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高中数学必修5知识点

第一章 解三角形
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b3、三角形中的基本关系：
si n(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,

A?BCA?BCA?BC
?cos,cos?sin,tan?cot

2 22222
4、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外
abc
接圆的半径，则有
???2R< br>．
sin?sin?sinC
sin
5、正弦定理的变形公式：
① 化角为边：
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2Rsin C
；
abc
，
sin??
，
sinC?
； 2R2R2R
a?b?cabc
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC< br>；④．
???
sin??sin??sinCsin?sin?sinC
②化 边为角：
sin??
6、两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要
注意解的情况（一解、两解、三解）)
7、余弦 定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?
，
b?a?c ?2accos?
，
222
222
c
2
?a
2< br>?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2< br>?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
8、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ac2ab
(余 弦定理主要解决的问题：1.已知两边和夹角，求其余的量。2.已知三边求角)
9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角）
10、如 何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一
成边的形式或角的形式 设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：
①若
a?b?c
，则
C?90
；②若
a?b?c
，则
C?90
；
③ 若
a?b?c
，则
C?90
．
注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标

C D
222
o
222
o
222
o
B
A

A、B,但不能到达，在岸边选取相距
3
千米的C、D两点，并测得∠AC B=75, ∠BCD=45,
∠ADC=30, ∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。
（本题解答过程略）
11、三角形面积公式：
OO
OO

12、三角形的四心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）
内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）
13 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。
附加：



第二章 数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．

3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：a
n+1
>a
n
）．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a
n+ 1
n
）．
7、常数列：各项相等的数列（即：a
n+1
=a
n
）．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数 列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
a
n< br>与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一 个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称
为等差数列，这个常数称为 等差数列的公差．符号表示:
a
n?1
?a
n
?d
。注：看 数列是不是
等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n ?1
?d(n?2,d为常数)
②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
) ③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
12、由三个 数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列， 则
?
称为
a
与
b
的
等差中项．若
b?13、若等差数列
a?c
，则称
b
为
a
与
c< br>的等差中项．
2
1
?
a
n
?
的首项是a
，公差是
d
，则
a
n
?a
1
??
n?1
?
d
．
14、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
a
n
?a
1
n?1
；
a
n
?a
m
a
n
?a
1
?1
；⑤
d?
④
n?
n?m
d
．
*
15、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、< br>n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a< br>n
若
?
a
n
?
是等差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
2a
n
*
?a
p
?a
q
；
?a
p
?a< br>q
．
n
?
n?1
?
2
d
．③16 .等差数列的前
n
项和的公式：①
S
n
?
n
?a
1
?a
n
?
2
；②
S
n
? na
1
?
s
n
?a
1
?a
2
?L ?a
n

17、等差数列的前
n
项和的性质：①若项数为
2 nn??
?
*
?
，则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且

S
偶?S
奇
?nd
，
S
奇
a
?
n
S
偶
a
n?1
*
．
S
奇
n
②若 项数为
2n?1
?
n??
?
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，（其中
?
S
偶
n?1S
奇
?na
n
，
S
偶
?
?
n ?1
?
a
n
）．
18、如果一个数列从第
2
项起 ，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称
为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． 符号表示：
会出现值为0的项；②同号位上的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
2
?a
n?1
?a< br>n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
) ①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)

②
a
n
a
n?1
?q
（注：①等比数列中不
a
n
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
lo g
x
a
n
}（
x?1
）成等比数列.
19、在< br>a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b的等比中项．若
G
2
?ab
，则称
G
为
a与
b
的等比中项．（注：由
G
2
?ab
不能得出
a
，
G
，
b
成等比，
由
a
，
G
，
b
?
G?ab
）
20、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则a
n
?a
1
q
n?1
．
n?m
21 、通项公式的变形：①
a
n
?a
m
q
；②
a
1
?a
n
q
?
?
n?1
?
2
； ③
q
n?1
?
a
n
；④
a
1
q< br>n?m
?
a
n
．
a
m
*
22、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
若
?< br>a
n
?
是等比数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
a
n
*
2
?a
p
?a
q
．
?
na
1
?
q?1
?
?
23、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公式：①
S
n
?
?
a
1
?1?q
n
?
a?aq
．②
1n
?
?
q ?1
?
?
1?q
?
1?q
s
n
?a
1
?a
2
?L?a
n

?
s1
?a
1
(n?1)
a?
24、对任意的数列{
an
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n的关系：
n
?

