高中数学必修5知识点总结及经典例题

必修5知识点总结
1、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接圆的半径，则
有
ab c
???2R
．
sin?sin?sinC
2、正弦定理的变形公式：①< br>a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
abc
，
sin??
，
sinC?
；③
a:b:c ?sin?:sin?:sinC
；
2R2R2R
a?b?cabc
④．
???
sin??sin??sinCsin?sin?sinC
②
sin? ?
（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和 一边，
求其余的量。）
⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况）
如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A为锐角）求B。具体的做法是：数形结合思想
画出图：法一：把a扰着C点旋转，看所得轨迹以AD有无交点：
当无交点则B无解、
当有一个交点则B有一解、
当有两个交点则B有两个解。
法二：是算出CD=bsinA,看a的情况：
当a当bsinA当a=bsinA或a>b时，B有一解
注：当A为钝角或是直角时以此类推既可。
3、三角形面积公式：
S
???C
?
A
b
bsinA
D
a
C
111
bcsin??absinC?acsin?
．
222
4、 余弦定理：在
???C
中，有
a
2
?b
2
?c2
?2bccos?
，
b
2
?a
2
?c
2
?2accos?
，
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b2
?c
2
a
2
?c
2
?b
2
5、余弦定理的推论：
cos??
，
cos??
，
cosC?
．
2bc2ab
2ac
(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余 的量。2、已知三边求角)
222
c
是
???C
的角
?< br>、6、如何判断三角形的形状：设
a
、则：①若
a?b?c
，则
C?90
o
；
C
的对边，
b
、
?
、< br>222222
②若
a?b?c
，则
C?90
o
；③若
a?b?c
，则
C?90
o
．
B
A
正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A、B,
1

但不能到达，在岸边选取相距
3
千米的C、D两点，
并测得∠ACB=75, ∠BCD=45, ∠ADC=30,
∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离。
本题解答过程略


附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
7、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
8、数列的项：数列中的每一个数．
9、有穷数列：项数有限的数列．
10、无穷数列：项数无限的数列．
11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一 项的数列（即：a
n+1
>a
n
）．
12、递减数列：从第2项起 ，每一项都不大于它的前一项的数列（即：a
n+1
n
）．
13、常数列：各项相等的数列（即：a
n+1
=a
n
）．
14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
15 、数列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与 序号
n
之间的关系的公式．
16、数列的递推公式：表示任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
17、如 果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这
个常数 称为等差数列的公差．符号表示:
a
n?1
?a
n
?d
。注 ：看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
②2
a
n
?a
n?1
? a
n?1
(
n?2
) ③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数
18、由三个 数
a
，
?
，
b
组成的等差数列可以看成最简单的等差数列， 则
?
称为
a
与
b
的等差中项．若
O
OOO
b?
a?c
，则称
b
为
a
与
c
的 等差中项．
2
19、若等差数列
?
a
n
?
的首项 是
a
，公差是
d
，则
a
1
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
；
a
n
?a
1
20、通项公式的变形：①
a
n
?a
m?
?
n?m
?
d
；②
a
1
?a
n
?
?
n?1
?
d
；③
d?
n?1 2

a
n
?a
m
a
n
?a< br>1
d?
?1
；⑤④
n?
n?m
d
．
*
21、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p ?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
）， 则
a
m
差数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
2a
n
*
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等
?a
p
?a
q
．
S
n
?
n?
a
1
?a
n
?
2
n
?
n? 1
?
d
．③；②
S
n
?na
1
?
2
22、等差数列的前
n
项和的公式：①
s
n
?a
1
?a
2
?L?a
n

