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(完整word版)高中数学必修五试卷(含答案),推荐文档

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 21:30
tags:高中数学必修五

全国高中数学竞赛2015-高中数学第四章4.6


~
必修五阶段测试四(本册综合测试)
时间:120分钟 满分:150分
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
3x-1
1.不等式≥1的解集是( )
2-x
?
?
3
??
?
3
??
?
3
?
??????
≤x≤2≤x<2x>2或x≤
A.x
?
4
B.x
?
4
C.x
?
4
?
D.{x|x<2}
?????

2.(2017·存瑞中学质检)△ABC中 ,a=1,B=45°,S

ABC
=2,则△ABC外接圆的直径为( )
A.43 B.5 C.52 D.62
3.若a<0,则关于x的不等式x
2
-4ax-5a
2
>0的解为( )
A.x>5a或x<-a B.x>-a或x<5a C.-a11
4.若a>0,b>0,且lg(a+b)=-1,则+的最小值是( )
ab
5
A. B.10 C.40 D.80
2
5.设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和, 若a
1
=1,a
3
=5,S
k

2
-S< br>k
=36,则k的值为( )
A.8 B.7 C.6 D.5
6.若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式成立的是( )
1111ab
A.< B.
2
>
2
C.
2
>
2
D.a|c|>b|c|
abab< br>c+1c+1
7.已知等差数列{a
n
}的公差为d(d≠0),且a
3
+a
6
+a
10
+a
13
=32,若a
m
=8,则m的值为( )
A.12 B.8 C.6 D.4
x+y≤8,
?
?
2y-x≤4,< br>8.若变量x,y满足约束条件
?
x≥0,
?
?
y≥0,( )
A.48 B.30 C.24 D.16
17S
n
-S
2n
9.设{a
n
}是等 比数列,公比q=2,S
n
为{a
n
}的前n项和,记T
n
=(n∈N
*
),设Tn
0
为数列{T
n
}
an

1
的最大项,则n
0
=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
1
10.设全集U=R,A={x|2(x-1)
2
<2},B={x|log(x
2< br>+x+1)>-log
2
(x
2
+2)},
2
则图中 阴影部分表示的集合为( )


且z=5y-x的最大值为a,最小值为b,则a—b的值是
~~~


~
A.{x|1≤x<2} B.{x|x≥1} C.{x|011.在等比数列{a
n}中,已知a
2
=1,则其前三项的和S
3
的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.[3,+∞) D.(-∞,-1]∪[3,+∞)
?
1
?
12.(2017·山西朔州期末)在数列{a
n
} 中,a
1
=1,a
n

1
=a
n
+n+1 ,设数列
?
a
?
的前n项和为S
n
,若S
n
?
n
?
对一切正整数n恒成立,则实数m的取值范围为( )
A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(201 7·福建莆田二十四中期末)已知数列{a
n
}为等比数列,前n项的和为S
n
,且a
5
=4S
4
+3,a
6
=4S
5
+3,则此数列的公比q=________.
14.(2017·唐山一中期末)若x>0,y>0 ,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是________.
15.如右图,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于3a km,灯塔A在观察站C的北偏
东20°.灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与灯塔B的距离为________.

16.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)( sinA-sinB)=(c-b)sinC,
则△ABC面积的最大值为________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
?
1
?
?
. 17.(10分)(2017·山西太原期末)若关于x的不等式ax
2
+3x-1>0的解集 是
?
x
?
?
2
??

(1)求a的值;
(2)求不等式ax
2
-3x+a
2
+1>0的解集.
1
→→
18.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已 知BA·BC=2,cosB=,b=3.
3
求:
(1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值.
1
19.(12分)(2017·辽宁沈阳二中月考)在△A BC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=.
3
B+C
(1)求sin
2
+cos2A的值;
2
(2)若a=3,求bc的最大值.
3
+a
3
+a3
+…+20.(12分)(2017·长春十一高中期末)设数列{a
n
}的各 项都是正数,且对于n∈N
*
,都有a
123
~~~


