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高中数学必修五学案及答案(人教B版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 21:37
tags:高中数学必修五

疫情期间的高中数学作业-重庆高中数学联赛试题



2014级必修五 编号1001 课题:
正弦定理(第一课时)
编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月8日 星期三 班级 姓名

【学习目标】:
能运用正弦定理解决两类解三角形的问题;能利用正弦定理判断三角形的形状。
一、【自学课本】:3——5页
1、正弦定理的内容是什么?了解正弦定理推导过程。


2、正弦定理可做怎样的变形?
(边化角): (角化边):

3、三角形中你可以想到那些结论?


4、正弦定理可以解决哪些题型?



二、【学习过程】 (A)1、在
?ABC
中,若
sinA
>
sinB
,则 有( )
A、
a
a
?
b C、
a
>b D、
a
,b的大小无法确定
(A)2、在
?ABC
中,A=30° ,C=105°,b=8,则
a
等于( )
A、4 B、
42
C、
43
D、
45

(A)3、已知△ABC中,a∶b∶c=1∶
3
∶2,则A∶B∶C等于( )
A.1∶2∶3 B.2∶3∶1 C.1∶3∶2 D.3∶1∶2
(A)4、已知在
?ABC
中,A=45°,
AB?6, BC?2
,则
?C?

(A)5、设△ABC的外接圆半径为R,且已知AB=4,∠C=45°,则R=________.
(A)6、根据下列条件,解
?ABC

(1)已知
b?3.5,c?7,B?30
?
,求C、A、
a

(2)已知B=30°,
b?2
,c=2,求C、A、
a

(3)∠B=45°,∠C=60°,a=2(
3
+1),求A、b、c。








(A)7、在
?ABC
中,若
acosA?bcosB
,求证:
?ABC
是等腰三角形或直角三角形。




三、【达标检测】
(A)1、在
?ABC
中,下列等式总能成立的是( )
A、
acosC?ccosA
B、
bsinC?csinA

C、
absinC?bcsinB
D、
asinC?csinA


(A)2、在
?ABC
中 ,
a?5,b?3,C?120
?
,则
sinA:sinB
的值是( )
A、
535
3
B、
3
5
C、
7
D、
7


(A)3、在
?ABC< br>中,已知
a?8,B?60
?
,C=75°,则b等于( )
A、
42
B、
43
C、
46
D、
32
3

(B)4、在
?ABC
中,A=60°,a?43,b?42
,则角B等于( )
A、45°或135° B、135° C、45° D、以上答案都不对
(A)5、已知
?ABC
中 ,
a?10,B?60
?
,C?45
?
,则c等于( )
A、
10?3
B、
10(3?1)
C、
10(3?1)
D、
103

(A)6、在
?ABC
中,已知
a
2
tanB?b
2
tanA
,则此三角 形是( )
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、直角或等腰三角形
(A)7、在
?ABC
中,若
a?2,b?23,?B?60
?< br>,则c= ,
?C?

(B) 8、在
?ABC
中,已知
(b?c):(c?a):(a?b)?4:5:6
,则
sinA:sinB:sinC
等于
(B)9、在
?ABC
中,
a?3,b?1,B?30
?
,则三角形的面积等于 。

四、【拓展提高】

(C)10.在任意△ABC中,求证:a(sinB-sinC)+b(sinC- sinA)+c(sinA-sinB)=0








2014级必修五 编号1001 课题:
正弦定理(第一课时)
编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月8日 星期三 班级 姓名

1001 正弦定理(第一课时)答案
学习过程:
1、C 2、B 3、A 4、60°或120° 5、
22

6、解:(1)在△ABC中,由正弦定理得:
+sinBsinC- sinBsinA+sinCsinA -sinCsinB)=0=右边 ∴等式成立

bc3.57

??
sinBsinCsin30sinC
sinC?1
且0°<∠C<180° ∴∠C=90°, ∠A=60°
ba3.5a
即∴
a?
73

??
2
sinBsinAsin30sin60

73
综上:∠C=90°, ∠A=60°,
a?

2
22
bc
?
(2) △ABC中,由正弦定理得,即
?
sinC
sinBsinC

sin30

sinC?
2
且0°<∠C<180° ∴∠C=45°或∠C=135°
2
26?2
b
?
?
3?1
若∠C=45°,则∠ A=105°,
a??sinA
?
sin304
sinB
26?2< br>b
?
?
3?1
若∠C=135°,则∠A=15°
a??sinA
=
sin304
sinB
abc
(3)由题∠A=75° 在△ABC中由正弦定理得:
??
sinAsinBsinC< br>2(3?1)bc
24
??
即∴
b?2(3?1)???4

sin75sin45sin60

2
6?2
4
c?2(3?1)?
3
??26
2
6?2

7.证明:由正弦定理:
2RsinA?cosA?2R?s inB?cosB


sin2A?sin2B


0?A?
?

0?B?
?


0?2A?2
?

0?2B?2
?


2A?2B

2A?2B?
?


A?B

A?B?
?

2
故△ABC为等腰三角形或直角三角形
达标检测
1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D
7.4;90° 8.7:5:3 9.
33

2

4
10.证明:由正弦定理得,令a=ksinA,b=ksinB,
c=ksinC,代入得:左边=k(sinAsinB-sinAsinC


2014级必修五 编号1002 课题:
正弦定理(第二课时)
编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月8日 星期三 班级 姓名

【学习目标】:
初步掌握利用正弦定理解决实际问题且能判断解的个数;
会运用数形结合的思想方法分析问题,解决问题。

一、【复习】:
1、 正弦定理的内容;


2、 正弦定理的变形;

3、 三角形 面积公式:
s
DABC
=
1
2
absinC=
1< br>2
acsinB=
1
2
bcsinA

二、

学习过程


(A)1、 在△ABC中,若
3
a = 2b sin A,则∠B为( )
A.
π
3
B.
ππ5ππ2π
6
C.
6

6
D.
3

3

(A)2、已知△ABC中,AB=6,∠A=30°,∠B=120°,则△ABC的面积为( )
A.9 B.18 C.9
3
D.18
3

(B)3、根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是( )
A、
a?8,b?16,A?30
?
,有两解 B、
b?18,c?20,B?60
?
,有一解
C、
a?5,b?2,A?90
?
,无解 D、
a?30,b?25,A?150
?
,有一解
(B)4、若△ABC的三内角?A,?B,?C满足 sin A ? 2sinCcos B,则△ABC为 三角形.
(A)5、在
?ABC
中,
a:b:c?2:3:4
,求
2sinA?sinB
sinC
的值。





(B)6、在△ABC中,A = 45°,B : C = 4 : 5,最大边长为10,求角B,C

△ABC外接圆半径R及三
角形的面积S.




三、【达标检测】
(A)1、在△ABC

中,b = 8,c =
83
,S

ABC
=
163
,则∠A

等于( )
A. 30 ? B. 60? C. 30? 或 150? D. 60? 或120?
(A)2、 △ABC中,下述表达式:①sin(A + B)+ sinC;②cos(B + C)+ cosA; < br>③
cos(
A+B
2
)-sin
C
2
,其中 表示常数的是( )
A. ①和② B. ①和③ C. ②和③ D. ①②③
(A)3、在
?ABC
中,C=2 B,则
sin3B
sinB
等于( )
A、
b
a
B、
ac
b
C、
a
c
D、
a

(B)4、在
?ABC
中,已知
a?xcm,b?2cm,B?45
?
,如果利用正弦定理,三角形 有两解,则
x

取值范围是( )
A、2<
x
<
22
B、
x
>
22
C、
2
<
x
<2 D、0<
x
<2
3
(A)5、已知△ABC的面积为
2
,且b=2,c=
3
,则∠A=____ ____.

(c)6、已知
?ABC
中,
BC?a,AB?c< br>,且
tanA
?
2c?b
tanBb
,求A。





四、【拓展提高】
(c)7. 在
? ABC
中,
sinA?
sinB?sinC
cosB?cosC
,试 判断
?ABC
的形状。






2014级必修五 编号1002 课题:
正弦定理(第二课时)
编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月8日 星期三 班级 姓名

1002 正弦定理(第二课时)答案
学习过程
1.D 2.C 3.D 4.等腰
5.解:∵
a:b:c?1:3
故设
a?k,b?3k,c?5

k
:5
2ab
?
2sinA?sBin
2R2R
a?2bk?2k3
1
在△ABC中,由正弦定理得:
?????

5
c
sinCC5K< br>2R
6.解:∵∠A=45°,A+B+C=180°且B:C=4:5 ∴∠A=45°,∠B=60°,∠C=75°
易知 C=10 在△ABC中,由正弦定理得:

10
?
?10(6?2)
R?5(6
6?2
4

c102

a??sinA???10(?3

1)
sin C2
6?2
4
113
B??1?010?(3?1)??25(

3

S
?ABC
?acsin
222
达标检测
1.C 2.C 3.B 4.A 5.60°或120°
6.解:在△ABC中由正 弦定理得:
ca
??2R?
sinCsinA
2

)
3)
sinA?cosB2sinC?sinB
?

cosA?sinBsinB

sinA?cosB?

sin(A?B)?
2sinC?cosA?sinB?cosA

2sinC?cosA


sinC?
2sinC?cosA


0?C?
?

sinC?0


cosA?
7.解:∵
sinA?< br>2
?
2

0?A?
?


A?
4

sinB?sinC

cosB?cosC

sinAcosB?sinAcosC?sinB ?sinC
?sin(A?C)?sinC


?sinAcosC?cosAsinC?sinC


sinAcosB?cosAsinC?sinC

?cosAsinC?sin(B?A)
?cosAsinC?sinAcosB?cosAsin B


cosAsinC?cosAsinB?0


cosA(sinC?sinB)?0


0?A?
?

0?B?
?


sinC?sinB?0


cosA?0


A?
?
2

故△ABC为直角三角形


2014级必修五 编号1003 课题:
1.1.2 余弦定理(第一课时)
编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月8日 星期三 班级 姓名


一、学习目标:
1.应用余弦定理及其变形解决解三角形问题:已知三边;已知两边及一角。
2.能利用余弦定理及其变形判断三角形的形状。
二、预习思考:
1.余弦定理的内容是什么?
2.余弦定理的变形是什么?
3.余弦定理及其变形能解决哪两类解三角形问题?
三、典型例题:
(a)例1、已知三角 形的两边分别为4和5,它们夹角的余弦是方程
2x
2
?3x?2?0
的根, 求第三条
边的边长。






< br>(a)练习1:已知
?ABC
中,
a:b:c?2:6:(3?1)
, 求角
B









(b)例2、在
?ABC
中,已知
(a?b?c)(a?b?c) ?3ab
,且
2cosA?sinB?sinC
,确定
?ABC
的形 状。








(b)练习2、在
?ABC
中,
bcosA?acosB
,试判断三角形 的形状。






四、作业
( a)1、在
?ABC
中,若
b
2
?a
2
?c
2
?ac
,则角
B
为( )
A、60° B、45°或135° C、120° D、30°
、在
?ABC
中,A、B 、C的对边分别为a,b,c,若
c
2
?a
2
?b
2
(a)2
2ab
>0,则
?ABC
( )
A、一定是锐角三角形 B、一定是直角三角形
C、一定是钝角三角形 D、是锐角或直角三角形
(a)3、在
?ABC
中,已知
acosA=bc osB
,那么这个三角形是( )
A、等腰三角形 B、直角三角形
C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形
(a)4、在
?ABC
中,
a:b:c?3:5:7
,则
?ABC
的最大角是( )
A、30° B、60° C、90° D、120°
(a)5、在
?ABC
中,
sinA:sinB:sinC?3:2:4
,则
cosC
的值为( )
A、
?
1
4
B、
1
2
2
4
C、
?
3
D、
3

(b)6、
?ABC中,已知
b?3,c?33,B?30
?
,边a等于 < br>a
2
?b
2
?ABC
中三边分别为a、b、c,且
S
?c
2
(b)7、
?
?
4
,那么角C=
(c)8、在
?ABC
中,已知
a?b?4,a?c?2b
,且最大 角为120°,则这个三角形的最大边等
于 。
(c) 9、如图所示,在
?ABC
中,AB=5,AC=3,D为BC的中点,且AD=4,求BC边 的长。








2014级必修五 编号1003 课题:
1.1.2 余弦定理(第一课时)
编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月8日 星期三 班级 姓名

1.1.2 余弦定理(1)答案
例1:解设
a?4
,
b?5
,它们夹角为C
由已知
2x?3x?2?0?x??2
(舍)或
x?

11

coCs?

2
2
1
22222< br>则
c?a?b?2abcosC?4?5?2?4?5??21?c?21

2
即第三条边的边长是
21

2
练习1:解:设
a ?2m

b?6m

c?(3?1)m(m?0)

a2
?c
2
?b
2
(2m)
2
?[(3?1)m ]
2
?(6m)
2
1

cosB???

0??B?180?

2ac2
2?2m?(3?1)m

B?60?

a
2
?b
2
?c
2
1
例2解:
( a?b)?c?3ab?a?b?c?ab?cosC??

?C?60?

2ab2
22222

0??C?180?

2
cosA?sinB?sinC?2cos AsinB?sin(A?B)?
2cosAsinB?sinAcosB?cosAsinB


sinAcosB?cosAsinB?0?sin(A?B)?0

△ABC中
A?B?0

A?B

由①②得:
A?B?C?60?
△ABC是等边三角形
b
2< br>?c
2
?a
2
a
2
?c
2
?b2
?a?
练习2:解:
bcosA?acosB?b?

2bc2ac
整理得
a?b??ABC
是等腰三角形
作业:
1—5 CCDDA 6、3或6 7、
45?
8、14
9、解:设BD=DC=
x

△ABD中:
AB?AD?BD?2AD?BDcos?ADB

222
sADB
即:
5?4?x?2?4x?co?

△ADC:
AC?AD?DC?2?AD?DCcos?ADC

222
222
sADC
即:
3?4?x?2?4x?co?


co?

sADB??co?sADC
则①+②整理得:
x?1?x?1?BC?2

2
222


2014级必修五 编号1004 课题:
1.1.2


余弦定理(第二课时)
编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月8日 星期三 班级 姓名

一、学习目标:
熟练应用余弦定理及其变形解决求三角形问题以及判断三角形的形状。
二、知识复习:
1、余弦定理:
a
2
= ,b
2
= ,c
2
= 。
2、余弦定理的变形:
cosA?

cosB?

cosC?

三、典型例题
(a)例1:在
VABC
中,内角A,B,C所对的边分 别为a,b,c,且b=3,c=1,
VABC
的面积为
2
.求
co sA

a的值.







(b)例2:在
VABC
中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
a-c=
6
6
b,sinB=6sinC
. (1)

cosA
的值; (2)求
cos(2A-
p
6
)
的值.












四、作业
(a)1.在△ABC中,若
sin
2
A?sin
2
B?sin
2
C
,则△ABC的形状是( )
A、钝角三角形 B、直角三角形
C、锐角三角形 D、不能确定
(b))2.在△ABC中,若a=7,b=3,c=8则其面积等于( )
A.12 B.
21
2
C.28 D.
63


(b)3.在△ABC中,AB=3,BC=
13
,AC=4则边AC上的高为( )
A.
32
2
B.
33
C.
33
2
D.
3
2

(b)4.在△ ABC中,若a=7,b=8,cosC=
13
14
则最大角的余弦值是( )
A.
?
1
5
B.
?
1
6
C.
?
1
7
D.
?
1
8

(b)5.△ABC的三边长分别为AB=7,BC= 5,CA=6,则
AB?BC
的值为( )
A.19 B.14 C.-18 D.-19
(c)6.在
?AB C
中,角A、B、C的对边分别为
a

b

c
,且
a?1,B?45
?
,S
?ABC
?2
,则
?AB C
的外接圆直径是( )
A、
43
B、5 C、
52
D、
62

(a)7.设△ABC的内角A,B,C所 对的边分别为
a

b

c
,若
(a?b?c)(a ?b?c)?ab
,则角
C= .
(a)8.若平行四边形两条邻边长度分别是
46
cm和
43
cm,它们夹角是45°,则这个平行四边
形两条对角线的长度分别为 .和 .
(b)9.在
?ABC
中,若c=4,b=7,BC边上 的中线AD的长为
7
2
,则边长
a
=
(c )10.已知△ABC中,AC=6,∠B=60°,S
163

ABC
=< br>3
,则△ABC的周长为 。
(c)11.设
VABC
的内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.
(1)求a的值;(2)求
sin(A+
p
4
)
的值.











2014级必修五 编号1004 课题:
1.1.2


余弦定理(第二课时)
编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月8日 星期三 班级 姓名

1.1.2 余弦定理(2)答案
22
1

bcsinA?2

?sinA?
1
3
2
?cosA??1?sin
2
A??

3

b?3

c?1

0??A?180?

11
22222
(1)当
cosA?
时,
a?b?c?2bccosA?3?1?2?3?1??8?a?22

33
11
22222
(2)当
cosA??
时,
a?b?c ?2bccosA?3?1?2?3?1?(?)?12?a?23

33
11
即当
cosA?时a?22
,当
cosA??时a?23

33
例2:解(1)
sinB?6sinC?b?6c

?a?2c

6
b

a?c?
6
b
2
?c
2
?a
2
( 6c)
2
?c
2
?(2c)
2
6
△ABC中,
cosA?

??
2bc4
2?6c?c
例1 :解
S
?ABC
?
(2)△ABC中
cosA?

610
?sinA?1?cos
2
A?

44
15
1

sin2A?2sinAcosA?

4
4

cos2A?2cosA?1??
2

?cos(2A?
作业:
?
6
)?cos2Acos
?< br>6
?sin2Asin
?
1315115?3
?(?)????