23、等差数列的前
n项和的性质：①若项数为
2nn??
*
，则
S
2n
??
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
S
偶
?S
奇
?nd
，
S
奇
a
?n
．
S
偶
a
n?1
②若项数为
2n?1n? ?
*
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?a
n
，且
S
奇
?S
偶
?a
n
，
．
S
偶
?
?
n?1
?
a
n< br>）
24、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 则这个数列称为等比数列，这
个常数称为等比数列的公比．符号表示：
??
S
奇
n
（其中
S
奇
?na
n
，
?
S
偶
n?1
a
n?1
?q
（注：①等比数列中不会出现值为0 的项；②同号位上
a
n
的值同号）
注：看数列是不是等比数列有以下四种方法：
2
?a
n?1
?a< br>n?1
(
n?2
，
a
n
a
n?1
a
n?1
?0
) ①
a
n
?a
n?1
q(n?2,q为常数,且?0)

②
a
n
③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数 列{
log
x
a
n
}（
x?1
）成等比数列. < br>25、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a< br>，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项．若
G
2
?ab
，
22
则 称
G
为
a
与
b
的等比中项．（注：由
G?ab不能得出
a
，
G
，
b
成等比，由
a
，
G
，
b
?
G?ab
）
n?1
26、若等 比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是< br>q
，则
a
n
?a
1
q
．
?
?
n?1
?
n?m
n?1
a?aq
a?aq
27 、通项公式的变形：①
n
；②
1
；③
q
m
n
a
n
n?m
a
n
q?
?
；④．
am
a
1
*
28、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p< br>?a
q
；若
?
a
n
?
是等比
3

数列，且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
a
n
*
2
?a
p
? a
q
．
?
na
1
?
q?1
?
?
29、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和的公 式：①
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．②
s
n
?
1n
?
q ?1
?
?
1?q
?
1?q
?
s
1
?a
1
(n?1)
30、对任意的数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的关系：
an
?
?

?
s
n
?s
n?1
(n?2)
?a
1
?a
2
?L?a
n

[注]： ①
a
n
?a
1
?
?
n?1?
d?nd?
?
a
1
?d
?
（
d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数
列）→若
d
不为0 ，则是等差数列充分条件）.
d
?
d
?
d
??
② 等差{
a
n
}前
n
项和
S
n
?An
2
?Bn?
??
n
2
?
?
a
1
?
?
n
→可以为零也可不为零→为等差的充要条件→若
2
2??
2
??
d
为零，则是等差数列的充分条件；若
d
不 为零，则是等差数列的充分条件.
③非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列）
．．
附：几种常见的数列的思想方法：
⑴等差数列的前
n
项和为< br>S
n
，在
d?0
时，有最大值. 如何确定使
S
n
取最大值时的
n
值，有两种方法：
一是求 使
a
n
?0,a
n?1
?0
，成立的
n
值 ；二是由
S
n
?
数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：
数列
等差数列
等比数列


数列
等差数列

等比数列

我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项 公式以及前n项和看成是关于n的函数，为
我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。
例题：1、等差数列中，，则 .
前n项和公式 对应函数
（时为二次函数）
通项公式

对应函数
（时为一次函数） < br>d
2
d
n?(a
1
?)n
利用二次函数的性质求n
的值.
22
（指数型函数）
（指数型函数）
4

分析：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，
)三点共线， 一次函数 图像是一条直线，则（n,m）,(m,n),(m+n,
所以利用每两点形成直线斜率相等，即，得= 0（图像如上），这里利用等差数
列通项公式与一次函数的对应关系，并结合图像，直观、简洁。
例题：2、等差数列中，，前n项和为，若，n为何值时最大？
分析：等差数列前n项和可以看成关于n的二次函数=，
是抛物线=上的离散点，根据题意，，
则因为欲求
最大。
最大值，故其对 应二次函数图像开口向下，并且对称轴为，即当时，
例题：3递增数列，对任意正整数n，
递增 得到：
恒成立，设
恒成立，求
恒成立，即
，则只需求出
。
，因为是递
的最大值即
分析：构造一次函数，由数列
恒成立，所以
可，显然 有最大值
对一切
对于一切
，所以
看成函数
的取值范围是：
构 造二次函数，，它的定义域是
增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数f( x)
为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置。从对应图像上看，对称轴
的左 侧
在
也可以（如图），因为此时B点比A点高。于是，

，得
⑵ 如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前
n
项和可依照等比 数列前
5

111
n
项和的推倒导方法：错位相减求和. 例如：
1?,3,...(2n?1),...

