（3）
题目
测得数据
测量一小河两侧A、B两点间的距离
测量项目
a的长（m）
α
β
计算
第一次
48.3
42°54′
70°7′
第二次
47.9
43°6′
69°53′
平均值
48.1
43°
69°
测量目标（附图）



A、B两点间距离 （精确到0.1m）：
A=48.1 m，
α=43°，
β=69°
∴

AB?
asin
?
48.1?sin69?48.1?sin60?
??

sin(
?
?
?
)sin(43??69?)sin112?
算得AB≈48.4(m )




负责人及参加人
计算者及复核者
备注



指导教师审核意见
课堂小结
通 过本节实习,要求大家进一步熟悉解斜三角形知识在实际中的应用,在动手实践的过程
中提高利用数学知 识解决实际问题的能力,并认识数学在生产、生活实际中所发挥的作用,增
强学习数学的兴趣.
布置作业
完成实习报告
板书设计
实习作业
提出问题
分析问题
实习报告
课堂小结
布置作业

备课资料
一、数列通项公式的求法介绍 求通项公式是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此
求解过程中往 往显得方法多、灵活度大、技巧性强.现举数例.
1.观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而
根据规律写出此数列的一个通项.
【例1】 已知数列
115132961
, ,
?
, ,
?
, ,…,写出此数列的一个通项公式.
248163264
2
n
?3
解：观察数列前若干项可得通项公式为a
n
=(-1)
n
2
n
.
2.公式法
已知数列的前n项和求通项时，通常用公式a
n
=
?
?
S
1
,n?1,
,
?
S
n
?S
n?1
,n?2
S
n
-S
n-1
,n≥2. 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合
二为一”,即a1
和a
n
合为一个表达式.
【例2】 已知数列{a
n
}的前n和S
n
满足log
2
(S
n
+1)=n+1,求 此数列的通项公式.
解:由条件可得S
n
=2
n
+1
-1，
当n=1 时，a
1
=3,当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n- 1
=2
n
+1
-2
n
=2
n
.
所以a
n
=3,n=1,2
n
,n≥2.
3.累差迭加法
若数列{a
n
}满足a
n+1
=a
n
+f(n )的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭
加法求通项.
【例3】 已知数列6，9，14，21，30，…，求此数列的通项.
解：∵a
2
-a
1
=3,a
3
-a
2
=5,a
4
-a
3
=7,…，a
n
-a
n-1
=2n-1,
各式相加得a
n
-a
1
=3+5+7+…+(2n-1),
∴a
n
=n
2
+5(n∈N).
4.连乘法
若数列{a
n
}能写成a
n
=a
n-1
+(n)(n≥2)的形式，则可由a
n
=a
n-1
f(n),a
n-1
=a
n-2
f(n-1),a
n-2
=a
n-3
f(n-2) ,…,a
2
=a
1
f(2)连乘求得通项公式.
【例4】 已知数 列{a
n
}满足a
1
=1,S
n
=
解:∵2Sn
=(n+1)a
n
(n∈N)，
2S
n-1
=na
n-1
(n≥2,n∈N)，
两式相减得2a
n
=(n+1)a
n
-na
n-1
，∴
(n?1)a
n
(n∈N)，求{a
n
}的通项公式.
2
a
n
n
?
(n≥2,n∈N).
a
n?1
n?1
于是有
a
a
2
2
a
3
3
a
4
4
n
?
,
?
,
?
，…,
n
?
(n≥2,n∈N)，
a
n?1
n?1
a
1
1a
2
2a
3
3
以上各式相乘，得a
n
=na
1
=n(n≥2,n∈N ).又a
1
=1，∴a
n
=n(n∈N).

5.求解方程法
若数列{a
n
}满足方程f(a
n
)=0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式.
【例5】 已知函数f(x)=2
x
-2
-x
,数列{a
n
}满足f(log
2
a
n
)=-2n,求数列{a
n}的通项公式.
解:由条件f(log
2
a
n
)=2
log2
an
-2
-log2
an

=-2n,即
a
n
?
1
??2n
.
a< br>n
∴a
n
2
+2na
n
-1=0,又a
n< br>＞0，∴a
n
=
n
2
?1
-n.
6.迭代法
若数列{a
n
}满足a
n
=f(a
n -1
)，则可通过迭代的方法求得通项公式.
二、阅读材料
愚公的子子孙孙 《愚公移山》中愚公说过这样一段话：“即使我死了，还有儿子在；儿子又生孙子，孙
子再生儿子， 儿子又有儿子，儿子又有孙子，子子孙孙无穷无尽……”愚公的话，不但表达
了他移山的决心，而且提出 了一个有趣的无穷数列，即他的子孙后代繁殖的数列.
设愚公的儿子，即第一代的人数为a
1
；
愚公的孙子，即第二代子孙的人数为a
2
；
孙子的儿子，即第三代子孙的人数为a
3
；
一般地，第n代子孙的人数为a
n
.
这样，我们就得到一个由正整数组成的无穷数列a
1
，a
2
，a
3
，a
n
.（1)
这个数 列描述了愚公子孙生殖繁衍的“无穷无尽”的状态.这个数列的每一项显然都与它
前面的项有关，但这种 关系不是确定的关系，而具有随机性质.可惜我们没有任何资料来确
定(1)的具体数字.如果愚公的时 代人们也自觉地计划生育，例如，一对夫妇只生两个孩子(假
设愚公子孙们不能互相通婚)，那么数列( 1)就可成为递推数列：
a
n+1
=2a
n
.(2)
如果愚公有3个儿女，即a
1
=3，就得到下面这个数列：
3，6，12，24，48，96，（3)
这个数列(3)，就是一个满足a
n+1
=2a
n
的数列.

2.1 数列的概念与简单表示法
2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)
从容说课
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念 ，
再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共
同 通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能
理解数列及其有 关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公
式写出数列的任意一项；对于 比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.
教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
教具准备 课件
三维目标
一、知识与技能
1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际， 激发学生对科学的探究精
神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；
2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 课本图211中的正方形数分别是多少？
生 1，3，6，10，….
师 图212中正方形数呢？
生 1，4，9，16，25，….
师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….
生 一些分数排成的一列数：
24
6810
，，，，，….
315< br>356399

推进新课
［合作探究］
折纸问题
师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣
一定很浓).
生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来 的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次
折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①
随着对折数面积依次为
1111
1
, , , ,…, ,….
24816
256
生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困
难了.
师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加 理性化.请同学们观察上面我们列出的
这一列一列的数，看它们有何共同特点？
生 均是一列数.
生 还有一定次序.
师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.
［教师精讲］
1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.
注意： < br>（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，
那么它 们就是不同的数列；
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.