642428
1-6 ADCCDC 7、
120?
8、
415cm

43cm
9、9 10、16
11、解(1)
A?2B?sinA?sin2B?sinA?2sinBcosB

a
2
?c
2
?b
2

?a?2b?

2ac

b?3

c?1

?a
2
?12?a?23

b
2
?c
2< br>?a
2
3
2
?1
2
?121
???
(2)
cosA?
2bc2?3?13
22

3
???222124?2
(?)?sinAcos?cosAsin???(?)??

sinA

44432326
△ABC中
sinA?1?cosA?
2


2014级必修五 课题:解三角形习题课

编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月17日 班级 姓名

解三角形习题课
学习目标:
能熟练地运用正、余弦定理解决三角形中的有关问题。
一、 正余弦定理直接应用
(A)1.在△ABC中,a=3,b=2,B=45°.求角A、C和边c.





(A)2.在△ABC中,若b=1,c=3,C=
3
,则a=________.
(A)3.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B=________. < br>(A)4.△ABC的三个内角A、B、C所对边为a、b、c,已知c=3,C=
π
3
,a=2b,则b的值为_____.
(A)5.在△ABC中,若AB=
3
-1,BC=
3
+1,AC=
6
,则B等于( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
(A)6.在△ABC中,A=45°,AC=4,AB=
2
,那么cosB=( )
A.
310
10
B.-
310
10
C.
5
5
D.-
5
5

二、正余弦定理推理应用
(A)7.在△ABC中, 若
|AB|?2,|AC|?5,AB?AC??5
,则S

ABC
=( )
A.
53
5
2
B.
3
C.
2
D.5
(B)8.若△ABC的面积为3,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于________.

(B)9.在△ABC中,若∠A=60°,b=1,
S
ABC
= 3,则
a+b+c
sin A+sin B+sin C
的值为 ( )
A.
26323939
3
B.
3
C.
3
D.
133
3

(B)10.在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的取值范围是( )
A.1<a<3 B.1<a<
5
C.
3
<a<
5
D.不确定
(A)11.在△ABC中,角 A、B、C所对边的边分别为
a,b,c
,且A>B,则一定有( )
A.cosA>cosB B.sinA>sinB C.tanA>tanB D.sinA<sinB
(B)12.在△ABC中,∠A=60°,
a?6,b?4
.满足条件的△ABC( )
A.无解 B.有一解 C.有两解 D.不能确定

(A )13.
已知
ABC
中,
sin
2
A=sin
2< br>B?sin
2
C
,则
ABC
的为_______三角形

(B)14.在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别是
a,b,c
,已知8 b=5c,C=2B,则cosC=( )
A.
77
25
B.-
25
C.
?
7
25
D.
24
25

(B)15.在△ABC中,关于x的方程(1+x
2
)sinA+2xsinB+(1-x
2
)sinC=0有两个不等的实数根,则A 为
( )
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.不存在
( B)16.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A是锐角,且3b=2a·sin B.
(1)求A; (2)若a=7,△ABC的面积为103,求
b
2
?c
2
的值.






(B)17.在△ABC中,a、b 、c分别为内角A、B、C的对边,且
2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC< br>.
(1)求A的大小;
(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.









三、综合应用
(C)18.在△AB C中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,
4sin
2
B?C
2
?cos2A?
7
2
.
(1)求∠A的度数;(2)若a=3,b+c=3,求b、c的值.









2014级必修五 课题:解三角形习题课

编制人:闫宝新 审核人:王国燕 编制日期:2015年4月17日 班级 姓名

解三角形习题课 答案
一、
1、解:
sinA?
a?sinB
3?
2
2
b
?
2
?
3
2

又∵A是△ABC内角 ∴
?A?60

120


?A?60
时,
?C?75

C?
b?sin C
sinB
?
6?2
2


?A?120
时,
?C?15

C?
b?sinC6?
sinB
?
2
2

2、1 3、
6
3
4、
3
5、C 6、D
二、
7、A 8、2 9、B 10、C 11、B 12、A 13、直角 14、A 15、A
16、解:(1)
3b?2asinB


3sinB?2sinAsinB

sinA?
3
2

∵ A是锐角,∴A=60°
?
b
2
?c
2
?2bccosA?49
(2)由题意得:
?
?
1

?
?2
bcsinA?103

bc?40,b
2
?c
2
?49?2?40?
1
2
?89

17、解:(1)
2a
2
?(2b?c)?b?(2c?b)?c


a
2
?b
2
?c
2
?bc

又∵
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA

cosA??
1
2
且A是三角形内角 ∴A=120°
(2)
sinB?sinC?1

sinB?sin(60?B)?1



sinB?
3
2
sinB?
1
2
sinB?1


sin(B?60)?1

60?B?60?120


B?60?90


B?30,C?30


?ABC
为等腰三角形。
三、18、解(1)
4cos
2
A
2
?cos2A?
7
2


2(cosA?1)?2cos
2
A?1?
7
2


cosA?
1
2

又∵
?A
为三角形内角,∴
?A?60

(2)
?
?
?
(b?c)
2
?b
2
?c
2
?2bc??9
?
b
22

?
?
b
2< br>?c
2
?2bccosA?3
?
?
?c?5

?
bc?2

(b?c)
2
?b
2
?c
2
?2bc?5?4?1

?
?
?
|b?c|?1
?
b?2
?
c
?
b?c?3
?
?
?
c?1

?
?2
?
b?1








2014级必修四 编号:1005 课题:
应用举例
编制人:郑文铎 审核人:王国燕 编制日期 :2015年4月16日 班级 姓名


【学习目标】
学会用正余弦定理解决应用问题
【基本概念】
1、仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的 角叫俯角(如图
①)





方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如
B点的方位角为
?
(如图②)
3、方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③)
①北偏东
?
:指北方向顺时针旋转
?
到达目标方向。
②东北方向:指北偏东45?或东偏北45?
③其他方向角类似。


【典型例题】
例1、要测量河对岸两地A、B之间的距离,在岸边选取相距
1003
米的C、D两点,并测得
∠ACB=75?,∠BCD=45?,∠ADC=30?, ∠ADB=45?(A、B、C、D在同一平面内),求A、B两地
的距离。






例2.海中有小岛A,已知A岛四周8海里内有暗礁,今有 一货轮由西
向东航行,在B处望见A岛在北偏东
75
?
,航行
202
海里后到达C处,
见此岛在北偏东
30
?
,如货轮不改变航向继续前 进,问有无触礁的危险?

6??2.449,2??1.414








【课后作业】
1.如图所示:在河岸AC测量河的宽度BC,测量下列四
组数据,较适宜的是( )
A.a和c B.c和b
C.c和
?
D.b和
?

2、在地面上某处,测得塔顶的仰角为
?
,由此处向塔 走30米,测得塔顶的仰角为2
?
,再向塔走
103
米,测得塔顶的仰角为4
?
,试求角
?
的度数。




3.A、B是海平面上的两点,相距800m,在A点测得山顶C的仰角为
45
?

?
BAD=
120
?
,又在B点测得
?
ABD=< br>45
?
,其中D是点C到水平面的垂
足,求山高CD。







4、某观测站C在城A的南偏西20?的方向, 由城A出发的一条公路,走向是南偏东40?,在C处测
得公路上B处有一人,距C为31千米,正沿公 路向A城走去,走了20千米后到达D和上,此时
CD间的距离为21千米,问:这人还需要走多少千米 才能到达A城?










2014级必修四 编号:1005 课题:
应用举例
编制人:郑文铎 审核人:王国燕 编制日期 :2015年4月16日 班级 姓名

应用举例参考答案
【典型例题】
例1、解:
?CAD?30,?CBD?60

1003AD
?
si n30sin120
1003BD
?
在△BCD中,
sin60sin45< br>在△ACD中,
例2、解:在△ABC中,

?AD?300

?BD?1002

在△ABD中 余弦:AB
2
=AD
2
+BD
2
=2BD·AD cos45?=5×10
4
∴AB=
1005

ACBC
∴AC=
10(6?2)

?
sin15sin45
在RtACD中 AD=AC·sin60?=
152?56


21.21?12.245?8.96578

∴无触礁危险
【课后作业】
1、D
2、解:在△BCP中
30103

?
sin(
?
?4
?
)si n2
?
2
?
?

cos2
?
?

?
?
3
2
?
6

?
12

3、解:
?BDA?45


?
?CAD?45

?CD?AD?800(3?1)

ABAD

?
sin?BDAsin45

1)

3

?AD?800(?
4、解:在△BCD中,
cos
?
??
1
7
?sin
?
?
43

7

sin
?
?sin(

?ACD中
??
53
?
?
?
?
)??sin(?
?
)?

3314
CDAD
?

sin60sin
?
∴AD=15


2014级必修四 编号:2001 课题:
数列
编制人:郑文铎 审核人:王国燕 编制日期 :2015年4月16日 班级 姓名

第二章 数列
2.1.1 数列
一、学习目标
理解数列的概念及数列的通项公式,能根据数列的 前几项写出数列的一个通项公式,会判断数
列的单调性。
二、基本概念
1.概念:按照 排列起来的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列
的 。
2.数列的一般形式为: ,简记为 。其中 叫做
数列的通项。
3.如果数列的第n项
a
n
与n之间的关系可以用一个函数式 来表示,那么这个公式叫
做数列的 。数列的通项公式也就是相应的 。
4.数列是定义在 上的函数,它们的图像时相应的曲线(或直线)上横坐标为
的一些 。
5.根据数列的项数,数列可分为 和 。
6.从第 项起, 叫做递增数列;从第 项起,
叫做递减数列;各项 叫做常数列。
三、典型例题
例1.根据
?
a
n
?
的通项公式,写出它的前5项。 (1)
a
n
n
2n?1
n
?
n?1
(2)
a
n
?(?1)?n
(3)
a
n
?
n
2
?1






例2.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数
(1)1,2,3,4, (2)1,3,5,7;
(3)
2
2< br>?13
2
?14
2
?15
2
?
2
,
3
,
4
,
1
5
; (4)
?
1
111
2

4

?
8

16< br>;
(5)
1?
1
2

1
2
?1
3

1
3
?
1
4

11< br>4
?
5









四、课后作业
1.
79
是数列
3

7

11

15
…的( )
A.第18项 B.第19项 C.第20项 D.第21项
2.以下四个结论中①数列的递推公式也是 给出数列的一种方法②数列都可以用通项公式来表示③数
列可以用图象表示,从图象上看,它是一群孤立 点④数列的通项公式是唯一的。其中正确的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③④
3.数列4,-1,
10
17

?
13
31
…的一个通项公式
a
n
是( )
A.(
?1

n?1
2n?1
n?1
3n?1
2n
2
?1
B.(
?1

2n
2
?1

C.(
?1

n?1
2n?1
n?1
3n?1
2n
2?1
D.(
?1

2n
2
?1

4.数列
a
n
?2n?17
,该数列中相领两项积为负数的是( )
A.
a
6

a
7
B.
a
7

a
8
C.
a
8

a
9
D.
a
9

a
10

5.下列数列是递增数列的是( )

A


a3n?4
C.
a
1
n
2
n
?n?5
B.
a
n
?
n
?(
2
)
D.
a
n
?n?4n

6.已知:数列的通项公式为:
an
2
n
??n
,则该数列中20是第 项。
7 .数列
?
a
2
n
?
中,
a
n
?? 2n?29n?3

?
a
n
?
中的最大项是 。
n
2
8.已知数列的通项公式为
a
n
?
n2
?1

(1)写出数列
?
a
n
?
的 前5项;(2)0.98是不是它的项?(3)判断此数列的增减性。




9.写出下列数列的通项公式:
(1)2,5,10,17,26,……
(2)-
1
3

1
8
,-
1
15

1
24
,-
1
35
,……
(3)5,11,17,23,29,……



10.数列?
a
n
?
的通项公式为
a
n?97
n
?
n?98
,它的前30项中最大项是第几项?最小项是第几项?



2014级必修四 编号:2002 课题:
数列的递推公式
编制人:郑文铎 审核人:王国燕 编制日期 :2015年4月18日 班级 姓名

四、课后作业
2.1.2 数列的递推公式
一、教学目标
了解数列的递推关系,并用给出的递推关系解决一些简单问题。
二、基础知识
如果已知数列{a
n
}的 (或前几项),且任一项a
n
与它的 间的关
系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。
三、典型例题
例1、已知数列{a
2a
n
}的第一项
a
n
1?1
,以后的各项由公式
a
n?1
?
a
给出,试写出这 个数列的
n
?2
前5项。









例2、在数列{a
11
n
}中, 已知
a
1
?
2
,a
n?1
?a
n
?
(2n)
2
?1

(1)试写出该数列的前4项;
(2)归纳出它的通项公式。













1、已知数列{a
n
}中,
a
n?1
?a
n?2
?a
n
, a
1
?2,a
2
?5
,则
a
5
=( )
A、-3 B、-11 C、-5 D、19
2、已知数列{a
n
}满足
a
n?1
?a
n
?3,a
1
?0
,则数列{a
n
}的通项公式可以是( )
A、n B、2n C、3n-3 D、3n+3
?
2a
1
3、已知数列{a
?< br>?
n
(0?a
n
?
n
}满足
a
?< br>2
)
6
n?1
?
1

a
?
1
?
,则
a
2014
的值为(
?
?
2a
n
?1(
7

2
?a
n
?1)
A、
63
7
B、
5
7
C、
7
D、
1
7

4、已知
a
1
?1,a
n
?1?
1
a(n?2)
,则
a
5
= 。
n?1< br>5、已知数列{a
n
}对任意的
p,q?N
?
满足
a
p?q
?a
p
?a
q
,且
a
2
? ?6
,那么
a
10
等于(
A、-165 B、-33 C、-30 D、-21
6、已知数列{a
n
}中,
a
1?1,a
2
?2
,以后各项由
a
n
?a
n?1
?a
n?2
(n?)
给出。
(1)写出此数列的前5项;






(2)通过公式
b
a
n
n
?
a
构造一个新的数列{b
n
},写出数列 {b
n
}的前4项。
n?1



2014级必修五 编号:2003 课题:
等差数列(一)
编制人:李新洁 审核人:王国燕 编制日期 :2015.4.20 班级 姓名

【学习目标】
1、阅读课本35,感悟等差数列的含义,并会用等差数列的定义判断一个数列是否为等差数列
2、能根据等差数列的定义归纳猜想出等差数列的通项公式,并能用叠加法证明,结合课本例2,
例3 及学案能熟练求解关于
a
1

d

n

a
n
的计算问题
(a)4、已知数列{a
n
}为等差数列 ,且a
5
=11,a
8
=5,a
11=
________
(a)5、判断下列数列是否为等差数列.(1)a
n
=3n+2;(2)a
n
=n
2
+n.




3、能够运用等差数列定义推导等差中项,并能用它来解决求值问题
4、反复阅读课本37页 关于数列和函数关系的结论,体会等差数列通项公式
a
n
与一次函数的关系,
结合学案例3类比函数的观点解决等差数列问题
【自主学习】
阅读课本35-37页内容及例题1、2,思考下面问题
(a)1.关于等差数列的定义的思考:
(1)如何用数学语言表示等差数列定义?:
(2)等差数列至少有几项?
(3)怎样求公差?
(4)如何判断、证明一个数列是等差数列?



(b)2.等差数列的通项公式的推导
(1)已知等差数列{a
n
}的首项
a
1
,公差为d,你能用
a
1
和d表示出
a
2
a
3
a
4
,观察规律归纳出
通项公式
a
n
吗?


(2)请用叠加法证明你的结论


(b)3、等差中项(1)如果三个数
x
,A ,
y
组成等差数列,那么如何用
x

y
表示A?

(2)怎么证明(1)的结论?


(c)4.从函数角度研究等差数列的性质与图像思考:
等差数列与一次函数有什么关系?等差数列的单调性与什么有关?


【尝试练习】
一、基础过关
(a)1、已知等差数列2,5,8,.....则< br>a
4
?
________,
a
n
=________
(a)2、已知等差数列
?
a
n
?

a
1
?6,d?3
,则
a
n
=________,
a
8
=______
(b)3、以
a
n
?3n?8
为通项公式 的等差数列的首项是_____ 公差是_______

(b)6、已知等差数列{ a
n
}中,a
10
=29,a
21
=62,求
a< br>n
并判断91是否为此数列中的项.

(c)7、已知(1,4),(3,- 4)是等差数列{a
n
}的图像上的两点,求
a
n
并判断数列的单调性


a)1.在等差数列{a
n
}中,a2
=2,a
3
=4,则a
10
=( )
A.12 B.14 C.16 D.18
(a) 2.已知等差数列{a
n
}的通项公式a
n
=3-2n,则它的公差为( )
A.2 B.3 C.-2 D.-3
(a) 3.方程x
2
-6x+1=0的两根的等差中项为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(b) 4、等差数列1,-1,-3,-5,…,-89,它的项数为( )
A.92 B.47 C.46 D.45
b)5、在数列{a
n
}中,
a
1
?2

2a
n?1
?2a
n
?1
,则
a
101
的 值为( )
A.49 B.50 C.51 D.52
b)6、等差数列相邻四项是a+1,a+3,b,a+b,那么a=_______,b= ______
(b)7、在等差数列{a
n
}中,a
2
=3,a< br>4
=a
2
+8,则a
6
= .
(c)8、已 知a

b

c成等差数列,那么二次函数y=ax
2
+2b x+c(a≠0)的图像与x轴的交点有___个.
(b)9、在等差数列{a
n
} 中,已知a
5
=10,a
12
=31,求通项公式a
n
.












