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人教a版高中数学必修五全册导学案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 21:35
tags:高中数学必修五

南京高中数学辅导机构收费标准-高中数学立体几何的德育


人教A版高中数学必修五全册导学案
目 录
第一章解三角形 ...... .................................................. .......................................... 1
1.1.1正弦定理 .................................... .................................................. ......... 1
1.1.2余弦定理 ........................ .................................................. ..................... 4
1.2.1应用举例 ............ .................................................. ................................. 8
1.2.2解三角形实际应用举例习题 ............................ ................................. 12
必修五第一章测试题 .................................................. ................................ 15
第二章数列 .... .................................................. .................................................. 19
2.1数列的概念与简单表示法 ............................ ..................................... 19
2.2等差数列 ...................................... .................................................. ..... 22
2.3等差数列的前n项和 ........................ ................................................. 26
2.4等比数列 ................................... .................................................. ........ 31
2.5等比数列的前n项和 ..................... .................................................. .. 34
必修五第二章测试题 .............................. .................................................. .. 38
第三章 不等式 ................................ .................................................. ................ 38
3.1不等式与不等关系 .............. .................................................. ................ 38
课题:3.2一元二次不等式及其解法(1) ..... .............................................. 42
课题:3.2一元二次不等式及其解法(2) ......................... .......................... 47
课题:3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(1) ........................... 50
课题:3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(2) ........................... 52


课题:3.3.2简单的线性规划(1) .................... ....................................... 56
课题:3.3.2简单的线性规划(2) ........................... ................................ 61
课题:3.3.2简单的线性规划(3) ........................... ................................ 65
课题:3.4基本不等式
ab?
课题:3.4基本不等式
a?b
. .................................................. ............. 69
2
a?b
................ ................................................ 73
ab?
2
必修五第三章测试题 ..................... .................................................. ........... 76


高中数学必修五全册导学案
目录
1.1 正弦定理和余弦定理
1.2应用举例
第一章解三角形
1.3实习作业
解三角形实际应用举例习题
2.1数列的概念与简单表示法
2.2等差数列
第二章数列 2.3等差数列的前n项和
2.4等比数列
2.5等比数列的前n项和
3.1不等关系与不等式
3.2一元二次不等式及其解法
第三章不等式 3.3二元一次不等式(组)与简单的线性
3.4基本不等式:
ab?
不等式练习题

a?b

2


第一章解三角形
1.1.1正弦定理
【学习目标】 < br>1.通过对特殊三角形边角间的数量关系的探究发现正弦定理,初步学会由特殊
到一般的思想方法 发现数学规律。(难点)
2.掌握正弦定理,并能用正弦定理解决两类解三角形的基本问题。(重点)
【研讨互动问题生成】
1. 正弦定理的概念;
2. 什么是解三角形;
3. 正弦定理适用于哪两种情况;
【合作探究问题解决】
1.在
△AB C
中,已知
b?3

c?33

?B?30
,解此 三角形。




2.在
△ABC
中,已知∠A =
45?B?30
,C=10,解此三角形。



3.在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A,B为锐角,
sin A
=
5
10
,
sinB
=
5
10
(1) 求A+B的值:
(2) 若a-b=
2
-1,求a,b,c得值




【点睛师例巩固提高】
1. 在
△ABC
中,已知
sin
2
A?sin
2
B?sin
2
C
,求证:
△ABC
为直角三角形



2.已知
△ABC
中,?A?60

?B?45
,且三角形一边的长为
m
,解此三角



【要点归纳反思总结】
1. 正弦定理反映了三角形中各边 和它的对角正弦值的比例关系,表示形式

abc
???2R
,其中R是三角 形外接圆的半径。
sinAsinBsinC
2. 正弦定理的应用
(1)如果已 知三角形的任意两角与一边,由三角形的内角和定理可以计算出


另外一个角,并由三角形 的正弦定理计算书另外两边。
(2)如果已知三角形的任意两边和其中一边的对角,应用正弦定理可以 计算
出另外一边对角的正弦值,进而可以确定这个角(此时特别注意:一定要先判
断这个三角形 是锐角还是钝角)和三角形其它的边和角。
【多元评价】
自我评价:小组成员评价:小组长评价:
学科长评价:学术助理评价:
【课后训练】
1.在
△ABC
中,若
sinBsinC?cos< br>2


△ABC
是()
A.等边三角形B.等腰三角形
C.直角三角形D.等腰直角三角形
2.正弦定理适用的范围是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形
A
2< br>3.在
△ABC
中,已知
B?30

b?503
,< br>c?150
,那么这个三角形是( )
A.等边三角形
C.等腰三角形
B.直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
4.在△ABC中,
A:B:C?1:2:3
,则
a:b:c
等于() < br>A.
1:2:3
B.
3:2:1
C.
1:3:2
D.
2:3:1

5.在△ABC中,若角
B
为钝角,则
sinB?sinA
的值 ()
A.大于零B.小于零C.等于零D.不能确定

b?6,B?1 20
6.
△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b, c
,若
c?2,
,则
a

于 ()


A.
6
B.2 C.
3

()




D.
2

7..在△ABC中,若
A?2B
,则
a
等于
A.
2bs inA
B.
2bcosA
C.
2bsinB
D.
2bcos B

8.在
△ABC
中,若
?A?120,AB?5,BC?7,则
△ABC
的面积
S?

9.在
△AB C
中,若此三角形有一解,则
a,b,A
满足的条件为________
1 0.在
△ABC
中,已知
b?3

c?33

?B ?30
,则
a?
________
11.在
△ABC
中, 已知
sin
2
A?sin
2
B?sin
2
C
,求证:
△ABC
为直角三角形


12.⑴已知
△A BC
中,
a?10

b?8

A?70?
,求B

⑵已知
△ABC
中,
a?50

b?2 56

A?45?
,求
B



1.1.2余弦定理
【学习目标】
1. 会利用数量积证明余弦定理,体会向量工具在解决三角形的角度问题是的
作用;(难点)
2. 会从方程的角度理解余弦定理的作用及适用范围,会运用余弦定理解决三
角形的基本问题;(重点)
3. 会结合三角函数利用计算器处理解斜三角形的近似计算问题。
【研讨互动问题生成】


1. 余弦定理定义;
2. 余弦定理适用于哪几种情况;
3. 余弦定理的推论;
【合作探究问题解决】
1.在三角形ABC中,一直下列条件,解三角形。
(1) a=6,b=7,c=8
(2) a=7,b=9,c=13


2.在三角形ABC中,一直下列条件,解三角形。
(1)b=10,c=15,A=
60

(2)a=5.b=7.C=
75


【点睛师例巩固提高】 1.利用余弦定理说明
△ABC
的内角
C
为锐角、直角、钝角的充要条件 分别为
a
2
?b
2
?c
2

a
2
?b
2
?c
2

a
2
?b
2?c
2




2.在三角形ABC中,角A,B, C的对边分别为a,b,c若
b
=ac且c=2a,求
cosB



2


【要点归纳反思总结】
1. 已知三边求解三角形或已知两边及其夹角求解三角形时,使用余弦定理。
2. A为锐角
?< br>cosA
=
b
A为钝角
?
cosA
=
b2
?
c
?
a
222
>0
?
b
?
c
?
a
>0
2bc
?
c
?
a
222
<0
?
b
?
c
?
a
<0
2bc
22
22
2
3. 在解三角形时,往往是正弦定理和余弦定理交替使用。
4. 余弦定理求角时,角的值是唯一的,这样可以避免产生增解。
5. 已知三角形的两边两边的夹角,在解三角形时,要注意用余弦定理求第三
边,进而解出三角形。
【多元评价】
自我评价:小组成员评价:小组长评价:
学科长评价:学术助理评价:
【课后训练】
1.△ABC中,a=3,b=
7
,c=2,那么B等于(
A. 30° B.45° C.60°

D.120°
2.已知△ABC中,
sinA:sinB:sinC
=1∶
3
∶2,则A∶B∶C等于()
A.1∶2∶3 B.2∶3∶1
C.1∶3∶2 D.3∶1∶2
2
3.在
ABC
中,
B?60

b?ac
,则
ABC
一定是()
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形
4.若三条线段的长为5、6、7,则用这三条线段()
A、能组成直角三角形B、能组成锐角三角形


C、能组成钝角三角形D、不能组成三角形
5.在△ABC中,若
a?7,b?3,c?8
,则其面积等于()
A.12B.
21
C.28D.
63

2
6.在△ ABC中,若
(a?c)(a?c)?b(b?c)
,则∠A=()
A.
9 0
0
B.
60
0
C.
120
0
D.
150
0

7.在△ABC中,若
a?7,b?8,cosC?
A .
?
B.
?
C.
?
D.
?

