高中数学必修五1.1.1-2

一、选择题
1．在△ABC中，若b＋c＝2＋1，C＝45°，B＝30°，则( )
A．b＝1，c＝2
22
，c＝1＋
22
abc
解析：∵＝＝＝2R，
sinAsinBsinC
C．b＝
bsinBsin30°2
∴＝＝＝.
csinCsin45°2
∴
b＋c2＋22＋12＋2
＝，＝.
c2c2
B．b＝2，c＝1
D．b＝1＋
22
，c＝
22
∴c＝2，b＝1.
答案：A
2．若
sinAcosBcosC
＝＝，则△ABC是( )
abc
A．等边三角形
B．有一个内角是30°的等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．有一个内角是45°的等腰三角形
解析：由正弦定理，得sinB＝cosB，sinC＝cosC，
∴tanB＝1，tanC＝1，B＝C＝45°.
∴△ABC是等腰直角三角形．
答案：C
3．在△ABC中，已知A＝30°，a＝8，b＝83，则△ABC的面积S等于( )
A．323
C．326或16
解析：由正弦定理，得sinB＝
120°.
∴C＝90°或30°.
1 1
当C＝90°时，S＝absinC＝323，当C＝30°时，S＝absinC＝163.
22
答案：D
4．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝ 2，b＝6，B＝120°，
则a等于( )
A.6
C.3
B．2
D.2
B．16
D．323或163
bsi nA83sin30°3
＝＝，又b＞a，∴B＞A，∴B＝60°或
a82

< br>bc
解析：由正弦定理得＝，
sinBsinC
∴sinC＝
csi nB2sin120°1
＝＝.∴C＝30°.
b2
6
∴A＝180°－120°－30°＝30°.∴a＝c＝2.
答案：D
5．在△ABC中，若2a＝2bsinA，则B等于( )
A．45°
C．30°
∴2sinA＝2sinB·sinA.
∴sinB＝
2
.
2
B．135°
D．45°或135°
解析：由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴B＝45°或135°.
答案：D
π
?
6．在△OAB中，O 为坐标原点，A(1，cosθ)，B(sinθ，1)，θ∈
?
0，
?
2< br>?
，则当△OAB的
面积达到最大值时，θ等于( )
π
A.
6
π
C.
3
π
B.
4
π
D.
2
1
→→→→
解析：S
△OAB
＝|OA|·|OB|·sin〈OA，OB〉
2
1
→→
＝|OA||OB|
2
1
→→
＝|OA||OB|
2
＝
→→
(1－cos
2
〈OA，OB〉)
→→
??
OA·OB
2
(1－
??
)
→→
?
|OA||OB|
?
1

2
1＝?1＋cos
2
θ??1＋sin
2
θ?－?sinθ＋cosθ?
2
11
＝|1－sin2θ|.
22
π
?
∵θ∈
?
0，
?
2
?
，∴2θ∈(0，π]．
∴sin2θ∈[0,1]．
1111
∴|1－sin2θ|＝
?
1－sin2θ
?
.
?
222
?
2
∴当S
△
OAB
面积最大时 ，sin2θ＝0.∴2θ＝π.
π
∴θ＝.
2
答案：D

二、填空题
1
7．在△ABC中，a＝32，cosC＝，S
△
ABC
＝43，则b＝__________.
3
1
解析：S
△
ABC
＝absinC＝43，
2
∵sinC＝1－cos
2
C＝
答案：23
8．在△A BC中，已知A、B、C成等差数列，且边b＝2，则外接圆半径R＝__________.
2
解析：b＝2RsinB，又A、B、C成等差数列，B＝60°，b＝2代入得R＝3.
3
2
答案：3
3
9．在△ABC中，已知AB＝5，BC＝2，S
△
ABC
＝4，∠ABC＝θ，则cosθ＝__________.
11 4
解析：因为S
△
＝AB·BC·sin∠ABC＝×5×2sinθ＝4，∴sin θ＝，又θ∈(0，π)，∴cosθ
225
3
＝±.
5
3
答案：±
5
三、解答题
10．在△ABC中，已知 BC＝8，AC＝5，S
△
ABC
＝12，求cos2C.
解析：由三角形面积公式，得
1
|BC|·|CA|sinC＝20sinC＝12
2
3
∴sinC＝.
5
∴cos2C＝1－2sin
2
C＝
7
.
25
22
，a＝32，∴b＝23.
3
11．在△ABC中，角A 、B、C的对边分别为a、b、c，若b＝acosC，试判断△ABC的
形式．
解析：∵b＝acosC，
∴由正弦定理，可得sinB＝sinAcosC.
∵B＝π－(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，
∴sin(A＋C)＝sinAcosC，
即sinAcosC＋cosAsinC＝sinAcosC，∴cosAsinC＝0.
π
又∵A、C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝.
2
∴△ABC是直角三角形．
π
4
12．在△ABC中，角A、B 、C的对边分别为a、b、c，B＝，cosA＝，b＝3.
35
(1)求sinC的值；
(2)求△ABC的面积．

π
4
解析：(1)∵角A、B、 C为△ABC的内角，且B＝，cosA＝，
35
∴C＝
2π
3
－A，sinA＝.
35
3＋ 43
2π
31
∴sinC＝sin
?
－A
?
＝co sA＋sinA＝.
?
3
?
2210
3＋43
3
(2)由(1)知sinA＝，sinC＝.
510
π
又∵B＝，b＝3，
3
bsinA6
∴在△ABC中，由正弦定理得a＝＝.
sinB5
3＋4336＋93
116
∴△ABC的面积S＝absinC＝××3×＝.
2251050