2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首
项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生 例如，上述例子均是数列，其中①中， “2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数
列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.
2)根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.
常数数列：各项相等的数列.
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
请同学们观察：课本P
33
的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？
生 这六组数列分别 是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，
(6)1. 递增数列，2.递减数列.
［知识拓展］
师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？
生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为a
n
=2
n
.
［合作探究］
同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，
项 2 4 8 16 32
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
你能从中得到什么启示？
生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N
*
(或它的有限子集{1，2，3，…， n})的函数
a
n
=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过 来，对于函数y=f(x)，如果
f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数 列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….
师 说的很好.如果数列{a
n}的第n项a
n
与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公
式就叫做这个 数列的通项公式.
［例题剖析］
1.根据下面数列{a
n
}的通项公式，写出前5项：
(1)a
n
=
n
;(2)a
n
=(-1)
n
·n.
n?1
师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5
项.
生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a
1
=
12345
;a< br>2
=;a
3
=;a
4
=;a
5
=.
23456
(2)n=1,2,3,4,5.a
1
=-1;a
2
= 2;a
3
=-3;a
4
=4;a
5
=-5.
师 好！就这样解.
2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)3，5，7，9，11，…；(2)
24
6810
，，，，，…； < br>315
356399
(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5， 7，7，9，9，…；

(5)2，-6，12，-20，30，-42，….
师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定
的思考时间)
生老师，我写好了！
1?(?1)
n
2n
解：(1)a
n
＝2n＋1；(2)a
n
＝；(3)a
n
＝；
(2n?1 )(2n?1)
2
(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7 ＋0，8＋1，…，
1?(?1)
n
∴a
n
＝n＋；
2
(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，
∴a
n
＝(-1)
n
+1
n(n＋1).
师 完 全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规
律性的东西，然 后再通过归纳写出这个数列的通项公式.
［合作探究］
师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：

定义域
解析式
图象
函数
R或R的子集
y=f(x)
点的集合
数列(特殊的函数)
N
*
或它的有限子集{1，2，…，n}
a
n
=f(n)
一些离散的点的集合
师 对于函数，我们可以根 据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公
式来画出其对应图象，下面同学们练习画 数列:
4，5，6，7，8，9，10…;② 1,
111
, , ,…③的图象.
234
生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为

师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.
111
, , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
234
1
生 与我们学过的反比例函数
y?
的图象有关.
x
师 数列1,
师 这两数列的图象有什么特点？
生 其特点为：它们都是一群孤立的点.
生 它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.
本课时的整个教学 过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，
体现新课程的理念.

课堂小结
对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意 一项，并会根据数
列的前n项求一些简单数列的通项公式.
布置作业
课本第38页习题2.1 A组第1题.
板书设计
数列的概念与简单表示法(一)
定义
1.数列 例1
2.项
3.一般形式 例2 函数定义
4.通项公式
5.有穷数列
6.无穷数列
备课资料
一、备用例题
1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
2
2
?13
2
?14
2
?15
2
?1;,;
(1)1，3，5，7；(2);
2345
(3)
?
1111
,
?
,
?
,
?
.
1?22?33?44?5
分析：
(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓ ↓ ↓ ↓
序号： 1 2 3 4
所以我们得到了a
n
=2n-1；
(2)序号： 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 2
2
-1=(1+1)
2
-1 3
2
-1=(2+1)
2
-1 4
2
-1=(3+1)
2
-1 5
2
-1=(4+1)
2
-1
(n?1)
2
(n?2)?n
所以我们得到了a
n
=或；
n?1
n?1
(3)序号: 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
?
1111

?

?

?

3?44?5
1?22?3
↓ ↓ ↓ ↓
?
1
111

?

?

?

1?(1?1 )
2?(2?1)4?(4?1)
3?(3?1)

所以我们得到了a< br>n
=-
1
.
n?(n?1)
2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数：
1?(?1)
n?1
(1)1,0,1,0; 〔a
n
=,n∈N
*
〕
2
(2)-
n?1
2
3
56
4
, ,
?
,,
?
; 〔a
n
=(-1)
n
·〕
2
(n?1)?1
3< br>8
15
2435
(3)7,77,777,7 777; 〔a
n
=
(4)-1,7,-13,19,-25,31;
7
×(10
n
-1)〕
9
〔a
n
=(-1)
n
(6n-5)〕
2
n
?1359
17
(5), , ,. 〔a
n
=〕
2
n?1
2416
256
2
点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出
这数列的通项 公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根
据需要把分子和分母同时扩 大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分
子和分母之间的关系.
3.已 知数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n
2
-n，那么( )
A.30是数列{a
n
}的一项 B.44是数列{a
n
}的一项
C.66是数列{a
n
}的一项 D.90是数列{a
n
}的一项
分析：注意到30，44，66，90均比较小，可 以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出
现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的 数比较大，还可以用解方程求正
整数解的方法加以解决.
答案：C
点评：看一个数 A是不是数列{a
n
}中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n，
使得 a
n
=A.
4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为
1
c m就是每200张叠起来刚好为1 cm，
200
现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记 为a
1
；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为
a
2
，又裁一为二，叠 起来，它的厚度记为a
3
，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排
列，就得到一 个数列：a
1
,a
2
,a
3
,…,a
k
, ….
你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a
50
，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少
厘米吗？是否有10层楼高呢？
2
n
答案：这个数列的通项公式为a
n
=，
200
裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm＞56 294 995 km，大于地球到月
球距离的146倍.
二、阅读材料
无法实现的奖赏
相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度 的舍罕王

学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔.
达依 尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就
可以了：在我的棋盘上 (它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四
格赏8粒……依此类推每后一格的 麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，
但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现 的奖赏.
请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？
2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)
从容说课
这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进 一步了解数列的递推公式，明确递推
公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 通过经历数列知识的感
受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问 题以及解
决问题的能力.
教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.
教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.
教具准备 多媒体
三维目标
一、知识与技能
1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.
二、过程与方法
1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;
2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学 能谈一
谈什么叫数列的通项公式？
生 如果数列{a
n
}的第n项与序号之 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做
这个数列的通项公式.
师 你能举例说明吗？
生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为a
n
=n-1(n∈N
*
);
1,1,1的通项公式为a
n
=1(n∈N
*
,1≤n≤3);
1,
1111
, , ,…的通项公式为a
n
= (n∈N
*
).
234n
［合作探究］
数列的表示方法
师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？
生 图象 法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n为横坐标，相应
的项a
n< br>为纵坐标，即以(n,a
n
)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1,
111
,,
,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因 为横坐标
234
为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象 中可以直观

地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
师 说得很好，还有其他的方法吗？
生 ……
师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法
知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来 解决一些实际问题.下面同学们来看右下
图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规 律，看看能否建立它的一些数学
模型.
生 模型一：自上而下

第1层钢管数为4,即14＝1+3;
第2层钢管数为5,即25＝2+3;
第3层钢管数为6,即36＝3+3;
第4层钢管数为7,即47＝4+3;
第5层钢管数为8,即58＝5+3;
第6层钢管数为9,即69＝6+3;
第7层钢管数为10,即710＝7+3.
若用a
n
表示钢管数，n表示层 数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且a
n
=n+3(1≤n≤7).
师 同 学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运
用这一关系，会很快 捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同
学们继续看此图片，是否还有其 他规律可循？(启发学生寻找规律)
生 模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,
即a
1
=4；a
2
=5=4+1=a
1
+1；a
3
=6=5+1=a
2+1.
依此类推：a
n
=a
n-1
+1(2≤n≤7).
师
对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?
生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.
师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.
推进新课
1.递推公式定义：
如果已知数列{a
n
}的第1项(或前几项)，且任一 项a
n
与它的前一项a
n-1
(或前n项)间的关系可
以用一个公式 来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
注意：递推公式也是给出数列的一种方法.
如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.
递推公式为：a
1
=3,a
2
=5,a
n
=a
n-1
+a
n-2
(3≤n≤8).
2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法 有联系，函数的表示法有：列表法、
图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即 列表法、图象法、解析
式法.
［例题剖析］
?
a
1
?1
?
【例1】 设数列{a
n
} 满足
?
1
,n＞1
.写出这个数列的前五项.
a?1?
?
n
a
n?1
?