【小结】
【巩固提高】







2014级必修五 编号:2003 课题:
等差数列(一)
编制人:李新洁 审核人:王国燕 编制日期 :2015.4.20 班级 姓名

2003 等差数列(一)学案答案
自主学习:
1,(1)
a
n
?a
n?1
?d (d为常数)
(n?2)

a
n?1
?a
n
?d (d为常数) (n?N
*
)

(2)3
(3).d=a< br>n+1
-a
n
(n∈N
+
)或者d=a
n
- a
n-1
(n∈N
+
且n≥2).
(4)要证明一个数列是等差 数列,根据等差数列的定义,只需证明对任意正整数n,a
n+1
-a
n
是< br>同一个常数(或a
n
-a
n-1
(n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.
注意:判断一个数列是等差数 列的定义式:a
n+1
-a
n
=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数 列,可
举一个特例进行否定,也可以证明a
n+1
-a
n
或a
n
-a
n-1
(n>1)不是常数,而是一个与n有关的变数即
可. < br>2.(1)
a
2
?a
1
?d,a
3
?a1
?2d,a
4
?a
1
?3d.....a
n
?a
1
?(n?1)d

(2)(叠加法):∵{a
n
}是 等差数列,∴a
n
-a
n-1
=d,a
n-1
-a
n-2
=d,a
n-2
-a
n-3
=d,…,a
3
-a
2
=d,a
2
-a
1
=d.
将以上各式相加得:a
n
-a
1
=(n-1)d, ∴a
n
=a
1
+(n-1)d.
3(1)
A?
x ?yx?y
(2)
?x,A,y成等差数列?A-x?d,y?A?d,A?x?y?A?2A ?x?y?A?

22

4等差数列的通项公式a
n
=a< br>1
+(n-1)d变形整理可得a
n
=dn+a
1
-d,从函 数角度来看,a
n
=dn+(a
1
-d)是
关于n的一次函数(d≠ 0时)或常数函数(d=0时),其图像是一条射线上一些间距相等的点,其中
公差d是该射线所在直线 的斜率,函数的单调性与公差有关,当d>0,为递增数列,当d<0,为递减
数列,当d=0为常数列
尝试练习
(1)11,3n-1 (2), 3n+3,27 (3) 11,3 (4) -1 (5) 利用等差数列定义,看a
n+1
-a
n
是否为常数即可. < br>(1)a
n+1
-a
n
=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈ N
+
).由n的任意性知,这个数列为等差数列.
(2)a
n+1
-a
n
=(n+1)
2
+(n+1)-(n
2
+n)=2n+2,不是常数,所以这个数列不是等差数列.
(6) 设等差数列的公差为d,则有
a
10
=a
1
+9d=29
a
21
=a
1
+20d=62解得a
1
=2,d=3.∴a
n
=2+(n-1) ×3=3n-1.令a
n
=3n-1=91,得n=
92
?
N
+
.
3
∴91不是此数列中的项.
(7)由等差数列上两点可知
a
1
?4

a
3
??4
得d=-4,
a
n
??4n?8
,d<0,所以数列为单减数列
巩固提高
1 D 2 C 3 C 4 C 5 D 6 2,7 7,19
8,1或2 [解析] ∵a

b

c成等差数列,∴2b=a+c,又Δ=4b
2
-4ac=(a+c)
2
-4ac=(a-c)
2
≥0.
9 , a
1
+4d=10 a
1
=-2
[解析] 由题意得 , 解得 .
a
1
+11d=31 d=3
∴a
n
=-2+(n-1)×3=3n-5.


2014级必修五 编号:2004 课题:
等差数列(二)
编制人:李新洁 审核人:王国燕 编制日期 :2015.4.22 班级 姓名

学习目标:

1.熟练等差数列定义,能够判断相关数列是否仍是等差数列。
2.通过中项、通项,研究项与项的关系。
3.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题.
自主学习:
阅读课本37-38页,学习例题4、5,思考下面问题

1.与等差数列{a
n
}相关的哪些数列仍是等差数列?


2. 等差数列{a
n
}通项公式的推广:
(1)两项关系,a
n
=a
m
+ (m、n∈N
+
).
(2)多项关系,项的运算性质:若m+n=p+q(m、n、p、q∈N
+
),则 =a
p
+a
q
.
特别地,若m+n=2p(m、n、p∈N
+
),则a
m
+a
n
= .
3. 等差数列的性质
(1)若{a
n
}是公差为d的等差数列,则下列数列:
①{c+a
n
}(c为任一常数)是公差为 的等差数列;
②{c·a
n
}(c为任一常数)是公差为 的等差数列;
③{a
nk
}(k∈N
+
)是公差为 的等差数列.
(2)若{a
n
}、{b
n
}分别是公差为d
1
、d2
的等差数列,则数列{pa
n
+qb
n
}(p、q是常数)是 公差为 的
等差数列.
尝试练习:
课本38页练习B 2、3




(a)1.已知等差数列{a
n
}中,a
7
+a
9
=16,a
4
=1,则a
12
等 于( )
A.15 B.30 C.31 D.64
(b)2.在等差数列{a
n
}中,a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+a
7
=450,则a
2
+ a
8
=( )
A.45 B.75 C.180 D.300
(a)3.下列命题中正确的是( )
A.若a,b,c成等差数列,则a
2
,b
2
,c
2
成等差数列
B.若a,b,c成 等差数列,则log
2
a,log
2
b,log
2
c成等差 数列
C.若a,b,c成等差数列,则a+2,b+2,c+2成等差数列
D.若a,b, c成等差数列,则2
a
,2
b
,2
c
成等差数列
(b)4、已知{a
n
}为等差数列,a
15
=8,a
60
=20,求a
75
.







(c)5、 若数列{a
n
}为等差数列,a
p
=q,a
q
=p(p≠q),则a
p+q
为( )
A.p+q B.0 C.-(p+q) D.
p?q
2

提炼总结:


课堂巩固训练:

(a)1.已知{a
n
}为 等差数列,a
2
+a
8
=12,则a
5
等于( )
A.4 B.5 C.6 D.7
(b )2.如果等差数列{a
n
}中,a
3
+a
4
+a
5
=12,那么a
1
+a
2
+…+a
7
=( )
A.14 B.21 C.28 D.35
(a)3.等差数列{a
n
}中,a
4
+a
5
=15,a
7
=12,则a
2
=( )
A.3 B.-3 C.
3
2
D.-
3
2

(a)4.在等差数列{a
n
}中,a
3< br>=7,a
5
=a
2
+6,则a
6
= .
(a)5.等差数列{a
n
}中,若a
2
+a
4028
= 4,则a
2015
= .
(b)6. {a
n
}为等差数列, a
1
+a
3
+a
5
=105,a
2
+a< br>4
+a
6
=99,则a
20
= .
(b)7. 已知等差数列{a
n
}的公差是正数,且a
3
a
7
=-12,a
4
+a
6
=-4,求{a
n
}的 通项公式.








(c)8. 已知数列{a
n
},a
n
=2n-1,b
n< br>=a
2n-1
.求{b
n
}的通项公式;











2014级必修五 编号:2004 课题:
等差数列(二)
编制人:李新洁 审核人:王国燕 编制日期 :2015.4.22 班级 姓名

2004 等差数列(二)答案
自主学习
1、若数列{a
n
}是公差为d的等差数列,则
(1){a
n
}去掉前几项后余下的项仍组成公差为d的等差数列;
(2) 奇数项数列{a
2n-1
}是公差为2d的等差数列;偶数项数列{a
2n
} 是公差为2d的等差数列;
(3)若{k
n
}是等差数列,则{a
kn
}也是等差数列.
2、(n-m)d a
m
+a
n
2a
p

3.d

cd

kd

pd
1
+qd
2

尝试练习
1、[答案] A
[解析] ∵a
7
+a
9
=2a
8
=16,故a< br>8
=8.
在等差数列{a
n
}中,a
4
,a
8
,a
12
成等差数列,
所以a
12
=2a
8
-a
4
=16-1=15.
2、[答案] C
[解析] 由a
3
+a
7
=a
4
+a
6
=2a
5
,得a
3
+a
7
+a
4
+a
6
+a
5
=5a
5
=450 ,∴a
5
=90. ∴a
2
+a
8
=2a
5
=180.
3、[答案] C
[解析] ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c,∴2b+4=a+c+4,
即2(b+2)=(a+2)+(c+2), ∴a+2,b+2,c+2成等差数列.
4、[解析] 解法一:∵a
15
=a
1
+14d,a
60
=a
1
+59d,
a
1
+14d=8
∴ ,
a
1
+59d=20
a
1
=
64
15

解得
d=
4
15

∴a
64
4
75
= a
1
+74d=
15
+74×
15
=24.
解法 二:∵a
60
=a
15
+45d,∴45d=a
60
-a< br>15
=20-8=12,∴d=
4
15
. ∴a
4
75
=a
60
+15d=20+15×
15
=24
5、[分析] 本题可用通项公式求解.
利用关系式a
n
=a
m
+(n-m)d求解.
利用一次函数图像求解.
[答案] B
[解析] 解法一:∵a
p
=a
1
+(p-1)d, a
q
=a
1
+(q-1)d,
a
1
+(p-1)d=q ①

a
1
+(q-1)d=p ②
①-②,得(p-q)d=q-p.∵p

q,∴d=-1.

代入①,有a
1
+(p-1)(-1)=q,∴a
1
=p+q-1.
故a
p+q
=a
1
+(p+q-1)d=p+q-1+(p+q-1 )(-1)=0.∴应选B.
解法二:∵a
p
=a
q
+(p-q) d,∴q=p+(p-q)d,即q-p=(p-q)d.
∵p

q,∴d=-1. 故a
p+q
=a
p
+[(p+q-p)]d=q+q(-1)=0.∴应选B .
解法三:不妨设pn
关于n的图像是一条直线上均匀排 开的一群孤立的点,
故三点(p,a
p
),(q,a
q
),(p+q ,a
p+q
)共线.设a
p+q
=m,由已知,得三点(p,q),(q,p ),(p+q,m)共线(如图).
[来源:
由△ABE∽△BCF,得
AEBFBE
=
FC
.

q?p
q?p
=
p?m
(p?q)?q
. ∴1=
p?m
p
.
得m=0,即a
p+q
=0.∴应选B.
[说明] 本题采用了三种方法, 第一种方法使用的是方程思想,由已知建立了两个关于首项a
1

公差d的等式,通过 解方程组,达到解题目的.第二种方法使用的是通项公式的推广形式a
n
=a
m
+(n-m)d.
第三种方法使用的是函数的思想,通过点(p,a
p
),(q,a
q
),(p+q,a
p+q
)共线求得其解,这也是解决本类问
题较 简便的方法.
巩固练习
1、[答案] C
[解析] ∵{a
n
}为等差数列,∴a
2
+a
8
=2a
5
, ∴2a
5
=12,∴a
5
=6.
2、[答案] C
[解析] ∵a
3
+a
4
+a
5
=12,∴3a< br>4
=12, ∴a
4
=4.∴a
1
+a
2
+…+a
7
=(a
1
+a
7
)+(a
2
+a
6
)+(a
3
+a
5
)+a
4
=7a
4
=28.
3、[答案] A
[解析] ∵a
4
+a< br>5
=15,∴a
2
+a
7
=a
4
+a
5
=15, 又a
7
=12.∴a
2
=3.
4、[答案] 13
[解析] 设公差为d,∵a
5
=a
2
+6,∴a
5
-a
2
=3d=6, ∴a
6
=a
3
+3d=7+6=13.
5、[答案] 2[解析] ∵{a
n
}为等差数列, ∴2a
2015
=a
2
+a
4028
, ∴a
aa
2015
=
2
?
4022
2
=
42
=2.
6、[答案] 1
[解析] ∵a
1
+a
3
+a
5
=105,即3a
3
=105
∴a
3< br>=35,同理a
4
=33,∴d=a
4
-a
3
=-2 ∴a
20
=a
4
+(20-4)d=1.
7. [解析] ∵a< br>3
+a
7
=a
4
+a
6
=-4,又a
3
a
7
=-12
∴a
3
、a
7
是方程x
2
+4x-12=0的两根
而d>0,∴a
3
=-6,a
7
=2.
a
1
+2d=-6

a
1
+6d=2
故a
1
=-10,d=2,∴a
n
=2n-12.
8、[解析] ∵a
n
=2n-1,b
n
=a
2n-1,∴b
1
=a
1
=1,b
2
=a
3
= 5,b
3
=a
5
=9,b
n
=a
2n-1
=2(2n-1)-1=4n-3.


2014级必修五 编号:2005 课题:
等差数列的前n项和
编制人:卢岳生 审核人:王国燕 编制日期 :2015.4.22 班级 姓名

学习目标:

1.通过实例学习等差数列的前n项和公式及其推导过程,能 够用来解决有关等差数列的实际问
题.
2.体会等差数列的前n项和公式与二次函数的关系, 能用二次函数的相关知识解决有关的数列
问题.
3.熟练运用等差数列的基本量之间的联系,相互求解.
4.进一步熟悉由数列的前n项和S
n
求通项的方法.
自主学习:阅读课本39-41页,思考下面问题

1.等差数列的前n项和公式 < br>若数列{a
n
}是等差数列,首项为a
1
,公差为d,则前n项和S< br>n
= = na
1
+
=na
n
-______
2.等差数列前n项和公式中涉及五个量________ ______________,已知其中任意_________个就可以
列方程组求另外_____ ______个,它是方程思想在数列中的体现.
3..如果S
n
=an
2
+bn+c,则在___________时{a
n
}是等差数列,在_______ ___时{a
n
}不是等差数列;反过
来{a
n
}是等差数列,S< br>n
的表达式可以写成S
n
=______________的形式,但当{a< br>n
}是不为零的常数列时,
S
n
=na
1
是n的一次 函数.
4.等差数列前n项和的性质
(1)等差数列{a
n
}的前k项和 为S
k
,则S
k
,S
2k
-S
k
,S3k
-S
2k
,…成公差为 的等差数列.
(2)等差数列{aS
n
}的前n项和为S
n
,则{
n
n
}也是 .
尝试练习:
1、根据下列各题中的条件,求相应等差数列
{a
n
}
的前n项和
S
n

(1)
a
1
?6,d?3,n?10


(2)
a
1
?2,a
n
?16,n?8


(3)
a
4
?10,a
10
??2,n?12


(b)2、计算: ①
1?3?5?

?(2n?1)
; ②
2?4?6?

?2n





1?3?5?

?(2n?3)
; ④
1?4?7?
?(3n?1)



(a)3、已知等差 数列{a
n
}中,(1)a
1
=
3
2
,d=
?
1
2
,S
n
=-15,求n和a
n
;(2)a
1
=1,a
n
=-512,S
n
=-1022,求公差d.




(a)4、求等差数列14,11,8,……前50项和,并判断前多少项和最大?





5、已知数列{a
n
}是等差数列,a
1
?50,d??0.6

(a)(1)从第几项开始有a
n
<0;
(b)(2)求此数列的前n项和的最大值.





(b)6、某屋顶的一个斜面成等腰梯形,要铺上瓦片。已知最上面一层(一行)铺21块,往下每一层
多铺1块,一共铺19层。问铺屋顶的这个斜面需要用多少块瓦?





(b)7、一个等差数列的前10项之和为100,前100项之和为10,求前110项之和.



8、数列{a
n
}的前n项和S
n
=3n-2n
2
(n∈N
+
),
(a)求{a
n
};(c)S
n
与na
n
的大小关系。




提炼总结:


2014级必修五 编号:2005 课题:
等差数列的前n项和
编制人:卢岳生 审核人:王国燕 编制日期 :2015.4.22 班级 姓名

课堂巩固训练:

(a)1.在等差数 列{a
n
}中,已知a
2
=2,a
8
=10,则前9项和S
9
=( )
A.45 B.52 C.108 D.54
(a)2.数列{a
n
}是等差数列,a
1
+a
2
+a
3
=-24,a
18
+a
19
+a
20
=78,则此数列的前20项和等于( )
A.160 B.180 C.200 D.220
(b)3.记等差数列{a
1
n
}的 前n项和为S
n
.若a
1
=
2
,S
4
=2 0,则S
6
=( )
A.16 B.24 C.36 D.48
(b)4.等差数列{a
n
}中,a
1
=1,a
3
+a
5
=14,其前n项和S
n
=10 0,则n= .
(a)5.等差数列{a
n
}中,S
11
= 2013,则a
6
= .
(c)6.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(b )7.在等差数列{a
n
}中:已知S
7
=42,S
n
=5 10,a
n-3
=45,求n.




(a)8、在1和15之间插入25个数,使得所得到的27个数成等差数列,求插入的25个数的和。



(b)9、等差数列{
a
n
}的前n项和为 S
n
,已知
S
9
?0,S
10
?0
,则此 等差数列的前n项和中,n是多少
时取得最小值?



(b)10、观察如下三角形数表,求第n行中各数的和。








(a)11、为了参加5000m长跑比赛,李强给自己制 定了10天的训练计划:第1天跑5000m,以后每
天比前一天多跑400m。李强10天一共要跑多 少路程?



(a)12、已知数列{
a
n
} 的前n项和
S
n
?n(n?1)
,则
a
n
?

已知数列{
a
2
n
}的前n项和< br>S
n
?3n?n?1
,则该数列的通项公式为 。
(a)13、已知
a
n
?4n?1
,则
S
n
?

(b)14、如果等差数列{
a
n
}的项数是奇数,
a
1
?1,{a
n
}
的奇数项的和是1 75,偶数项的和是150,求
这个等差数列的公差
d










(b)15、已知数列{
a
n项和
S
2
n
}的前
n
?10n?n< br>,数列
{b
n
}
的每一项都有
b
n
?|a< br>n
|
,求数列
{b
n
}
的前
n项和。









(c)16、有30根水泥电线杆,要运往1000 m远的地方开始安装,在1000 m处放一根,以后每隔
50 m放一根,一辆汽车每次只能运三根,如果用一辆汽车完成这项任务,这辆汽车的行程共多少?










