人教A版高中数学必修五全套导学案

人教A版高中数学必修五全册导学案
目 录
§1.1.1 正弦定理 .................................................. ............................................ 3
§1.1.2 余弦定理 ................................. .................................................. ........... 5
§1.2应用举例—①测量距离 ................. .................................................. ......... 9
§1.2应用举例—②测量高度 ................... .................................................. ......11
§1.2应用举例—③测量角度 ...................... .................................................. .. 13
§1.2应用举例—④解三角形 ......................... ................................................. 15
§1.2应用举例（练习） .............................. .................................................. .. 17
第一章 解三角形（复习） ........................... ................................................. 19
§2.1数列的概念与简单表示法(1) ........................ ......................................... 21
§2.1数列的概念与简单表示法(2) ........................... ...................................... 23
§2.2等差数列（1） .................................. .................................................. .... 25
§2.2等差数列（2） .......................... .................................................. ............ 27
§2.3 等差数列的前n项和(1) ............ .................................................. .......... 29
§2.3 等差数列的前n项和(2) .............. .................................................. ........ 31
§2.4等比数列（1） ...................... .................................................. ................ 33
§2.4等比数列（2） .............. .................................................. ........................ 35
§2.5等比数列的前n项和(1) . .................................................. ...................... 37
§2.5等比数列的前n项和(2) ... .................................................. .................... 39
第二章 数列（复习） .......... .................................................. ...................... 41
§3.1 不等关系与不等式（1） .. .................................................. ................. 43

§3.1 不等关系与不等式（2） .................................................. ................... 45
§3.2 一元二次不等式及其解法（1） ... .................................................. ...... 47
§3.2 一元二次不等式及其解法（2） ................ ........................................... 49
§3.2一元二次不等式及其解法（3） ........................... ................................. 51
§3.3.1二元一次不等式（组）与 ............................ ....................................... 53
§3.3.1二元一次不等式（组）与 ............................ ....................................... 55
§3.3.2 简单的线性规划问题(1) .......................... ........................................... 57
§3.4基本不等式
§3.4基本不等式
ab?
ab?
a?b

2
a?b

2
(1) .................... .................................................. ... 63
(2) ................................... ...................................... 65
第三章 不等式（复习） .......................................... .................................... 67


2

cb
，
?
sinCsinB
ab
c
从而．
?
?
sinAsinB
sinC

同理可得
§1.1.1 正弦定理

学习目标

1. 掌握正弦定理的内容；
2. 掌握正弦定理的证明方法；
3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程

一、课前准备
试验：固定
?
ABC的边
CB及
?
B，使边AC绕着
顶点C转动．

思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎
样的数量关系？




显然，边AB的长度随着其对角
?
C的大小的增大
而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表
示出来？



二、新课导学
※ 学习探究

探究1：在 初中，我们已学
过如何解直角三角形，下面
就首先来探讨直角三角形
中，角与边的等式 关系. 如
图，在Rt
?
ABC中，设
BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有
abc
c
?sinA，
c
?sinB
，又
sinC?1?
c
，
从而在直角三角形ABC中，
abc
sinA
?
sinB
?
sinC
．

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否
仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当
?
ABC是锐角三角形时，设 边AB上的高是
CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=
asinB?bsin A
，则
ab
sinA
?
sinB
，

类似可推出，当
?
ABC是钝角三角形时，以上关系
式仍然成立． 请你试试导.





新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比
相等，即
a
sinA< br>?
b
sinB
?
c
sinC
．

试试：
（1）在
?ABC
中，一定成立的等式是（ ）．
A．
asinA?bsinB
B.
acosA?bcosB

C.
asinB?bsinA
D.
acosB?bcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则
∠B等于 ．

[理解定理]
（

1）正弦定理说明同一三角形中，边与其 对角的
正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数
k使
a?ksinA
， ，
c?ksinC
；
（2）
ab
c
sinA
?
sinB
?
sinC
等价于 ，
c
sinC
?
b
sinB
，
a
sinA
?
c
sinC
．
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知 三角形的任意两角及其一边可以求其他边，
如
a?
bsinA
sinB
；
b?
．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以
求其他角的正弦值，
如

sin

A

?