师 分析 ：题中已给出{a
n
}的第1项即a
1
=1，题目要求写出这个数列的前五项 ，因而只要再
求出二到五项即可.这个递推公式：a
n
=1+
1
我们 将如何应用呢?
a
n?1
生 这要将n的值2和a
1
=1代入这个 递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可
以了.
师 请大家计算一下!
生 解：据题意可知：a
1
=1,a
2
=1+
111
258
=2,a
3
=1+ =,a
4
=1+ =,a
5
=
a
1
a
2
a
3
335

师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中
的前 项与后项，或前后几项之间的关系.
【例2】 已知a
1
=2，a
n+1< br>=2a
n
，写出前5项，并猜想a
n
.
师 由例1的经验我们先求前5项.
生 前5项分别为2，4，8，16，32.
师 对，下面来猜想第n项.
生 由a
1
=2，a
2
=2×2=22
，a
3
=2×2
2
=2
3
观察可得，我猜想 a
n
=2
n
.
师 很好!
生 老师，本题若改为求a
n
是否还可这样去解呢?
师 不能.必须有求解的过程.
生 老师，我由a
n+1
=2a
n
变形可得a
n
=2a
n-1
，即
a
n
?2
，依次向下写，一直到第一项，然
a
n?1
a
n
a
n?1
a
n?2
a
2
???…×
1
?2
n?1
，所以a
n
=a
1
·后将它们乘起来，就有2
n
-1
=2
n
.
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
师 太妙了 ，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式
求数列通项的问题中是 比较常用的方法，对应的还有迭加法.
［知识拓展］
已知a
1
=2，a< br>n+1
=a
n
-4,求a
n
.
师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢?
生1 写出：a
1
=2，a
2
=-2，a
3
=-6，a
4
=-1 0，…
观察可得：a
n
=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).
生2 他这种解法不行，因为不是猜出a
n
，而是要求出a
n
. < br>我这样解：由a
n+1
-a
n
=-4依次向下写，一直到第一项，然后 将它们加起来,
a
n
-a
n-1
=-4
a
n-1
-a
n-2
=-4
a
n-2
-a
n-3
=-4
……
?) a
2
?a
1
??4

a
n
?a
1
??4(n?1)
∴a
n
=2-4(n-1).
师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.

［教师精讲］
(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始
值，那么这 个数列是不能确定的.
例如，由数列{a
n
}中的递推公式a
n+1
=2a
n
+1无法写出数列{a
n
}中的任何一项，若又知a
1< br>=1，
则可以依次地写出a
2
=3,a
3
=7,a
4
=15,….
(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式， 也可能求不出
通项公式.
［学生活动］
根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)
(1)a
1
＝0，a
n+1
＝a
n
＋(2n-1)(n∈N)；
(2)a
1
＝1，a
n+1
＝
a
n
(n∈N)；
a
n
?2
(3)a
1
＝3，a
n+ 1
＝3a
n
-2(n∈N).
(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)
解：(1)a
1
＝0，a
2
＝1，a
3
＝4，a
4
＝9，a
5
＝1 6，∴a
n
＝(n-1)
2
.
(2)a
1
＝1， a
2
＝
2122122
，a
3
＝=，a
4
＝，a
5
＝ =，∴a
n
＝.
324536n?1
(3) a
1
＝3＝1+2×3
0
，a
2
＝7＝1+2×3
1
，a
3
＝19＝1+2×3
2
，
a
4
＝55＝1+2×3
3
，a
5
＝163＝1+2×3
4
，∴ a
n
＝1＋2·3

n
-1
.
注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.
［合作探究］
一只猴子爬一个8级的梯 子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最
上一级，你知道这只猴子一共可以有多 少种不同的爬跃方式吗？
析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃 二级等情况要
分类考虑周到.
爬一级梯子的方法只有一种.
爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.
若设爬一个n级梯子的不同爬法有a
n
种,
则a
n
=a< br>n-1
+a
n-2
+a
n-3
(n≥4),
则得到 a
1
=1,a
2
=2,a
3
=4及a
n
= a
n-1
+a
n-2
+a
n-3
(n≥4)，就可以求得 a
8
=81.
课堂小结
师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法 ，即递推公式及其用法，要注意理解它与
通项公式的区别，谁能说说？
生 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的
关系.
生 对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要
已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.
(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的 过程与方法，进行回顾与反思，从而
达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)
布置作业
课本第38页习题2.1A组第4、6题.
预习内容：课本P
41
～P
44
.
板书设计

一、定义
7.递推公式：
数列的概念与简单表示法(二)
二、例题讲解 小结：
例1 通项公式与
例2 递推公式区别

备课资料
一、备用习题
1.已知{a
n
}是等差数列，a
5
=10，d=3，求a
10.

解法一：设数 列的首项为a
1
，由a
5
=a
1
+4d得a
1=-2，故而a
10
=a
1
+9d=25.
解法二：a
10
=a
5
+5d =25.
2.已知{a
n
}是等差数列，a
5
=10，a
12
=31，求a
20
，a
n
.
解法一：设{a
n
}的首项为a
1
，公差为d，则
?< br>a
1
?4d?10
?
a
1
??2

?
??
a?11d?31
d?3
?
?
1
因为a20
=a
1
+19d=55，所以a
n
=a
1
+(n-1)d=3n-5.
解法二：因为a
12
=a
5
+7d,所以d=3.所以得a
20
=a12
+8d=55,a
n
=a
12
+(n-12)d=3n-5.
注：根据以上两个例题 的解法二启发学生得出等差数列的变形公式：a
n
=a
m
+(n-m)d.
3.等差数列2，5，8，…，107共有多少项？
解：由107=2+(n-1)×3得n=36.
引申：设等差数列{a
n
}的首项为a
1
，末项为a
n
，公差为d，则其项数
n?
a
n
?a
1
?1
,
d
这是等差数列通项公式的又一变形公式.
4.在-1与7之间顺次插入三个数a、b、c使这五个数成等差数列，试求出这个数列.
解法一：因为-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是数-1与数7的等差中项.
?1? 7?1?3
?3
.a又是-1与3的等差中项，所以
a??1
.
22
3?7
又因为c是3与7的等差中项，
c??5
.
2
解法二：设a
1
=-1,a
5
=7,所以7=-1+(5-1)d
?
d=2.
所以
b?
则所求的数列为-1，1，3，5，7. < br>5.在一次大型庆祝“申奥”成功的活动中，广场上正对着观礼台的场地上由近及远地竖立着
“2 008相聚北京”八块标语牌.每块牌子的高为2 m，距离观礼台最近的标语牌与观礼台的距
离为20 m.若一个人从观礼台上距离地面8 m的高处能完整地看清这八块标语牌.问：最后一
块“京”字标语 牌与观礼台的距离至少要多少米？(结果精确到1米)
答案：最后一块“京”字标语牌与观礼台的距离至少要149米.
二、阅读材料
等差数列的子数列问题
从等差数列a
1
,a
2
,a
3
,…，a
n
,…中，选出一些项按原来的次序组成一个新的数列{b
n< br>}，则
称数列{b
n
}是数列{a
n
}的子数列.例如，数列 2，4，6，8，…，2n，…是数列1，2，3，…，
n，…的一个子数列.
子数列的概念 虽然教材中没有讲，但我们仍可以遇到很多等差数列的子数列问题，在解
此类问题时，需注意两点： < /p>