24
2
n
⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，
公差是两个数列公差
d
1
，d
2
的最小公倍数.
2. 判 断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证
an
?a
n?1
(
a
n
)
为同一常数。(2)通 项公式法。(3)中项公式法:验证
2a
n?1
?a
n
?a
n?2
a
n?1
2
(a
n?1
?a
n
a< br>n?2
)n?N
都成立。
3. 在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最
a?0
?
m?1
大值. ( 2)当
a
1
<0,d>0时，满足的项数m使得
s
m
取最小 值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思
想的应用。
附：数列求和的常用方法
1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
?
c
?
2.裂项相消法:适用于
??
其中{
a< br>n
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘
?
a
n
a
n?1
?
的数列等。
例题：已知数列{a
n
}的通项为a
n
=
1
,求这个数列的前n项和S
n
.
n(n?1)
解：观察后发现：a
n
=
11

?< br>nn?1
s
n
?a
1
?a
2
?????a< br>n
∴
11111
?(1?)?(?)?????(?)

223nn?1
1
?1?
n?1
3.错位相减法:适用于
?
a
n
b
n
?
其中{
a
n
}是等差数列 ，
?
b
n
?
是各项不为0的等比数列。
n
例题： 已知数列{a
n
}的通项公式为
a
n
?n?2
，求这个数列 的前n项之和
s
n
。
解：由题设得：
s
n
?a
1
?a
2
?a
3
?????a
n

123n
=
1?2?2?2?3?2?????n?2

6

即
s
n
=
1?2
1
?2?22
?3?2
3
?????n?2
n
①
把①式两边同乘2后得
2s
n
=
1?2
2
?2? 2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
用①-②，即：
s
n
=
1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
?????n?2
n
①
2s< br>n
=
1?2
2
?2?2
3
?3?2
4
?????n?2
n?1
②
得
?s
n
?1?2? 2
2
?2
3
?????2
n
?n?2
n?1
2(1?2
n
)
??n?2
n?1
1?2
?2
n ?1
?2?n?2
n?1
?(1?n)2
n?1
?2
n?1
∴
s
n
?(n?1)2?2


4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
n(n?1)
?
1
?
2
333
1）: 1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) =
n
3）
1?2???n?
?
n(n?1)
?

2
?
2
?
4）
1?2?3???n?
2222< br>2
1
111
n(n?1)(2n?1)
5）
??

n(n?1)nn?1
6
1111
?(?)

n(n?2)2nn?2
6）

31、
a?b?0?a?b；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
32、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
1111
?(?)(p?q)

pqq?ppq
a?b,c?0 ?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
7

?d?0ac
a
?bd
⑥
?
；⑦
?b?0?a< br>n
?b
n
?
n??,n?1
?
；
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?< br>．
33、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
34、含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式（高次不等式）的解法
穿根法（零点分段法）
求解不等式：
a0
x
n
?a
1
x
n?1
?a
2
x
n?2
???a
n
?0(?0)(a
0
?0)

解法：①将不等式化为a
0
(x-x
1
)(x-x
2
)…(x-x
m
)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化“+”；(为了统一
方 便)


②求根，并将根按从小到大的在数轴上从左到右的表示出来；
③由 右上方穿线（即从右向左、从上往下：偶次根穿而不过，奇次根一穿而过），经过数轴上表示各
根的点（ 为什么？）；
④若不等式（x的系数化“+”后）是“>0”,则找“线”在x轴上方的区间；若不等 式是“<0”,则
找“线”在x轴下方的区间.