a
b

sin

B

；

sin

C

?
．
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它
的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题
(

例1. 在
?ABC
中，已知
A?45
o
，
B?60
o
，
a?42
cm，
解三角形．

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形




变式：在
?ABC
中，已 知
B?45
o
，
C?60
o
，
a?12
c m，解三角形．












例2. 在
?ABC中，c?6,A?45
o
,a?2,求b和B,C
．














变式：在
?ABC中，b?3,B?60
o
,c?1,求a和A,C
．












三、总结提升
※ 学习小结

ab
c
1. 正弦定理：
?
?
sinAsinB
sinC
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展


abc
???2R
，其中
2R
为外接圆直径.
sinAsinBsinC
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

cosAb
1. 在
?ABC
中，若.
?
，则
?ABC
是（ ）
cosBa
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2
C．1∶1∶
3
D．2∶2∶
3

3. 在 △ABC中，若
sinA?sinB
，则
A
与
B
的大小关系为（ ）.
A.
A?B
B.
A?B

C.
A
≥
B
D.
A
、
B
的大小关系不能确定
4. 已知
?
ABC中，
sinA:sinB:sinC?1:2:3
，则
a:b:c
= ．
5. 已知
?
ABC中，
?
A
?60?
，a?3
，则
a?b?c
= ．
sinA?sinB?sinC

课后作业

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，
解此三角形．
















2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶
2k (k
≠
0)，求实数k的取值范围为．









4

§1.1.2 余弦定理
学习目标

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

学习过程

一、课前准备
复习1：在一个三角形中，各 和它所对角
的 的 相等，即 = = ．

复习2：在△A BC中，已知
c?10
，A=45?，C=30?，
解此三角形．







思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？




二、新课导学
※ 探究新知

问题：在
?ABC
中，AB
、
BC
、
CA
的长分别为
c
、
a
、
b
C
∵
u
∴
u
AC
u
AC
uur
.
ur
?
，
b
a
?
u
AC
uur
?

A
c
B





同理可得：
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
，

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．


新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其
他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的
的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？
从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个
量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：

cosA?
b
2
?c
2
?a
2
2bc
， ，
．
[理解定理]
（1）若C=
90?
，则
cosC?
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是
余弦定理的特例．
（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求
出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：
（1）△ABC中，
a?33
，
c?2
，
B?150
o
，求
b
．






（2）△ABC中，< br>a?2
，
b?2
，
c?3?1
，求
A
．






※ 典型例题

例1. 在△ABC中，已知
a?3
，
b?2
，
B?45< br>o
，
求
A,C
和
c
．


















变式

：在 △ABC中，若AB＝
5
，AC＝5，且cosC
＝
9
10
，则BC＝________．

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形



例2. 在△ABC中，已知三边长
a?3
，
b?4
，
c? 37
，求三角形的最大内角．



















变式：在
?
ABC中，若
a
2?b
2
?c
2
?bc
，求角A．





















若
a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是钝 角；
若
a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是锐角．
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知a＝
3
，c＝2，B＝150°，则边b的长为
（ ）.
3422
A. B.
34
C. D.
22

22
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角
为（ ）.
A．
60
o
B．
75
o
C．
120
o
D．
150
o

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的
取值范围是（ ）.
A．
5?x?13
B．
13
＜x＜5
C． 2＜x＜
5
D．
5
＜x＜5
uuuruuur
uuuruuur
4. 在△ABC中，|
AB
| ＝3，|
AC
|＝2，
AB
与
AC
的
uuuruuur
夹角为60°，则|
AB
－
AC
|＝________ ．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足
b
2
?a
2
?c
2
?ab
，则∠C等于 ．

课后作业

1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝
13
，求
14
三、总结提升
※ 学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同
规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展
在△ABC中，
若
a
2
?b< br>2
?c
2
，则角
C
是直角；

最大角的余弦值．













uuuruuur
2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求
AB?BC
的值.