~
2
a
3
n
=S
n
,其 中S
n
为数列{a
n
}的前n项和.
(1)求a
2

(2)求数列{a
n
}的通项公式. < br>x+2y≤2n,
?
?
21.(12分)已知点(x,y)是区域
?< br>x≥0,
?
?
y≥0

(n∈N

)内的点 ,目标函数z=x+y,z的最大值记作z
n
.
若数列{a
n
}的前 n项和为S
n
,a
1
=1,且点(S
n
,a
n)在直线z
n
=x+y上.
(1)证明:数列{a
n
-2}为等比数列;
(2)求数列{S
n
}的前n项和T
n
.
22.(12分 )某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,第一年共支出12万元,以后每年支
出增加4 万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额).
(1)该厂从第几年起开始盈利?
(2)若干年后 ,投资商为开发新项目,对该厂有两种处理方法:①年平均纯利润达到最大时,以48万元
出售该厂;② 纯利润总和达到最大时,以16万元出售该厂,问哪种方案更合算?

答案与解析
?
?
?4x-3??x-2?≤0,
3x-13x-13x-1-?2-x?4x-3
1.B 由≥1,可得-1≥0,所以≥0,即≥0,所以
?
2-x2-x2-x2- x
?
x-2≠0,
?

3
解得≤x<2.
4
故选B.
1
2.C ∵S

ABC
=acsinB=2,
2
12
∴×1×c=2,∴c=42,
22
∴b
2
=c
2
+a
2
-2accosB=32+1-2×1×42×
∴b =5,∴外接圆的直径为
2
=25,
2
b5
==52,故选C.
sinB
2
2
3.B (x+a)(x-5a)>0. ∵a<0, ∴-a>5a.
∴x>-a或x<5a,故选B.
1
4.C 若lg(a+b)=-1,则a+b=,
10
11
?
11
∴+=1 0
?
?
a

b
?
(a+b)=
ab
~~~


~
ba
2++
?
≥10(2+2)=40. 10
?
?
ab
?
1
当a=b=时,“=”成立,故选C.
20
5-1
5.A ∵a
1
=1,a
3
=5,∴公差d==2,
2
∴a
n
=1+2(n-1)=2n-1,
S
k

2
-S
k
=a
k

2
+a
k< br>+
1
=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,∴k=8,故选A.
1ab
6.C ∵a>b,
2
>0,∴
2
>
2
,故选C.
c+1c+1c+1
7.B 由等差数列的性质知,a
3
+a
6+a
10
+a
13
=4a
8
=32,
∴a
8
=8.又a
m
=8,∴m=8.
8.C
如图所示,当直线z=5y-x经过A点时z最大,即a=16,经过C点时z最小,即b=-8,∴a-b=
24,故选C.
a
1
?2
n
-1?a
1
?2
2
n
-1?
n
9.A S
n
==a
1
(2-1),S
2n
==a
1
(2
2
n
- 1),a
n

1
=a
1
·2
n

2-12-1
17S
n
-S
2n
17a
1
?2< br>n
-1?-a
1
?2
2
n
-1?16
?n
?
2+
∴T
n
===17-
2
n
?
≤17-8=9,当且仅当n=2时取等号,∴数
?
a
1
·2
n
a
n

1
列{T
n
}的最大项为T
2
,则n
0
=2,故选A.
10.A 由2(x-1)
2
<2,得(x-1)
2
<1.解得0 1
∴A={x|02
+x+1)>-log
2(x
2
+2),
2
得log
2
(x
2
+x+1)2
(x
2
+2).
x
2
+ x+1>0,
?
?

?
x
2
+2>0,
?
?
x
2
+x+12
+2.

解得x<1.
∴B={x|x<1}.∴?
U
B={x|x≥1}.
∴阴影部分表示的集合为
(?
U
B)∩A={x|1≤x<2}.
1
11.D 设数列{a
n
}的公比为q,则a
2
=a1
q=1,∴q=,
a
1
1
∴S
3
=a1
+a
2
+a
3
=a
1
+a
1
q+a
1
q
2
=a
1
+1+,当a
1
> 0时,S
3
≥1+2
a
1
~~~
1
a
1
·=3,当且仅当a
1
=1时,
a
1


