高中数学必修五知识点大全知识讲解

1
21

必修五
知识点串讲

第一章：解三角形
1．1．1正弦定理
1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sinA
?
b
sin
B
?
c
sin
C

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
a
?
b
?
c

sin
A
?sin
B
?sin
C
ab
c
a
?
b
?< br>c
证明出
???
sin
A
sin
B
sin
C
sin
A
?sin
B
?sin
C
ab< br>c
解：设
???
k
(
k
>o)

s in
A
sin
B
sin
C
则有
a
?
k
sin
A
，
b
?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C

a
?
b?
c
k
sin
A
?
k
sin
B
?
k
sin
C
从而==
k

sin
A< br>?sin
B
?sin
C
sin
A
?sin
B
?sin
C
3
a
a
?
b
?
c又，所以=2
?2?
k
?
sin
A
sin60
0
sin
A
?sin
B
?sin
C
ab
c
a
?
b
?
c
评述：在
?
ABC中，等式
????
k
?
k
?0
?

sin
A
sin
B
sin
C
sin
A
?sin
B
?sin
C
2、已知
?
ABC中，
?
A
? 60
0
，
a
?3
,求
恒成立。
3、已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
:sin
C?1:2:3
，求
a
:
b
:
c

（答案：1：2：3）



1.1.2余弦定理
1、 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的
积的两倍 。即
a
2
?
b
2< br>?
c
2
?2
bc
cos
A

b2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
c os
B

c
2
?
a
2
?
b
2
?2
ab
cos
C

从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?< br>2ac
b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba

2
21

2、在
?
ABC中，已知
a? 23
，
c?6?2
，
B?60
0
，求b及A
⑴解 ：∵
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB

=
(23)
2
?(6?2)
2
?2?23?(6?2)cos
45
0

=
12?(6?2)
2
?43(3?1)

=
8

∴
b?22.

求
A
可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b
2
?c
2
?a
2
(22)
2
?(6?2)
2
?( 23)
2
1
??,
⑵解法一：∵cos
A?
2bc2
2?22?(6?2)

0
∴
A?60.

a23
解法二：∵sin
A?sinB??sin45
0
,

b
22
又∵
6?2
＞
2.4?1.4?3.8,

23
＜
2?1.8?3.6,

∴
a
＜
c
，即
0
0
＜
A
＜
90
0
,

0
∴
A?60.

评述：解法二应注意确定A的取值范围。 < br>3、在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
bc
，求角A（答案：A=120
0
）




1．1．3解三角形的进一步讨论
1、在
?
ABC中，已知
a
,
b
,
A
，讨论三角形解的 情况 分析：先由
sin
B
?
则
C
?180
0
?(
A
?
B
)
从而
c
?
b
sin
A
可进一步求出B；
a
a
sin
C

A
1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：

3
21

（1）若
a
?
b
si n
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第9
:
10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。
2、（1）在
?
ABC中，已知
a
?80
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的解 的情况。
（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
c< br>?
1
，
?
C
?40
0
，则符合题意的b的值 有
_____个。

2
（3）在
?
ABC中，
a< br>?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值
范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3）
2?
x
?22
）
3、在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5
，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。
解：
Q7< br>2
?5
2
?3
2
，即
a
2
?
b
2
?
c
2
，
∴
?ABC是钝角三角形
。
4、（1）在
?
ABC中，已 知
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3< br>，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?
ABC满足条件< br>a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?
ABC的类型。
（答案：（1）
?ABC是钝角三角形
；（2）
?
ABC是等腰或直角三角形）
5、在
?
ABC中，
A
? 60
0
，
b
?1
，面积为
3
a
?
b
?
c
，求的值
2
sin
A
?sin
B
?sin
C
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C
?
a
?
b
?< br>c

sin
A
?sin
B
?sin
C
13
解：由
S
?
bc
sin
A
?
得c
?2
，
22
则
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A
=3，即a
?3
，
从而
a
?
b
?
c
a
??2
sin
A
?sin
B
?sin
C
sin
A









4
21

1.2解三角形应用举例
1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30
?< br>，灯塔B在观察
站C南偏东60
?
，则A、B之间的距离为多少？
解略：
2
a km
2、 某人在M汽车站的北偏西20
?
的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公
路的走向是M站的北偏东40
?
。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A
的距离缩短了10千米。 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米 后到达B处。在
?
ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由
余弦定理得
AC
2
?BC
2
?AB
2
23
cosC= =,
2AC?BC
31
432
则sin
2
C =1- cos
2
C =
2
,
31
123
sinC =,
31
所以 sin
?
MAC = sin（120
?
-C）= sin120
?
cosC - cos120
?
sinC =
在
?
MAC中，由正弦定理得
MC =
353