其一，这些项是按什么“标准”选取出来的，不同的标准，选出来的子数列具有不同的性< br>质，因此要弄清这种“标准”的数学含义，并把它用数学式子表示出来.
其二，无论按何标准选 取出来的子数列的项，都是原数列的一项，在这意义之下，我们
可以得出下面的结论：
若原数 列{a
n
}的通项公式为a
n
=f(n)，子数列{b
m
} 的通项公式为b
m
=g(m)，则必存在
n,m∈N
*
使得f(n) =g(m)成立.
【例1】 已知一个无穷等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d，取出这数列中所有项数为7的
倍数的各项，组成一个新的数列，这个数列是否是等 差数列？如果是，它的首项与公差各是
多少？如果不是，请说明理由.
分析：新数列{bn
}是由原数列{a
n
}中的项数为7的倍数的各项组成的，因此，有b
n
=a
7n
，再
由等差数列的定义判定差b
n+1
-bn
是否为与n无关的常数.
解：设新数列为{b
n
}，依题意可知b< br>n
=a
7n
=a
1
+(7n-1)d=7dn+a
1
-d.
所以b
n+1
-b
n
=7d(n+1)+a
1
-d-7dn-a
1
+d=7d为常数.
所以新数列是等差数列，其公差为7d，首项为a
1
+6d.
点评:本题的 关键在于抓住选项的“标准”，即“项数为7的倍数”，于是得到了b
n
=a
7n，进而得
出新的数列{b
n
}的通项公式.
【例2】 等差数列1 002，1 005，1 008，…，1 998中能被4整除的项共有多少项?并写出
这些项按原来的次序组成的新数列的通项公式.
分析：原数列的通项公式为a
n
=1 002+3(n-1)，设数列中各数均为3的倍数，故数列中能被4
整除的项必为12的倍数.
解：设原等差数列为{a
n
}，则a
n
=1 002+3(n-1)=3n+999，此数列中各项均为3的倍数.
又依题意新数列是由原数列中能被4整除的各项组成的，所以新数列中的各项为12的倍数.
设12k是新数列中的项，则1 002≤12k≤1 998，解得83.5≤k≤166.5，故k 取84，85，86，…，
166，即原数列中能被4整除的项共有83项.
这些项组成的新数列的通项公式为
b
n
=12n+996(n∈N
*
,1≤n≤83).
点 评:本例还可以运用等差数列的性质，先判断出新数列是以12为公差的等差数列，再找出
其首项为1 008，即可写出它的通项公式.

2.2 等差数列
2.2.1 等差数列的概念、等差数列的通项公式
从容说课
本节课先在具体例子的基础上引出等差数列 的概念，接着用不完全归纳法归纳出等差数
列的通项公式，最后根据这个公式去进行有关计算.可见本课 内容的安排旨在培养学生的观
察分析、归纳猜想、应用能力.结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法 ，即学生主动观
察——分析概括——师生互动，形成概念——启发引导，演绎结论——拓展开放，巩固提 高.
在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究.
在教学过程中， 遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识
的形成和发展过程，激发他们的学 习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体
地位.创设问题情境，引起学生学习兴趣，激发 他们的求知欲，培养学生由特殊到一般的认
知能力.使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开 生活的.学会在生活中挖掘数学
问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化.
教学重点 理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单
的问题.

教学难点 (1)等差数列的性质，等差数列“等差”特点的理解、把握和应用;
(2)概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法，以及从函数、方程的观点看通项公式.
教具准备 多媒体课件，投影仪
三维目标
一、知识与技能
1.了解公差 的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是
等差数列;
2.正 确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、
项数、指定的项.
二、过程与方法
1.通过对等差数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力；
2.通过等差数列变形公式的教学培养学生思维的深刻性和灵活性.
三、情感态度与价值观
通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新
知的创新 意识.
教学过程
导入新课
师 上两节课我们学习了数列的定义以及给出数列和表 示数列的几种方法——列举法、通项
公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点. 下面我们看这样一些数列
的例子：(课本P
41
页的4个例子)
(1)0，5，10，15，20，25，…;
(2)48，53，58，63，…;
(3)18，15.5，13，10.5，8，5.5…;
(4)10 072，10 144，10 216，10 288，10 366，….
请你们来写出上述四个数列的第7项.
生 第一个数列的第7项为30，第二个数列的第7项为78，第三个数列的第7项为3，第四
个数列的第7项为10 510.
师 我来问一下，你依据什么写出了这四个数列的第7项呢?以第二个数列为例来说一说.
生 这是由第二个数列的后一项总比前一项多5，依据这个规律性我得到了这个数列的第7
项为78.
师 说得很有道理!我再请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？我说的
是共同特征.
生1 每相邻两项的差相等，都等于同一个常数.
师 作差是否有顺序，谁与谁相减？
生1 作差的顺序是后项减前项，不能颠倒.
师 以上四个数列的共同特征：从第二项起，每 一项与它前面一项的差等于同一个常数(即等
差)；我们给具有这种特征的数列起一个名字叫——等差数 列.
这就是我们这节课要研究的内容.
推进新课
等差数列的定义：一般地，如果 一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常
数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫 做等差数列的公差(常用字母“d”表示).
（1）公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；
（2）对于数列{a
n
}，若a
n
-a
n-1
= d(与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N
*
，则此数列是等差数
列，d叫做公差.

师 定义中的关键字是什么?(学生在学习中经常遇到一些概念，能否抓住定义中的关键 字，
是能否正确地、深入的理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他学科的重要一环.
因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力)
生 从“第二项起”和“同一个常数”.
师 很好！
师 请同学们思考：数列(1)、(2)、(3)、(4)的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？
生 数列(1)通项公式为5n-5，数列(2)通项公式为5n+43，数列(3)通项公式为2.5 n-15.5，….
师 好，这位同学用上节课学到的知识求出了这几个数列的通项公式，实质上这 几个通项公
式有共同的特点，无论是在求解方法上，还是在所求的结果方面都存在许多共性，下面我们< br>来共同思考.
［合作探究］
等差数列的通项公式
师 等差数列定义是由一 数列相邻两项之间关系而得到的，若一个等差数列{a
n
}的首项是a
1
，< br>公差是d，则据其定义可得什么?
生 a
2
-a
1
=d,即a
2
=a
1
+d.
师 对，继续说下去!
生 a
3
-a
2
=d,即a
3
=a
2
+d=a
1
+2d;
a
4
- a
3
=d,即a
4
=a
3
+d=a
1
+3 d;
……
师 好！规律性的东西让你找出来了，你能由此归纳出等差数列的通项公式吗?
生 由上述各式可以归纳出等差数列的通项公式是a
n
=a
1
+(n-1)d.
师 很好!这样说来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a
1
和公差d，便可 求得其通
项a
n
了.需要说明的是：此公式只是等差数列通项公式的猜想，你能证明它 吗?
生 前面已学过一种方法叫迭加法，我认为可以用.证明过程是这样的：
因为a
2
-a
1
=d,a
3
-a
2
=d,a
4
-a
3
=d,…,a
n
-a
n-1
=d.将它们相 加便可以得到：a
n
=a
1
+(n-1)d.
师 太好了!真是活学活用啊!这样一来我们通过证明就可以放心使用这个通项公式了.
［教师精讲］
由上述关系还可得：a
m
=a
1
+(m-1)d,
即a
1
=a
m
-(m-1)d.
则a
n
=a
1
+(n-1)d=a
m
-(m-1)d+(n-1)d=a
m
+(n-m)d,
即等差数列的第二通项公式a
n
=a
m
+(n-m)d.(这是变通的通项公式)
由此我们还可以得到
d?
a
m
?a
n
.
m?n
［例题剖析］
【例1】 （1）求等差数列8，5，2,…的第20项;
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？
分析（1）
师 这个等差数列的首项和公差分别是什么?你能求出它的第20项吗?
生1 这题太简单了 !首项和公差分别是a
1
=8,d=5-8=2-5=-3.又因为n=20，所以由等差数列 的
通项公式，得a
20
=8+(20-1)×(-3)=-49.
师 好!下面我们来看看第（2）小题怎么做.
分析（2）
生2由a
1
=-5 ,d=-9-(-5)=-4得数列通项公式为a
n
=-5-4(n-1).
由题意 可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立,解之,得n=100，即-4 01