8. 三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程
5x
2
?7x?6?0
的 根,
则三角形的另一边长为()
A.52 B.
213
C.16 D.
9.在△ABC中,若AB=
5
,AC=5,且cosC=
9
,则BC=________.
10
1
5
1
6
1
7
1
8
13
,则最大角的余弦是()
14
10.在△AB C中,
?
b?c
?
:
?
c?a
?
:
?
a?b
?
?4:5:6
,则△ABC的最大内角的度数是
11 .在△
ABC
中,∠
C
=60°,
a

b

c
分别为∠
A
、∠
B
、.
C
的对边,则
=________.
12.在
△ABC
中,
A
最大,< br>C
最小,且
A?2C

a?c?2b
,求此三角形三边之比.





3,x
为三边组成一个锐角三角形,求
x
的范围 13.若
2,
ab
?
b?ca?c








1.2.1应用举例
【学习目标】
1. 会熟练地应用正、余弦定理解任意三角形,能够运用正、余弦定理等知识
和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。(重点,难点)
2. 了解斜三角形在测 量、工程、航海等实际问题中的一些应用,体会正,余
弦定理在平面几何中的计算和推理中的工具作用。
【研讨互动问题生成】
1. 测量中的有关概念、名词和术语
(1)基线:
(2)仰角与俯角:
(3)方位角与方向角:
(4)视角:
(5)坡角与坡度:
2.《1》三角形的几个面积公式
(1)S=ah(h表示a边上的高)
1
2


(2)S=ab
sinC
=bc
sinA
=ac
sinB

(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径)
(4)S=
p(p?a)(p?b )(p?c)
(其中
p?(a?b?c)
)
【合作探究问题解决】
1.如图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距
离,测量者在A的同侧,在所在的河岸边选 定一点C,测出
AC的距离是55m,
?
BAC=
51?

?
ACB=
75?
.求A、B两点的距离(精确到0.1m).





练习:若在河岸选取相距40米的C、D两点,测得
?
BCA=60
?

?
ACD=30
?

?
CDB=45
?

?
BDA=60
?
.




【点睛师例巩固提高】
1.隔河可以看到两个目标,但不能 到达,在岸边选取相距
3
km的C、D两点,
并测得∠ACB=75°,∠BCD=4 5°,∠ADC=30°,∠ADB=45°.A、B、C、
D在同一个平面,求两目标A、B间的距离 .





2.两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东
30
?
,灯塔B在观察站C南偏东60
?
,则A、B之间的距离为多少?
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2





【要点归纳反思总结】
解斜三角形应用题的一般步骤:
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图
(2)建模:根据已知条件与求解目标 ,把已知量与求解量尽量集中在有关的三
角形中,建立一个解斜三角形的数学模型;
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解
【多元评价】
自我评价:小组成员评价:小组长评价:
学科长评价:学术助理评价:
【课后训练】
1.如图,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角
?
=5 4
?
40
?
,在塔底C处测
得A处的俯角
?
=50
?
1
?
.已知铁塔BC部分的高为27.3m,
求出山高CD(精确 到1m)








2 .某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标,测得目标A在南
偏西57°,俯角是6 0°,测得目标B在南偏东78°,俯角是45°,试求山高.







3.为测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼 的楼顶处测得塔顶A的
仰角为30
?
,测得塔基B的俯角为45
?
, 则塔AB的高度为多少m?










4.在平地上有A、B两点,A在山的正东,B在山的东南,且在A的 南25°西
300米的地方,在A侧山顶的仰角是30°,求山高.










1.2.2解三角形实际应用举例习题
一、选择题
1.在△ABC中,若b=1,c=3,∠C=

3
,则a的值是()
A.1 B.3C.2 D.2
2.在△ABC中,下列各式正确的是()
A.
a
b

sinB
sinA
=csinB
(A+B)=csinA D.c2=a2+b2-2abcos(A+B)
3.已知
?ABC
的三边分别为a、b、
a
2
?b
2
?ab
,则
?ABC
的最大角是()
A.135° B.120°C.60° D.90°
4有A、B两个小岛相距10nmile,从A岛望B岛 和C岛成60°的视角,从
岛望A岛和C岛成75°角的视角,则B、C间的距离是()
A.52 nmile B.103 nmileC.
10
36
nmile D.56 nmile
5.如下图,为了测量隧道AB的长度,给定下列四组数据,
测量应当用数据
A.α、a、b B.α、β、a
C.a、b、γ D.α、β、γ
6、边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()
A、90°B、120°C、135°D、150°
7、在△ABC中,
b?8
c?83

S
ABC
?163
,则
?A等于()
B


A、
30
B、
60C、
30

150
D、
60

120

2
8、在△ABC中,
B?60

b?ac
,则△ABC一 定是()
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形
9.如图,设A、 B两点在河的两岸,一测量者
在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离
=45°,∠CAB =105°后,就可以计算出A、
为( )
A.502m B.503m
252
C.252m D.m
2

10.一船向正北航行,看见 正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一
条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏 西60°方向,另一灯塔
在船的南偏西75°方向,则这只船的速
时( )
A.5海里 B.53海里
C.10海里 D.103海里
二、填空题
11.在△ABC中,tanB=1,sinC=
6
,b=100,则c=.
2
在A的同侧,
为50m,∠ACB
B两点的距离
度是每小
12. 在△ABC中,已知
b?503

c?150

B?30
, 则边长
a?

13.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60° 的方向航行
30nmile后看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是..
14.甲、 乙两楼相距20m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼


顶的俯角为30
0
,则甲、乙两楼的高分别是...
三.解答题
15.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,求△ABC的面积。




16.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的 B处有一
艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、
相距20 海里的C处的乙船,现乙船沿直线CB前往B处救援,求cos∠ACB的






17、在锐角三角形中,边a、b是方程x
2
-23 x+2=0的两根,角A、B满足:
2sin(A+B)-3 =0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积。





18.甲舰在A处,乙舰在A的南偏东45°方向,距A有9nmile,并以2 0nmileh
的速度沿南偏西15°方向行驶,若甲舰以28nmileh的速度行驶,应沿什么方< br>向,用多少时间,能尽快追上乙舰?







必修五第一章测试题
一选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在 每小题的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知△ABC中,
A?30< br>,
C?105

b?8
,则等于()
A
4
B
42
C
43
D
45
2.△ABC中,
B?45

C?60

c?1
,则最 短边的边长等于()
66
1
3
A
3
B
2
C
2
D
2

3.长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为()


A90°B120°C135°D150°
abc
??
4. △ABC中,
cosAcosBcosC
,则△ABC一定是()
A直角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形
2
B?60b
5.△ABC中,,
?ac
,则△ABC一定是()
A锐角三角形B钝角三角形C等腰三角形D等边三角形
6.△ABC中,∠A=60°,a=6 ,b=4,那么满足条件的△ABC()
A有一个解B有两个解C无解D不能确定
7.△ABC中,
b?8

c?83

S
A
30
B
60
C
30
150
D
60

120

a?b?c
8.△ABC中,若
A?60

a?3
,则
sinA?sinB? sinC
等于()
3
1
A2B
2
C
3
D
2

ABC
?163
,则
?A
等于()
9.△ABC中,A:B?1:2

C
的平分线
CD
把三角形面积分成
3 :2
两部分,则
cosA?
()
ABCD
0

10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为
()
A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度决定
11在200米高的山顶上,测 得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则
塔高为()
A.
400

3
1
3
1
2
3
4
B.
400 3
米C.200
3

3
D.200米


12 海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°视角,从B
岛望C岛和A岛成75° 的视角,则B、C间的距离是()
A.10海里B.5海里C.5
6
海里D.5
3
海里
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) < br>13.在△ABC中,如果
sinA:sinB:sinC?2:3:4
,那么
cosC
等于。
14.在△ABC中,已知
b?503

c?15 0

B?30
,则边长
a?