62
ACsin?MAC
31
353
?
==35
62
sin?AMC
3
2
从而有MB= MC-BC=15
答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。


5
21

3、S=
111
absin
C ，
，S=bcsin
A,
S=acsinB
222
4、在
?
ABC中，求证：
a
2
?b2
sin
2
A?sin
2
B
222
（1） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）
?;
abc
c2
sin
2
C
证明：（1）根据正弦定理，可设

a
=
b
=
c
= k
sinAsinBsinC
显然 k
?
0，所以
a
2?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
?
左边=
c
2
k
2< br>sin
2
C
sin
2
A?sin
2
B
==右边
2
sinC
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2
c
2
?a
2
?b
2
右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab

=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
=a
2
+b
2
+c
2
=左边 变式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b= 6,c=6
3
,求a及
?
ABC的面积S
提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。
答案：a=6,S=9
3
;a=12,S=18
3

5、如 图，在四边形ABCD中，
?
ADB=
?
BCD=75
?
，
?
ACB=
?
BDC=45
?
，DC=
3
，求：
（1） AB的长
（2） 四边形ABCD的面积


6
21

略解（1）因为
?
BCD=75
?
，
?
ACB=45
?
，所以

?
ACD=30
?
，又因为
?
BDC=45
?
，所以

?
DAC=180
?
-（75
?
+ 45
?
+ 30
?
）=30
?
，
所以 AD=DC=
3

在
?
BCD中，
?
C BD=180
?
-（75
?
+ 45
?
）=60
?
，所以
6?2
BD
3sin75
?
DC

=

，BD = =
?
?
2
sin75< br>?
sin60
sin60
在
?
ABD中，AB
2=AD
2
+ BD
2
-2
?
AD
?
B D
?
cos75
?
= 5,
所以得 AB=
5

（3） S
?ABD
=
3?23
1

?
AD
?
BD
?
sin75
?
=
4
2
3?3
同理， S
?BCD
=
4
6?33
所以四边形ABCD的面积S=
4







第二章：数列
2．1数列的概念与简单表示法
1、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。
辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2 ，4，5”
呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：{
a
n}
2、数列的分类: 有穷数列与无穷数列；递增数列与递减数列，常数列。
3、数列的表示方法：项公式列表和图象等方法表示数列
4、

= 2 a
n-1
+ 1（n∈N，n>1），（※） 式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。

7
21

2．2 等差数列
1、 数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个
数列就叫 做等差数列。
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
2、个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。 < br>3、等差数列中，若m+n=p+q则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

4、通项公式：以
a
1
为首项，d为 公差的等差数列
{a
n
}
的通项公式为：
a
n
?a
1
?(n?1)d

5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：
（迭加法）：
{a
n
}
是等差数列，所以
a
n
?a
n?1
?d,


a
n?1
?a
n?2
?d,


a
n?2
?a
n?3
?d,

……

a
2
?a
1
?d,

两边分别相加得
a
n
?a
1
?(n?1)d,

所以
a
n
?a
1
?(n?1)d

（迭代法）：
{a
n
}
是等差数列，则有
a
n
?a
n?1
?d


?a
n?2
?d?d


?a
n?2
?2d


?a
n?3
?d?2d


?a
n?3
?3d

……

?a
1
?(n?1)d

所以
a
n
?a
1
?(n?1)d


8
21

6、 ⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.
⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
解：⑴由a
1
=8，d=5-8=-3，n=20，得
a
20
?8?(2 1?1)?(?3)??49

⑵由
a
1
=-5，d=-9 -（-5）=-4，得这个数列的通项公式为
a
n
??5?4(n?1)??4n?1 ,
由题
意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。
解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。
7、某市出租车的计价标 准为1.2元km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。
如果某人乘坐该市的 出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
解：根据题意，当 该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所
以，我们可以建立一 个等差数列
{a
n
}
来计算车费.
令
a
1
=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时 需
要支付车费
a
11
?11.2?(11?1)?1.2?23.2(元)< br>
答：需要支付车费23.2元。







2．2 等差数列的前n项和
1、倒序相加法求和
我们用两种方法表示
S
n
：
（1）
S
n< br>?a
1
?(a
1
?d)?(a
1
?2d)?...? [a
1
?(n?1)d],
①
S
n
?a
n
?(a
n
?d)?(a
n
?2d)?...?[a
n
?( n?1)d],
②
（a
1
?a
n
）+（a
1?a
n
）+（a
1
?a
n
）+...+（a
1
?a
n
）
由①+②，得
2S
n
?