是这个数列的第100项.
师 刚才两个同学将问题解决得很好，我们做 本例的目的是为了熟悉公式，实质上通项公式
就是a
n
,a
1
,d, n组成的方程(独立的量有三个).
说明:(1)强调当数列｛a
n
｝的项数n已知 时，下标应是确切的数字；(2)实际上是求一个方程
的正整数解的问题.这类问题学生以前见得较少， 可向学生着重点出本问题的实质：要判断
-401是不是数列的项，关键是求出数列的通项公式a
n
，判断是否存在正整数n，使得a
n
=-401
成立.
【例2】 已知数列{a
n
}的通项公式a
n
=pn+q，其中p、 q是常数，那么这个数列是否一定是
等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
例题分析：
师 由等差数列的定义，要判定{a
n
}是不是等差数列，只要根据什么?
生 只要看差a
n
-a
n-1
(n≥2)是不是一个与n无关的常数.
师 说得对，请你来求解.
生 当n≥2时，〔取数列{a
n
}中的任意相 邻两项a
n-1
与a
n
(n≥2)〕
a
n
-a< br>n-1
=(pn+1)-［p(n-1)+q］=pn+q-(pn-p+q)=p为常数,
所以我们说{a
n
}是等差数列，首项a
1
=p+q，公差为p.
师 这里要重点说明的是：
(1)若p=0，则{a
n
}是公差为0的等差数列，即为常数列q，q，q，….
(2)若p≠0，则a
n
是关于n的一次式，从图象上看，表示数列的各点(n，a< br>n
)均在一次函数y=px+q
的图象上，一次项的系数是公差p，直线在y轴上的截距 为q.
(3)数列{a
n
}为等差数列的充要条件是其通项a
n
= pn+q(p、q是常数)，称其为第3通项公式.
课堂练习
(1)求等差数列3，7，11，…的第4项与第10项.
分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.
解：根据题意可知a
1
=3，d=7-3=4.∴该数列的通项公式为a
n
= 3+(n-1)×4，即a
n
=4n-1(n≥1，
n∈N
*
).∴ a
4
=4×4-1=15，a
10
=4×10-1=39.
评述：关键是求出通项公式.
(2)求等差数列10，8，6，…的第20项.
解：根据题意可知a
1
=10，d=8-10=-2.
所以该数列的通项公 式为a
n
=10+(n-1)×(-2)，即a
n
=-2n+12，所以a< br>20
=-2×20+12=-28.
评述：要求学生注意解题步骤的规范性与准确性.
(3)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由. < br>分析：要想判断一个数是否为某一个数列的其中一项，其关键是要看是否存在一个正整数n
值，使 得a
n
等于这个数.
解：根据题意可得a
1
=2，d=9-2=7 .因而此数列通项公式为a
n
=2+(n-1)×7=7n-5.
令7n-5=100，解得n=15.所以100是这个数列的第15项.
(4)-20是不是等差数列0，
?3
由.
1
，-7，…的项？ 如果是，是第几项？如果不是，请说明理
2
177
.
222
774 777
令
?n???20
，解得
n?
.因为
?n???20
没有正整数解，所以-20不是这个数
22722
解：由题意可知a
1
=0，
d?3
,因而此数列的通项公式为
a
n
??n?
列 的项.

课堂小结
师（1）本节课你们学了什么？（2）要注意什么？（3） 在生活中能否运用？(让学生反思、
归纳、总结,这样来培养学生的概括能力、表达能力)
生 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义及数学表达式a
n
-a
n- 1
=d(n≥2);其
次要会推导等差数列的通项公式a
n
=a
1< br>+(n-1)d(n≥1).
师 本课时的重点是通项公式的灵活应用，知道a
n，a
1
，d，n中任意三个，应用方程的思想，
可以求出另外一个.最后，还要注 意一重要关系式a
n
=a
m
+(n-m)d和a
n
=pn+ q(p、q是常数)的
理解与应用.
布置作业
课本第45页习题2.2 A组第1题，B组第1题.
板书设计
等差数列的概念、等差数列的通项公式
1.定义
2.数学表达式 例1.(略)
3.等差数列的通项公式 例2.(略) 练习

备课资料
一、备用例题
【例1】 梯子最高一级宽33 cm，最低一级宽为110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等
差数列，计算中间各级的宽度.
解：设{a
n
}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知
a
1
=33，a
12
=110，n=12，所以a
12
=a
1
+(12-1)d，即得110=33+11d，解之，得d=7.
因此a
2
=33+7=40,a
3
=40+7=47,a
4
=54,a
5
=61,a
6
=68,a
7
=75,a
8
=82,a
9
=89,a
10
=96,a
11
=103.
答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40 cm，47cm，54 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82
cm，89 cm，96 cm，103 cm.
111
b?cc?a
a?b
，，也成等差数列.
,,
成等 差数列，求证：
abcc
ab
111211
证明：因为，，成等差数列，所以
??
，化简得2ac=b(a+c)，所以有
abcbac
【例2】 已知
b?ca?bbc?c
2
?a
2
?abb(a?c)?a
2
?c
2
2ac?a
2
?c
2
????
< br>acacacac
(a?c)
2
(a?c)
2
a?c
??2?
=.
b(a?c)
acb
2
因而
b?cc?a< br>a?b
也成等差数列.
,,
c
ab
【例3】 设数列{a< br>n
}、{b
n
}都是等差数列，且a
1
=35，b
1
=75，a
2
+b
2
=100，
求数列{a
n
+b
n
}的第37项的值.
分析：由数列{ a
n
}、{b
n
}都是等差数列，可得{a
n
+b
n
}是等差数列，故可求出数列{a
n
+b
n
}的公
差和通 项.
解：设数列{a
n
}、{b
n
}的公差分别为d
1< br>，d
2
，则(a
n+1
+b
n+1
)-(a
n
+b
n
)=(a
n+1
-a
n
)+(bn+1
-b
n
)=d
1
+d
2
为常数，所以可 得{a
n
+b
n
}是等差数列.设其公差为d，则公差

d=(a
2
+b
2
)-(a
1
+b
1
) =100-(35+75)=-10.因而a
37
+b
37
=110-10× (37-1)=-250.
所以数列{a
n
+b
n
}的第37项的值为-250.
点 拨:若一个数列未告诉我们是等差数列时，应先由定义法判定它是等差数列后，方可使用
通项公式an
=a
1
+(n-1)d.但对客观试题则可以直接运用某些重要结论，直接判定 数列是否为等
差数列.
【例4】 在美国广为流传的一道数学题目是“老板给你两个加工资的方案：一是每年年末加
1 000美元；二是 每半年结束时加300美元，请你选择一种加薪方式”.一般不擅长数学的人，
很容易选择前者，因为一 年加一千美元总比两个半年共加600美元要多.其实，由于加工资
是累计的时间稍长，往往会发现第二 种方案更有利.例如：在第二年的年末，依第一种方案
共可以加得1 000+2 000=3 000美元；而第二种方案共可以加得300+600+900+1 200=3 000
美元，但到了第三年，第一方案共可加得6 000美元，第二方案则共加得6 300美元，显 然
多于第一种方案.第四年后会更多.因此，你若会在该公司干三年以上，则应选择第二方案.
根据以上材料，解答下列问题：
(1)如果在该公司干十年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加薪多少美元？
(2)如 果第二方案中的每半年加300美元改为每半年加a美元.问a取何值时，总是选择第二
种方案比选择第 一种方案多加薪？
答案：(1)在该公司干10年，选择第二种方案比选项择第一种方案多加薪8 000美元.
(2)当a大于
1000
时，总是第二方案加薪多于第一种方案.
3
【例5】 意大利的匹萨饼店的伙计们喜欢将饼切成形状各异的一块一块.他们发现，每一种
确定的刀数，都可以有一个最多的块数.例如，切一刀最多切成2块，切2刀最多切成4块，
切 3刀最多切成7块……问切n刀，最多可切出几块?
(要求学生发挥自己的聪明才智，课外认真思考， 分清每一种确定的刀数，都可以有一个最
多的块数，可先从少量的几刀去得出一些数据，再对数据加以分 析，让学生学会归纳与总结，
并能勇于联想、探索)
答案：
1
2
1
n?n?1
.
22