15.在钝角△ABC中, 已知
a?1

b?2
,则最大边
c
的取值范围是。
16.三角形的一边长为14,这条边所对的角为
60
,另两边之比为8:5,则这
个三角形的面积为。
三、解答题:本大题共4小题,70分,解答应写出文字说明,证明过程或演
算步骤。
cosAb4
??
17(本题10分)在△ABC中,已知边c=10,又知
cos Ba3
,求边a、b的长。




2
18(本 题12分)在△ABC中,已知
2a?b?c

sinA?sinBsinC
,试判断△ABC
的形状。




19(本题12分)在锐角三角形中,边a、b是方程x
2
-23 x+2=0的两根,角
A、B满足:2sin(A+B)-3 =0,求角C的度数,边c的长度及△ABC的面积。




2 0(本题12分)在奥运会垒球比赛前,C国教练布置战术时,要求击球手以
与连结本垒及游击手的直线 成15°的方向把球击出,根据经验及测速仪的显
示,通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍,问按这 样的布置,游击手能
不能接着球?(如图所示)









第二章数列
2.1数列的概念与简单表示法

【学习目标】
1、了解数列的概念和几 种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);了解数
列是一种特殊的函数;
2、通过三角形 数与正方形数引入数列的概念;通过类比函数的思想了解数列的
几种简单的表示方法(列表、图象、通项 公式);
3、体会数列是一种特殊的函数;借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的
问题 ,可以进一步让学生体会数学知识间的联系,培养用已知去研究未知的能
力。
【研讨互动问题生成】
1.数列的概念
2.数列的记法
3.数列的通项公式
4.数列的本质
5.数列的分类
6.递推公式
【合作探究问题解决】
1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前
4
项分别是下列个数:
(1)
1,3,5,7

2
2
?13
2
? 14
2
?15
2
?1
,,,
(2)
23452.根据下面数列
{a
n
}
的通项公式,写出前
5
项.
n
(1)
a
n
?

n?1
(2)
a
n
?(?1)
n
?n

(3)
a
n
?2



【点睛师例巩固提高】
例1在数列
{a
n
}
中,
a
1
?3,a
10
?21
,通项公式是项数的一次函数.
(1)求数列
{a
n
}
的通项公式,并求
a
2008
;
(2)若
b
n
?a
2n
,求数列
{b
n
}
的通项公式.





例2. 已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
??2n2
?9n?3
.
(1)试问
2
是否是数列
{a
n
}
中的项?
(2)求数列
{a
n
}
的最大项;
(3)若
a
n
?0
,求
n
.







例3已知数列
{a
n
}
的首项
a
1
?1
,且
a
n
?1?



例4已知数列
{a
n
}
的递推公式是a
n?2
?3a
n?1
?2a
n
,且
a
1
?1,a
2
?3
.求:
(1)
a
5
;(2)
127
是这个数列中的第几项?



1
a
n?1
(n?1)
,写出这个数列的前5项.


例5若记数列
{a
?
S
n
?S
n?1
n? 1
n
}
的前
n
项和为
S
n
,试证明
a
n
?
?
?
S
1
n?1
.



变式题:已知数列
{a
n
}
的前
n< br>项和为
S
n
?2n
2
?n
,求
a
n
.




【要点归纳反思总结】
(1)数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型;
(2)了解用列表、图象、通 项公式、递推公式等方法表示数列;能发现数列规
律找出可能的通项公式。
(3)了解数列是一种特殊的函数。
【多元评价】
自我评价:小组成员评价:小组长评价:
学科长评价:学术助理评价:
【课后训练】
1.下列说法正确的是()
A.数列
1,3,5,7
可以表示为
{1,3,5,7}

B.数列
1,0,?1,?2
与数列
?2,?1,0,1
是相同的数列 C.数列
{
n?1
n
}
的第
k
项为
1 ?
1
k

D.数列0,2,4,6,8……可记为
{2n}

2.设数列0.3,0.33,0.333,0.3333……的通项公式是()
A.
1
(10
n
?1)
B.
1
(1?
1
10
n
)
C.
2
939
(10
n
?1)
D.
3
10
(10
n
?1)


3 .已知数列
{a
n
}
中,
a
1
?1,a
2
?3,a
n
?a
n?1
?
A.
5513
B .C.
4
D.
5

123
1
2
1
a
n?2
(n?3)
,则
a
5
等于()
4.已知 数列
{a
n
}
的首项
a
1
?1

a
n
??a
n?1
(n?2)
,则
a
4
等 于()
A.
?1
B.C.
1
2
171
D.
?

248
1
2
5.已知数列
{a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?
,则数列
{an
}
是()
A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列
6. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n?2
?a
n? 1
?a
n
,若
a
1
?1,a
5
?8
,则
a
3
等于()
A.
?1
B.
2
C.
1
D.
3

7.数列
{a
n
}
满足
a
n
?log2
(n
2
?3)?2
,则
log
2
3
是这个数列的第____项.
8.数列
{a
n
}
的前
n< br>项的积为
n
2
,则这个数列的第
3
项与第
5
项的和是________.
9.已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,且
S
n
?2(a
n
?1)
,则
a
2
?
_________.
10.数列< br>{a
n
}
满足
a
1
?2,a
2
?3
,
a
n?2
?3a
n?1
?2a
n
(n? 1)
,写出数列的前
6
项.

11.已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?cn?dn
?1
,且< br>a
2
?,a
4
?
,求
a
n

a
10
.






14 .(1)已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?2n
2
?3n
,求
a
n
.
(2)已 知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?3
n
?2
,求
a
n
.




3
2
3
2
2.2等差数列


【学习目标】
1. 通过实例,理解等差数列的概念;
2. 探索并掌握等差数列的通项公式;
3. 能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系并能用有关知识 解决相应的
问题;体会等差数列与一次函数的关系。
【研讨互动问题生成】
1.等差数列的概念
2.等差数列的通项公式
【合作探究问题解决】
⑴ 在直角坐标系中,画出通项公式为
a
n
?3n?5
的数列的图象。这个图象有 什么
特点?
⑵在同一个直角坐标系中,画出函数y=3x-5的图象,你发现了什么?据此说
一说等差数列
a
n
?pn?q
与一次函数y=px+q的图象之间有 什么关系。
【点睛师例巩固提高】
例1.⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?


例2.某市出租车的计价标准为1.2元km,起步价为10元,即最初的4km(不
含4千米 )计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且
一路畅通,等候时间为0,需要 支付多少车费?





例3.已知数 列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?pn?q,
其中p、q为常数,且p≠0,那么
这个数列一定是等差数列吗?








【要点归纳反思总结】
①等差数列定 义:即
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2)
②等差数 列通项公式:
a
n
?
a
1
?(n?1)d
(n≥1 )
推导出公式:
a
n
?a
m
?(n?m)d


【多元评价】
自我评价:小组成员评价:小组长评价:
学科长评价:学术助理评价:
【课后训练】
1.在等差数列{
a
n
}中,已知
a
1
=2,
a
2
+a
3=13
,则
a
4
+
a
5
+
a
6
等于 ()


A.40 B.42 C.43D.45
2. 设
?
a
n
?
是公差为正数的等差数列,若
a
1?a
2
?a
3
?15

a
1
a
2
a
3
?80
,则
a
11
?a
12?a
1
?
()
3
A.
120
B.
1 05
C.
90
D.
75

3.已知等差数列2,5,8,… …,该数列的第3k(k∈N

)项组成的新数列{
b
n

的前4项是 。{
b
n
}的通项公式为 。
4.数 列{a
n
}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{b
n
}是首项为-2, 公差为
4的等差数列。若a
n
=b
n
,则n的值为()
(A)4(B)5(C)6(D)7
5.关于等差数列,有下列四个命题中是真命题的个数为()
(1)若有两项是有理数,则其 余各项都是有理数(2)若有两项是无理数,则
其余各项都是无理数(3)若数列{a
n
}是等差数列,则数列{ka
n
}也是等差数列
(4)若数列{a
n
}是等差数列,则数列{a
2
n
}也是等差数列
(A)1(B)2(C)3(D)4
6.在等差数列{a
n
}中,a
m
=n,a
n
=m,则a
m+n
的值为()
(A)m+n(B)
(m?n)
(C)
(m?n)
(D)0 < br>7.在等差数列{a
n
}中,若a
1
+a
4
+a7
=39,a
2
+a
5
+a
8
=33,则a< br>3
+a
6
+a
9
的值为
()
(A)30(B)27(C)24(D)21
8.一个直角三角形的三条边成等差数列,则它的最短边与最长边的比为
()
(A)4∶5(B)5∶13(C)3∶5(D)12∶13
1
2
1
2