44444444443
n个

?n(a
1
?a
n
)

由此得到等差数列
{a
n
}
的前n项和的公式
S
n
?
n(a
1
?a
n
)

2

9
21

（2）
Sn
?a
1
?a
2
?a
3
...?a
n

=
a
1
?(a
1
?d)?(a
1
?2d)?...?[a
1
?(n?1)d]

=
na
1
?[d?2d?...?(n?1)d]

=
na
1
?[1?2?...?(n?1)]d

=
na
1
?
n(n?1)
d

2
2、已知 一个等差数列
{a
n
}
前10项的和是310，前20项的和是1220.由 这些条件能确定这个等差数
列的前n项和的公式吗？
解：由题意知
S
10
?310，

S
20
?1220
，
将它们代入公式
S
n
?na
1
?
得到
（nn?1）

d，
2

10a
1
?45 d?310，
20a
1
?190d?1220
解这个关于
a
1
与d的方程组，得到
a
1
=4，d=6，
（nn?1）
?6?3n
2
?n

2
a?a
n
另解：
S
10
?
1
?10?310

2
所以
S
n
?4n?
得
a
1
?a
10
?62； ①


S
20
?
a
1
?a
20
?20?1220

2
所以
a
1
?a
20
?122；
②
②-①，得
10d?60
，
所以
d?6

代入①得：
a
1
?4

（nn?1）
d?3n
2
?n

2
1
2< br>3、已知数列
{a
n
}
的前n项为
S
n
?n ?n
，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果
2
所以有
S
n
?a
1
n?
是，它的首项与公差分别是什么？

10
21

解：根据
S
n
?a< br>1
?a
2
?...?a
n?1
?a
n

（n 1）
与
S
n?1
?a
1
?a
2
?...?a
n?
＞

1
111
2
n?（[n?1）?（n?1）]?2n?
①
222
13
2
当n=1时，
a
1
?S
1
?1??1?
也满足①式.
22
1
所以数列
{a
n
}
的 通项公式为
a
n
?2n?
.
2
3
由此可知，数列
{a
n
}
是一个首项为，公差为2的等差数列。
2
可知，当n＞1时，
a
n
?S
n
?S< br>n?1
?n?
2
这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n项和
S
n
，可求出通项

a
n
?

a
1
（n?1）
S
n
?S
n?1
（n＞1）

4、如果一个数列前n项和公式是常数项为0，且关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列.

5、 已知等差数列
5，4，3，....
的前n项和为
S
n
，求使得
S
n
最大的序号n的值.
2
7
4
7
4
7
n5

S
n
?[2?5?（n?1）（?）]

27
解：由 题意知，等差数列
5，4，3，....
的公差为
?
2
7
5
，所以
7
75n?5n
2
515
2
1125??（n?）?
=
1414256
于是，当n取与
15
最接近的整数即7或8时，
S
n
取最大值. < br>2
6、已知数列
?
a
n
?
,
是等差数列，S
n
是其前n项和，且S
6
，S
12
-S
6
，S
18
-S
12
成等差数列，设
k?N
?
,S< br>k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2 k
成等差数列吗？
生：分析题意，解决问题.
解：设
?
a
n
?
,
首项是
a
1
，公差为d
则：
S
6
?a
1
?a
2
?a
3
?a
4< br>?a
5
?a
6


11
21

S
12
?S
6
?a
7
?a
8
?a
9
?a
10
?a
1 1
?a
12
?(a
1
?6d)?(a
2
?6d)? (a
3
?6d)?(a
4
?6d)?(a
5
?6d)?(a
6
?6d)
?(a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?a
6
)?36d?S
6
?36d
S
18
?S
12
?a
13
?a
1 4
?a
15
?a
16
?a
17
?a
18< br>?(a
7
?6d)?(a
8
?6d)?(a
9
?6d )?(a
10
?6d)?(a
11
?6d)?(a
12
?6 d)
?(a
7
?a
8
?a
9
?a
10?a
11
?a
12
)?36d
?S
12
?S< br>6
?36d
?S
6
,S
12
?S
6
,S
18
?S
12
为等差数列
同理可得
S
k
,S
2k
?S
k
,S
3k
?S
2k
成等 差数列.
7、求集合
mm?7n,n?N
*
,且m?100
的元素 个数，并求这些元素的和。
解由m=100，得
n?
100
?14
2