2014级必修五 编号:2005 课题:
等差数列的前n项和
编制人:卢岳生 审核人:王国燕 编制日期 :2015.4.22 班级 姓名

2005 等差数列的前n项和 答案

自主学习:
1.
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)n(n?1)
2< br>
2
d
2
d 2. a
1
,d,n,a
n
,S
n;
3,2; 4.(1)k
2
d (2)等差数列
尝试练习
1、(1)195 (2)72 (3)60
2、(1)
n
2
(2)
n(n?1)
(3)
(n?2)
2
(4)
1
2
(n?1)(3n?2)

3、[分析] a
1
,d,n称为等差数列的三个基本量,a
n
和S
n
都可以用这三个基 本量表示,五个基本量
a
1
,d,n,a
n
,S
n
中可“知三求二”.
[解析] (1)∵S
n
=n·
3n(
2+
n?1)
2
·(-
1
2
)=-15,
整理,得n
2
-7n-60=0. 解之得n=12或n=-5(舍去). ∴a
3
12
=
2
+ (12-1)×(-
1
2
)=-4.
(2)由S
n(a?a
n
=
1n
)
2
=
n(1?512)
2
= -1022, 解之得n=4. 又由a
n
=a
1
+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,
解之得d=-171.
[说明] 等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题 ,一般是由通项公式和前n
项和公式联立方程(组)求解.这种方法是解决数列运算的基本方法,在具体 求解过程中应注意已知
与未知的联系及整体代换思想的运用.
4、解:前5项的和最大。理由 :设等差数列
{a
n
}
,则
a
1
?14,d??3 ?0
,设其前n项和最大,
则有
?
?
a
n
?0,
解得
14
?
a
?n?
17
,所以
n?5
n?1
?0,
33
,即前5项的和最大。
5、[分析] 对于(1)实质上是解一个不等式,但要注意n∈N

;对于(2)实 际上是研究S
n
随n
的变化规律,由于等差数列中S
n
是关于n的二 次函数,所以可以用二次函数的方法处理,也可以由
a
n
的变化推测S
n的变化.
[解析] (1)因为a
1
=50,d=-0.6,
所以a
n
=50-0.6(n-1)=-0.6n+50.6. 令-0.6n+50.6≤0,则n≥
50.6
0.6
≈84.3.
由于n ∈N

,故当n≥85时,a
n
<0,即从第85项起以后各项均小于0.
(2)解法一:因为d=-0.6<0,a
1
=50>0,
由(1)知a< br>84
>0,a
85
<0,所以S
1
2
< …84
,且S
84
>S
85
>S
86
>….
所以当n=84时,S
n
有最大值,即S
84
=50×84 +
84?83
2
×(-0.6)=2108.4.
解法二:S
n( n?1)
n
=50n+
2
×(-0.6)=-0.3n
2
+ 50.3n=-0.3(n-
503
2
503
2
503
6< br>)+
120
.当n取接近于
6
的自然

数,即n=84时,S
n
达到最大值S
84
=2108.4.
[说明] 求等差数列的前n项和S
n
的最值有两种方法:
方法一:根据项的正负来定.
若a
1
>0,d<0,则数列的所有正数项之 和最大;若a
1
<0,d>0,则数列的所有负数项之和最小.
n(n?1)
a?
d
(a
d
2
方法二:S
n
=na
1
+
1
2
2
d=
d
2
n
2
+(a
dd
1
-
2

n
=
2
(n +
d
)
2
-
1
?
2
)
2d

=
d
[n-(
1
-
a
1
)]
2
-
d

1
-
a
1
2
2d
2
2d

2
.
由二次函数的最大、最小值知识及n∈N
+
知,当n取最接近(
1
2
-
a
1
d
)的 正整数时,S
n
取到最大值
(或最小值),值得注意的是最接近(
1
2
-
a
1
d
)的正整数有时有1个,有时有2个.
6、解:由题意得每层的瓦数构成一个首项为21,公差为1的等差数列,

S19
?19?21?
19(19?1)
2
?1?570
(块)。 即铺屋顶的这个斜面需要用570块瓦。
7、[分析] 解答本题可利用前n项和公式求出a
1
和d,即可求出S
110
,或利用等差数列前n项和的性
质求解.
[解析] 方法一:设等差数列{a
n(n?1)
n
}的公差为d,前n项和 为S
n
,则 S
n
=na
1
+
2
d.
10a
10?9
1
+
2
d=100 ①
由已知得
100a
100?99
1
+
2
d=10 ②
①×10-②,整理得d=-
111099
50
, 代入①,得a
1
=
100
.
∴S+
110?109109 9110?109111099?109?11
110
=110a
1
2
d=110×
100
+
2
×(-
50
=110(
100
)=-110.
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S< br>10
,S
20
-S
10
,S
30
-S
20
,…,S
100
-S
90
,S
110
-S< br>100
成等差数列,设其公差为D,前10项和
10S
?9
10
+
10
2
×D=S
100
=10
?
D=-22,
∴S
110
-S
100
=S
10
+(11-1)D =100+10×(-22)=-120. ∴S
110
=-120+S
100
=-110.
[

方法三:设S
n
=an
2
+bn. ∵S
10
=100,S
100
=10,
10
2
a+10b=100 a=-
11
100

∴ ,
?
.
100
2
a+100b=10 b=
111
10


2014级必修五 编号:2005 课题:
等差数列的前n项和
编制人:卢岳生 审核人:王国燕 编制日期 :2015.4.22 班级 姓名

∴S
n
=-
11
n< br>2
+
111
n. ∴S
11
2
111
100
10
110
=-
100
×110+
10
× 110=-110.
方法四:∵S
90(a
100
-S
10
=a
11
+a
12
+…+a
100
=
11
?a
100
)90(a
1
?a
110
)
2
=
2
.
又S=10-100=-90, ∴a∴S
110(a
100
-S
101
+a
110
=-2.
110
=
1
?a
110
)
2
=-110.
方法五:在等差数列中,因为点(n,
S
n
n
)共线,
S
100
?
S
10
S
110
S
10
所以(10,
S
10
10
),(100,
S
100
),(110,
S
10010110
?
100110
10
110
)三点共线,故
100?10

110?10

1< br>即
10
?10
S
110
90

110
?10
100

S
110
101
110
=10+
9
×(
10
-10)=-1 ∴S
110
=-110.
[说明] 比较上述五种解法可以看出,利用等差数列前n项和的性质解题,可以大大减少运算量.
8、[答案] -4n+5 S
n
≥na
n

[解析] n=1时,S
1< br>=a
1
=1;n≥2时,a
n
=S
n
-S
n -1
=-4n+5n=1时,也适合上式,故a
n
=-4n+5.
S
n
-na
n
=3n-2n
2
-n(-4n+5)=2n
2
-2n=2n(n-1)≥0,故S
n
≥na
n
.
巩固练习:
1、[答案]D[解析]∵{a
n
}是等差数列,∴a
2
+a
8
=a
1
+a
9
=2+10=12,∴S< br>9
=
9?(a
1
?a
9
)9?
2
=
12
2
=54.
2、[答案] B
[解析] ∵{a
n
}是等差数列,∴a
1
+a
20
=a
2
+a
19
=a
3
+a
18
,
又a
1
+a< br>2
+a
3
=-24,a
18
+a
19
+a< br>20
=78,∴a
1
+a
20
+a
2
+a< br>19
+a
3
+a
18
=54.∴3(a
1
+ a
20
)=54,
∴a
20(a
1
+a
20=18.∴S
20
=
1
?a
20
)
2
=180.
3、[答案] D [解析] 设等差数列{a
n
}的公差为d, < br>∵a
2
,S
14?3
1
=
1
22
= 2+6d=20,∴d=3,故S
16?5
4
=4×+d
6
=6×< br>2
+
2
×3=48,故选D.
4、[答案] 10
[解析] 设等差数列{a
n
}的公差为d,
a
1
+2d+a
1
+4d=14
由题意,得 ,解得d=2.
a
1
=1
又S
n(n?1)
n
=na
1
+
2
×d, ∴100=n+
n(n?1)
2
×2 解得n=10.
5、[答案] 183∴S
11(a
11
=
1
?a
11
)
11?2a
6
2
=
2
=11a
6
=2013, ∴a
6
=183.
6、[答案] B ∵S

=a
1< br>+a
3
+a
5
+a
7
+a
9
=15 ,S

=a
2
+a
4
+a
6
+a
8
+a
10
=30,∴S

-S

=5d=15, ∴d=3.
7、[解析] S
(a?a
7
=
7
17
)n(a
1
?a
n
)n(a
4
?a
n?3
)n(
2
=7a ∴S
6?45)
4
=42,∴a
4
=6.
n
=
2
=
2
=
2
=510.
∴n=20.
8、解:设构成的等差数列为
{a
n
}
,则
a
1
?1,a
27
?15,n?27.



a
1
?a
27
?a
2
?a
26
?…
?2a
14
?16
,得
a
2
?a
2 5(a
2
?a
26
)
3
?

?a
26
?
2
?200
。故插入的25个
数的和为200。
9 、解:
S
n(a
1
?a
n
)
n
?
2
,因为
S?
9(a
1
?a
9
)9?2a
5
9
2
?
2
?9a
5
?0,
所以
a
5
?0


S
10a(
1
?a< br>10
)
10
?
2
?5(a
5
?a
6
)?0
所以
,
a
6
?0

因此此等差数列的前n项和中,
n?5
时取得最小值。
10、解:观察得第n行为: 1,2,3,…,
n?1,n,n?1,…,2,1,
则各数的和为
n(n?1)(n (
2
?
n?1)
2
?n
2
11、解:由题意得李强 每天跑的路程构成一个首项为5000,公差为400的等差数列,则
S
10?(10?1)< br>10
?10?5000?
2
?400?68000(m)
。故李强10 天一共要跑68000m路程。
12、
2n

a
?
3(n?1)
n
?
?
?
6n?4n(?2

)
13、
n(2n?3)

14、解:根据题意,可设 项数
n?2k?1(k?N
?
)
,且公差为
d

?
于是
?
k(a
1
?a
2k?1
)
??175,
?
2
?
?
(k?1)(a
2
?a< br>即
?
ka
k
?175,

2k?2
)
(k?1)a?150.

?
?2
?1,
?
k

由①—②得
a
k
?25
,将
a
k
?25< br>代入①得
k?7
,由
a
k
?a
1
?(k?1 )d
,得
d?4

15、解:当
n?2
时,
a?S
2
[10(n?1)?(n?1)
2
n
?S
nn?1
?(10n?n)?]?11?2n


n?1
时,
a
1
?S
1
?9
适合上式,∴
a
n
?11?2n.


a
11
n
?0

n?
2
.

n
到1,2,3,4,5时,
a
n
?0

d??2
,故数列
{a
n
}
前5项为正,从第6项开始为负,

S
n

S
?
n
分别表示
{a< br>n
}

{b
n
}
的前n项和,

n?5
时,
S
?
n
?S
n(a
1
?an
)
n(9?11?2n)
n
?
2
?
2
?n(10?n)


n?5
时,
S
?
n?SS?
2?5(9?1)n(9?11?2n)
5
?(
n
?S
5
)?2S
5
?S
n
2
?
2
?5 0?10n?n
2

∴ 数列
{b
?
n(10
n
}
的前n项和为
S
?
n
?
?
?n),n? 5,
2
?10n?50,n?5.

?
n
16、解法1:如图所示示意图,假定30根水泥电线杆存放M处.
a
1
=|MA|=1000(m),a
2
=|MB|=1050(m), a< br>3
=|MC|=1100(m),a
6
=a
3
+50×3=1 250(m),…a
30
=a
3
+150×9(m).
由于一辆汽 车每次只能装3根,故每运一次只能到a
3
,a
6
,a
9
, …,a
30
这些地方,这样组成公差为150 m,
首项为1100的等差数列,令汽车行程为S,则有
S=2(a
3
+a
6
+…+a
30
)=2(a
3
+a
3
+1 50×1+…+a
3
+150×9)=2(10a
3
+150×
1? 9
2
×9)=2(11000+6750)
=35.5(km). 答:这辆汽车行程共有35.5 km.


2014级必修五 编号:2006
课题:2.3.1 等比数列(一)

编制人:王炳英 审核人:王国燕 编制日期:2015. 4.28 班级 姓名

一、学习目标:
会等比数列的定义推导等比数列通项公式 ,能利用等比数列通项公式解决一些简
单问题.
二、自主学习:自学课本44—46页,完成下列问题:
1、等比数列的定义是什么?你能用数学式子表示出来吗?

2、如何求等比数列的通项公式?等比数列的通项公式是什么?

3、对于任意两个实数a, b, 是否一定存在等比中项?若是,存在几个。

4、若G
2
?xy
,则
x,G,y
一定成等比数列吗?
< br>5、如果数列
{a
n
}
是等比数列,那么
a
n
可表示什么形式?反之成立吗?
三、尝试练习
(A)1、求等比数列1,2,4,8…的第10项 。
(A)2、首项为3,末项为3072,公比为2的等比数列的项数 。
(A)3、已知:数列的通项公式为
a
1
n
n
??(< br>6
)
,那么它是一个递 (增或减)的数
列,首项
a
1
?
,公比q= 。
(A)4、求下列各数的等比中项。
(1)45与80 (2)
a
4
?a
2
b
2

b
4
?a
2
b
2


(A )5、试在
1
2

1
128
之间插入两个中间项,使其成等 比数列,求这两个数。





(A)6、一个等比数列的第3项与第4项分别为12与18。求它的第1项与第2项。



(A)7、已知数列{a
2n
n
}的通项公式为
a
n
?3?2
,证明{a
n
}是等比数列。

(B)8、已知
{a
n
}

{b
n
}
是项 数相同的等比数列,求证
{a
n
?b
n
}
是等比数列。

9、已知数列{a
20
n
}为等比数列,
a
3< br>?2,a
2
?a
4
?
3
,求{a
n
}的通项公式。




四、巩固提高
(B)1、一个各项均为正数的G?P数列,它任何项都等于它后面连续两项的和,其公式q=
(B)2、首项为
1
32
,从第11项开始,各项都比1大的等比数列的公比 q的取值范围
(A)3、在等比数列
{a
n
}< br>中,若
a
1
?a
2
?324,a
3
?a4
?36
,则
a
5
?a
6
=
(A)4、在等比数列
{a
n
}
中,
a
5
?61,a
11
?1647
,则
a
7
= 。
5、等比数列{a
1
n
}中,
a
1
?
8
,q?2
,则
a
4

a
8
的等比中项是 ( )
A、
?4
B、4 C、
?
1
4
D、
1
4

(B)6、三数成G?P数列,它们的积为64,它们的和为14,求这个数列。





(B)7、已知
{a
1
n
}
是等比数列,求证:
{
a
},{a
n
}
也是等比数列。
n





(C)8、
a
1
?1,a
n
?2a
n?1
?3?0(n?2)

(1)求证数列
{a
n
?1}
是等比数列
(2)求
a
n






2014级必修五 编号:2006
课题:2.3.1 等比数列(一)

编制人:王炳英 审核人:王国燕 编制日期:2015. 4.28 班级 姓名

2.3.1等比数列(一)参考答案
尝试练习:
1.512 2.
n?11
3.增 ,
a
1
1
??
4.(1)
?60
(2)
?ab?(a
2
?b
2
6
)

5. 解:设此数列为
?
a
11
n
?

a
n?
2

a
4
?
128


a
4
a
?
a
1
?q
3
?q
3
?
1

q?
1
1
a
1
64
4


a
11111
2
1
2
?
2
?
4
?
8

a
3
?
2
?(
4
)?
32

6.解:已知
a?18

q?
a
4
3
3
?12

a
4
a
?
2

3
又∵
a
2

a
a
3
?a
1
q

1
?
3
q
2
?
16
3

a
2
?a
1
q?8

a
?2
7 、
n?1
a
?
3?2
2n
2
2n
?4
n
3?
∴{a
n
}是等比数列,公比为4
8 .证:设
?
a
n
?