6

§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）

学习目标

1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解
三角形时，有两解或一解或无解等情形．

学习过程

一、课前准备
复习1：在解三角形时
已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；
已知两角和一边，用 定理．

复习2：在△ABC中，已知 A＝
?
6
，a＝25
2
， b
＝50
2
，解此三角形．








二、新课导学
※ 学习探究

探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
① A＝
?
6
，a＝25，b＝50
2
；
② A＝
?
6
，a＝
506
3
，b＝50
2
；
③ A＝
?
6
，a＝50，b＝50
2
.



















思考：解的个数情况为何会发生变化？
新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）． < br>已知边a,b和
?
A
C
CC
C
b
a
bb
b
a
a
A
a
a
A
A
A
H
BB1
HB2H
B
aa=CH=bsinA
CH=bsinAa?b
无解
仅有一个解
有两个解
仅有一个解
试试：

1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？




2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？




※ 典型例题

例1. 在
?
ABC中，已知
a?80
，
b?100
，
?A?45?
，
试判断此 三角形的解的情况．

















变 式：在
?
ABC中，若
a?1
，
c?
1
2
，
?C?40?
，
则符合题意的b的值有
_____个
．

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形

例2. 在
?
ABC中，
A?60?
，
b?1< br>，
c?2
，求
a?b?c
的值．
sinA?sinB?sinC

















变式：在
?
ABC中，若
a?55
，
b?16< br>，且
1
absinC?2203
，求角C．
2













三、总结提升
※ 学习小结

1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4. 已知三角形两边和其中一边的 对角问题（既可用
正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和
无解三种情况）．

※ 知识拓展

在
?
ABC中，已知
a,b,A
，讨论三角形解的情况 ：
①当A为钝角或直角时，必须
a?b
才能有且只有
一解；否则无解；
②当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a?b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a?bsinA
，则有两解；
（2）若
a?bsinA
，则只有一解；
（3）若
a?bsinA
，则无解．

学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的
sinA2a?b
对角，且的值=（ ）.
?
，则
sinB3b
1
24
5
A. B. C. D.
33
33
2. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，
那么这个三角形的最大角是（ ）.
A．135° B．90° C．120° D．150°
3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三
角形形状为（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
4. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosB
＝ ．
5. 已知△ABC中，
bcosC?ccosB
，试判断△ABC
的形状 ．

课后作业

1. 在
?
ABC中，
a? xcm
，
b?2cm
，
?B?45?
，
如果利用正弦定理解 三角形有两解，求x的取值范
围．












2. 在
?
ABC 中，其三边分别为a、b、c，且满足
1a
2
?b
2
?c
2
，求角C．
absinC?
24













8

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个
不可到达的点之间的距离的问题
§1.2应用举例—①测量距离

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
一些有关测量距离的实际问题

学习过程

一、课前准备
复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋ b＝
23?2
，
c＝2
2
，则∠A为 .







复习2：在△ABC中，sinA＝
sinB?sinC
cosB?cosC
，判断三
角形的形状.









二、新课导学
※ 典型例题

例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点
之间的 距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边
选定一点C，测出AC的距离是55m，
?
BAC=
51?
，
?
ACB=
75?
. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).






提问1：
?
ABC中，根据已知的边和对应角，运用
哪个定理比较适当？




提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？




题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，
再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已
知角算出AC的对角，
应用正弦定理算出AB边.













新知1：基线
在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线.

例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），
设计一种测量A、B两点间距离的方法.

分析：这是例1的变式题，研究的
是两个 的点之间的距离
测量问题.
首先需要构造三角形，所以需要
确定C、D两点.
根据正弦定理中已知三角形的任 意两个内角与
一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，
再利用余弦定理可以计算出AB的距离.

















变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得
?
BCA= 60°，
?
ACD=30°，
?
CDB=45°，
?
BDA
=60°.