~ < br>取等号;当a
1
<0时,S
3
≤1-2=-1,当且仅当a
1
=-1时,取等号.
故S
3
的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
12.D a
1
=1,a
n

1
-a
n
=n+1,
a
n
=(a
n
-a
n

1
)+( a
n

1
-a
n

2
)+…+(a
2
-a
1
)+a
1

=(n-1+1)+(n-2+1)+…+(1+1)+1
n?n+1?
=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=,
2
当n=1时,也满足上式,
n?n+1?
∴a
n
=,
2
11
12
==2
?
n

n+1
?

a
n
n?n+1?
??
11111
∴Sn
=2
?
1-
2

2

3
+ …+
n

n+1
?

??
1
2
?
1-
n+1
?
.
??
∵S
n
13.5
解析:由题可得a
5
-a
6
=4S
4< br>-4S
5
=-4a
5

∴a
6
=5a
5
,∴q=5.
14.4
解析:∵x+2y+2xy=8,
又2xy≤
?
x+2y
?
2
?
2
?

x+2y
?
2
?
2
?
≥8, ∴x+2y+
?
1
∴(x+2y)
2
+x+2y-8≥0,
4
∴x+2y≥4,
当且仅当x=2y=2时,等号成立.
∴x+2y的最小值为4.

15.3a km
解析:由题意知,∠ACB=120°,
∴AB
2
=3a
2
+3a
2
-23a×3acos120°=9a
2,

∴AB=3a km.
16.3
~~~


~
解 析:由正弦定理及(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,得(2+b)(a-b)=(c- b)c,又a=2,
∴b
2
+c
2
-a
2
=bc.由余弦定理得 b
2
+c
2
-a
2
bc1
cosA===,∴ A=60°.
2bc2bc2
又2
2
=b
2
+c
2
-2bccos60°=b
2
+c
2
-bc≥2bc-bc,
∴bc≤4.当且仅当b=c时取等号.
113
∴S

ABC
=bcsinA≤×4×=3.
22 2
1
17.解:(1)依题意,可知方程ax
2
+3x-1=0的两个实数根 为和1,
2
1311
∴+1=-且×1=-解得a=-2,
2a2a
∴a的值为-2,
(2)由(1)可知,不等式为-2x
2
-3x+5>0,即2x
2
+3x-5<0,
5
∵方程2x
2< br>+3x-5=0的两根为x
1
=1,x
2
=-,
2
∴不等式ax
2
-3x+a
2
+1>0
?
?
5?
?

的解集为x
?
2
?
.
??

1
→→
18.解:(1)由BA·BC=2得c·acosB =2,又cosB=,所以ac=6.
3
由余弦定理,得a
2
+c
2
=b
2
+2accosB.
又b=3,所以a
2
+c
2
=9+2×2=13.
??
ac=6,

?
22
得a=2,c=3或a=3,c=2.
?
a+c=13,
?

因a>c,所以a=3,c=2.
(2)在△ABC中,sinB=1-cos
2
B=
1
?
2
22
1-
?
?
3
?

3

c22242
由正弦定理,得sinC=sinB=×=.
b339
因a=b>c,所以C是锐角,因此cosC=1-sin
2
C=
42
?
2
7
1-
?
=.
?
9< br>?
9
17224223
于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBs inC=×+×=.
393927

1
19.解:(1)在△ABC中,∵cosA=,
3
B+C
11 1
∴sin
2
+cos2A=[1-cos(B+C)]+2cos
2
A-1=(1+cosA)+2cos
2
A-1=-.
2229
(2)由 余弦定理知a
2
=b
2
+c
2
-2bccosA,
~~~