10.在等差数列{a
n
}中,已知a
2
+a< br>7
+a
8
+a
9
+a
14
=70,则a8
=。
11.在数列
{a
n
}
中,
a
1
=1,
a
n?1
?a
n
?2
,则
a< br>51
的值为()
A.99B.49C.102D.101
12.已知等差数 列
?
a
n
?
的前三项为
a?1,a?1,2a?3
,则此数列的通项公式为__-
______.
13.已知数列{a
n
}的 前n项和
S
n
?n
2
?n
,那么它的通项公式为a
n
=_________






2.3等差数列的前n项和

【学习目标】
1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路;
2.会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题
【研讨互动问题生成】
1.等差数列的前
n
项和公式1
2.等差数列的前
n
项和公式2
【合作探究问题解决】
1.一般 地,如果一个数列
?
a
n
?
,
的前n项和为
Sn
?pn
2
?qn?r
,其中p、q、r为常


数 ,且
p?0
,那么这个数列一定是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别
是多少?
2.对等差数列的前
n
项和公式2:
S
n
?na
1
?
S
n
?
n(n?1)d
可化成式子:
2
d
2
d
n?(a
1
?)n
,当d≠0,是一个常数项为零 的二次式
22
【点睛师例巩固提高】
例1. 一个等差数列前4项的和是24,前5项的和与前2项的和的差是27,求
这个等差数列的通项公式。



例2.差数列{
a
n
}中,
a4
=-15,公差d=3,求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值。






【要点归纳反思总结】
1.前n项和为
S
n
?pn
2?qn?r
,其中p、q、r为常数,且
p?0
,一定是等差数
列,该数 列的首项是
a
1
?p?q?r
;公差是d=2p
?
S1
?a
1
?p?q?r,当n?1时
通项公式是
a
n< br>?
?

S?S?2pn?(p?q),当n?2时
n?1
?< br>n
2.等差数列前项和的最值问题有两种方法:


(1)当
a< br>n
>0,d<0,前n项和有最大值可由
a
n
≥0,且
an?1
≤0,求得n的值。

a
n
<0,d>0,前n项和有 最小值可由
a
n
≤0,且
a
n?1
≥0,求得n的值。 < br>(2)由
S
n
?n
2
?(a
1
?)n
利用二次函数配方法求得最值时n的值
【多元评价】
自我评价:小组成员评价:小组长评价:
学科长评价:学术助理评价:
【课后训练】
1.在等差数列{a
n
}中,S
m
=Sn
,则S
m+n
的值为()
(A)0 (B)S
m
+S
n
(C)2(S
m
+S
n
)(D)
(S
m
?S
n
)

2.在等 差数列{a
n
}中,S
4
=6,S
8
=20,则S
12
=。
3.在项数为n的等差数列{a
n
}中,前三项之和为12,最后 三项之和为132,前
n项之和为240,则n=。
4.已知等差数列{
a
n
}和{
b
n
}的前n项和分别为S
n
和T
n,且
= 。
5.已知数列{a
n
}为等差数列,前30项的和为50 ,前50项的和为30,求前80
项的和。




6.
a,b,c
都是实数,那么“
2b?a?c
”是“
a,b,c
成等差数列”的()
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.既非充分又非必要条件
S
n
2n?1
a
?
,求
7
T
n
2n?1b
7
d
2
d
2
1
2


7.若
lg2,lg
?
2
x
?1
?
,lg
?
2
x
?3
?< br>成等差数列,则
x
的值等于()
A.9B.
log
2
5
C.32D.0或32
8.三个数成等差数列,平方和为450,两两之积的和为423,则其中间数为()
A.150B.
150
C.
?150
D.
?12

9.已知等差数列的首项为
1
,第10项是第一个比1大的项,则该等差数列公
25
差d的取值范围是()
838383
B.
d?
C.
?d?
D.
?d?

752575257525
10.数列
?
a
n
?
是公差为
d
?
d?0且d?1
?
的等差数列,它的前20项的和
S
20
?10m,

A.< br>d?
下列等式中正确的是()
A.
m?2a
5
?a
10
B.
m?a
1
?2a
10

C.
m? a
5
?a
15
D.
m?2a
10
?d
< br>11.在等差数列
?
a
n
?
中,
a
2
?a
5
?19

S
5
?40
,则
a10
为()
A.27B.28C.29D.30
12.等差数列共有
2n?1
项,所有奇数项之和为132,所有偶数项之和为120,则
n?
()
A.9B.10C.11D.12
13.等差数列{
a
n
}中,公 差
d?0
,前
n
项和
S
n
,当
n?2时一定有()
A
S
n
?na
1
B
S
n
?na
n
C
S
n
?na
n
D
S
n
?na
1

14.在公差为非零实数的等差数列
?
a
n
?
中,若
a
1
,a
2
是方程
x
2
?a
3
x?a
4
?0
的两根,
则通 项公式
a
n
=
15.一个五边形的五个内角成等差数列,且最小角为46
0
,则最大角为
16.在等差数列
?
a
n
?
中,
a
n
?< br>?

a
2n
?
?
,则
a
3n
=
17.在等差数列
?
a
n
?
中,
a
1
??14,d?3
,则n=时,
S
n
有最小值,最小值是
18.若三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数








19.等差数列{
a
n
}中,
a
1
??60,
a
17
??12,求其前
n
项绝对值之和



2.4等比数列

【学习目标】
1.理解等比数列的概念,认识等比数列是反映自然规律的重要数列模型之一
2.探索并掌握等比数列的通项公式。
【研讨互动问题生成】
1. 等比数列定义
2. 等比数列通项公式
3. 等比中项
【合作探究问题解决】
1.公比q是任意一个常数,不仅可以是正数也可以是负数。
2.当首项等于0时,数列都是 0。当公比为0时,数列也都是0。所以首项和
公比都不可以是0。
3.当公比q=1时,数列是怎么样的,当公比q大于1,公比q小于1时数列是
怎么样的?
4.等比数列和指数函数的关系
5.思考:
a
5
2
?a< br>3
a
7
是否成立呢?
a
5
2
?a
1
a
9
成立吗?
a
n
2
?a
n?1
a
n?1
(n?1)
成立吗?
6.思考:如果
a
n,b
n
是两个等比数列,那么
a
n
b
n
,是等比数列吗?
如果是为什么?
a
n
b
n
是等比数列吗?
a
n
?a
p
a
q
成立吗? 7.思考:在等比数列里,如果
m?n?p?q,a
m
如果是为什么?
【点睛师例巩固提高】
例:已知等比数列
{a
n
}
a
2
?2

a
5
?128

(1)求通项
a
n


(2)若
b
n
?log
2
a
n
,数列
{b
n
}
的前
n
项的和为
S
n
,且
S
n
?360
,求
n
的值




【要点归纳反思总结】
1.等比数列的通项公式
2.等比数列的性质
【多元评价】
自我评价:小组成员评价:小组长评价:
学科长评价:学术助理评价:
【课后训练】
1. 若等比数列的首项为4,公比为2,则其第3项和第5项的等比中项是______.
2. 在等比数列{a
n
}中,

(2)若S
3
=7a
3
,则q=______;
(3)若 a
1
+a
2
+a
3
=-3,a
1
a
2
a
3
=8,则S
4
=____.
3. 在等比数列{a
n
}中,
(1)若a
7
·a
12
=5,则a
8
·a
9
·a
10
·a
11
= ____;