?
b
n
?< br>的公比分别为
q
1

q
2

a
n ?1n?1
(qq
n?1
n
?a
1
q
1

b
n
?b
1
?q
2

a
n< br>b
n
?a
1
b
11
)
2


a
n?1
b
n?1
?ab
1
?
1
(qq)
n?2
12

(n?2)


a
n
b
n
a
?q
1
q
2

?
a
n
b
n
?
是等比数列。
n?1
b
n?1
9、




















巩固提高
1.
q?
?1?5
11
2
2.
32
10
?q?32
9
3.4 4.183 5、A
6.2,4,8或8,4,2
7.证:∵
?
a
?
是等比数列 ∴
aq
n?1
n
n
?a
1


1
a
?
1
a?q
n?1

1
a
?
1
?q
n?2

nn?1< br>a
1
∴当
n?2
时,
a
n
1
?1
?
1
?
q

??
是等比数列 a
?
a
n
?
n?1
同理:∵
?
an
?
是等比数列

a
n?1
n
?a
1
q

aaq
n?1
n
?
1


a
n?1
?a
1
q
n?2

a
1

n
2
a
?q?q

n?1

?
a
n
?
是等比数列









2014级必修五 编号:2007
课题:2.3.1 等比数列(二)

编制人:王炳英 审核人:王国燕 编制日期:2015. 4.28 班级 姓名

一、学习目标:
会等比数列的常用性质进行有关的计算和证明.
二、自主学习
1、若等比数列
{a
n
}

{b< br>n
}
的公比为q
1
、q
2
判断下面数列是否为等比数 列,若是则公比为多少?
(1)
{a
t
n
?b
n
}
(2)
{a
n
}
(3)
{Ma
n
}(M?0)

(4)在原数列中每隔K项取一项组成数列
{c
n
}
。证明结论。
2、等比数列
{a
n
}
的第m项为
a
m
, 公比为q,则
a
n
能否用a
m
与q表示 。
3、在等比数列
{a
n
}
中,与首末两项等距离的两项的 等于同一个常数。
4、在等比数列
{a
中,若
m?n?p?q(m,n,p ,q?N
?
n
}
)
,则
a
m
?a
n

a
p
?a
q

证明:





特别地:当
m?n?2l
时,
a
2
l

a
m
?a
n

4、已知:三数成等比数列,若知三数积为m,怎样设最好?
若知三数和为S,怎样设?
如果是四数呢?
三、
尝试练习
(A)1、已知等比数列中,
a< br>2
?5,a
6
?8
,则
a
4
?

a
3
?a
5
= 。
(A)2、已知:在等比数列中,
a
5
?b,a
10
?a
。则
a
15
= 。
(A)3、在等比数列中 ,
a
3
?a
6
?a
9
=27,则
a
6
= .
(B)4、三数成等比数列,其积为125,其和为31。求此数列。





(B)5、20,50,100各加上同一个数常数后,构成一个等比数列,求公比q。







(B)6、已知
{a
n}
成等比数列,前三项为
a,2a?2,3a?3
。则此数列第几项为
? 13
1
2








四、巩固提高
(B)1、已知
{a
n
}
是等比 数列且
a
n
>0,
a
2
a
4
?2a
3
a
5
?a
4
a
6
?25
,则
a
3
?a
5
=( )
A、5 B、10 C、15 D、20
(B)2、若a、b、c成等比数列,又m是a、b的等差中项,n是b 、c的等差中项,那么
a
m
?
c
n
?
( )
A、4 B、3 C、2 D、1
(A)3、在等比数列{an
}中,已知
a
7
a
12
?5
,则
a
8
a
9
a
10
a
11
= 。
(B)4、等比数列{a
n
}中,
a
2
5
,a
9
是方程
7x?18x?7?0
的两个根,试求
a
7






(B)5、已知:三数成G·P,和为26,且此三数分别加上1,2,3构成A·P,求原三数。





(B)6、有四个数,其中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和
是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四 个数。










2014级必修五 编号:2007
课题:2.3.1 等比数列(二)

编制人:王炳英 审核人:王国燕 编制日期:2015. 4.28 班级 姓名


2.3.1 等比数列(二)参考答案
尝试练习:
1、a
210
40 2、
a
2
4
=
?
b
3、3
4:解:设三个数依次为:
a
q
,a,aq则
?
?
a
3
?125
?
?
解得?
?
a
?
a?5
a?5

?
?
?
q
?a?aq?31
?
q?5
?
?
q?
1

5
所以此数列为:1,5,25或25,5,1
5解:设常数为a 则20+a,50+a,100+a成等比数列
∴(50+a)
2
=(20+a)(100+a) 解得a=25
∴q=
50?a755
20?a
?
45
?
3

6解:由题意知:(2a+2)
2
=a·(3a+3)解得a=-4或-1
当a=-4时 2a+2=-6 ∴q=
?6
?
3
∴a
3
n
=(-4)·(
)
n?1
?422

令a
13
n
=-13
n?1
27
2
即(-4)·(
2
)
=
?
2
解得:n=4
当a=-1时,2a+a=0,不符合题意 ∴a
1
4
=-13
2

巩固提高
1、A 2、C 3、25
4、












5、解:设三个数为
a
q
,a,aq则
?
?
a< br>?
q
?a?aq?26
?
26
?
解得:
?< br>?
?
a?
3

?
?
2(a?2)?
a
q
?1?aq?3
?
?
q?1
∴原三个数:
26 2626
3

3

3

6、















2014级必修五 编号:2008
课题:2.3.2等比数列的前n项和
编制人:王炳英 审核人:王国燕 编制日期:2015. 4.28 班级 姓名
一、学习目标
1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法。
2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题。
二、自主学习
问题1.阅读教材后,完成下面等比数列前n项和公式的推导过程。
设等比数列
a< br>1

a
2

a
3
,…,
a
n
,…,它的前n项和
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
,由等比数列的
通项公式可将
S
a
2n?1
n
写成:
S
n
?a
1
?a1
q?
1
q??a
1
q
。 ①
则 。 ②
由①-②得:(1-
q

S
n
?


q?1
时,
S
n
?

因为
a?a
n?1
n1
q
,所以
S
n
可以用
a
1

q

a
n
表示为< br>S
n
?


q?1
时,由于
a
1
=
a
2
=…=
a< br>n
,所以
S
n
?

所以,等比数列的前n项和公式为:

= (
q?1

S
n
?



q?1

注:应用该公式时,一定不要忽略
q?1
的情况。
问题2.运用以上方法,求数列
?
n?2
n
?
的前n项和,

S?1?2
1
?2?2
2
?3?2
3
? ??n?2
n
n


2S
n
?

②-①
2S
n
?S
n
?


S
n
?
=

三、尝试练习
1.(A)等 比数列1,
x

x
2

x
3
,…(
x?0
)的前n项和
S
n
为( )
nn?1
1?x
n
1?
A.
x
1?x
B.
1?x
(x?1)
x
n?1
1?
(x?1)
1 ?x
C.
1?x
D.
1?x

n


x?1

n

x?1

2.(A) 等比数列
?
a
n
?
的各项是正数,若
a
1
?81,a
5
?16
,则它的前5项和是( )
A.179 B.211 C.243 D.275


3.(A)根据下列条件, 求等比数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n


(1)
a
1
1
?3,q?2,n?6
(2)
a
1
?8,q?
2
,a
1
n
?2
(3)
a
3
??4,a
4
?6,n?5






4.(A)在等比数列
?
a
n
?
中,
(1)若< br>a
5
1
?a
3
?10,a
4
?a
6
?
4
,求
a
4

a
5
(2)若
q?2,S
4
?1
,求
S
8

(3)若
a
11
1
?
4
,a
2
??
2
,求
a
6
?...?a
10







5.(B)阅读课本P50例3,完成下题。
求和:①1+11+111+……+11…1 ②
(a?1)?(a
2
?2)?(a
3
?3)???(a
n
?n)







四、巩固提高
1.(B)等比数列< br>?
a
n
?
中,
a
3
?7
,前3项和
S
3
?21
,则公比
q?
( )
A.1 B.-0.5 C.1或-0.5 D.-1或0.5
2.(A)在等比数列{a
n
}中:
(1)已知a
1
=-1.5,a
4
=96,则q= ,Sn= ;(2)已知a
1
=2,Sn=26,则q= ,a
3
= ;
(3)已知
q?
1
2
,S
7
5
?3
8
,则a
1
= ,a
4
= ;(4)已知a
3
=-4,a
6
=6,则q= ,S
5
= 。
3.(B)等比数列
?
a
n?
的前n项和记为
S
n
,若
S
10
?10,S
30
?70
,则
S
40
?

4.(B)求和:
(3?1)?(3
2
?2)?(3
3
?3)?
?
(3
n
?n)?

5.(C)求和:1+3
a?5a
2
?7a
3
???(2n ?1)?a
n?1




2014级必修五 编号:2008
课题:2.3.2

等比数列的前n项和
编制人:王炳英 审核人:王国燕 编制日期:2015. 4.28 班级 姓名
?
a
1
(1?q
10
)
?10
?
?
1?q
2.3.2 等比数列的前n项和·答案


尝试练习:

1、C 2、B
例1:解(1)S
a
n
=
1
(1?q
n
)
3
1?q
?
(1?2
6
)
1?2
?189

(2)S< br>a?a
8?
1
?
1
n
=
1n
q22
1?q
??
31

1?
1
2
2< br>?
a
1
?a
1
q
2
?10
例2:解 (1)由题知
?
?
?
353
5

?
a ?aq?q(a
2
1
q
1
?q)?
4
∴ a
4
=a
1
q
3
=1 a
1
5
=a
4
q=
2

(2)∵S
a
4
=
1
(1?q
4
)
1?q
a
1?2
4
?
1
1
1?2
?1

?a
1
?
15

1
(1?2
8
)

?S
8
?
15
1?2
?17

例3、解: 当a=1时,原式=n
?
n(n?1)
2
?
n?n
2
2

当a≠1时,原式=(a+a
2
+a
3
+…+an
)-(1+2+3+…+n)
=
a?a
n?1
n(n
1?a
?
?1)
2

巩固提高:
1、C、 2、(1)-4,-
3
[1-(-4)
n
10
]
(2)q=-4,a=18 (3)2,
1
3
=32或q=3,a
3
4

3、150
解:由题知q≠1

?
解得:
?
a
1
?8
?
?
?
q?
1

2
4)
?
355
2

?
9

?

?
a(1?q
30
)

?
1
?

?
1?q
70

1?
30




得:
q
1?q
10
?7
即:1+q
10
+q
20
=7

解得q
10
=2或q
10
=-3(舍)
S
40< br>a
40
1
(1?q)
1?q1?q
40
1?2
4
?
S
?
?q
?
a(1?q
10
)?
1?q
10
??15

10
1
1
1?2
∴ S
40
=15S
10
=150
4、解:原式=(3+3
2
+3
3
+…+3
n
)+(1+2+3+…+n)
=
3?3
n?1
1?3
?
n(n?1)
2

=
3
n?1
?3
2
?
n(n?1)
2
< br>5、解:令S=1+3a+5a
2
+7a
3
+…+(2n-1)·a< br>n-1

当a=1时 S=1+3+5+…+(2n-1)=n
2

当S=1+3a+5a
2
+7a
3
+…+(2n-1)·a
n-1

aS=a+3a
2
+5a< br>3
+…+(2n-3)·a
n-1
+(2n-1)·a
n

①-②得:(1-a)S=1+2(a+a
2
+a
3
+ …+a
n-1
)-(2n-1)·a
n

=1+2
a?a
n
1?a
?(2n?1)?a
n


?S?
1?(2n?1)a
n
2(a?a
n

)
1?a
?
(1?a)
2

?
n
2
a?1
总之
S?
?
?
?
1?(2n?1)a
n
2(a?a
n
)
?
1?a
?
(1?a)
2
a?1







2014级必修四 编号:2008(2) 课题:
等比数列求和(2)
编制人:李敏 审核人:王国燕 编制日期 :2015年5月15日 班级 姓名

学习目标:熟练掌握等比数列求和公式,并能灵活应用,可以根据已知条件求未知量.
题组一 等比数列的前n项和公式
(A)1、等比数列{a
n
}的首项为 1,公比为q,前n项和为S,则数列
{
1
a
}
的前n项和为( )
n
A.
1
1-n
S
B.S C.Sq
1-n
D.S
-1
q
(A)2、已知等比数列{an
}的公比q=2,且2a
4
,a
6
,48成等差数列,则{a
n
}的前8项和为( )
A.127 B.255 C.511 D.1023
(A)3、设等比数列{a
n
}的公比q=2,前n项和为S
n
,则S
3
:a
2
= .
(A)4、在等比数列{a
n
}中,S
3
=3a
3
,则其公 比q的值为( )
A.-
1
B.
1
2
C.1或-
1
2
D.-1或
1
22

(A)5 、等比数列{a
n
}中,a
1
a
2
a
3
= 1,a
4
=4,则a
2
+a
4
+a
6
+… +a
2n
=( )
n
A.2
n
-1 B.
4?1

1?(?4)
n
3
C
5

1?(?2)
n
D
3

(A)6、在等比数列{a
n
}中,a
1
+a
2
=20,a
3
+a
4
=40,则S
6
等于( )
A.140 B.120 C.210 D.520
(A)7、已知等比数列{a
n
}的公比为2,且其前5 项和为1,那么其前10项和等于( )
A.31 B.33 C.35 D.37 < br>(B)8、已知等比数列{a
n
}中,a
n
>0,S
3
=6,a
7
+a
8
+a
9
=24,则S
99= .
(A)9、已知{a
1
n
}是首项为 1的等比数列,若S
n
为{a
n
}的前n项和,且28S
3
=S
6
,则数列
{
a
}
的前
n
4项和为( )
A.
1515
8
或4 B.
40
27
或4 C.
40
27
D.
8

(A)11、在等比数列{a
n
}中,若S
n=189,q=2,a
n
=96,求a
1
和n.






(B)10、在等比数列{a
n
}中,已 知a
6
-a
4
=24,a
3
a
5
=64, 求{a
n
}的前8项和S
8
.





题组二 等比数列前n项和的性质
(A)12、等比数列{a
n
}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=
(B)13、 等比数列{a
n
}共有2n+1项,奇数项之积为100,偶数项之积为120,则a
n+1
=( )
A.
65
5
B.
6
C.20 D.110
(B)14、设等比数列{a
n
}的公比为q,前n项和为 S
n
,若S
n+1
,S
n
,S
n+2
成等 差数列,则q= 。
(B)15、设等比数列{a
n
}的前n项和为 S
n
,若S
3
+S
6
=2S
9
,求数列的 公比q。





题组三 方法技巧
(A )16、已知数列{a
n
}满足a
1
+a
2
+…+a
n
=2
n
-1,则a
1
2
+a
2
2+…+a
n
2
等于( )
A.4
n
-1 B.
1
3
(4
n
-1) C.
1
n
3
(2-1) D.(2
n
-1)
2


(B)17、等差数列{a
n
}的公差不为零,a
4
=7,a
1
,a
2
,a
5
成等比数列,数列{T
n
}满足条件T
n
=a
2
+a
4
+a
8
+…
+
a
2
n,则T
n
= .
(B)18、数列1,1+2,1 +2+2
2
,…,1+2+2
2
+…+2
n-1
的前n项和 等于( )
A.2
n+1
-n B.2
n
C.2
n
-n D.2
n+1
-n-2
(B)19、已知等比数 列{a
n
}的前n项和为S
1
n
=x·3
n-1
-
6
,则x的值为( )
A.
1

1
3
B.-
1
3
C.
2
D.-
1
2

题组四 综合拓展提升
20、已知递增的等比数列 {a
n
}满足:a
2
+a
3
+a
4
=28 ,且a
3
+2是a
2
,a
4
的等差中项。
(A)(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(C)(2)若b
n< br>=a
n
·log
2
a
n
,S
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
,求S
n
.


2014级必修四 编号:2008(2) 课题:
等比数列求和(2)
编制人:李敏 审核人:王国燕 编制日期 :2015年5月15日 班级 姓名

2008(2)等比数列求和(2)答案
题组一
1、C 2、B 3、
7
4、C 5、B 6、A
2
7、B 8、6×(2
33
-1) 9、C
题组二
12、2
13、B



16、B
17、




11、














10、


















.-2








18、D 19、C
20、














14




15




















2014级必修五 编号2009 课题:
数列的通项公式(一)


编制人:谈恩国 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月15日 班级 姓名

一、复习:
1、等差数列的通项公式
a
n

= = 。
2、等比数列的通项公式
a
n
= = 。

3、已知数列的前n项和
S
n
,则
a
n
=

二.已学过的求数列通项公式的方法题型汇总:
1.【观察法】写出数列的一个通项公式,使得它的前几项分别为以下各数:
(1)1,-1,1,-1 (2)
3
5
,
4
8
,
5
11
,
6
14
(3)5,9,17,33,65
(4)-
1
1×2

1
2×3
,-
1
3×4

1
4×5
(5)0.9,0.99,0.999





2、【公式法】此法常用于已知数列类型的题目(如等差数列、等比数列等):
(1)在等差数 列
{a
n
}
中,已知
a
4
?3,d?5
, 求
a
n

(2)在等比数列
{a
n
}
中 ,已知
a
2
?32,q?4
,求
a
n







3、【已知
S
{a2
n
,求
a
n
】已知数列
n
}的前n项和S
n
?n?n?2
, 求数列的通项公式
a
n








三、求数列通项公式的其他典型方法:
4☆、【叠加法:
a
n?1
?a
n
?f(n)

n
数列< br>{a
n
}
中,已知
a
1
?3,a
n?1?a
?
1
?
n
?
?
?
2
?< br>?
,求通项公式
a
n








5、【叠乘法:
a
n
n?1
?a
n
?f(n)
】在数列
{a
n
}
中,已知
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
。求通项公式
an









6、【利用
a
n

S
n
的关系:
n?1 时,a
1
?S
1
;n?2时,a
n
?S
n
?S
n?1

在数列
{a
n
}
中,已知
S
n
?2?2a
n
,求通项公式
a
n

(1)已知
{a
1
n
}

a
1
?
3
,前
n
项和
S
n

a
n
的关系 是
S
n
?n(2n?1)a
n
,求通项公式
a
n< br>。






(2)在数列
{ a
2
n
}
中,已知
a
n
?S
n
? S
n?1
(n?2),a
1
?
9
,求通项公式
a< br>n







7☆、【构造数列法:
a
n?1
?ca
n
?d

在数列
{a
n
}
中,已知
a
1
?1

a
n
?2a
n?1
?1(n?2)
,求通项公式
a
n









小结:
a
n?1
?ca
n
?d?a
n? 1
?x?c(a
n
?x)
,则
x?

8、其他:在数列
{a
a
n
n
}
中,已知a
1
?2,a
n?1
?
3a
。求通项公式
a< br>n

n
?1





2014级必修五 编号2009 课题:
数列的通项公式(一)


编制人:谈恩国 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月15日 班级 姓名

2009数列的通项公式(一)答案
一、复习:1、
a1)d?a
?an?1n?m
n
?a
1
?(n?
m
?(n?m)d 2、
a
n1
q?a
m
q

3、
a
?
S
1
(n?1)
n
?
?
?
S
n
?S

n?1
,(n?2)
二、1、解:( 1)
a
n?1
n?2
n
?(?1)
(2)
a
n
?
3n?2
(3)
a?2
n?1
n
?1

(4)
a
n
1
1
n
?(?1)
n(n?1)
(5)
a
n
?1?
10
n

2、解(1)
an?4)d
(2)
a
n?2n
?a
4
?(
n
?a
2
q


a
n
?3?(n?4?)

