高中数学必修5数列知识点总结

数列

1. 等差数列

通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d,n??
?

a?b
，那么A是a与b的等差中项
2
n(a
1
?an
)
n(n?1)
?na
1
?d
前n项和：
S
n
?
22
等差中项：如果
A?
若
a
n< br>是等差数列，且
k?l?m?n
，则
a
k
?a
l?a
m
?a
n

? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合
a
1
,d
，或是利用特殊项。
? 等差数列的最值问题求使
a
n
?
0(
a
n?
0)
成立的最大n值即可得
S
n
的最值。

例1.
?
a
n
?
是等差数列，
a
5
?8 ,S
3
?6
，则
a
9
?
_________ 解析：
a
5
?a
1
?4d?8,S
3
?3a< br>1
?

例2.
?
a
n
?
是等差数列 ，
a
1
?0,S
3
?S
11
，则当n为多少时，< br>S
n
最大？
3?2
d?3a
1
?3d?6
，解得
a
1
?0,d?2
，
a
9
?16

2
2
a
1
，从而
13
aa
n(n?1) 249
S
n
?na
1
??(?a
1
)??
1
(n?7)
2
?a
1
，又
a
1
?0所以
?
1
?0

213131313
故
n?7

解析：由
S
3
?S
11
得
d??

2. 等比数列
通项公式：
a
n
?a
1
q
n?1
(q?0)

2
等比中项：
G?ab

?
na
1
(q?1)
?
前n项和：
S
n
?< br>?
a
1
(1?q
n
)
a
1
?an
q

?(q?1)
?
1?q1?q
?
若?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

例.
?
a
n
?
是由正数组成的等比数列，
a
2
a
4
?1,S
3
?7
，则
S
5
?
__________

解析：由
a
n
?0
，
a
2
a
4
?a
1
2
q
4
?1< br>，
S
3
?a
1
?a
1
q?a
1q
2
?7
，解得
a
1
?4,q?

1131
,?
（舍去）。所以
S
5
?

224
3. 求数列的通项
? 利用
a
n
?S
n
?S
n?1
，注意n=1时的情况。
? 形如
a
n
?a
n?1
?f(n)(n?2)
时，用累加法求解。
? 形如
a
n
?f(n)(n?2)
时，用累乘法求解。
a
n?1
? 形如
a
n
?a
n?1
?m(n?2)
时，构造等差数列求解
? 形如
a
n
?xa
n?1
?y(n?2)
时，构 造等比数列求解。
例.根据下列条件，求
?
a
n
?
的通项公式。
（ 1）数列
?
a
n
?
满足：
a
n?1
?a< br>n
?3n?2
，且
a
1
?2
。（转化后利用累加法）
（2）
a
1
?1
，
a
n
?
n?1
a
n?1
(n?2)
。（利用累乘法）
n
（3）
a
1
?1
，
a
n?1
?3a
n
?2
。（构造等比数列）
解析：（1）因为
a
n?1
?a
n
?3n?2?3(n?1)?1
，所以
a
n
?a
n?1
?3 n?1
所以
a
n
?(a
n
?a
n?1
) ?(a
n?1
?a
n?2
)???(a
2
?a
1< br>)?a
1
?
当
n?1
时，
a
1
?2
符合
a
n
通项公式。
（2）因为
a
n
?
n(3n?1)

2
n ?1n?21
a
n?1
(n?2)
，所以
a
n?1
?a
n?2
,
?
a
2
?a
1
。
nn?12
12n?1
a
1
1
a
n
?a
1
???????
，
a
1
符合通项公式。
23nnn
（3）因为
a
n?1
?3a
n
?2
，所以
an?1
?1?3(a
n
?1)
，由
a
1
?1< br>可知
a
n
?1?0

所以
a
n?1
?1
?3
，
?
a
n
?1
?
为等比数列，公 比
q?3
，
a
n
?1
a
1
?1?2,a
n
?1?2?3
n?1
?a
n
?2?3
n?1?1

4.
求前n项和
S
n

? 公式法
? 分组求和
? 拆项相消
常见的拆项公式
（1）
111

??
n(n?1)nn?1
1111
?(?)

n(n?k)knn?k
1111
?(?)

(2n?1)(2n? 1)22n?12n?1
1
n?n?1
?n?1?n

（2）
（3）
（4）
例.正项数列
?
a
n
?
，
S
n
2
?(n
2
?n?1)S
n
?(n
2
?n)?0
求；
（1）通项
a
n

（2）令b
n
?
n?1
，
T
n
为数列
?
b
n
?
的前n项和，证明对于任意的
(n?2)
2
a
n
2
5

64
n ??
?
，都有
T
n
?
解析：（1）由
S
n
2
?(n
2
?n?1)S
n
?(n
2
?n )?0
，得
[S
n
?(n
2
?n)](S
n
?1)?0

由于
?
a
n
?
正项数列，
S
n
?0
，
S
n
?(n
2
?n)
，
a
n
?S
n
?S
n?1
?2n

（2）
a
n
?2n
，
b
n
?
n?111 1
?[?]

4n
2
(n?2)
2
16n
2
(n?2)
2
T
n
?
<
1111111111
[1?
2
?
2
?
2
?
?
?
2
?]?[1???]
2222
16324n(n?2)162(n?1)(n?2 )
115
(1?
2
)?

16264

? 错位相减：适用于一个等差和一个等比数列对应项相乘构成的数列
2n?1
例.数列
?
a
n
?
满足
a
1
?3a
2
?3 a
3
???3a
n
?
n

3
求：（1）
?
a
n
?
的通项
（2）设
b
n
?
n
，求数列
b
n
的前n项和
S
n

a
n
n
，所以
3
2n?1解析：由条件知
a
1
?3a
2
?3a
3
??? 3a
n
?
n?11
n?1
，两式相减得，
3a
n< br>?
(n?2)

33
111
所以
a
n
?
n
(n?2)
，n=1，得
a
1
?
符合。a
n
?
n

33
3
a
1
?3 a
2
?3
2
a
3
???3
n?2
a
n?1
?
（2）
b
n
?n?3
n
，所以
S
n
?3?2?3
2
?3?3
3
???n?3
n
，
3S
n
?3
2
?2?3
3
?3?34
??n?3
n?1
，
相减得，
2S
n
?n ?3
n?1
?(3?3?3??3)
，即
2S
n
?n?3< br>23n
n?1
3(1?3
n
)
?

1?3
(2n?1)3
n?1
3
?
所以
S
n
?
44
? 倒序相加