(2)若a
1
+a
2
=324,a3
+a
4
=36,则a
5
+a
6
=_____ _;
(3)若q为公比,a
k
=m,则a
k+p
=______;
(4)若a
n
>0,q=2,且a
1
·a
2
·a< br>3
…a
30
=2
30
,则a
3
·a
6
·a
9
…a
30
=_____.
4. 一个数列的前n 项和S
n
=8
n
-3,则它的通项公式a
n
=____.
5.已知等比数列
{a
n
}
中,
a
2
?1 0

a
3
?20
,那么它的前5项和
S
5
=__________。
6.等比数列
{a
n
}
的通项公式是< br>a
n
?2
4?n
,则
S
5
=_______ ___。
7.在等比数列
{a
n
}
中,
a
2?a
8
?16
,则
a
5
=__________。
8..数列m,m,m,…一定[]
A.是等差数列,但不是等比数列B.是等比数列,但不是等差数列
C.是等差数列,但不一定是等比数列D.既是等差数列,又是等比数列
9.已知
a

b

c

d
是公比为2的等比数列,则
A.1B.C.D.
10.已知
{a
n
}
是等比数列,且
a
n
?0

a
2
?a
4
?2a
3
?a
5
?a
4
?a
6
?25
,那么
a
3
?a
5

值是()
A.5B.6C.7D.25
11.在等比数列
{a
n
}
中,已知
a
1
?

a
4
?3
,则该数列前5项的积为()
A.
?1
B.3C.1D.
?3

12.一个三角形的三内 角既成等差数列,又成等比数列,则三内角的公差等于
1
9
1
2
1< br>4
1
8
2a?b
等于()
2c?d


()
A.
0?
B.
15?
C.
30?
D.
60?

13.各项均为正的等比数列
{ a
n
}
中,
q?
,那么当
a
6
?
值为()
A.1B.-1C.2D.-2
14.若6,
x

y< br>,
z
,54这五个数成等比数列,则实数
x
的值是()
A.
?63
B.
63
C.
36
D.
?36
< br>15.在数列{
a
n
},已知
a
1
=-1,
a
n
+
a
n
+1
+4
n
+2=0。 (1)若
b
n
=
a
n
+2
n
,求证: {
b
n
}为等比数列,并写出{
b
n
}的通项公式;
(2)求{
a
n
}的通项公式’





1
2
1
时,该数列首项
a
1

16
2.5等比数列的前n项和
【学习目标】
1.掌握等比数列前n项和公式及其获取思路;
2.会用等比数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题


【研讨互动问题生成】
1.等比数列的前
n
项和公式1
2.等比数列的前
n
项和公式2
【合作探究问题解决】

q?1
时,
S
a
1
(1?q
n
)
a1
?a
n
q
n
?
1?q
①或
S
n
?
1?q

当q=1时,
S
n
?na
1

当已知
a< br>1
,q,n时用公式①;当已知
a
1
,q,
a
n时,用公式②
【点睛师例巩固提高】
例1. 求和:
S
n
?1 ?3x?5x
2
?7x
3
?????(2n?1)x
n?1






例2.求数列
2
2
,
4
2
2
,
6
2
3
,???,
2n
2
n
,???
前n项的和.









例3.求数列的前n项和:
1?1,?4,






例4.求数列






【要点归纳反思总结】
等比数列求和的公式
【多元评价】
自我评价:小组成员评价:小组长评价:
学科长评价:学术助理评价:
【课后训练】
1
1?2
,
1
2?3
,???,< br>1
n?n?1
,???
的前n项和.
1
a
11
?7,???,?3n?2
,…
2n?1
aa


1.在等比数列
?
a
n
?
中,
a
7
?a
11
?6,a
4
?a
14
?5
,则
a
20
?
()
a
10
2.等比数列
{a
n
}
中,已知
a
1
a
2
a< br>12
?64
,则
a
4
a
6
的值为
3.实数
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
依次成等比数列,其中a
1
=2,a
5
=8,则a
3
的值为
4.设等比数列{
a
n
}的前n项和为
S
n
,若
S
6
S
=3,则
9
=
S
3
S
6
5.等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
,若
S
4
?2S
2
,则公比为
6.已知等比数列{a
n
}的公比为2,前4项的和是1,则前8项的和为
7.已知等比数列
{a
n
}
的首项为8,
S
n
是其 前n项的和,某同学经计算得S
2
=20,
S
3
=36,S
4
=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则该数为
8.已知数列
?a
n
?
的前
n
项和
S
n
?aq
n
(
a?0
,
q?1
,
q
为非零常数),则数列
?
a
n
?
为()
A.等差数列B.等比数列C.既不等比也不等差D.既是等差又是等比
9.若a
n
>0,q=2,且a
1
·a
2
·a
3
…a
30
=2
30
,则a
3
·a
6
·a
9…a
30
=_____.
10.已知1,a
1
,a
2
,4成等差数列,1,b
1
,b
2
,b
3
,4成等 比数列,则
a
1
?a
2
?
______.
b2
11.等比数列{
a
n
}的公比
q?0
,
a
2
=1,
a
n?2
?a
n?1
?6a
n< br>则数列{
a
n
}的
S
4
=
12.等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
=
a?2
n
?a?2
,则
a
n
=_______ .
13.已知数列{
a
n
}中,
a
1
=
1
,a
2
=
2
,a
n+
2
=
a< br>n?1
?a
n
(n?N
?
)

(1)求证: {
a
n+
1
-a
n
}是等比数列。(2)求数列{
a
n
}的通项公式。





23
1
3


14.在等比数列
?
a
n
?
中,
a
1
?1,
公比
q?0
,设
b< br>n
?log
2
a
n

b
1
?b3
?b
5
?6,b
1
b
3
b
5
?0.

(1)求证:数列
?
b
n
?
是等差数列;
(2) 求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
S
n
及数列
?
a
n
?
的通项公式;
(3)试比较
a
n

S
n
的大小.



必修五第二章测试题

第三章 不等式
3.1不等式与不等关系
一.:自主学习,明确目标
1.知识与技能:掌握不等式的基本性质,会用不等式的性
质证明简单的不等式;
2 .过程与方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的
实际背景分析问题、解决问题的方法;
3.情态与价值:通过讲练结合,培养学生转化的数学思想
和逻辑推理能力.
教学重点:掌握不等式的性质和利用不等式的性质证明简
批注


单的不等式;
教学难点:利用不等式的性质证明简单的不等式。
教学用具:投影仪
教学方法:通过解决具体问题,学会依据具体问题的实际
背景分析问题、解决问题的方法;
二.研讨互动,问题生成
在初中,我们已经学习过不等式的一些基本性质。
请同学们回忆初中不等式的的基本性质。
(1)不等式的两边同时加上或减去同一个数,不等号的方
向不改变;
即若
a?b?a?c?b?c

(2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的
方向不改变;
即若
a?b,c?0?ac?bc

(3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的
方向改变。
即若
a?b,c?0?ac?bc

三.合作探究,问题解决
1、不等式的基本性质证明:
(1)
a?b,b?c?a?c

(2)
a?b?a?c?b?c

(3)
a?b,c?0?ac?bc


(4)
a?b,c?0?ac?bc

2、探索研究
思考,利用上述不等式的性质,证明不等式的下列性质:
(1)
a?b,c?d?a?c?b?d

(2)
a?b?0,c?d?0?ac?bd

(3)
a?b?0 ,n?N,n?1?a
n
?b
n
;
n
a?
n
b






例1、已知
a?b?0,c?0,
求证:
?





c
a
c
b
练习
1、在以下各题的横线处适当的不等号:
(1)(
3

2

2
6+2
6

(2)(
3

2

2

6
-1)
2

(3)
1
5?2
1

6?5


(4)当
a

b
>0时,log
1
a< br>log
1
b

22
例2、比较(
a
+3)(
a
-5)与(
a
+2)(
a
-4)的大小。





练习2

1、 比较大小:
( 1)(
x
+5)(
x
+7)与(
x
+6)
2

(2)
x
2
?5x?6与2x
2
?5x?9

4.课时小结
本节课学习了不等式的性质,并用不等式的性质证明了一
些简单的不等 式,还研究了如何比较两个实数(代数式)
的大小——作差法,其具体解题步骤可归纳为:
第一步:作差并化简,其目标应是
n
个因式之积或完全平
方式或常数的形式;
第二步:判断差值与零的大小关系,必要时须进行讨论;
第三步:得出结论
5.评价设计
课本P75习题3.1[A组]第2、3题;[B组]第1题