二、阅读材料
一个古老的数学课题
等差数列是一个古老的数学课题.一个数列从第 二项起，后项减去前项所得的差是一个
相等的常数，则称此数列为等差数列.
在数学发展的早 期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列.例如早在公元前
2700年以前埃及数学的《莱因 特纸草书》中，就记载着相关的问题.在巴比伦晚期的《泥板
文书》中，也有按级递减分物的等差数列问 题.其中有一个问题大意是：
10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目.现知第八兄 弟分得6两，问相
邻两兄弟相差多少？
在我国公元五世纪写成的《张丘建算经》中，透过五个 具体例子，分别给出了求公差、
总和、项数的一般步骤.比如书中第23题(用现代语叙述)：
（1）有一女子不善织布，逐日所织布按数递减，已知第一日织5尺，最后一日织1尺，共
织了30日 ，问共织布多少？
这是一个已知首项(a
1
)、末项(a
n
)，以及项数(n)求总数(S
n
)的 问题，对此，原书提出的
解法是：总数等于首项加末项除2，乘以项数.它相当于现今代数里的求和公式 ：S
n
=(a
1
+a
n
)·
n
.印度 数学家婆罗摩笈多在公元7世纪也得出了这个公式，并给出了求末项公式：
2

a
n
=a
1
+(n-1)d.
（2）有一女子善于织布，逐日所织布 按同数递增，已知第一日织5尺，经一月共织39丈，
问每日比前一日增织多少？
这是一个已 知首项(a
1
)，总数(S
n
)以及项数(n)，求公差(d)的问题，对此 原书给出的解法是.
2S
n
?2a
1
n

d?< br>n?1
等价于现在的求和公式：
S
n
?n
2a
1?(n?1)d
.
2
书中第1题：今有某人拿钱赠人，第一人给3元，第二人给 4元，第三人给5元，其余依次
递增分给.给完后把这些人所得的钱全部收回，再平均分配，结果每人得 100元，问人数多
少？
这是一个已知首项(a
1
)，公差(d)以及n 项的平均数(m)，求项数(n)的问题，对此原书给出的
解法是
n?
2(m?a1
)?d
.
d
我国自张邱建之后，对等差数列的计算日趋重视，特别是 在天文学和堆栈求积等问题的推动
下，从对一般的等差数列的研究发展成为对高阶等差数列的研究.在北 宋沈括(1031～1095)
的《梦溪笔谈》中，“垛积术”就是第一个关于高级等差数列的求积法.
垛积术即“有限差分法”，我国古代用于天文历算和计算垛积.
垛积术也就是高阶等差级数求 和.我国古代，对于一般等差数列和等比数列，很早就有了初
步的研究成果.
《九章算术》中 已经提出求等差数列各项以及已知首项、末项和项数求公差的问题，并用比
例方法来解决.
公元5世纪末的《张邱建算经》给出了等差数列求和公式：
S=
112S
n(a+1)与求公差的公式：
d?(?2a)
.
2n?1n
南宋数学家杨辉，丰富和发展了沈括的成果，提出了诸如
n
(n+1)(2n+1),
6
n(n?1)1
S=1+3+6+10+…+
= n(n+1)(n+2)
26
S=1
2
+2
2
+3< br>2
+…+n
2
=
之类的垛积公式.

北宋科学家沈括的长方台形垛积(如图)的求和公式：
nn
S?[2b?d)a?(2d?bc]?(c?a)
.
66
元 朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中得到一系列重要的高阶等差数列求和公
式.朱世杰的垛 积根差术，全面地推进了宋元数学家在这方面的研究工作.

2.2.2 等差数列通项公式
从容说课

本节课的主要内容是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等 差数列的通项公式
及其推导的公式，并能通过通项公式与图象认识等差数列的性质；让学生明白一个数列 的通
项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是一个等差数列，使学生学会用图
象与通项公式的关系解决某些问题.
在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会 探究.在教学过程中，
遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发 展过程，
激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位，通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析资料的能力，积极思维，追求新知的创新意识.
通过对等 差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与
一般的辩证唯物主义观点， 通过等差数列的图象的应用，通过等差数列通项公式的运用，渗
透方程思想，进一步渗透数形结合思想、 函数思想.通过引导学生积极探究，主动学习，提
高学生学习积极性，也提高了课堂的教学效果.
教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用.
教学难点 等差数列的性质的应用、灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题.
教具准备 多媒体及课件
三维目标
一、知识与技能
1.明确等差中项的概念;
2.进一步熟练掌 握等差数列的通项公式及推导公式，能通过通项公式与图象认识等差数
列的性质;
3.能用图象与通项公式的关系解决某些问题.
二、过程与方法
1.通过等差数列 的图象的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通
项公式的运用，渗透方程思想;
2.发挥学生的主体作用，讲练相结合，作好探究性学习;
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过对等 差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊
与一般的辩证唯物主义观点;
2.通过体验等差数列的性质的奥秘，激发学生的学习兴趣.
教学过程
导入新课
师 同学们，上一节课我们学习了等差数列的定义，等差数列的通项公式，哪位同学能回忆
一下 什么样的数列叫等差数列？
生 我回答，一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等 于同一个常数，
即a
n
-a
n-1
=d(n≥2，n∈N
*
)，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差(通
常用字母“d”表示) .
师 对，我再找同学说一说等差数列{a
n
}的通项公式的内容是什么？
生1 等差数列{a
n
}的通项公式应是a
n
=a
1
+(n-1)d.
生2 等差数列{a
n
}还有两种通项公式：a
n=a
m
+(n-m)d或a
n
=pn+q(p、q是常数).
师 好！刚才两位同学说得很好，由上面的两个公式我们还可以得到下面几种计算公差d的
公式 ：①d=a
n
-a
n-1
；②
d?
a
n
?a
1
a?a
m
；③
d?
n
.你能理解与记忆它们 吗？
n?1n?m

生3 公式②
d?
a
n
?a
1
a?a
m
与③
d?
n
记忆规律是项的值的 差比上项数之间的差(下标
n?1n?m
之差).
［合作探究］
探究内容 ：如果我们在数a与数b中间插入一个数A，使三个数a，A，b成等差数列，那么
数A应满足什么样的 条件呢？
师 本题在这里要求的是什么?
生 当然是要用a，b来表示数A.
师 对，但你能根据什么知识求?如何求?谁能回答?
生 由定义可得A -a=b-A，即
A?
反之，若
A?
a?b
.
2
a?b
，则A-a=b-A,
2
a?b
由此可以得A??
a,A,b成等差数列.
2

推进新课
我们来给出等差中项的概念：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项.
根据 我们前面的探究不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项
除外)都是它的前 一项与后一项的等差中项.
如数列：1，3，5，7，9，11，13…中5是3与7的等差中项，也是1和9的等差中项.
9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项.
［方法引导］
等差中项及其 应用问题的解法关键在于抓住a，A，b成等差数列2A=a+b，以促成将等差
数列转化为目标量间的 等量关系或直接由a，A，b间的关系证得a，A，b成等差数列.
［合作探究］
师 在等 差数列{a
n
}中，d为公差，若m,n,p,q∈N
*
且m+n=p+q， 那么这些项与项之间有何种
等量关系呢？
生 我得到了一种关系a
m
+a< br>n
=a
p
+a
q
.
师 能把你的发现过程说一下吗？
生 受等差中项的启发，我发现a
2
+a
4< br>=a
1
+a
5
,a
4
+a
6
=a< br>3
+a
7
.
从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q，则am
+a
n
=a
p
+a
q
.
师 你所 得的这关系是归纳出来的，归纳有利于发现，这很好，但归纳不能算是证明！我们
是否可以对这归纳的结 论加以证明呢？
生 我能给出证明，只要运用通项公式加以转化即可.设首项为a
1
，则
a
m< br>+a
n
=a
1
+(m-1)d+a
1
+(n-1)d =2a
1
+(m+n-2)d,
a
p
+a
q
=a
1
+(p-1)d+a
1
+(q-1)d=2a
1
+(p+ q-2)d.
因为我们有m+n=p+q,所以上面两式的右边相等，所以a
m
+a
n
=a
p
+a
q
.
师 好极了！由此我们的一个 重要结论得到了证明：在等差数列{a
n
}的各项中，与首末两项
等距离的两项的和等 于首末两项的和.另外，在等差数列中，若m+n=p+q,则上面两式的右边
相等，所以a
m
+a
n
=a
p
+a
q
.
同样地，我们还 有：若m+n=2p,则a
m
+a
n
=2a
p
.这也是等差 中项的内容.
师 注意：由a
m
+a
n
=a
p
+ a
q
推不出m+n=p+q，同学们可举例说明吗?
生 我举常数列就可以说明了.
师 举得好!这说明在等差数列中，a
m
+a
n
=a
p+a
q
是m+n=p+q成立的必要不充分条件.