（自右向左正负相间）
例题：求不等式
x
2
?3x
2
?6x?8?0
的解集。
解：将原不等式因式分解为：
(x?2)(x?1)(x?4)?0

由方程：
(x?2)(x?1)(x?4)?0
解得
x
1
??2,x
2
?1,x
3
?4

将这三个根按从小到大顺序在数轴上标出来，如图




+

X
1
+

—
X
2
X
3
+

X
n-2
X
n-1
—
X
n
+

X

+

8
+
1

4
x
-2

由图可看出不等式
x< br>2
?3x
2
?6x?8?0
的解集为：
?
x|?2?x?1,或x?4
?

例题：求解不等式
解：略


一元二次不等式的求解：
特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；
②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的讨论.

二次函数

??0

??0

??0

2
(x?1)(x?2)(x?5)
?0
的解集。
(x?6)(x?4)
y?ax
2
?bx?c

（
a?0
）的图象
一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根



ax?bx?c?0
2< br>?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a ?0)的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a
无实根

R


b
?
?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
xx??
??

2a
??

?
xx
1
?x?x
2
?


?


?

对于a<0的不等式可以先把a化为正后用上表来做即可。
2.分式不等式的解法
9

（1）标准化：移项通分化为
f(x)f(x)f(x)f(x)
>0(或<0)； ≥0(或≤0)的形式，
g(x)g(x)g(x)g(x)
（2）转化 为整式不等式（组）
f(x)f(x)
f(x)g(x)?0
?0?f(x)g(x) ?0;?0?
?
?
g(x)?0
?
g(x)g(x)

例题：求解不等式：
解：略
例题：求不等式
1
??1

x
x
?1
的解集。
x?1
3.含绝对值不等式的解法：
基本形式：
①型如：|x|＜a (a＞0) 的不等式 的解集为：
?
x|?a?x?a
?

②型如：|x|＞a (a＞0) 的不等式 的解集为：
x|x??a,或x?a

变型：
其中 -c|ax?b|?c(c?0)型的不等式的解集可以由
?
x|?c?ax?b?c
?
解得。
式组
?
??
?
ax?b?c
在解-c?
ax?b??c< br>ax?b?c(c?0)
型的不等式的解法可以由
?
x|ax?b?c,或ax ?b??c
?
来解。
③对于含有两个或两个以上的绝对值的不等式：用“零点分区间法”分类讨论来解.
④绝对值不等式解法中常用几何法：即根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
例题：求解不等式
|x?2|?1

解：略
例题：求解不等式：
|x?2|?|x?3|?10

解：零点分类讨论法：
分别令
x?2?0和x?3?0

解得：
x??3和x?2

在数轴上，-3和2就把数轴分成了三部分，如右上图
①当
x??3
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
3 2
x
10

11
?
?
?(x?2)?(x?3)?10
1 1
?
x??

?
?
?
2
?
??x??3

2
?
x??3
?
x??3
?
②当
?3?x?2
时，（去 绝对值符号）原不等式化为：
?
?3?x?2
?
?3?x?2
??
?3?x?2

??
?(x?2)?(x?3)?10x?R
??
③当
x?2
时，（去绝对值符号）原不等式化为：
?
x?2
?
x?2
9
?

2?x?
??
?
9
?
x?
2
?
(x?2)?(x?3)? 10
?
?2
由①②③得原不等式的解集为：
?
x|?
函数图 像法：
令
f(x)?|x?2|?|x?3|

=10
5 ?
?
119
?
?x?
?
（注：是把①②③的解集并在一 起）
22
?
y
?
?2x?1(x??3)
?
?
则有：
f(x)?
?
5(?3?x?2)

?
2x ?1(x?2)
?
?
在直角坐标系中作出此分段函数及
f(x)?10
的图像如图


o
2
x

由图像可知原 不等式的解集为：
?
x|?
2
?
?
119
?
?x?
?