77
满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：
7，7×2，7×3，7×4，…7×14
即：7，14，21，28，…98
这 个数列是等差数列，记为
?
a
n
?
,
其中
a
1
?7,a
14
?98 ?S
14
?
解由m=100 ，得
n?
100
?14
2

77
满足此不等式的正整数n共有14个，所以集合m中的元素共有14个，从小到大可列为：
7，7×2，7×3，7×4，…7×14 即：7，14，21，28，…98
这个数列是等差数列，记为
?
a
n
?
,
其中
a
1
?7,a
14
?98 ?S
14
?
答：集合m中共有14个元素，它们和等于735















12
21

??
14?(7?98)
?735

2
14?(7?98)
?735

2

2. 3等比数列
1、等比数列的定义：一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同< br>一个常数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母q表示（q≠0），
a
n
即：
a
n?1
=q（q≠0）
2、既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．
a
n
?
a
1
?
q
n?1
(
a
1
,
q均不为
0)
3、等比数列的通项公式1:
a
n
?a
m
?q< br>n?m
(a
m
，
q?0)
等比数列的通项公式2:
4、若
{a
n
}
为等比数列，
m?n?p?q
(m,n, q,p?N
?
)
，则
a
m
?a
n
?ap
?a
q
．
由等比数列通项公式得：
a
m
? a
1
q
m?1
, a
n
?a
1
q
n?1
，
a
p
?a
1
q
p?1
,a
q
?a
1
?q
q?1
，
故
a
m
?a
n
?a
1
q
m?n?2
且
ap
?a
q
?a
1
q
p?q?2
，
∵
m?n?p?q
，∴
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
．
5、已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
a
解：由题意可以设这三个数分别为
,a,aq
，得：
q
?
a
a?3
?
?
q
?a?aq?27
?
?

?
?
2
1
?
2
2
a(?1?q )?91
?
a
?a
2
?a
2
q
2
?91
?
q
2
?
2
?
?
q
∴9q
4
?82q
2
?9?0
，即得
q
2
?9
或
q
2
?
1
，
9
2
2
1
∴
q??3
或
q??
，
3
故该三数为：1，3，9或
?1
，3，
?9
或9，3，1 或
?9
，3，
?1
．
a
说明：已知三数成等比数列，一般情况下设该三数为
,a,aq
．
q
6、数列
?
a
n
?
为各项均为正数的等比数列，它的前
n
项和为80，且前
n
项中数值最大的项为54，它
的前
2 n
项和为6560，求首项
a
1
和公比
q
。
解： 若
q?1
，则应有
S
2n
?2S
n
，与题意不符合 ，故
q?1
。依题意有：

13
21

?
a
1
?
1?q< br>n
?
?
?80??????????????????????(1)
?
1?q

?
2n
?
a
1
?
1? q
?
?6560???????????????????(2)
?
1?q< br>?
(2)
1?q
2n
2nn
?82
q?82q?81 ?0
得即
n
1?q
(1)
nn
得
q?81
或
q?1
（舍去），
?q?81
。
n
由
q?8 1
知
q?1
，
?
数列
?
a
n
?< br>的前
n
项中
a
n
最大，得
a
n
?5 4
。
n
将
q?81
代入（1）得
a
1
?q?1
（3），
n?1n
由
a
n
?a
1
q?54
得
a
1
q?54q
，即
81a
1
?54q
（4），
n
?
a
1
?2
联立（3）（4）解方 程组得
?
。
q?3
?








2.4等比数列的前n项和
1、等比数列的前n项和公式：
一般地，设等比数列
a
1
,a
2
?a
3
, ?a
n
?