［例题剖析］
【例1】 在等差数列{a
n
}中，若a1
+a
6
=9，a
4
=7，求a
3
，a
9
.
师 在等差数列中通常如何求一个数列的某项？
生1 在通常情况下是先求其通项公式，再根据通项公式来求这一项.
生2 而要求通项公式，必须知道这个 数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意
两项(知道任意两项就知道公差，这在前面已研究过 了).
生3 本题中，只已知一项和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……
师 好，我们下面来解，请一个同学来解一解，谁来解？
生4 因为{a
n
}是等差数列 ，所以a
1
+a
6
=a
4
+a
3
=9a< br>3
=9-a
4
=9-7=2,
所以可得d=a
4
-a
3
=7-2=5.
又因为a
9
=a
4
+(9-4)d=7+5×5=32，所以我们求出了a
3
=2，a
9
=32.
【例2】 (课本P
44
的例2) 某市出 租车的计价标准为1.2元km，起步价为10元，即最初
的4千米(不含4千米)计费10元.如果某 人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一
路畅通，等候时间为0，需要支付多少元的车费?
师 本题是一道实际应用题，它所涉及到的是什么知识方面的数学问题？
生 这个实际应用题可化归为等差数列问题来解决.
师 为什么？
生 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2
元.所以，我们可以建立一个等差数列来进行计算车费.
师 这个等差数列的首项和公差分别是多少?
生 分别是11.2，1.2.
师 好，大家计算一下本题的结果是多少?
生 需要支付车费23.2元.
(教师按课本例题的解答示范格式)
评述：本例是等差数列用于解决实际问题的一个简单应用 ，做此题的目的是让大家学会从实
际问题中抽象出等差数列的模型，用等差数列知识解决实际问题.
课堂练习
1.在等差数列{a
n
}中，
(1)若a
5
=a,a
10
=b,求a
15
. < br>解：由等差数列{a
n
}知2a
10
=a
5
+a15
,即2b=a+a
15
,所以a
15
=2b-a.
(2)若a
3
+a
8
=m,求a
5
+a
6
.
解：等差数列{a
n
}中，a
5
+a
6
=a
3
+a
8
=m.
(3)若a
5
=6,a
8
=15,求a
14
. < br>解：由等差数列{a
n
}得a
8
=a
5
+(8-5) d,即15=6+3d,所以d=3.
从而a
14
=a
5
+(14-5)d=6+9×3=33.
(4)已知a
1
+a
2
+…+a
5
=30,a
6
+a
7
+…+a
10
=80，求a
11
+a
12
+…+a
15
的值.
解：等差数列{a
n
}中，因为6+6=11+1,7+7=12+2,……
所以2a
6
=a
1
+a
11
,2a
7
= a
2
+a
12
,……
从而(a
11
+a
12
+…+a
15
)+(a
1
+a
2
+…+a5
)=2(a
6
+a
7
+…+a
10
), < br>因此有(a
11
+a
12
+…+a
15
)=2(a< br>6
+a
7
+…+a
10
)-(a
1
+a2
+…+a
5
)
=2×80-30=130.
2.让学生完成课本P
45
练习5.
教师对学生的完成情况作出小结与评价.
［方法引导］

此类问题的 解题的关键在于灵活地运用等差数列的性质，因此，首先要熟练掌握等差数列的
性质，其次要注意各基本 量之间的关系及其它们的取值范围.
课堂小结
师 通过今天的学习，你学到了什么知识?有何体会？
生 通过今天的学习,明确等差中项的概念;进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其性质.
(让学生自 己来总结，将所学的知识,结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达
到三维目标的整合,培 养学生的概括能力和语言表达能力)
布置作业
课本第45页习题2.2 A组第4、5题.
预习内容：课本P
48
～P
52
.
预习提纲：①等差数列的前n项和公式；②等差数列前n项和的简单应用.
板书设计





备课资料
一、备用习题
1 .求集合M={m|m=7n,n∈N
*
,且m＜100}的元素个数，并求这些元素的和.
分析：求解的关键在于要理解这个集合的元素特征，抓好集合中的数全是由7的倍数组成，
再由 本节课学过的知识运用加以解决.




































等差数列通项公式
等差中项 例题
在等差数列{a
n
}中,
若m、n、p、q∈N
*
且m+n=p+q,
则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
< br>100
2
=
14
.所以，正整数n共有14个，即M中共有14个元素 ,即7，
7
7
14?(7?98)
14，21，…，98是一个以a
1
=7为首项，公差为7且a
14
=98的等差数列.所以S
n
=
2
解：由7n＜100得n＜
=735.答：这些元素的和为735.
2. 已知两个等差数列：2，5，8，…，197和2，7，12，…，197.求这两个数列中相同项之和.
分析：两个等差数列的相同项仍组成等差数列，找出其首项、公差、项数，即可求出它们的
和.
解：其相同项是2，17，32，…，197，组成以2为首项，公差为15，末项为197的等差数< br>列.设此数列共有n项，则197=2＋(n-1)×15，得n=14，
那么相同项的和S
n
?
(2?197)?14
?1393
.
2
点评：如果两个等差数列的公差分别为d
1
和d
2
，且d
1
和d
2
的最大公约数为a，则两个等差
数列中公共项所组成的等差数列的公差d=( d
1
×d
2
)÷a，即d为d
1
和d
2
的 最小公倍数.
3.用分期付款的方式购置房子一套，价格为115万元.购置当天先付15万元，以后 每月的这
一天都支付5万元，并加付欠款利息，月利息率1%.若交付15万元后的第1个月开始算分< br>期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部房款付清后，购买这套房子
实际花 了多少钱？
分析：购买时付了15万元，欠款100万元.每月付5万元及欠款利息，需分20次付完 ，且
每月总付款数顺次组成等差数列.
解：由题意，购置当天付了15万元，欠款100万元 .每月付5万元，共分20次付完.设每月