s?s(n?2)
n?1
?
n
[注]： ①
a
n< br>?a
1
?
?
n?1
?
d?nd?
?
a
1
?d
?
（
d
可为零也可不为零→为等差数列充要条件（ 即常
数列也是等差数列）→若
d
不为0，则是等差数列充分条件）.
②等差 {
a
n
}前
n
项和
S
n
?An
2
?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
?< br>?
n
→
?
?
d
?
?
2
?
?
d
?
2
?
d
可以为零也可不为零→为等差2
的充要条件→若
d
为零，则是等差数列的充分条件；若
d
不为 零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
附：几种常见的数列的思想方法：
1.等差数列的前
n
项和为
S
n
，在
d?0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有
两种方法：
一是求使
a
n
?0,a
n?1
?0
，成立的
n< br>值；二是由
S
n
?
n
的值.
d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的性质求
22
2.数列通 项公式、求和公式与函数对应关系如下：
数列
等差数列
等比数列

数列
等差数列

等比数列


我们用函数的 观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关
于n的函数，为我们解决数列 有关问题提供了非常有益的启示。
3.例题：1、等差数列
分析：因为
中，，则 .
前n项和公式 对应函数
（时为二次函数）
通项公式

对应函数
（时为一次函数）
（指数型函数）
（指数型函数）
是等差数列，所以是关于n的一次函数，
)三点共线， 一次函数图像是一条直线，则（n, m）,(m,n),(m+n,

所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得=0（图像如 上），这
里利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。
例题：2、等差数列

中，，前n项和为，若，n为何值时最大？
分析：等差 数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，
是抛物线=上的离散点，根据题意，，
则因为 欲求
即当
最大值，故其对应二次函数图像开口向下，并且对称轴为
时，最大。
，对任意正整数n，
递增得到：
对一切
有最大值
恒成立，求
，
例题：3递增数列
分析：
即
则只需求出
。
构造 一次函数，由数列
恒成立，所以
对于一切
恒成立，设
，所以
恒成立，
，
的取值范围是：的最大值即可，显然
构造二次函数，看成函数，它的定义域是
为递增函数，单调增区间为，因为是递增数列，即函数
,抛物线对称轴，因为函数f(x)为离散函数 ，要函数单调递增，就看动轴与
已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴在的左侧也可以（如图），因
为此时B点比A点高。于是，

，得

4.如果数列可以看作 是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依
111
照等比数列前
n
项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
1?,3,...(2n?1)
n
,...

24
2
5.两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的
第一 个相同项，公差是两个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.
6. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然
数,验证
a
n
?a
n?1
(
a
n
)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证
a
n?1
2
2 a
n?1
?a
n
?a
n?2
(a
n?1
? a
n
a
n?2
)n?N
都成立。
7. 在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数
?
a
m?1
?0
m使得
s
m
取最大 值. (2)当
a
1
<0,d>0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最小值。在解
a?0
?
m?1
含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:适用于
?
?
c
?
?
其中{ a
n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理
aa
?
n n?1
?
数列、含阶乘的数列等。
例题：已知数列{a
n
}的通项 为a
n
=
1
,求这个数列的前n项和S
n
.
n(n?1)
解：观察后发现：a
n
=
11
?
< br>nn?1
s
n
?a
1
?a
2
?????a< br>n
∴
11111
?(1?)?(?)?????(?)

223nn?1
1
?1?
n?1
3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列 ，
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
例题：已知数列{ a
n
}的通项公式为
a
n
?n?2
，求这个数列的前n项之 和
s
n
。
解：由题设得：
n

s
n
?a
1
?a
2
?a
3
?????a
n< br>
=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n

即
s
12
n
=1?2?2?2?3?2
3
?????n?2
n
①
把①式两边同乘2后得
2s
n
=
1?2
2
?2? 2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
用①-②，即：
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n
①
2s< br>2
n
=
1?2?2?2
3
?3?2
4
??? ??n?2
n?1
②
得
?s
n
?1?2?2
2
?2
3
?????2
n
?n?2
n?1
2(1 ?2
n
?
)
?n?2
n?1
1?2

?2
n?1
?2?n?2
n?1
?(1?n)2
n?1
?2∴
s
n?1
n
?(n?1)2?2

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1）: 1+2+3+...+n =
n(n?1)
2
2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n
2

2
3）
1
3
?2
3
???n
3
?
?
?
1
?
?
2
n(n?1)
?
?

4)
1
2
?2< br>2
?3
2
???n
2
?
1
6
n(n ?1)(2n?1)
5)
111
;
n(n?1)
?
n?
n?1
1
n(n?2)
?
1
2
(
1
n
?
1
n?2
)
6）
1
?
1
(
1
?
1
)(p?q)

；
pqq?ppq





，

※附加：重点归纳
等差数列和等比数列（表中
m,n,p,q?N
?
）
类别
项目
等差数列
?
a
n
?
等比数列
?
a
n
?