5

a?32?4
n?2
n


a

a
n
n
?5n?17
n
?2?4

3、解:(1)当n=1时,
a
1
?S
1
?4
(2)当
n?2
时,
a
n
?S
n
?S
?n1
?2

n
综上
a?
?
?
4,(n?1)
n
?
2n, (n?2)

4、解:由题意,得:
a
1
?1
n
?a
n?1
?(
2
)
n

a
1
?(
1
)
2
n
?a
1
??...?(
1
)
n?1
222

a?a(
1
11
n?
2
?(
2
)
n?1n?2
?
2
)< br>n?2

1?
1

2

a?a
1
32
?(
2
)
2

a
1
n?1
n
?a
1
?1?(
2
)

a
1
2
?a
1
?
2

a
1
n
?4?(
1
2
)
n?

等号两边同时相加得 综上
a
1
n?1
n
?4?(
2
)

5、解:由题意得
a
n
a
?2
n?1

a
n
?2?2
2
?2
3
...2
n?1< br>
n?1
a
1
a
n?1
?2
n?2

?2
1?2?3?.n.?.
a

?
n?2
n(n?1)

?2
2

a
n(n?1)
3
?2
2

a
n
?
2
a
2

2

a
2
a
?2
等号两边同时相乘得
1
6、解:(1)
S
n
?n(2n?1)a
n

(2)由a
n
=S
n
-S
n-1

S
n
?S
n?1
?S
n
?S
n?1

n=2时,
S
n?1
?(n?1)(2n?3)a
n?1

?n(2n?1)a
两边同时乘
1

①-②得
a
nn
?(n?1)(2n?3)a
n?1
S
n
S
n?1
整理得
(n?1)(2n?1)a
n?(n?1)(2n?3)a
n?1

1111

n?2,n?1?0

S
?
n?1S
?1

n
S
?
n
S
??1

n?1

(2n?1)a
n
?(2n?3)a
n?1


1

a
{}
n
S
成等差数列且公差 为-1
n
a
?
2n?3

n?1
2n?1

1
a
?
1
?
9

n
a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
4
S
1a
1
2
a
???......?
a
3
?
a
2

n?1
a
n?2
a
n?3
an?4
a
3
a
2
a
1

1
?
9
?(n?1)
11
?
2n?3
2n?1
?
2n?5
2n?1
?
2n?7
2n?3
?
2n?9
2n?5
......
5
9
?
3
7
?
1
5

S
?(?1)

??n?

n
2
2

S
2
?
3
n
?
(2n? 1)(2n?1)

11?2n


a
22
综上< br>a
1
n
?S
n
?S
n?1
?
11? 2n
?
13?2n

n
?
(2n?1)(2n?1)

小结:
a
a
4
n
?
n?1
?Ca
n
?d?a
n ?1
?x?C(a
n
?x)

(2n?11)(2n?13)


x?
d
C?1


7、解:令a
n
+x=2(a
n-1
+x)
即:
a
n
?2a
n?1
?x

8、解:由题意得
又∵
a
n
?2a
n?1
?1

1
∴x=1
a
?
3a
n
?1
11
a
又∵
?

n?1n
a
1
2

a
n
?1?2(a
n?1
?1)

即:
1

a
n
?1
a
?3?
1

1
?
1
2
?(n?1)?3

a1
?2

n?1
a
n
a
1
n? 1
?

{a

1
n
?1}
成等比数列且公 比为2
a
?
1
?3

n?1
a
n
又∵
a
1
?1
=2


a
n?1n
a
2
n
?
n
?1 ?2?2?2

6n?5


a
n
n
?2?1


{
1
经验证:n=1时满足上式
a
}
成等差数 列且公差为3,综上
a
2
n
?
n
6n?5
所以a
n
n
?2?1



2014级必修五 编号2010 课题:
数列的通项公式(二)


编制人:谈恩国 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月 班级 姓名

1、(A)在数列
{a
?2,
1
n
}
中,已知a
1
a
?
1
?
1
(n?2)
。求通项 公式
a
n

n
a
n?1
2








2、(A)已知
{a
n
}
的首项
a
1
?1

a
n?1
?a
n
?2n

n?N
*
)求通项公式。








3、(B)已知数列{a
满足
a
n
n
}
n?1
?a
n?2?3?1,a
1
?3
,求数列
{a
n
}
的 通项公式。







4、(B) 在数列
{a
1
n
}
中,已知
a
1
?1
a
n
?
2
a
n?1
?2(n?2)
,求通项公式
a
n








5、(C)已知
{a
n
}
中,
a1
?1

a
n
n
?2a
n?1
?2< br>(
n?2
)求
a
n











6、设
S
1
n
是数列
{a
n
}
的前
n
项和,a
n
?S
n
S
n?1
?0,a
1
?< br>2
,求
a
n
的通项。









7、在数列
{a
n
}
中,已知
S
n
?2?2a
n
,求通项公式
a
n








2S
2
n
a
a
8、(B)已知
{
n
?
n
}
中,
a
1
?1
,其前
n
项和
S
n

a
n
满足
2S
n
?1
n?2

{
1
S
}
(1)求证:
n
为等差数列。










(2)求数列
{a
n
}
的通项公式。












2014级必修五 编号2010 课题:
数列的通项公式(二)


编制人:谈恩国 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月 班级 姓名

2010数列的通项公式(二)答案
1、解:由题意得
{
1
a}
成等差数列且公差为
1

a?
2
n

n
2n
又∵
1
a
?
1

1
?
1
?(n?1?)
1
?
1
n
。综上:
a
2
n
?

1
2a
n
22
2n
2、解:由题意得:
a
n
?(a
n?1
) ?2(n?1)

a
n
?a
1
?2(1?2?...?n?

1)

a
(n?1)(1?n?1)n?1
?a
n?2
?2(n?2)

?2
2



a
2
?a
1
?2

a
n
?a
1
?n(n?1)

等号两边同时相加得 ∴
a
2
n
?n?n?1
综上
a
n
?n
2
?n?1

3、解:由题意得:< br>aa3
n?1
n
?
n?1
?2??1
等号两边同时相加得

a
n?223
n?1
?a
n?2
?2?3?1

a
n
?a
1
?2(3?3?3?...?
n?1
3 n?)

?1

?2
3?3
n

1?3
?n?1


a
2
nn
3
?a
2
?2?3?1

?3?3?n?1?3?n?4


a
2
?a
1
?2?3?1
综上a
n
=3
n
+4-1
4、解:令
a
111< br>n
?x?
2
(a
n?1
?x)

?
2
x?2

{a
n
?4}
成等比数列且公比为
2

即 :
a?x?
1
2
a
1
nn?1
?
2
x

x??4
又∵
a
1
?4?1?4??3


a
1111
?1
n
?
2
a
n?1
?
2
x

a
n?4
?
2
(a
n?1
?4)

a
n
?4??3?(
n
2
)


a
1
a?4
n
?
2
a
n?1
? 2

n
a
?
1

a3?(
1
n
)
?1
n
???

4
n?1
?42
2
综上:
a
n
??3(
1
n
2
)
?1
?4

5 、解:n=2时,由a
aa
n
=2a
n-1
+2
n

nn?1
a
n
1
2
n
?
2
n?1
?1

2
n
?
2
?(n? 1?)1
?n?
1
2


a
n
a
n?1
2
n
?
2
n?1
?1

a
n
?n?2
n
?2
n?1


{
a
n
2
n
}
成等差数列且公差为1, 综上
a
n
?n?2
n
?2
n?1
又∵
a
1
1
2
?
2

6、解:由题意得
1
S
?
1
??1

1
?2?(n?1)?

1
n?1
S
n
S
n

a

1
n
??S
n
S
n?1

S
?
1
S
?1
=n+1
nn?1
又∵
a
n
?S
n
?S
?n1

{
1
S
}
成等差数列且公差为1 ∴
S
1
n
?
?1

n
n

S
1
n
?S
n?1
??S
n
S
n?1
又∴
S
?
1
?2

n?2

1
a
1
等号两边同时乘
1
S

a
11
n
?S
n
?S
n?1
? ??
?1
(n?1)

n
S
n?1
n?1nn< br>?
?
1
综上
a
?
2
(n?1)
n< br>?
?
?
?1

?
?
n(n?1)
( n?2)
7、解:由
S
a
n
n
?2?2a
n
① ∴
a
?
2

n?2

S
n?1
?2?2a
n?1

n?1
3
①- ②得
aa
2
n
??2
n
?2a
n
?1

{a
n
}
成等比数列且公比为
3
又∵
S
1
?2?2a
1
?a
1

3a
22
n
n
?2a
n?1
, ∴
a
1
?
3

a
n
?(
3
)

8、(1)证明:由
a
1
n
?S
n
?S
n?1

S
?
1
??2

n?1
S
n
?S
2S
2

S
n
11
nn?1
?
2S

??2

n
?1
S
n
S
n?1
整理得
SS
1
n
?
n?1
??2S
n
S< br>n?1

{
S
}
成等差数列且公差为2
n
等号两边同时乘
1
S
,得 综上可证:
{
1
}
为等差数列
n
?S
n?1S
n
(2)由(1)知
{
1
S
}
成等差数列且 公差为2
n
又∵
1
S
?
1
?1

1
1
S
?1?(n?1?)?2n2?

1

S
n
?
1

1
a
1n
2n?
(1)当n=1时 a
1
=S
1
=1 (2)当n≥2时
a
n< br>?S
n
?S
?n1
?
?2
(2n?1)(n2?
3)
?
综上
a
?
1,(n?1)
n
?
?
?2
?
?
(2n?1)(2n?3)
(n?2)


2014级必修五 编号2011 课题:
数列求和(一)


编制人:谈恩国 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月 班级 姓名

一、复习:
1、等差数列的前n项和公式
S
n
?

2、等比数列的前n项和公式
S
n
?

二、基础练习:
1.【公式法求和】
(1)填空: 1+2+3+……+n= 1+3+5+……+(2n-1)= ;
2+4+6+……+2n= 1+2+2
2
+2
3
+……+2
n
= ;
(2)已知
a
3
n
?
2
n
。求
S
n




三、典型例题:
2.【分组求和】
例1.求和。
S3?1)?(2?3
2
?2)? (2?3
3
?3)???(2?3
n
n
?(2??n)









练习:求数列
1
1
,3
1
,5
1
,7
1
248 16
,
的前n项和。









3☆.【拆项求和】
例2.已知
a
1< br>n
?
n(n?1)
,求
S
n







练习:已知
a
n
?
1< br>n(n?2)
,求
S
n










4☆.【错位相减法求和】
例3.已知
a
2n?1
n
?
2
n
。求
S< br>n








< br>练习:求和:
1?3?3
1
?5?3
2
?7?3
3< br>???(2n?1)?3
n?1









四、课后练习:
1、(A)已知 :
a
n?1
n
?2?3?3n?1
,求
S
n








2、(B)求< br>1
1?3
?
1
3?5
?
1
5?7
? ???
1
(2n?1)(2n?1)
的和。







2014级必修五 编号2011 课题:
数列求和(一)


编制人:谈恩国 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月 班级 姓名



















































2014级必修五 编号2012 课题:
数列求和(二)


编制人:谈恩国 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月 班级 姓名

一、基础知识
1、当q=1时,S
n
= ;
当q≠1时,S
n
= = 。
2、等比数列求和公式是用 法推导的。
3、特殊数列拆分:

1
n(n?1)
?
,

1
(2n?1)(2n?1)
= ,

1
n?1?n
=
二、例题
例1、已知{a
1
n
}的前n项和为S
n
,且
S
n
?
3
(a
n
?1)(n?N
?
)

(1)求a
1
; a
2

(2)求证数列{a
n
}是等比数列。






例2、数列{a
n?2
n
}的前n项和记为S
n
,已知
a
1
?1,a
n?1
?
n
Sn
(n?1,2,3,....)
,证明数列
{
S
n
n
}
是等比数列。






例3、求和
S?1?2x?3x
2
?...?nx
n?1
(x?0)








例4、1)求
{
1
n?1?n
}
的前n项和S
n

2)求
{
1
n(n?1)
}
的前n项和S
n

3)求
{
1
(2n?1)(2n?1)
}
的前 n项和S
n













例5、数列{a
n
}的前n项和为S
n
, a
1
=1, a
n+1
=2S
n
(n?N
?
)

(1)求数列{a
n
}的通项a
n

(2)求数列{na
n
}的前n项和T
n










2014级必修五 编号2012 课题:
数列求和(二)


编制人:谈恩国 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月 班级 姓名

三、练习
1、数列{a
n
}的前n项和S
n
=3
n
-c,若 a
n
为一等比数列,c=( )
A、-1 B、0 C、1 D、任意实数
2、{a
n
}是等比数列,且
a
n?1
?a
n
,a
1
?a
4
?9,a
2
?a
3
?8
,则S
10
=( )
A、2
10
-1 B、2
10
C、2
9
-1 D、2
11
-1
3、在等比数列{a
n
}中,S
6
=a
6
+a
5
, S
5
=a
6
-a
5
,则公比q=( )
A、
?
1
2
B、
1
2
C、-2 D、2
4、如果数列{a
n
}满足
a
1
,a
2< br>?a
1
,a
3
?a
2
,....,a
n?a
n?1
,……是首项为1,公比为2的等比
数列,那么a
n
=( )
A、2
n
-
1
B、2
n
-1 C、2
n
D、1-2
n

5、在各项为正数的等比数列{a
n
}中,首项a
1
=3,前3项和为21 ,则
a
3
?a
4
?a
5
?
( )
A、33 B、72 C、84 D、189
6、等比数列{a
n
}的各项为正数,若a
1
=81,a
5
=16,则前5项和为( )
A、179 B、211 C、248 D、275
7、等比数列{a
n
}的前n项之和S
n
=3
n
+a, 则a等于( )
A、-4 B、-2 C、0 D、-1
8、等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
3
+S
6
=2S9
,则公比q为( )
1
3
3
A、
2
B、
?
1
2
C、
4
2
D、
?
4
2

9、在等比 数列{a
n
}中,
a
1
?a
2
?20,a
3
?a
4
?40
,则S
6
= 。
10、在等比数列{a
n
}中,S
n
表示前n项和,若a
3
=2S
2
+1, a
4
=2S
3
+1,则q= 。

11、设{a
n
}为公比是q的等比数列,S
n
为其 前n项和,若{S
n
}是等差数列,则q= 。
12、在
83

27
2
之间插入三个正数,使这五个数成等比数列,则插入的3个数 的乘积为

13、设等比数列{a
n
}前n项和为S
n
, S
4
=1, S
8
=17,求a
n













14、数列{a
n
}的前n项和为S
n
=2-2a
n
(
n?N
?
)
,求证数列{a
n
}为等比数列,并求a< br>n















15、求和:
1?
1
1?2
?
1
1?2?3
?...?
1
1?2?3 ?...?n
(n?N
?
)









2014级必修五 编号2012 课题:
数列求和(二)


编制人:谈恩国 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月 班级 姓名

一、基础知识
1、
na
a
n
1
(1?q)
n

1?q
?
a
1
?a
n
q
1?q

3、
1
n
?
1
n?1

1
2
(
1
2n?1
?
1
2n?1
)

n?1?n

二、例题
例1:






例2: 例3:








例4:








例5:












三、练习:1、C 2、A 3、D 4、B 5、C 6、B 7、D 8、D
9、140 10、3 11、1 12、216
13、




14、





15、


2014级必修五 编号 2013 课题:
§3.1.1 不等关系与不等式
编制人:王合青 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月22日 班级 姓名

一、学习目标
1、了解现实生活中的不等关系能用不等式(组)表示实际问题。
2、学会作差法比较两实数的大小。
二、自主学习
(1)客观世界中,我们用哪些符号表示两个量之间的不等关系?含有这些不等号的式子,
叫做 。
(2)当x=3时,x≥3是否成立?当x≥3时,x=3是否一定成立?
当x≥3和x≤3都成立时,x=3是否一定成立?


(3)在数轴上,如果表示 实数a和b的两个点分别为A和B,则点A和点B在数轴上的位
置关系有哪几种?对应怎样的结论?


(4)如果a, b之间的大小关系分别为a>b,a=b, a
(5)通常,“如果p, 则q”为正确命题,则简记为
p? q
;如果
p?q

q?p
都是正
确的命题;记为
p ?q
。那么a-b的结果与a, b的大小关系如何表示?




三、尝试练习
(A)1、下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( )
A、
a?b?0
B、
a?b?0
C、
a?b?0
D、
a?b?0

(A)2.下列不等式中不成立的是( )
A、
?1?2
B、-1<2 C、
?1?2
D .
?1??1

(A)3、试比较
x
2
?2x

?x?3
的大小。




(B)4、某市政府准备投资1800万元兴办一所中学, 经调查,班级数量以20至30个为宜,每
个初高中班硬件配置分别为28万元与58万元,该学校的规 模(初高中班级数量)所满足的条件
是什么?