它的前n项和是
S
n
?
a< br>1
?a
2
?a
3
??a
n
?
Sn
?a
1
?a
2
?a
3
??a
n?
a
n
?a
1
q
n?1
?
由
2n?2n?1
?
?
S
n
?a
1
?a
1
q?a
1
q??a
1
q?a
1
q
?
?
qS
n
?a
1
q?a
1
q
2
?a
1
q
3
??a
1
q
n?1
?a
1
q
n
?
得

14
21

?(1?q)S
n
?a
1< br>?a
1
q
n

a
1
(1?q
n
)
a?a
n
q
S
n
?
S
n< br>?
1
1?q
① 或
1?q
② 论同上）∴当
q?1
时，
当q=1时，
S
n
?na
1

11
,,1,L
S
9
2、已知等比数列
3
，求使得
n
大于100的最小的n的值.
答案：使得
3、设数列
S
n
大于100的最小的n的值为7. 的前n项和为
{a
n
}
S
n
?3
n
? a
．当常数
a
满足什么条件时，
{a
n
}
才是等比 数列？
答案：
a??1

4、已知等比数列
?
a
n
?
中,
S
4< br>??20,S
8
??1640
,求
S
12
.
1
5、某商店采用分期付款元的方式促销一款价格每台为6000电的脑.商规店定，购买时先支付货 款的
3
，
剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已 知欠款的月利率为0.5%
到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？
22
?
解(1)因为购买电脑时,货主欠商店
3
的货款,即6000
3< br>=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的
欠款数应为4000(1+0.5%)= 4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.
(2)设第i个月底还款后的欠款数为y
i
,则有
y
1
=4000(1+0.5%)-
a

y
2
=y
1
(1+0.5%)-
a

=4000(1+0.5%)-
a
(1+0.5%)-
a

y
3
=y
2
(1+0.5%)-
a

y
3
=y
2
(1+0.5%)-
a

=4000(1+0.5%)-
a
(1+0.5%)-
a
(1+0.5%)-
a


15
21
32
2

??

y
i
=y
i?1
(1+0.5%)-
a
=4000(1+0.5%)-
a
(1+0.5%)
-
a
(1+0.5%)
整理得
i?2
ii?1

-
L
-
a
,
(1?0.5%)
i
?1
a
i
0.5%
y
i
=4000(1+0.5%)-.(
i
=1,2,
?,
36)
(3)因为y
36
=0,所以
(1?0.5%)
36
?1
a
36
0.5%
4000(1+0.5%)-=0
即每月还款数
4000(1?0.5%)
36
?0.5%
?121.69
36
(1?0.5%)?1

a
=(元)
所以每月的款额为121.69元.





第三章不等式
3.1不等式与不等关系
1、不等式的基本性质：
（1）
a?b,b?c?a?c

（2）
a?b?a?c?b?c

（3）
a?b,c?0?ac?bc

（4）
a?b,c?0?ac?bc

cc
?
。
ab
1
?0
。 证明：以为
a?b?0
，所以ab>0,< br>ab
2、已知
a?b?0,c?0,
求证

16
21

于是
a?
由c<0 ，得



11
11
?b?
，即
?

abab
ba
cc
?
ab

3.2 一元二次不等式及其解法
1、一元二次不等式的定义
象
x
2
?5 x?0
这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不
等式．
2、设一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
的两 根为
x
1
、x
2
且x
1
?x
2
，
??b
2
?4ac
，则不等式的解的
各种情况如下表：

??0

??0

??0


二次函数
y?ax
2
?bx?c

(a?0)
的图象

一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

ax
2
?bx?c?0
(a?0)
的解集
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
的解集

有两相等实根
b
x
1
?x
2
??

2a
?b?
?
xx??
?

2a
??

有两相异实根
x
1
, x
2
(x
1
?x
2
)

无实根
?
xx?x或x?x
?

12
R
?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

3、一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车 数量x（辆）与创
造的价值y（元）之间有如下的关系：
y??2x
2
?220x

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流 水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该
生产多少辆摩托车？
解：设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车，根据题意，我们得
到
?2x
2
?220x?6000

移项整理，得
x
2
?110x?3000?0


17
21

因为
△?100?0
，所以方程x
2
?110x?3000?0
有两个实数根
x
1
?5 0, x
2
?60
．
由二次函数的图象，得不等式的解为：
50?x?60
．
因为x只能取正整 数，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51-59
辆之间时，这家工厂能 够获得6000元以上的收益．
4、 设
A?{x|x
2
?4x?3?0}
，
B?{x|x
2
?2x?a?8?0}
，且
A?B
，求
a
的取值范围．
解：令
f(x)?x
2
?2x?a ?8
由
A?B
，及二次函数图象的性质可得
?
f(1)?0
?
1?2?a?8?0
，即
?
，解之得
?9?a?5
．
?
?
f(3)?0
?
9?6?a?8?0
因此
a< br>的取值范围是
?9?a?5
．