自我评价同伴评价小组长评价






课题:3.2一元二次不等式及其解法(1)


一.:自主学习,明确目标

1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式 与二次函数的关系,
掌握图象法解一元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类
讨论 的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力;
2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出一元二次 不等式模型的过程和
通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元
二次 不等式的解法;
教学重点:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式
的解法。
教学难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。
教学方法:经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过



函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次
不等式的 解法;
二.研讨互动,问题生成
从实际情境中抽象出一元二次不等式模型:
互联网的收费问题一元二次不等式模型:
x
2
?5x?0

1)
一元二次不等式的定义

x
2
?5x?0
这 样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不
等式,称为一元二次不等式
2)
探究一元二次不等式
x
2
?5x?0
的解集
怎样求不等式(1)的解集呢?
探究:
(1)二次方程的根与二次函数的零点的关系
容易知道:二次方程的有两个实数根:
x
1
?0,x
2
?5

二次函数有两个零点:
x
1
?0,x
2
?5

于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零
(2)观察图象,获得解集
画出二次函数
y?x
2
?5x
的图象,如图,观察函数图象,可知:
当x<0,或x>5时,函数图象位于x轴上方,此时,y>0,即
x
2
?5 x?0

当0x
2
?5x?0

所以,不等式
x
2
?5x?0
的解 集是
?
x|0?x?5
?
,从而解决了本节开始时提
出的问题。
点。
3)
探究一般的一元二次不等式的解法


任意的一元二 次不等式,总可以化为以下两种形式:
ax
2
?bx?c?0,(a?0)或ax2
?bx?c?0,(a?0)

一般地,怎样确定一元二次不等式
ax
2
?bx?c
>0与
ax
2
?bx?c
<0的解集
呢?
组织讨论:
从上面的例子出发,综合学生的意见,可以归纳出确定一元二次不 等式
的解集,关键要考虑以下两点:
(1)抛物线
y?
ax
2?bx?c
与x轴的相关位置的情况,也就是一元二次方程
ax
2
?bx ?c
=0的根的情况
(2)抛物线
y?
ax
2
?bx?c
的开口方向,也就是a的符号





设相应的一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x
1
?x
2

??b
2
?4ac
,则不等式的解的各种情况如下表:(让学 生独立完成课本第
86页的表格)

??0

??0

??0



二次函数
y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c


a?0
)的图


一元二次方

ax
2
?bx?c?0



有两相等实
有两相异实根

x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)


b

x< br>1
?x
2
??
2a
?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集

无实根

?
xx?x
1
或x?x
2
?

?
b
?
xx??
??

2a
??

R

?

ax
2
?bx?c?0
(a?0)的解集

?
xx
1
?x?x
2
?

?

三.合作探究,问题解决
例1求不等式
4x
2
?4x?1?0
的解集.


例2解不等式
?x
2
?2x?3?0
.





课时小结
解一元二次不等式的步骤: ①将二次项系数化为“+”:A=
ax
2
?bx?c
>0(或<0)(a >0)
②计算判别式
?
,分析不等式的解的情况:
ⅰ.
?
>0时,求根
x
1
<
x
2

?
?
若A?0,则x?x
1
或?x
2

?
若A?0,则x1
?x?x
2
.

?
若A?0,则x?x
0< br>的一切实数;
?
ⅱ.
?
=0时,求根
x
1

x
2

x
0

?
若A?0,则x?
?


?
若A?0,则x?x.
0
?
ⅲ.
?
<0时,方程无解,
?
③写出解集.
?
若A?0,则x?R;
?
若A?0,则x?
?
.

5.评价设计
课本第80页习题3.2[A]组第1题
自我评价同伴评价小组长评价









课题:3.2一元二次不等式及其解法(2)


一.:自主学习,明确目标
1.知识与技能:巩固一元二次方程、一元二次不等式与二

次函数的关系;进一步熟练解一元二次不等式的解法;
2.过程与方法:培养数形结合的能力,一题多解的能力,
培养抽象概括能力和逻辑思维能力;
教学重点:熟练掌握一元二次不等式的解法
教学难点:理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数
的关系
教学方法:培养数形结合的能力,一题多解的能力,培养抽

象概括能力和逻辑思维能力;
二.研讨互动,问题生成
1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系
2.一元二次不等式的解法步骤——课本第77页的表格
三.合作探究,问题解决
例1某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离sm和汽车的
速度xkmh有如下的关系:
s?< br>11
2
x?x

20180


在一次 交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那
么这辆汽车刹车前的速度是多少?(精确到0. 01kmh)


例2、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,
这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)
之间有如下的关系:
y??2x
2
?220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创收6000元
以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?






改:设
x
2
?2x?a?8?0
对于一切
x?(1,3)
都成立,求
a
的范围.
改:若方 程
x
2
?2x?a?8?0
有两个实根
x
1
,x< br>2
,且
x
1
?3

x
2
?1


a
的范围.
1
1、已知二次不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集为
{x|x?
1
3
或x?
2
}
,求
关于
x
的不等式
cx
2
?bx?a ?0
的解集.






2、若 关于
m
的不等式
mx
2
?(2m?1)x?m?1?0
的解 集为空集,

m
的取值范围.







改1:解集非空
改2:解集为一切实数


自我评价同伴评价小组长评价








课题:3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(1)


一.:自主学习,明确目标
1.知识与技能:了解二元一次不等式的几何意义,会用二元
一次不等式组表示平面区域;
2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组
的过程,提高数学建模的能力;
教学重点:用二元一次不等式(组)表示平面区域;
教学难点:用二元一次不等式(组)表示平面区域;
教学方法:经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过
程,提高数学建模的能力;
二.研讨互动,问题生成
1.从实际问题中抽象出二元一次不等式(组)的数学模型
课本第82页的“银行信贷资金分配问题”


2.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义


(1)二元一次不等式:
(2)二元一次不等式组
(3)二元一次不等式(组)的解集:
(4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点
之间的关系:
例1画出不等式
x?4y?4
表示的平面区域。




变式1、画出不等式
4x?3y?12
所表示的平面区域。
变式2、画出不等式
x?1
所表示的平面区域。





例2用平面区域表示.不等式组
?
?
y??3x?12
的解集。
?
x?2y
?0
表示的平面区域。 变式1、画出不等式
(x?2y ?1)(x?y?4)
变式2、由直线
x?y?2?0

x?2y?1?0< br>和
2x?y?1?0
围成的
三角形区域(包括边界)用不等式可表示为。





自我评价同伴评价小组长评价

课题:3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(2)


一.:自主学习,明确目标
1.知识与技能:巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域;能根据实际问题中的已知条件,找出约束
条件;
2.过程与方法:经历 把实际问题抽象为数学问题的过程,体
会集合、化归、数形结合的数学思想;
教学重点:理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式
(组)所表示的平面区域画出来。
教学难点:把实际问题抽象化,用二元一次不等式(组)表
示平面区域。
教学方法:经历把实际问题抽象为数学问题的过程,体会集
合、化归、数形结合的数学思想


二.研讨互动,问题生成
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
>0在平面直角坐标系中表示
直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区
域不包括 边界直线)
判断方法:


三.合作探究,问题解决
1、画出不等式2
x
+
y
-6<0表示的
平面区域. ?
x?y?5?0
?
2、画出不等式组
?
x?y?0
表 示的平面区
?
x?3
?
y
x+y=0
55
B(-, )
22
x-y+5=0
6
x=3
03
C(3,-3)
x
A(3,8)
域。
例1某人准备投资1200万兴办一所完全中学,对教育市场 进
行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位):
班级学生
学段
人数
初中
高中
45
40

2
3
万元
26班
54班
万元
2人
2人
配备教师硬件建设教师年薪
分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。





例2、画出下列不等式表示的区域
(1)
(x?y)(x?y?1)?0
;(2)
x?y?2x
分析:(1)转化为等价的不等式组;(2)注意到不等式的传递
性,由
x?2x
,得
x?0
,又用
?y

y
,不等式仍成立,区域
关于
x
轴对称。







?
2x?y?3?0
?
例3、利用区域求不等式组
?
2x? 3y?6?0
的整数解
?
3x?5y?15?0
?