四、巩固提高
(A)1、用不等号表示“m与n的差的绝对值不小于3,且小于等于8”的关系正确的是( )
A、
3?|m|?|n|?8
B、
3?|m?n|?8

C、
3?|m?n|?8
D、
3?|m?n|?8

(B)2、设
M?x
2
?y
2
?4x?2y(x?2,y??1) ,N??5
,则M与N的关系是( )
A、M>N B、M(B)3、a
2
与a
3
的大小关系是( )
A、
a
2
?a
3
B、
a
2
?a
3
C、
a
2
?a
3
D、不确定,与a的取值有关
(A) 4、设
m?2a
2
?2a?1,n?(a?1)
2
,则m, n的大小关系是 。
(B)5、已知
a,b?R
?
,试 利用作差法比较
a
3
?b
3
与a
2
b?ab
2
的大小。






(B)6、试比较
4a
4?a
2
和1的大小。







(C)7、当p, q都是正数且p+q=1时 ,试比较代数式(px+qy)
2
与px
2
+qy
2
的大小 。







2014级必修五 编号 2013 课题:
§3.1.1 不等关系与不等式
编制人:王合青 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月22日 班级 姓名

§3.1.1. 不等关系与不等式·答案
二、自主学习
思考1:不等式 思考2: 是 否 是
思考3:(1)点A 和点B重合;(2)点A在点B的右侧;(3)点A在点B的左侧,对应的结论
为a=b, a>b, a思考4:a-b分别是正数、零、负数。
思考5:
a?b?0?a?b,a?b?0?a?b,


a?b?0?a?b

三、尝试练习
1、C 2、C
3、解 :
x
2
?2x?(?x?3)?x
2
?3x?3?(x?
3
)
2
?
3
24


(x?3
)
2
2
?0?x
2
?2x?(?x?3)?0


x
2
?2x??x?3

4、解:设初中班为x个,高中班为y个,则
?
?
20?x?y?30
?
28x?58y?1800

?
?
x,y?N
?
四、巩固提高
1、C
2、解 :
M?N?x
2
?y
2
?4x?2y?5?(x?2)
2< br>?(y?1)
2


x?2,y?1


(x?2)
2
?0,(y?1)
2
?0


M?N?0?M?N
,故选A
3、解:
a
3
?a
2
?a
2
(a?1)


a?R?a
2
?0,a?1
符号不确定

a
3

a
2
大小关系不确定,故选D
4、解:
m?n?2a
2
?2a?1?(a?1)
2


?a
2
?0


m?n

5、解:
a
3
?b
3
?a2
b?ab
2
?a
2
(a?b)?b
2
(b? a)


?(a?b)(a
2
?b
2
)?(a?b
2
)(a?

b)

a,b?R
?
?(a?
2
b)?0,a?b?

0

(a?b)
2
(a?b)?

0
即:
a
3
?b
3
?a
2
b?a

b
2

6、解:
4a4a?4?a
2
?(a?2)
2
4?a
2
?1?
4?a
2
?
4?a2
?0


4a
4?a
2
?1

7、













2014级必修五 编号 2014 课题:
不等式的性质
编制人:王合青 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月22日 班级 姓名

(2)已知a>b, ca?c?b?d
(3)已知
a?b?0,0?c?d
,求证:
一、学习目标
1、掌握不等式的性质。
ab
?

cd
2、能够利用不等式的性质进行数或式的大小比较,解不等式(组)和不等式证明。
二、自主学习
阅读课本P64—P65完成下列问题。
(1)对称性:如果a>b,那么 ;如果b(2)传递性:如果a>b,且b>c,则 。
(3)加法法则:如果a>b,则a+c b+c。
(4)不等式的移项法则是什么?用数学符号语言怎么描述?


(5)什么是同向不等式?两个同向不等式能否相加?结果是什么?


(6)同向不等式相乘的条件是什么?结果与原不等式什么关系?

(7)由a>b ,能否判断
a
2

b
2
的大小?
a
3
b
3
的大小呢?
a
n

b
n
呢?
n
a

n
b
呢?

三、尝试练习
(A)1、用“>”,“<”或“≠”号填空。

a?5
b+5(a1
a

1
b
(a>b>0)
④a>b, c?
a-c b-d ⑤a>b>0, c?
ac bd
⑥当c 0时,a>b
?
ac>bc ⑦a>0, b<0
?
ab 0
(A)2、判断下列命题的真假。
(1)若a>b,则ac2
>bc
2
, 则a>b
(3)
c
a
?
c
b
,且c>0,则a>b (4)若ab
a
?
a
b

(B)3、已知12a?b
的取值范围是 ,
a
b
的取值范围是 。
(B)4、应用不等式的性质,证明下列不等式:
(1)已知a>b, ab>0,求证:
1
a
?
1
b








四、巩固提高
(A)1、已知a+b>0, b<0,那么a, b, -a, -b的大小关系是( )
A、
a?b??b??a
B、
a??b??a?b

C、
a??b?b??a
D、
a?b??a??b
(A)2、已知a>b,不等式:①
a
2
?b
2
;
②< br>1
a
?
1
b
;③
1
a?b
?
1
a
成立的个数是(
A、0 B、1 C、2 D、3
(A)3、已知a, b, c, d
?R
且ab>0,
?
cda
??
b
,则( )
A、
bc?ad
B、
bc?ad
C、
a
?
b

a
cd
D、
c
?
b
d
(B)4、若< br>?
?(0,
?
2
),
?
(0,
?
2
)
,那么
2
?
?
?
3
的范围是 。
(A)5、下列命题中为真命题的是 。

a?b?0,d?c?0?
ab
c
?
d

a?b,c?d?a?c?b?d


a
c
2
?
b
c
2
?a?b

a?b?a
n
?b
n
(n?N,n?1)

(B)6、用不符号“<”或“>”填空
①如果a>b, c>0, 则d+ac d+bc
②如果a>b, c<0, 则c(d-a) c(d-b)
③如果a>b, d>e, c<0, 则d-ac e-bc
(C)7、已知
?1?a?b?3,且2?a?b?4
,求2a+3b的取值范围。









2014级必修五 编号 2014 课题:
不等式的性质
编制人:王合青 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月22日 班级 姓名

不等式的性质·答案

尝试练习
1、①< ②< ③< ④> ⑤< ⑥> ⑦<
2、(1)假 (2)真 (3)假 (4)假
3、解:∵15?36??b??15;
∵124、


四、巩固提高
1、C 2、A 3、A 4、
(?
5、①③
6、① > ② > ③ >


111
??

36615
1a

?24?a?b?45;??4

3b
?
6
,
?
)



2014级必修五 编号 2017 课题:
均值不等式(三)
编制人:王合青 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月26日 班级 姓名

一、学习目标:
1、熟练掌握均值不等式及变形的应用。
2、会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题。
3、能够运用均值不等式解决生活中的应用问题。
二、自主学习:
1、已知
x,y
都是正数,若
x?y?s
(和为定值),那么
xy
有最大值 还是最小值?如何求?

2、已知
x,y
都是正数,若
xy?p< br>(积为定值),那么
x?y
有最大值还是最小值?如何求?


3、利用均值不等式求最值的条件是什么?

三、尝试练习:
(A)1、已知
x?0
,则
y?3x?
4
x
有( )
A、最大值
43
B、最小值
43
C、最大值
23
D、最小值
23

(A)2、若
x?4
,则函数
y?x?
1
x?4
( )
A、有最大值
?6
B、有最小值6 C、有最大值
?2
D、有最小值2
(A)3、已知x,y都是正数,
(1)如果xy=15,则x+y的最小值是_______________;
(2)如果x+y=15,则xy的最大值是_______________。
(B)4、已知点P (x,y)在直线2x+y-4=0上运动,求它的横、纵坐标之积的最大值,以及此时
点P的坐标。



(B)5、(1)一个矩形的面积为100㎡.问这个矩形的长、宽各 为多少时,矩形的周长最短?最
短周长是多少?



(2)已知矩形的周长为36m,问这个矩形的长、宽各为多少时,它的面积最大?最大面积是
多少?





四、巩固提高:
(A)1、已知f(x)?x?
1
x
?2(x?0)
,则
f(x)
有( )
A、最大值为0 B、最小值为0 C、最大值为-4 D、最小值为-4
(A )2、已知
x,y
为正实数,且满足
4x?3y?12
,则
xy的最大值为( )
A、2 B、3 C、4 D、5
(A)3、 已知
0?x?
1
3
,则
x(1?3x)
取最大值时
x
的值是( )
A、
1
3
B、
1
6
C、
3
4
D、
2
3

(B)4、函数
y?
x
2
?5
2
的最小值为( )
x?4
A、2 B、
5
2
C、1 D、不存在
(B)5、建造一个容积为
8m
3
,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和 池壁的造价每平方米分别
为120元和80元,那么水池的最低造价为____________元。
(B)6、已知正数
x,y
满足
x?2y?1
,求
1
x
?
1
y
的最小值。




(B)7、若
x?0
,求函数
f(x)?
?2x
2
?x? 3
x
的最大值,及此时
x
的值。




(C)8、若x>-1,求函数
f(x)?
x
2
?2x?2
x?1
的最小值




2014级必修五 编号 2017 课题:
均值不等式(三)
编制人:王合青 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月26日 班级 姓名

均值不等式(二)答案
二、自主学习:
1、


2、

3、 ①正数 ②定值 ③相等
三、尝试练习:
1、B 2、B 3、
215

225
4

4、解:∵点P(x,y)在直线2x+y-4=0上,∴2x+y=4,∵
xy?
1
2
g(2xgy)?
1
2
g(
2x?y
2
)
2
?
1
2
g(
4
2
)
2
?2

当且仅当2x=y即x=1,y=2时等号成立。
∴点P横、纵坐标的最大值为2,此时点P的坐标为(1,2)
5、









四、巩固提高:
1、B
2、B ∵
x,y
为正实数 ∴
4x?3y?24x?3y
,即
12?212xy
,∴
xy?3

当且仅当
4x?3y
,即
x?
32
,y?2
时,“=”成立。
3、



4、






5、1760 设水池的造价为y元,长方形底的一边长为xm,∵底面积为
4m
2
∴另一边长为< br>4
x
m


y?120g4?2g80g(2x?2g
4
)?480?320(x?
4
xx
)?480?320g2xg
4
x
?1760(元)

6、




7、





8、解:
y?
x
2
?2x?2(x?1)
2
x?1
?
?4(x?1)?1
x?1
?(x?1)?
1
x?1
?4

∵x>-1 ∴x+1>0 ∴
y?(x?1)?
1
x?1
?4?2?4??2
,当且仅当
x?1?
1
x?1
即x=0时等
号成立。 ∴原函数的最小值为-2


2014级必修五 编号 2017 课题:
均值不等式(三)
编制人:王合青 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月26日 班级 姓名

均值不等式习题课
一、学习目标
1、掌握基本不等式应用的条件 2、会用均值不等式及变形公式证明不等式、求函数最值
二、复习
1、 均值不等式的内容是什么?不等式中的a,b 可以是复杂的代数式吗?
2、 均值不等式的变形公式有哪些?如何用均值不等式求最值?
题组一:求下列函数的最小值,并求取得最小值时x的值
(A)1、(1)
y
=3
x
2

1
3
2
x
2
(2)
y?x?
x?2
(x?2)
(3)
y?sinx?
1
sinx
,x?(0,
?
)






题组二:分离或换元
(B)2、求函 数
y?
x
2
?7x?10
x?1
(x??1)
的值 域




题组三:利用
y?x?
a
x
的单调性
(B)3、求函数< br>y?
x
2
?5
的最小值及取得最小值时x的值
x
2
?4





题组四:“1”的代换
(B)4:已知
x?0,y?0
,且
1x
?
9
y
?1
,求
x?y
的最小值。




(B)5、已知
x?0,y?0
,且x?y
=4,求
1
x
?
3
y
的最小值。




五、巩固提高
(B)1、下列各式中,最小值为2的是( )
A、
x
?
y
B、
x
2
?4?
1
yx
x
2
?4
C、
1
2
e
x
?2e
?x
D、
tan
?
?
1
tan
?

(A)2、 已知x<0,则
y?x?
2
x
的最大值为___________,
(A)3、已知函数
f(x)?4x?
a
x
(x>0,a>0)在x=3时 取得最小值,则a=__________,
(B)4、函数
y?sinx?
2
sinx
x?(0,
?
)
的最小值为____________,
(B)5、若实数 满足
a?b?2
,则
3
a
?3
b
的最小值是 .
(C)6、若正实数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是___________, a+b的取值范围是_________.





2014级必修五 编号 2017 课题:
均值不等式(三)
编制人:王合青 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月26日 班级 姓名

均值不等式(三)答案
1、(1)y=3x
2

1
3x
2
·
1
22
2x
2
≥2
2x
2
=6 ,当且仅当
3x?2x

x??1
时“=”号成立
(2)
(3)
2、法一)
当,即时,
y?2(x?1)?
4
x ?1
?5?9
(当且仅当x=1时取“=”号)
∴值域为
?
9,??
?

法二)
令t=x+1,
y?
(t?1)
2
?7(t?1)+10
t
=
t< br>2
?5t?44
t
?t?
t
?5

当,即t =时,
y?2t?
4
t
?5?9
(当t=2即x=1时取“=”号)
∴值域为
?
9,??
?

3、解:令
x
2
?4?t(t?2)
,则
y?
x
2
?5
?x2
?4?
1
x
x
2
?4
?t?
12
?4
t
(t?2)


t?0,t?
1?1
,但
t?
1
t
t
解得
t??1
不 在区间
?
2,??
?
,故等号不成立,考虑单调性。
因为
y?t?
1
t
在区间
?
1,??
?
单调递增,所以 在其子区间
?
2,??
?
为单调递增函数,
故当t=2时y有最小 值,最小值为
5
?
5
?
2
。所以,所求函数的值域为
?
?
2
,??
?
?

4、解:
Qx? 0,y?0,
1
?
x
?
9
y
?1

?x?y?
?
x?y
?
?
1
?
9
?y
?
?
y
?
9x
?10?6?10?16
< br>?
x
?
xy
当且仅当
y
x
?
9x< br>y
时,上式等号成立,又
1
x
?
9
y
?1< br>,可得
x?4,y?12
时,
?
x?y
?
min?16

5、

巩固提高
1、C
2、
3、见教材全解89页考例1
4、
5、解:
3
a
和3
b
都是正数,
3
a
?3
b

23
a
?3
b
?23
a?b
?6

3
a
?3
b
时等号成立。

a?b?2

3
a?3
b

a?b?1
即当
a?b?1
时,
3< br>a
?3
b
的最小值是6.
6、见教材全解89页


2014级必修五 编号 2018 课题:
一元二次不等式(一)
编制人:王新岩 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月31日 班级 姓名

一、学习目标:
1、能用数形结合的方法求解具体一元二次不等式,注意首项系数 为负时的易错点,体会一元二次
不等式解集的边界和相应一元二次方程根的关系;
2、明确分式不等式的四种类型,体会将分式不等式转化为整式不等式的转化化归思想;
3、知道解高次不等式的方法:穿根法,归纳穿根法的步骤
二、自主学习:
1、“三个一元二次”的关系
判别式△=b
2
-4ac △>0 △=0 △<0

二次函数

y=ax
2
+bx+c(a>0)的图像





一元二次方程



ax
2
+bx+c=0(a>0)的根





一元



二次
ax
2
+bx+c>0(a>0)


不等

式的

解集
ax
2
+bx+c<0(a>0)

2、典型例题
例题1(A)、解不等式:①
4x
2
?4x?15?0

?4x
2
?x?14?0

x
2
?6x?10?0




总结解一元二次不等式的方法和步骤

跟踪练习1:
解下列不等式(A) :(1)
3x
2
?5x?2?0
;(2)
9x
2
? 6x?1?0
;(3)
?2x
2
?x?1?0




例题2(A)、已知不等式
ax
2
?5x?c?0的解集为
{x|
1
3
?x?
1
2
}
, 求a,c的值。



跟踪练习2(A)、不等式
ax
2
?bx?3?0
的解集{x|x>3或x<1},则a-b等于 。

例题3、解不等式(1)(A)
1?x
x
?0
(2)(B)
3x?1
x?1
?2




总结:分式不等式的解法,基本思想是
1、
f(x)
?0?

f(x)f(x)
g(x)

g(x)
?0?

f(x)
g(x)
?0?

g(x)
?0?

2、当不等号右侧是非0常数时,需要先如何处理?
跟踪练习3(A)、(1)
x
?0
(2)
2x?1
9?xx?1
?1




例题4、解不等式(1)(2) (B) (3) (C)
(1)
(x?1)(x?2)(x?3)?0
(2)
1?x?x
3
?x
4
?0
(3)
( x?1)
2
(x?2)(x?3)
3
(x?4)?0





总结:解高次不等式的方法-----穿根法的步骤
跟踪练习4(B)、(1)
(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)?0
(2)
(x?1)(x?2)(x?3)
2
(x?4)?0





三、巩固提高:
1、求下列函数的定义域(A)(1)
f(x )??3x
2
?2x?1
(2)
f(x)?log
2
2< br>(x?x?
1
)?
2
4
x?1




2、解关于x的不等式(B):(1) -6x
2
-x+2≤0 (2)
3x?1
?1
(3) (x
2
x?1
-1) (x
2
-4)≥0




(4)
(x?3)
2
(x?4)(x?9)
9
?0
(5)
0?x
2
?x?2?4




2014级必修五 编号 2018 课题:
一元二次不等式(一)
编制人:王新岩 审核人:王国燕 编制日期:2015年5月31日 班级 姓名

一元二次不等式(一)答案
例题1、①
(?,)

(??,?2][,??)
③R
跟踪练习1、(1)
(??,?2)< br>35
22
7
4
111
(,??)
(2)
{x|x?}
(3)
(??,?)(1,??)

332
例题2、提示:不等式解集的边界是相应方程的根,韦达定理可解之
答案:
a??6,b??1

跟踪练习2、5
例题3、提示:将分式不等式化为整式不等式
答案:(1)
(??,0)(1,?? )
(2)
(??,?3](1,??)

(9,??)
(2)
[?2,1)
跟踪练习3、(1)
(??,0 )
例题4、提示:穿根法(注意:①最高次项系数是否大于0②右上方开始穿根③奇穿偶不穿)(1)< br>(??,?1][2,3]
(2)
(?1,1)
(3)
[?4,?3] [?2,??)