3． 3二元一次不等式（组）与平面区域．
1、画出不等式2
x
+y－6＜0表示的平面区域。
解：先画直线2
x
+y－6＝0（画成虚线）。
取原点（0，0），代入2
x
+y－6，∵2×0+0－6＝－6＜0，
∴ 原点在2
x
+y－6＜0表示的平面区域内，不等式2
x
+y－6＜0表示的 区域如图：
2
、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中 ，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关
于x、y的一次不等式，故又称线性约束 条件．

18
21

②线性目标函数：
关于x、y的一次式z= 2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标
函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解
3、有粮食和石油两种物资， 可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见
表．

效果
种类
粮食
石油
方式
轮船运输量／
t
飞机运输量／
t

300

250

150

100

现在要在一天内运输至少
2 000t
粮食和
1 500t
石油，需至少安排多少艘轮船和多少架飞机？
答案：解：设需安排
x
艘轮船和
y
架飞机，则
?
6x?3y≥40，
?
300x?150y≥2 000，
?
5x?2y≥30，
?
250x?100y≥1 500，
?
?
即
?

?
x≥0，
x≥ 0，
?
?
?
?
?
y≥0．
?
y≥0．目标函数为
z?x?y
．
作出可行域，如图所示．
作出在一组平行直 线
x?y?t
（
t
为参数）中经过可行域
内某点且和原点距离最小的 直线，此直线经过直线
y

5x?2y?30?0

x
< br>?
20
?
0
?
，直线方程
6x?3y?40?0和
y?0
的交点
A
?
，
?
3
?
为：
x?y?
20
．
3
由于
20
?
2 0
?
0
?
不是最优解．不是整数，而最优解
(x，y)
中< br>x，y
必须都是整数，所以，可行域内点
?
，

3
3
??
0)
， 经过可行域内的整点（横、纵坐标都是整数的点）且与原点距离最近的直线经过的整点是
(7，

19
21

即为最优解．则至少要安排
7
艘轮船和
0
架飞机．



3．4基本不等式
1、一般地，对于任意实数
a
、
b
，我们有
a?b?2ab
，当且仅当
a?b
时，等号成立。
2、如果
a?0,b?0,用a和b分别代替a、b,可得a?b?2ab
,也可写成
22
ab?
a?ba?b

(a?0,b?0)
两个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
ab?
22
yx
?
≥2；
xy
3、已知x、y都是正数，求证：
（1）
（2）x＞0，当x取何值时x+
1
有最小值，最小值是多少
x
51
4、已知
x
＜，则函数
f
（
x
） ＝4
x
＋的最大值是多少？
44
x
－5
5、证明：（x＋ y）（x
2
＋y
2
）（x
3
＋y
3
）≥８ x
3
y
3
.
6、（1）用篱笆围一个面积为100
m2
的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，
最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36
m
的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜 园的面积最大。
最大面积是多少？
解：（1）设矩形菜园的长为
x
m,宽为
y
m,则
xy
由
?100,
篱笆的长为2（
x?y
）
x?y
?xy
，
2
可得
x?y?2100

2（
x?y
）
?40

等号当且仅当
x?y时成立，此时x?y?10
，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱
笆最短，最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为
x
m,宽为
y
m,则2（
x
由
xy?
?y
）
x?y
=18，=36，矩形菜园的面积为
x y

m
2
，
x?y18
??9,
可得
xy?81
,
22

20
21

可得等号当且仅当
x?y时成立，此时x?y?9

7、用长为
4a
的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设 矩形的长为
x(0?x?2a)
，则宽为
2a?x
，矩形面
S?x( 2a?x)
，且
x?0,2a?x?0
．
由
x(2a?x)?x?(2a?x)
（当且近当
x?2a?x
，即
x?a
时取等号 ），
?a
．
2
22
由此可知，当
x?a
时，S?x(2a?x)
有最大值
a
．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积a
．
例2（教材
P
89
例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮 水池，其容积为4800m,深为3m，如果池底每
3
1m的造价为150元，池壁每1m的造 价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多
少元？
解：设水池底面一边 的长度为
xm
，水池的总造价为
l
元，根据题意，得
22
l?240000?720(x?
1600
1600

)
?240000?720?2x?
x
x
?240000?720?2?40 ?297600

1600
当
x?,即x?40时,l有最小值2976000.

x
因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600
元

21
21