~
224
∴3=b
2
+c
2
-bc≥2bc-bc=bc,
333
93
∴bc≤,当且仅当b=c=时,等号成立,
42
9
∴bc的最大值为.
4
2
20.解:(1)在已知 式中,当n=1时,a
3
1
=a
1
,∵a
1
>0, ∴a
1
=1,
3332
当n≥2时,a
3
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=S
n
,①
3332
a
3
1
+a
2
+a
3
+…+a
n

1
=S
n

1
,②
①-② 得a
3
n
=a
n
(2a
1
+2a
2
+…+2a
n

1
+a
n
).
2
∵a
n
>0,∴a
2
n
=2a
1
+2a
2+…+2a
n

1
+a
n
,即a
n
= 2S
n
-a
n

∴a
2
2
=2(1+a
2
)-a
2
,解得a
2
=-1或a
2
=2 ,
∵a
n
>0,∴a
2
=2.
*
(2)由(1 )知a
2
n
=2S
n
-a
n
(n∈N),③ 当n≥2时,a
2
n

1
=2S
n

1
-a
n

1
,④
2
③-④得a
2n
-a
n

1
=2(S
n
-S
n
1
)-a
n
+a
n

1
=2an
-a
n
+a
n

1
=a
n
+a
n

1
.
∵a
n
+a
n

1
>0,∴a
n
-a
n

1
=1,∴数列 {a
n
}是等差数列,首项为1,公差为1,可得a
n
=n.
< br>21.解:(1)证明:由已知当直线过点(2n,0)时,目标函数取得最大值,故z
n
=2n.
∴方程为x+y=2n.
∵(S
n
,a
n
) 在直线z
n
=x+y上,∴S
n
+a
n
=2n.①
∴S
n

1
+a
n

1
=2(n-1) ,n≥2.②
由①-②得,2a
n
-a
n

1
= 2,n≥2.∴a
n

1
=2a
n
-2,n≥2.
a
n
-2a
n
-2a
n
-2
1
又∵== =,n≥2,a
1
-2=-1,
a
n

1
-22 a
n
-2-22?a
n
-2?
2
1
∴数列{an
-2}是以-1为首项,为公比的等比数列.
2
1
?
n
1
?
1
?
n

1
. (2)由(1 )得a
n
-2=-
?
,∴a
n
=2-
?
2
??
2
?
1
?
n

1
∵S
n
+a
n
=2n,∴S
n
=2n-a
n
=2n- 2+
?
?
2
?
.
?
1
?
0?

?
2+
?
1
??
+…+
?
2n-2+
?
1
?
n

1
?
∴Tn

?
0+
??
2
????
2
??? ?
2
??
1
?
0
?
1
??
1?
n

1
=[0+2+…+(2n-2)]+
?
++ …+
?
2
??
2
??
2
?
?
1< br>?
n
1-
?
2
?
n?2n-2?1
?
n

1
=+=n
2
-n+2-
?
?
2< br>?
.
21
1-
2
~~~


~ n?n-1?
?
22.解:由题意知f(n)=50n-
?
12n+×4
-72=-2n
2
+40n-72.
2
??
(1)由f( n)>0,即-2n
2
+40n-72>0,解得2
知,该厂从第3年起开始盈利.
36
f?n?
n+
?
, (2)方 案①:年平均纯利润=40-2
?
n
??
n
36
∵n+≥2
n

36
n×=12,当且仅当n=6时取等号,
n
f?n?
≤40-2×12=16.
n
因此方案①共获利16×6+48=144(万元),此时n=6.
方案②:f( n)=-2(n-10)
2
+128.从而方案②共获利128+16=144(万元).比较 两种方案,获利都是144
万元,但由于第一方案只需6年,而第②种方案需要10年,因此,选择第① 种方案更合算.
~~~

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