练习
1. (1)
y?x?1
;(2).
x?y
;(3).
x?y


?
x?y?6?0
?
x?y?0
?
2.画出不等 式组
?
表示的平面区域
y?3
?
?
?
x?5






4.课时小结
进一步熟悉用不等式(组)的解集表示的平面区域。


5.评价设计
1、课本第93页习题3.3[B]组的第1、2题




自我评价同伴评价小组长评价





课题:3.3.2简单的线性规划(1)


一.:自主学习,明确目标
1.知识与技能:使学生了解二元一次不等式表示
平面区 域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标
函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;了解线
性规划问题的图解法,并能应用它解决一些简单的实
际问题;
2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问
题的过程,提高数学建模能力;
教学重点:用图解法解决简单的线性规划问题
教学难点:准确求得线性规划问题的最优解 < br>教学方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过


程,提高数学建模能 力;
二.研讨互动,问题生成
1、二元一次不等式
Ax?By?C?0
在平面直角坐标系中表示什么
图形?
2、怎样画二元一次不等式(组)所表示的平面区域?应注意哪些
事项?
3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
三.合作探究,问题解决
在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排
等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题:
引例:某工厂有A、B两种配件生产甲、乙 两种产品,每生产一件
甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件
耗时 2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配
件,按每天8h计算,该厂所有可能的日 生产安排是什么?
(1)用不等式组表示问题中的限制条件:
设甲、乙两种产品分别生产x、y件,又已知条件可得二元一次不
等式组:

< br>?
x?2y?8
?
4x?16
?
?
?
4y? 12
?
x?0
?
?
?
y?0
………………………… …
………………………………….(1)
(2)画出不等式组所表示的平面区
域:
如图,图中的阴影部分的整点(坐标为整数的点)就代表所有可能
的日生产安排。
(3)提出新问题:
进一步,若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品获利3
万元,采用哪种生产安排利润最大?
(4)尝试解答:
设生产甲产品
x
件 ,乙产品
y
件时,工厂获得的利润为
z
,则
z=2x+3y
.这样,上述问题就转化为:
当x,y满足不等式(1)并且为非负整数时,
z
的最大值是多少?
z=2x+3y
变形为
y??x?
,这是斜率为
?
,在y轴上的 截
距为的直线。当z变化时,可以得到
一族互相平行的直线,如图,由于这
些直线的斜 率是确定的,因此只要给
定一个点,(例如(1,2)),就能确定
一条直线(
y?? x?
),这说明,截
距可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到,直线
z3
z
3
2
3
z
3
2
3
23
8
3


2z
,而
y??x?
与不等式组 (1)的区域的交点满足不等式组(1)
33
z
且当截距最大时,z取得最大值。因此 ,问题可以转化为当直线
3
2z
y??x?
与不等式组(1)确定的平面区域 有公共点时,在区域
33
z
内找一个点P,使直线经过点P时截距最大。
3
(5)获得结果:
由上图可以看出,当实现
y??x?
金国直线 x=4与直线x+2y-8=0
的交点M(4,2)时,截距的值最大,最大值为
z
3
2
3
z
3
14
,这时2x+3y=14.
3
所以,每天生产甲产品4件,乙产品2件时,工厂可获得最大利润
14万元。
2、线性规划的有关概念:
①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量
x

y
的约
束条件,这组约束条件都是关于
x

y< br>的一次不等式,故又称线性
约束条件.
②线性目标函数:
关于
x< br>、
y
的一次式
z
=2
x
+
y
是欲达 到最大值或最小值所涉及的变量
x

y
的解析式,叫线性目标函数.
③线性规划问题:
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问
题,统称为线性规划问题.
④可行解、可行域和最优解:
满足线性约束条件的解(
x
,
y
)叫可行解.
由所有可行解组成的集合叫做可行域.


使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.
3、 变换条件,加深理解
探究:课本第100页的探究活动
(1) 在上述问题中,如果生产一 件甲产品获利3万元,每生产
一件乙产品获利2万元,有应当如何安排生产才能获得最大利润?
在换几组数据试试。
(2) 有上述过程,你能得出最优解与可行域之间的关系吗?


3.随堂练习
1.请同学们结合课本
P
91
练习1来掌 握图
解法解决简单的线性规划问题.
(1)求
z
=2
x
+
y
的最大值,使式中的
x

y
?
y?x,
?
满足约束条件
?
x?y?1,

?
y??1.
?
y
3
2
1
O
x-y=0
11
(
B
,)
22
x
12
-2-1
A
(2,-1)
C
(-1,-1)
-1
x+y-1=0
2x+y=0




















课题:3.3.2简单的线性规划(2)


一.:自主学习,明确目标
1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它
解决一些简单的实际问题;
2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划
问题的过程,提高数学建模能力;
教学重点:利用图解法求得线性规划问题的最优解


教学难点:把实 际问题转化成线性规划问题,并给出解答,
解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束条< br>件和目标函数,利用图解法求得最优解。
教学方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的
过程,提高数学建模能力
二.研讨互动,问题生成
1、二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
>0在平面直角坐标系中表
示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组成的平面区域(虚线表示
区域不包括边界直线)
2、目标函数,线性目标函数,线性规划问题,可行解,
可行域,最优解:
三.合作探究,问题解决
线性规划在实际中的应用:
线性规划的理论和方法主 要在两类问题中得到应用,一
是在人力、物力、资金等资源一定的条件下,如何使用它们
来完成 最多的任务;二是给定一项任务,如何合理安排和规
划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项 任务
下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用:
[范例讲解]
例5 营养 学家指出,成人良好
的日常饮食应该至少提供
0.075kg的碳水化合物,

< br>0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪,1kg食物A含有
0.105kg碳水化合物,0 .07kg蛋白质,0.14kg脂肪,
花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,
0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元。为了满
足营养专家指出的日常饮食要求 ,同时使花费最低,
需要同时食用食物A和食物B多少kg?






例6 在上一节例3中,若根据有关部门的规定,初中每
人每 年可收取学费1600元,高中每人每年可收取学
费2700元。那么开设初中
班和高中班各多 少个,每
年收取的学费总额最高
多?











结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和
方法:
简单线性规划问题就是求 线性目标函数在线性约束条
件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求
解的格式 与步骤是不变的:
(1)寻找线性约束条件,线性目标函数;
(2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;
(3)在可行域内求目标函数的最优解








自我评价同伴评价小组长评价











课题:3.3.2简单的线性规划(3)


一.:自主学习,明确目标
1.知识与技能:掌握线性规划问题的图解法,并能应用它
解决一些简单的实际问题;
2.过程与方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划
问题的过程,提高数学建模能力;
教学重点:利用图解法求得线性规划问题的最优解;


教学难点:把 实际问题转化成线性规划问题,并给出解答,
解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件,找出约束条
件和目标函数,利用图解法求得最优解。
教学方法:经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的
过程,提高数学建模能力
二.研讨互动,问题生成
1、二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
>0在平面直角坐标系中表
示直线
Ax
+
By
+
C
=0某一侧所有点组成的平面区域(虚线表示
区域不包括边界直线)
2、目标函数,线性目标函数,线性规划问题,可行解,
可行域,最优解:
3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤:
三.合作探究,问题解决
1.线性规划在实际中的应用:
例7 在上一节例4中,若生产1车皮甲种肥料,产生的利润为10000元;生产
1车皮乙种肥料,产生
的利润为5000元,那
么分别 生产甲、乙两种
肥料各多少车皮,能够
产生最大的利润?






2.若实数
x

y
满足
?
1?x?y?3
求4
x
+2
y
的取值范围.
?
?1?x?y?1
?
错解:由①、②同向相加可求得:
0≤2
x
≤4即0≤4
x
≤8③
由②得—1≤
y

x
≤1
将上式与①同向相加得0≤2
y
≤4④
③十④得0≤4
x
十2
y
≤12
以上解法正确吗?为什么?
(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析.
(2)[ 辨析]通过讨论,上述解法中,确定的0≤4
x
≤8及0≤
2
y
≤4 是对的,但用
x
的最大(小)值及
y
的最大(小)值来确
定4
x
十2
y
的最大(小)值却是不合理的.X取得最大(小)
值时,y并不能 同时取得最大(小)值。由于忽略了x和y
的相互制约关系,故这种解法不正确.
(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更
好的解法?怎样求解?
正解:








练习1
?
x?y?2
?
1、求
z?x?y
的最大 值、最小值,使
x

y
满足条件
?
x?0

?
y?0
?