定义
a
n?1
?a
n
?d

a
n?1
?q

a
n
通项公
式
前n项
和
等差
（比）
中项
a
n
?a< br>1
?
?
n?1
?
d

a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d

S
n< br>?
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
?na
1
?d

22
a
n
?a
1
q
n?1

a
n
?a
m
q
n?m

?
na
1
?
q?1
?
?

Sn
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a ?aq
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?1?q
2a
n?1
?a
n
?a
n?2

a?a
m
，
?
m?n
?

d?
n
n?m
m?n?p?q?a
m
?a
n
?a
p
?a
q

m?n?2p?a
m
?a
n
?2a
p

a
n?1
2
?a
n
?a
n?2

q
n?m
公差
（比）
a
n
?

a
m
m?n?p?q?a
m
?a
n
?a
p
?a
q

m?n?2p?a
m
?a
n
?a
p
2
< br>T
m
,
T
2m
T
3m
,,
L
成等比数列，公
T
m
T
2m
m
2
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,L
成等差
性质
数列，公差为
md
（
S
n< br>是前
n
项和）

2
比为
q
（
T
n
是前
n
项积）
a
m
,a
m?k
,a
m?2k
,
L
仍然是等差数列，
a
m
,a
m?k
,a
m?2k
,
L
仍然是等比数
其公差为
kd

列，其公比为
q
k

?
ka
n
?b
?
是等差数列
d?0,Z
；
?
ba
?
是等比数列（
b?0
）
k
n< br>a
1
?0
时，
q?1,Z
，
0?q?1,]
；
a
1
?0
时，
q?1,]
，
0?q?1,Z< br>；
单调性
d?0,]
；
d?0,
常数列
q?1
为常数列；
q?0
为摆动数列

2.等差数列的判定方法：（
a,b,d
为常数）
⑴.定义法：若
a
n?1
?a
n
?d

⑵.等差中项法：若
2a
n?1
?a
n
?a
n?2

⑶.通项公式法：若
a
n
?an?b

⑷.前n项和法：
S
n
?an
2
?bn

3. 等比数列的判定方法：（
k
，
q
为非零常数）
?

?
a
?
为等差数列.
n
a
n?1
?q
⑴.定义法：若
a
n
⑵ .等比中项法：若
a
n?1
2
?a
n
?a
n?2< br>
?
a
n
?
为等比数列.
⑶.通项公式法：若
a
n
?kq
n

⑷.前n项和法：
S
n
?k?kq
n


?
第三章 不等式
一、不等式的主要性质：
（1）对称性：
a?b?b?a

（2）传递性：
a?b,b?c?a?c

（3）加法法则：
a?b?a?c?b?c
；
（4）同向不等式加法法则：
a?b,c?d?a?c?b?d

（5）乘 法法则：
a?b,c?0?ac?bc
；
a?b,c?0?ac?bc

（6）同向不等式乘法法则：
a?b?0,c?d?0?ac?bd

（7） 乘方法则：
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N*且n?1)

（8）开方法则：
a?b?0?
n
a?
n
b(n?N*且n ?1)

（9）倒数法则：
a?b,ab?0?
11
?
< br>ab
二、一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0
和
a x
2
?bx?c?0(a?0)
及其解法


??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c
?a(x?x
1
)(x?x
2
)
二次函数
y?ax
2
?bx?c
?a(x? x
1
)(x?x
2
)
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象

有两相等实根


一元二次方程
有两相异实根

ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
ax
2
? bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

b

x
1
?x
2
??
2a
无实根

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
?
xx??
?

2a
??

?

R

?
xx
1
?x?x
2
?


?

１.一元二次不等式先化标准形式（
a
化正）２.常用因 式分解法、求根公式法求解一
元二次不等式。
口诀：在二次项系数为正的前提下：“大于取两边，小于取中间”
三、均值不等式
1、设
a
、
b
是两个正数，则
几何平均数．
2、基本不等式（也称均值不等式）： 若
a?0
均值不等式：如果a,b是正数，那么
a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的
2
a?b?2ab即
a?b
?ab(当且仅当a?b时取?号).

2
注意：使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等
a
2?b
2
a?b2
??ab?
3、平均不等式：（
a、b
为正数），即（当
a
=
b
时取等）
11
22
?
ab
a
2
?b
2
4、常用的基本不等式：①
a? b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a,b? R
?
；
2
22
a
2
?b
2
?< br>a?b
??
a?b
?
③
ab?
?
?
??
?
a?0,b?0
?
；④
?
?
a,b?R?
．
2
?
2
??
2
?
22