付款数顺次组成数列｛a
n
｝，则a
1
＝5＋100×1%=6，a
2
＝5＋(100-5)×1%=6 -0.05，a
3
＝5＋
(100-5×2)×1%=6-0.05×2，依次类推， 得a
n
=6-0.05(n-1)(1≤n≤20).
由于a
n
-a
n-1
=-0.05，所以｛a
n
｝组成等差数列，a
10
=6-0.05×9=5.55(万元).从而，全部房款付
清后总付款数为S
20
+15=
(a
1
?a
20
) ?20
+15=125.5(万元).
2
答：第10个月应付5.55万元，购买这套房子实际花了125.5万元.
点评 ：解应用题时，首先应仔细“读题”.抓住关键的数量关系，逐个数据进行分析，建立相
应的数学模型. 再求解数学模型，得出数学结论，最后回答实际问题.
4.把正整数以下列方法分组：(1)，(2， 3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个
数，设S
n
表示第n组中 所有各数的和，那么S
21
等于( )
A.1 113 B.4 641 C.5 082 D.53 361
分析：第21组共有21个数，构 成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数
大1，所以先求前20组一共有多少个数.
解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1+2+3+…+20=210个数，于是第21组的第
一个数为211，这组一共有21个数，S
21
=21×211+
21?20
×1=4 641，故选B.
2
点评:认真分析条件，转化为数列的基本问题.
二、阅读材料
古代有关数列求和问题的故事
我国数列求和的概念起源很早，古书《 周髀算经》里谈到“没日影”时，已出现了简单的
等差数列；《九章算术》中的一些问题反映出当时已形 成了数列求和的简单概念.
到南北朝时，张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》里给出了 几个等差数
列问题.例如：“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺 ，
计织三十日，问共织几何？”原书的解法是：“并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，
即得.”这个解法相当于给出了等差数列的求和公式
S
n
?
(a
1
?a
n
)
?n
.
2
再如：“今有女子善织布，逐 日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织三十日，共织九匹
三丈，问日增几何？”书中给出了计算公式
d=(
2S
n
(n-1).
?2a
1
)÷
n
n[2a
1
?(n?1)d]
.
2
这个公式等价于现今中学课本里的公式：
S
n
?
大家熟悉的还有象棋格子放麦粒的故事.
其实，更古老的数列问题是写在著名的林德氏埃及草纸本里的分面包问题.它可能写于公元
前3 000年.
问题:一百份面包五个人分，要求：第二个人比第一个人多多少，第三个人比第二个人也多
多少，同样，第四个人比第三个人，第五个人比第四个人也多多少.此外，前两人所得的总
数是 其余三个人所得总数的七分之一.问每人各得多少？
解：我们用方程组的方法来求解.设第一个人分得 面包x份，第二个人比第一个人多分得y
份，则第二个人分得x＋y份，第三个人分得x＋2y份，第四 个人分得x＋3y份，第五个人
分得x+4y份.于是有方程组

?
x ?(x?y)?(x?2y)?(x?3y)?(x?4y)?100,
化简，得
?
?
7[x?(x?y)]?(x?2y)?(x?3y)?(x?4y).
2
?
x?1,
?
?
x?2y?20,
?
3
解得
?.
?
1
11x?2y.
?
?
y?9.
?6
?
所以由第一个人到第五个人每人所得面包的份数为
5
211
1
,
10
,20,
29
,
38
.
6
363
上面的一列数x，x＋y，x＋2y，x+3y ，x+4y，由于项数较少，我们可以直接相加求出它们
的和.如果项数很多，怎样求它们的和呢？具体 地说，设
S
n
=x+(x＋y)+(x+2y)+(x＋3y)+…+(x+ny)，① 能不能较快地求出表示它的和的一个代数式呢？这是容易做到的，我们采用高斯的方法，把
①式倒过 来写，得
S
n
=(x+ny)＋[x＋(n-1)y]+…+(x＋3y)+(x+ 2y)+(x＋y)+x，②
把①与②式按对应项相加，得
2S
n
=(2x+ny)+(2x+ny)+…+(2x+ny).
=(2x+ny)(n+1)=2(n+1)x+n(n+1)y.
∴S
n
=(n+1)x+
n(n?1)
y.
2
这种求和方式对于每两项之差为定数的数列(称为等差数列)，求和是极快捷有效的. 实际上，前面所讲的高斯小时候的故事也是一个数列求和的问题.类似的题目在我国古代数
学著作中 屡见不鲜，而且解法也令人叫绝，如《翠薇山房算学丛书》中有关梯形堆积物求总
数问题，有兴趣的话， 可以查阅一下相关资料.

2.3 等差数列的前n项和
2.3.1 等差数列的前n项和(一)
从容说课
“等差数列的前n项和”第一节课主要通过高斯算法来 引起学生对数列求和的兴趣，进而
引导学生对等差数列的前n项和公式作出探究，逐步引出求和公式以及 公式的变形，初步形
成对等差数列的前n项和公式的认识，让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般 思路和
方法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，所以，在教学中宜采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式，要
采用设计 变式题的教学手段.
通过本节的例题的教学，使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性，以及 如何
去建立数学模型的方式方法，培养学生善于从实际情境中去发现数列模型，促进学生对本节
内容的认知结构的形成.
教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.
教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.
教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等
三维目标
一、知识与技能

掌握 等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单
的与前n项和有关的问 题.
二、过程与方法
通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到 特殊的思维规律，
初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进 行思
维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
三、情感态度与价值观
通过 公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数
学史，激发学生探究的 兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，
产生热爱数学的情感.
教学过程
导入新课
教师出示投影胶片1：

印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度
古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度
伊斯兰教文化 的象征.
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相
同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中
一共 有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，
引领学生步入探 讨高斯算法的阶段)

生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.
师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.
教师出示投影胶片2：

高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师 出了一道题目，老师说：“现
在给大家出道题目：1+2+…100=?”

过 了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回
答说 ：
“1+2+3+…+100=5 050.”
教师问：“你是如何算出答案的？” < br>高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50 =5 050.
师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？
生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=1 01，有50个
101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.
师 对 ，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数
一组，第二个数 与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相
等，都等于101，50个1 01就等于5 050了.
高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
作 为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找
出某些规律性的 东西.
师 问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+10 0相当于什
么？
生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.
师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.
推进新课
［合作探究］

师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到
第2 1层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?
生 这是求“1+2+3+…+21 ”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和
就好首尾配成对了.
师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是
否有简单的方法 来解决这个问题呢?
生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行 四边形中的
每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是
(1?21)? 21
.
2
师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写
成式子就是：
1+2+3+…+21，
21+20+19+…+1，
对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)
这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.
现在我将求和问题一般化：
(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1) +n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学
生轻松解决)

(2)如何求等差数列{a
n
}的前n项的和S
n
?
生1 对于问题(2)，我这样来求：因为S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
，
S
n
=a
n
+a
n-1
+…+a
2
+a
1
，
再 将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则a
m
+a
n
=a
p
+a
q
，
所以
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
.(Ⅰ)
2
生2 对于问题(2)，我是这样来求的：
因为S
n
=a
1
+(a
1
+d)+(a
1
+2d)+(a
1
+3d)+…+［a
1
+(n-1)×d］，
所以S
n
=na
1
+［1+2+ 3+…+(n-1)］d=na
1
+
即S
n
=na
1
+
n(n?1)
d,
2
n(n?1)
d.(Ⅱ)
2
［教师精讲］
两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一 位同学用的是基本量来转
化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的 公式.这两
种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以 发
现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a
1
，下
底是第n项a
n
，高是项数n,有利于我们的记忆.
［方法引导］
师 如果已知等差数列的首项a
1
，项数为n，第n项为a< br>n
，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)
来进行，若已知首项a
1
，项 数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.
引导学生总结：这些公式中出现了几个量？
生 每个公式中都是5个量.
师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?
生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).
师 当公差d≠0时， 等差数列{a
n
}的前n项和S
n
可表示为n的不含常数项的二次函数，且这
二次函数的二次项系数的2倍就是公差.
［知识应用］
【例1】 (直接代公式)计算：
(1)1+2+3+…+n；
(2)1+3+5+…+(2n-1)；
(3)2+4+6+…+2n；
(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.
(让学生迅速熟悉公式，即用基 本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回
答.
生 (1)1+2 +3+…+n=
n(n?1)
2
；(2)1+3+5+…+(2n-1)=
n (1?n?1)
2
=n
2
；
(3)2+4+6+…+2n=
n(2n?2)
=n(n+1).
2
师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn
公式求解？若不能，那应如
何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)
生 (4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，
所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n
2
-n(n+1)=-n .
生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式