?
x?4y ??3
?
2、设
z?2x?y
,式中变量
x

y< br>满足
?
3x?5y?25

?
x?1
?






自我评价同伴评价小组长评价
















课题:3.4基本不等式

ab?
a?b

2

一.:自主学习,明确目标
1.知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基
本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号 “≥”取等号
的条件是:当且仅当这两个数相等;
2.过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;


教学重点:应用 数形结合的思想理解不等式,并从不同角度
a?b
的证明过程;
2
a?b
教学难点:基本不等式
ab?
等号成立条件
2
探索不等式
ab?
教学方法:通过实例探究抽象基本不等式
二.研讨互动,问题生成
基本不等式
ab?
a?b
的几何背景:
2
1.探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右 个
全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那
么正方形的边长为
a< br>2
?b
2
。这样,4个直角三角形的面积的
和是2ab,正方形的面积 为
a
2
?b
2
。由于4个直角三角形的面
积小于正方形的面 积,我们就得到了一个不等式:
a
2
?b
2
?2ab
。 < br>当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH
缩为一个点,这时有
a
2
?b
2
?2ab

2.得到结论:一般的,如果
a,b?R,那么a
2
?b
2
?2ab(当且仅当a?b时取?号)

3.思考证明:你能给出它的
证明吗?

4.
1)
从 几何图形的面积关系认识基本不等式
ab?
a?b

2
特别的,如果 a>0,b>0,我们用分别代替a、b,可得
a?b?2ab


通 常我们把上式写作:
ab?
a?b
2
(a>0,b>0)

2

理解基本不等式
ab?
a?b
2
的几何意义
三.合作探究,问题解决
在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的
一点,AC= a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦
DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基
本不 等式
ab?
a?b
2
的几何解释吗?





例1已知
x

y
都是正数,求证:
(1)
y
?
x
xy
≥2;
(2)(
x< br>+
y
)(
x
2

y
2
)(
x
3

y
3
)≥8
x
3
y
3.





1.已知
a

b

c
都是正数,求证

a

b
)(
b

c
)(
c

a
)≥8
abc









4.课时小结
本节课,我们学习了重要不等式< br>a
2

b
2
≥2
ab
;两正数
a< br>、
b
的算术平均数(

a?b
),几何平均数(
ab
)及它们的关系
2
a?b

ab
).它们成立的条件不同, 前者只要求
a

b

2
是实数,而后者要求
a
b
都是正数.它们既是不等式变形的
基本工具,又是求函数最值的重要工具(下 一节我们将学习
它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问
a
2
?b
2
a?b
2
题:
ab
≤,
ab
≤( ).
2
2




自我评价同伴评价小组长评价




课题:3.4基本不等式

ab?
a?b

2

一.:自主学习,明确目标
1.知识与技能:进一步掌握基本不等式
ab?
a?b
;会应用
2

此不等式求某些函数的最值;能够解决一些简单的实际问题
2.过程与方法:通过两个例题的 研究,进一步掌握基本不
a?b
,并会用此定理求某些函数的最大、最小值。
2
a?b
教学重点:基本不等式
ab?
的应用
2
a?b
教学难点:利用基本不等式
ab?
求最大值、最小值。
2
等式
ab?
教学方法:探究,讨论
二.研讨互动,问题生成
1.重要不等式:



2.算术平均数、几何平均数?



a?b?2ab和
22
a?b
2
?ab
成立的条件?
三.合作探究,问题解决
例1(1)用篱笆围成 一个面积为100m
2
的矩形菜园,问
这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。 最短的篱笆
是多少?


(2)段长为
36
m的篱笆围成 一个一边靠墙的矩形菜园,
问这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面
积是多少 ?





例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池, 其容积为
4800m
3
,深为3m,如果池底每1m
2
的造价为15 0元,池壁每1m
2
的造价为120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总
造价 是多少元?









归纳:用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:
(1)先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值
或最小值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的
最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.


练习
1.已知
x
≠0,当
x
取什么值时,x
2

多少?



81
的值最小 ?最小值是
x
2


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必修五第三章测试题
不等式章节

选择题
1.已知
c?d

a?b?0
,下列不等式中必成立的一个是
(A)
a?c?b?d

( )

(B)
a?c?b?d

(C)
ad?bc

(D)
ab
?

cd
2.设
x,y
满足< br>2x?y?20
的正数,则
lgx?lgy
的最大值是 ( )
(A)
50

(B)
2

(C)1?lg5

(D)
1

3.设
x,y ?R

x
2
?y
2
?1

m?(1?xy )(1?xy)
,则
m
的取值范围是 ( )
1
(A)
[,1]

2

(B)(0,1]

1
x
3
(C)
[,1]

4


3
(D)
[,1)

4
4.已知
a?0,b?0
,则不等式
?b??a
等价于
11
(A)
x??

x?

ab
11
(C)
??x?0

0?x?

ab
( )
11
(B)
x??

x?

ba
11

(D)
??x?0

0?x?

ba
5.一批货物随17列火车从
A
市以
v kmh
的速度 匀速直达
B
市,已知两地铁路
v
线长为
400km
,为了安 全,两列货车的距离不得小于
()
2
km
(货车的长度忽略
20< br>不计),那么这批货物全部运到
B
市,最快需要


(A)
6h


填空题
1
2


(B)
8h

(C)
10h

(D)
12h

8
的最小值是,此时
x?

2x?1
7.关于
x
的不等式
x
2
?ax?6a?0
的解集不是空集,且区间长度不超过 5,则实数
6.设
x?
,则函数
y?x?
a
的取值范围是.
8.使
log
2
(?x)?x?1
成立的
x
的取值 范围是.
9.锐角三角形
ABC
中,已知边
a?1,b?2
,则边
c
的取值范围是.
10.若
a,b
是实数,且
a?b,则在下面三个不等式:①
?
a
b
a?1
;②
(a?b )
2
?(b?1)
2

b?1



(a?1)
2
?(b?1)
2
,其中不成立的有个.
11.设a,b
都是大于0的常数,则当
x?0
时,函数
f(x)?


12.已知
f(x)?ax?2a?1
,当
x?[?1,1]时,
f(x)
的值有正有负,则
a
的取值范围为.

13.已知
x,y?R
,且
x
2
?2xy?2y
2
?2
,则
|x?y|
的最大值是.
解答题

x
2
?y
2
14.(1)已知
x?y?0
,且
xy?1
,求的最小值及相应的
x,y
的值;
x?y
(x?a)(x?b)
的最小值是.
x
(2)已知
x?y?0
,且
3x?4y?12
,求
lgx?lgy
的最大值及相 应的
x,y
的值.









15.设绝对值小于
1
的全体实数的集合为
S
,在
S
中定义一种运算
*
,使得
a?b
1?ab
求证:如果
a

b
属于
S
,那么a*b
也属于
S

a*b?




16.证明:
2(n?1?1)?1?





11
??
23
?
1
?2n
(n?N
*)

n





17.某种商品原来定 价每件
p
元,每月将卖出
n
件.若定价上涨
x
成(注:x

x

0?x?10
),每月卖出数量将减少
y成,而售货金额变成原来的
z
倍.
10
1
(1)若
y ?a
其中
a
是满足
?a?1
的常数,用
a
来表示当 售货金额最大时的
x
x

3

值;
(2)若
y?x
,求使售货金额比原来有所增加的
x
的取值范围.









1 8.设
f(x)?x
2
?x?13
,实数
a
满足
| x?a|?1
,求证:
|f(x)?f(a)|?2(|a|?1)

2< br>3


19.已知
a,b,c
都是正数,求证:
11111 1

?????
2a2b2cb?cc?aa?b











20.某商场 预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台,每批都
购入
x
(x?N
*
)
,且每批均需付运费400元,贮存购入的电视机全年所付保
管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比,若每批购入400台,
则全年需用运输和保管费 用总计43600元,现在全年只有24000元资金可以
用于支付这笔费用,请问:能否恰当安排每批 进货的数量,使资金够用?求
出结论,并说明理由.









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