跟踪练习4、(1)
(?2,?1)
三、巩固提高
1、(1)
[?,1]
(2)
(??,?1][1,??)
< br>2、(1)
(??,?][,??)
(2)
(??,?1]
(4)(??,?4)











(1,2)
(2)
(1,2)(4,??)

1
3
2
3
1
2
(1,??)
(3)
(??,?2][?1,1][2,??)

(9,??)
(5)
[?2,?1][2,3]



2014级必修五 编号 2019 课题:
一元二次不等式(二)
编制人:王新岩 审核人:王国燕 编制日期:2015年6月1日 班级 姓名

一、学习目标:
1、明确求解含参一元二次不等式对参数分类讨论的两条依据和步骤
2、体会影响定义域为R的二次函数恒成立问题的两大因素:开口方向和Δ;处理当自变量
x

区间限制时恒成立问题的两种思路:化归最值,分离参数
3、处理二次方程根的分布问题的基本思路:数形结合下图像位置的三大制约条件
二、自主学习:
1、结合例题1和例题2讨论
(1)解含参数的一元二次不等式时 ,需根据参数的取值范围进行分类讨论,引起分类讨论的原因
有哪几种?


(2)解含参数的一元二次不等式,对参数进行分类讨论时,最优的讨论顺序是怎样的?


2、结合例题3和例题4,总结与二次函数有关的恒成立问题有哪几种类型?哪些处理方法?



3、结合例题5、总结二次方程根的分布问题要讨论哪些要素?

二、典型例题:
例题1、解不等式:①(A)
x
2
?( 2m?1)x?m(m?1)?0
②(B)
x
2
?(a?a
2
)x?a
3
?0(a?R)










跟踪练习1(A)、解不等式
(x?a)(x?1)?0






例题2(C)、解关于x的不等式
(x?2)(ax?2)?0(a?R)







跟踪练习2(B)、不等式
ax
x?1
?1
的解集为{x|x<1或x>2},则a的值为 。

总结:解含参不等式参数分类讨论的依据和步骤


例题3(A )、
(m?1)x
2
?(m?1)x?3?0
恒成立,求m的范围。




跟踪练习3(A)、
f(x)?ax
2< br>?ax?1?0

x?R
恒成立,求a的范围。



例题4(C)、设函数
f(x)?mx
2
?mx?6?m

(1)若对于
m?[?2,2],f(x)?0
恒成立,求实数x的取值范围;
(2)若对于
x?[1,3],f(x)?0
恒成立,求实数m的取值范围。







跟踪练习4(B)、当x ∈(1,2)时不等式x
2
+mx+3≤0恒成立,求实数m的取值范围




例题5(B)、分别求实数m取何范围的值时,方程
x
2
?(m?3)x?m?0
的两根满足:(1)都是
正数;(2)都在(0,2)内。









跟 踪练习5(A)、关于x的方程
2ax
2
?2x?3a?2?0
的两根一个小 于1,另一个大于1,求实数
a的取值范围。




2014级必修五 编号 2019 课题:
一元二次不等式(二)
编制人:王新岩 审核人:王国燕 编制日期:2015年6月1日 班级 姓名

一元二次不等式(二)答案
例题1、①
(??,m][m?1,??)

②提示:分解因式求根,根据根的大小对参数a分类讨论
答案:
a?0
时,
{x|x?0}

a?1
时,
{x|x?1}

0?a?1
时,
(??,a
2
)(a,??)

a?0

a?1
时,
(??,a)(a
2
,??)

跟踪练习1、
a?1
时,
{x|x?1}

a?1
时,
[1,a]

a?1
时,
[a,1]

例题2 、提示:注意
a?0
的特殊情况;
a?0
时,既要注意两根的大小,又要注意 开口方向
答案:
a?0
时,
(,2)

a?0
时,
(??,2)

0?a?1
时,
(??,2)
2
a
2
(,??)

a
2
a?1
时,
(??,2)(2,??)

a?1
时,
(??,)(2,??)

a
1
跟踪练习2、
2
例题3、提示易错点:忽略最高次项系数
m?1?0
的特殊情况
答案:
[?13,?1]

跟踪练习3、
[0,4)

例题4、(1)提示:将该函数看出m为自变量的一次函数
答案:
(?1,2)

(2)提示:分离参数得
m?
6< br>,x?[1,3]
,转化为求右侧函数的最小值问题
x
2
?x?1
6

7
跟踪练习4、
m??4

答案:
m?
例题5、提 示:考虑Δ,对称轴和端点函数值的符号,对函数图像的上下左右位置精确定位
(1)
(0,1]
(2)
(,1]

跟踪练习5、
(??,?4)
2
3
(0,??)



2014级必修五 编号 2020 课题:
一元二次不等式(三)习题课
编制人:王新岩 审核人:王国燕 编制日期:2015年6月2日 班级 姓名

【具体不等式】
1(A)、有四个不等式:(1)
?x
2
?x?1 ?0
;(2)
x
2
?25x?5?0
;(3)
x
2
?6x?10?0

(4)
2x
2
?3x?4?0
。其中解集为R的是( )
A、(1) B、(2) C、(3) D、(4)
2(A)、设集合
M?{x|0?x?2}
,集合
N?{x|x
2
?2x?3?0}
,则集合
M?N
等于( )
A、
{x|0?x?1}
B、
{x|0?x?2}

C、
{x|0?x?1}
D、
{x|0?x?2}

3(B)、不等式
(x?1)(2?x)?0
的解集是( )
A、[-2,1] B、[-1,2]
C、
(??,?1]?[2,??)
D、
(??,?2]?[?1,??)

4(A)、解不等式
4?x
2
?3x?6?2x?8






【分式不等式、高次不等式】
5(A)、不等式
x?2
x?1
≤0的解集是 ( )
A.(-∞,-1)
?
1(-1,2) B.[-1,2] C.(-∞,-1)
?
[2,+∞] D.(-1,2]
6(A)、不等式
x(x?2)
x?3
?0
的解集为( )
A、{x|x<0或x>3} B、{x|x<-2或00} D、{x|-23}
7(B)、不等式
x?1
x
?2
的解集为( )
A、
[?1,0)
B、
[?1,??)
C、
(??,?1]
D、
(??,?1]?(0,??)

8(B)、解关于x的不等式 (1)
x
4
?2x
3
?3x
2
?0
(2)
3x?5
x
2
?2x?3
?2








【含参不等式】
9(A)、不等式< br>x
2
?ax?12a
2
?0
(其中a<0)的解集为( )
A、(-3a,4a) B、(4a,-3a) C、(-3,4) D、(2a,6a)
10(A)、若
a?b
,则关于x的不等式
x?a
2
?b< br>2
x?2ab
?0
的解集为( )
A、
{x|x?2ab,或x?a
2
?b
2
}
B、
{x|x?2ab,或x?a
2
?b
2
}

C、
{x|x?2ab,或x?a
2
?b
2
}
D、
{x|x?2ab,或x?a
2
?b
2
}


11(B)、若01
a
)>0的解集是 ( )
A.{x|
1
a
1
a
} C.{x|x
1
a
} D.{x|x<
1
a
或x>a}

12(C)、选做
(ax?1)(x?3)?0(a?0)









【恒成立】
13(A)、
f(x)?x
2
?ax?1?0

x?R
恒成立,则实数a 的取值范围是
14(B)、如果不等式
2x
2
?2m x?m
4x
2
?6x?3
?1
对一切实数x均成立,则实数m的取值 范围是 。
15(B)、已知函数
y?(m
2
?4m? 5)x
2
?4(1?m)x?3
对任意实数x,函数值恒大于零,求实数
m的 取值范围。





16(C)、对于不等式
1
(2t?t
2
)?x
2
?3x?2?
2
8
3?t
,试求对区间
[0,2]
上的任意实数
x
都成立的
实数
t
的取值范围。






【根的问题】
17(A)、关于x的方程
x
2
?(a
2< br>?1)x?a?2?0
的一根比1小且另一根比1大则( )
A、-11 C、-21
18(B)、已知x
1
,x
2
是方程x
2
-(k-2)x+k
2
+3k +5=0(k∈R)的两实数根,则x
22
1
+ x
2
的最大值为 ( )
A.18 B.19 C.5
5
9
D.不存在
19(C)、关于
x
的方程
2x
2
?4(m? 1)x?m
2
?7?0
两根之差的绝对值小于2,求实数
m
取值范围 。



2014级必修五 编号 2020 课题:
一元二次不等式(三)习题课
编制人:王新岩 审核人:王国燕 编制日期:2015年6月2日 班级 姓名

一元二次不等式(三)习题课答案
1、C 2、B 3、C 提示:二次项系数非正 4、{
x|x??2,

5?x?7
}
5、D 6、B 7、A 8、(1)
(?1,0)
9、B 10、B 11、B
12、解 :由条件知,
a?0
,不等式
(ax?1)(x?3)?0?a(x?)(x?3)? 0
,方程
1
(0,3)
(2)
(??,?3)[?1,](1,??)

2
1
a
1 1
a(x?)(x?3)?0
两根为
?3,?

aa
111
2
(1)
a?
时,
?3??
,原不等式
?(x?3 )?0
,此时不等式解集为
(??,?3)(?3,??)

3a3
1111
(2)原不等式
(x?)(x?3)?0
,此时不等式解集为
(? ?,?3)(?,??)

a?
时,
?3??

3aaa
111
(3)
0?a?
时,
?3??
,原不等式
( x?)(x?3)?0
,此时不等式解集为
3aa
1
(??,?)(?3,? ?)

a
111
(4)
a?0
时,
?3??,原不等式
(x?)(x?3)?0
,此时不等式解集为
(?3,?)

aaa
111
综上所知:
a?0
时,解集为
(?3,?)< br>;
0?a?
时,解集为
(??,?)(?3,??)

a3 a
111
a?
时,解集为
(??,?3)(?3,??)

a?
时,解集为
(??,?3)(?,??)

33a
13、(-2,2)
14、答案:(1,3) 提示:分母>0,不等式两边同乘以分母,不等号方向不变,转化为二次函数恒
成立问题
15、答案:[1,19) 提示:注意讨论二次项系数大于0和等于0两种情况
16、
[?1,1?3]
17、答案:C 提示:
f(1)?0

18、A 提示:注意考虑两实数根存在的前提(Δ
?0
),转化为关于k的二次函数在给定区间上
恒成立问题
19、
(2?11,?1][5,2?11)



2014级必修五 编号 2021 课题:
不等式的实际应用
编制人:王新岩 审核人:王国燕 编制日期:2015年6月3日 班级 姓名

一、学习目标:
能用不等式表述生活中的不等关系,并可以借助均值不等式、一元二次不等式 等知识解决相关的
最值问题。

二、自主学习:
1、自学课本P81例题1,并完成如下问题:
(1)若00,则
a?m
b?m

a
b
(填“>”或“<”)。
(2)此不等式的证明可用作差比较法:a?ma
b?m
-
b
=


(3)从函数这 一层面上考虑,函数
f(x)?
a?x
b?x
(a,b?0,a?b)

[0,??)
上单调 。
2、列不等式解决实际问题的思想方法如下


实际问题
建模
数学问题
解题(利用不等式)

审题、抽象、转化
推理运算

数学问题答案
检验
实际问题结论

三、典型例题:
例题1(A)、某商品计划两次提价,有甲、乙两种方案,其中p>q>0。经过两次提价后,哪种方案
提价幅度大?





例题2(B)、某厂有 一面长14米的旧墙,现在准备用这面墙的一段为一面,建造平面图形为矩形
且面积为108平方米的厂 房(不考虑墙高),修1米旧墙的费用是建1米新墙费用的50%(折旧
墙的材料损失忽略不计),问: 如何利用旧墙才能使建墙费用最省?(建门窗的费用与建新墙的费
用相同,可以不考虑)。









例题3(B)、某农产品去年各季度的市场价格如下表:
季度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
每吨售价(单位:元)
195.5 200.5 204.5 199.5
今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m”(平衡价m是这样的一个量:与上年
各季度售价差比较,m与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品,并按每100元纳税10
元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万吨,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,
决 定将税率降低x个百分点,预测收购量可增加2x个百分点。
(1)根据题中条件填空,m= (元吨)。
(2)写出税收y(万元)与x的函数关系式;
(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围。













四、巩固提高:
1(A)、用长度为24米的材料围成一矩形场地,中 间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的
长度为( )
A、3米 B、4米 C、6米 D、12米
2(A)、某产品的总成本为C万元,与产量x台的关系 是C=3000+20x-0.1x
2
,其中
x?(0,240)
,若
每台售价为25万元,那么生产厂家不亏本的最低产量是( )
A、60台 B、90台 C、120台 D、150台
3(A)、将进货单价为80元的商品按90元一个 售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就
减少20个,为获得最大利润,售价应定在( )
A、每个95元 B、每个100元
C、每个105元 D、每个110元
4(B)、某公司租地建仓库,每月土地占用费y
1
与仓库到车站 的距离x成反比,而每月货物的运费
y
2
与到车站的距离x成正比,如果在距离车站1 0公里处建仓库,这两项费用y
1
和y
2
分别为2万
元和8万元,那 么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 公里处。
5(B)、某汽车运 输公司购买一批豪华大客车投入营运,据市场分析每辆车营运的总利润y(单位:
10万元)与营运年数 x(
x?N
?
)为二次函数关系(如图所示),则
每辆客车营运 年,其营运的年平均利润最大。


2014级必修五 编号 2021 课题:
不等式的实际应用
编制人:王新岩 审核人:王国燕 编制日期:2015年6月3日 班级 姓名

不等式的实际应用答案
例题1、解:设商品原价为a,
则按照甲种方案提价后,商品价格
y
1
?a(1?p)(1?q)?a(1? p?q?pq)

按照乙种方案提价后,商品价格
y(1?
p?q
2
2
)?a[1?p?q?(
p?q
2
2
?a
2< br>)]

由均值不等式得
pq?(
p?q
2
2)

p?q
,等号成立的条件不具备),从而
y
1
?y
2

所以按照乙种方案提价幅度大。
例题2、解:设修一米旧墙的费用为
a
,利用旧墙
x
米,则修一米新墙的费用为
2a
,矩形厂房 的
另一边长为
108
x
米,改造旧墙的费用为
ax
,建新墙 的费用为
2a(x?2?
108
x
)
,建造厂房的总费用
y ?ax?2a(x?2?
108432
x
)?a(3x?
x
)

0?x?14

根据均值不等式得
3x?
432
x?23?432?72
,当且仅当
3x?
432
x
,即
x?12
时等号成立。
答:改造旧墙12米作为矩形厂房的一边可使建墙费用最省。
例题3、
提示1:构造二次函数模型,函数解析式求解是关键,然后利用配方法、数形结合法 等方法求解
二次函数最值,但要注意自变量的实际取值范围.
提示2:(1)由题意得:要使 (m-195.5)
2
+(m-200.5)
2
+(m-204.5)
2
+(m-199.5)
2
最小,展
开后配方可得,m取四个季度的市 场价格的平均数即可;
(2)先写出降低税率后的税率及农产品的收购量、收购总金额,从而进一步 写出税收y(万元)
与x的函数关系式即得;
(3)依题意得出关于x的一元二次不等式,再解此二次不等式即可得x的取值范围.
解:(1)200
(2)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2 x%)万吨,收购总金额为200a
(1+2x%)万元,故y=200a(1+2x%)(10-x) %=
200
10000
a(100+2x)(10-x)
=
1
50
a(100+2x)(10-x)(0<x<10);

(3)原计划税收为200a×10%=20a(万元),依题意得:
1
50
a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,即x
2
+40x-84≤0.解得 -42≤x≤2,又0<x<10,∴0<x≤2
答:x的取值范围是{x|0<x≤2}.(14分)
四、巩固提高
1、A 解:设隔墙长度为
x
,则矩形另一边长为
2 4?4x
2
=12-2
x
,且0<<6,矩形面积
y?x(12?2 x)??2(x?3)
2
?18
,所以
x
=3时,矩形面积最大。
2、D 解:由题意可知:要使生产厂家不亏本,则有总收入要大于等于总支出,
又因为总收入为:25x,总支出为:3000+20x-0.1x
2
∴25x≥3 000+20x-0.1x
2
,解得:x≥150或x≤-200,又x∈(0,240),∴ x≥150
故答案为:150.
3、A 解:设售价在每个90元的基础上涨价
x
元,利润为
y
元。
根据题 意有:利润
y?[(90?x)?80](400?2x),(x?0)
,配方可得
y ??20(x?5)
2
?4500

故当
x?5
时,即售价定为每个95元时,有最大利润4500元。
4、解 :设仓库应建在离车站
x
千米处,每月土地占用费
y
1
与仓库到车站 的距离成反比,令反比
例系数为
m,m?0
,则
y
m
1?
x
,当
x?10
时,
y?
m20
1
10
?2?m?20
,所以
y
1
?
x

每月库存货物的运费
y
2
与仓库到车站的距离成正比,令正比例系数为
n,n ?0
,则
y
2
?nx
,当
x?10
时,
y
4
2
?10n?8?n
5
?
,所以
y
4< br>2
?
5
x
;∴两项费用之和
y?
20
?x< br>4
?2
x
?
2
x55
x?
0
8,当且仅当
4
20
x
?
4
5
x
,即< br>x?5
时,取等号
∴仓库应建在离车站5公里处,可使这两项费用之和最小.
5、解:可设y=a(x-6)
2
+11,又曲线过(4,7),∴7=a(4-6)
2
+11 , ∴a=-1.
即y=-x
2
+12x-25,∴
y
x
=12-(x+
25
x
)≤12-2
25
=2 ,当且仅当x=5时取等号。


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