22
?
4.一元二次方程ax+bx+c=0(a>0 )的实根的分布常借助二次函数图像来分析：
y
设ax+bx+c=0的两根为
?
、
?
，f(x)=ax+bx+c,那么：
22
?
??0
?
①若两根都大于0，即
?
?0,
?
?0
，则有< br>?
?
?
?
?0

?
?
?
?
?0
?



o

对称轴x=


x
11

?
??0
?
b
?
②若两根都小于0，即
?
?0,
?
?0
，则有
?
??0

?
2a
?
?
f(0)?0





③若两根有一根小于0一根大于0，即
?
?0?
?
，则有
f(0)?0




④若两根在两实数m,n之间，即< br>m?
?
?
?
?n
，
y

o
y

对称轴x=

y
o x
x

?
??0
?
b
?
m???n
?
则有
?

2a
?
f(m)?0
o m
?
?
?
f( n)?0
⑤若两个根在三个实数之间，即
m?
?
?t?
?
? n
，
y

X=

n
x
?
f(m)?0
?
则有
?
f(t)?0

?
f(n)?0
?




常由根的分布情况来求解出现在a、b、c位置上的参数
例如：若方程
x?2(m? 1)x?m?2m?3?0
有两个正实数根，求
m
的取值范围。
22
o m

X=
t


n
x
?
4(m?1)
2
?4(m
2
?2m?3)? 0
?
??0
?
m??1
??
?
解：由①型得
?
?
?
?
?0
?
?
2(m?1)?0
?
?
m??1
?
m?3

?
m
2
? 2m?3?0
?
?
?
?
?0
?
m??1,或m?3
??
?
12

所以方程有两个正实数根时，
m?3
。
又如：方程
x
2
?x?m
2
?1?0
的一根大于1，另一根小于1，求
m
的范围。
?
55
22
?
(?1)?4(m?1)?0< br>?
??0
?m?
?
?
?
解：因为有两个不同的根，所 以由
?
?
?
2
?
?
22
?
?1? m?1

2
?
?
f(1)?0
?
1?1?m?1? 0
?
?1?m?1
?
35、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的 次数是
1
的不等式．
36、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
37、二元一次不等式（ 组）的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?
x,y
?
，所有这
样的有序数对
?
x,y
?
构成的集合．
38、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平 面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
， 则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
? x??y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y< br>0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
39、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
（一）由B确定：
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表 示直线
?x??y?C?0
上方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域．
②若
??0
，则
?x??y? C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域．
（二）由A的符号来确定：
先把x的系数A化为正后，看不等号方向：
①若是“>”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的右边部分。
②若是“<”号，则
?x??y?C?0
所表示的区域为直线l:
?x??y?C?0
的左边部分。
（三）确定不等式组所表示区域的步骤：
①画线：画出不等式所对应的方程所表示的直线
②定测：由上面（一）（二）来确定
③求交：取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。
13

?
2x?y?5?0
?
例题：画出不等式组
?
y?3x?5
所 表示的平面区域。
?
2y?x?5?0
?
解：略
40、线性约束 条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解． a?b
称为正数
a
、
b
的算术平均数，
ab
称 为正数
a
、
b
的几何平均数．
2
a?b
42、均值不等式定理： 若
a?0
，
b?0，则
a?b?2ab
，即
?ab
．
2
41、设
a
、
b
是两个正数，则
a
2
?b
2
43 、常用的基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a,b?R
?
；③
2
22
?
a ?b
?
ab?
??
?
a?0,b?0
?
；
2
??
a
2
?b
2
?
a?b
?
④
?
??
?
a,b?R
?
．
2
?
2
?
44、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有： 2
2
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．⑵若
xy?p
（积为定值），则当< br>x?y
4
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
例题：已知
x?
解：∵
x?
51
，求函数
f(x)?4x? 2?
的最大值。
44x?5
5
，∴
4x?5?0

4
由原式可以化为：

f(x)?4x?5?5?2?

1111
??(5?4x)??3??[( 5?4x)?]?3??(5?4x)??3??1?3?2
4x?55?4x5?4x5?4x
14

当
5?4x?
13
2
，即
(5?4x)?1
?
x?1
时取到“=”号
，或x?(舍去）
5 ?4x2
也就是说当
x?1
时有
f(x)
max
?2


15