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形



练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a < br>km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在
观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离 为多少？



















三、总结提升
※ 学习小结

1. 解斜三角形应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示
意图
（2）建模：根据已知条件与 求解目标，把已知量
与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解
斜三角形的数学模型；
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出
三角形，求得数学模型的解
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，
从而得出实际问题的解.
2．基线的选取：
测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，
使测量具有较高的精确度.



C．
5(2?1)cm

D．6cm
2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北
方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区
内的时间为（ ）.
A．0.5小时 B．1小时
C．1.5小时 D．2小时
3. 在
?ABC
中，已知
(a
2
?b
2
)sin(A?B)?(a
2
?b
2
)sin(A?B)
，
则
?ABC
的形状（ ）.
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
4.在
?ABC
中，已知
a?4
，则
sinA
C?120
o
，
b?6
，
的值是 ．
5. 一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处
看到一个灯塔B在北偏东
60
o
，行驶４h后 ，船到
达C处，看到这个灯塔在北偏东
15
o
，这时船与灯
塔的距离 为 km．

课后作业

1. 隔河可以看到两个目 标，但不能到达，在岸边选
取相距
3
km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，< br>∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、
B、C、D在同一个平面，求两 目标A、B间的距离.














2. 某船在海面A处测得灯塔C与 A相距
103
海里，
且在北偏东
30?
方向；测得灯塔B与A相距< br>156
海
里，且在北偏西
75?
方向. 船由
A
向正北方向航行
到D处，测得灯塔B在南偏西
60?
方向. 这时灯塔
C与D相距多少海里？









10
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的 大
小，用锐角
45?
的等腰直角三角板的斜边紧靠球
面，P为切点，一条直角 边AC紧靠地面，并使
三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的
半径等于（ ）.
A．5cm
B．
52cm



P
A C

建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的
方法.

分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，

要求AB，先求AE
§1.2应用举例—②测量高度

学习目标

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；
2. 测量中的有关名称.

学习过程

一、课前准备 复习1：在
?
ABC中，
cosA
cosB
?
b
a
?
5
3
，则
?
ABC的
形状是怎样？









复 习2：在
?
ABC中，
a
、b、c分别为
?
A、
?
B、
?
C的对边，若
a:b:c
=1:1:
3
，求 A:B:C的值.









二、新课导学
※ 学习探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水
平转角 ；

坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角--- 视线与水平线的夹角当视线在水平
线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称
为俯角.


探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为

在
?ACE
中，可测得角 ，关键求AC
在
?ACD
中，可测得角 ，线段 ，又有
?

故可求得AC



















※ 典型例题

例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A
的俯角
?
=54
?40
?
，在塔底C处测得A处的俯角
?
=50
?1
?
. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出
山高CD(精确到1 m)

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形






例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东
行驶，到 A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏
南15
?
的方向上，行驶5km后到达B处， 测得此山
顶在东偏南25
?
的方向上，仰角为8
?
，求此山的高度CD.
问题1：
欲求出CD，思考在哪
个三角形中研究比较
适合呢？

问题2：
在
?
BCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据
条件，易计算出哪条边的 长？












变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的
A、B两 个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角
是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.
















三、总结提升
※ 学习小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审
题及根据题意画 方位图，要懂得从所给的背景资料
中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.


※ 知识拓展
在湖面上高h处，测得云之仰角为
?
，湖中云之< br>sin(
?
?
?
)
影的俯角为
?
，则云高为
h
g
.
sin(
?
?
?
)
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?
ABC中，下列关系中一定成立的是（ ）.
A．
a?bsinA
B．
a?bsinA

C．
a?bsinA
D．
a?bsinA

2. 在
?
ABC中，AB=3，BC=
13
，AC=4，则边AC
上的高为（ ）.
3233
3
A． B． C． D．
33

22
2
3. D、C、B在地面同一直线上，DC=10 0米，从D、
C两地测得A的仰角分别为
30
o
和
45
o< br>，则A点离地
面的高AB等于（ ）米．
A．100 B．
503

C．50
(3?1)
D．50
(3?1)

4. 在地面上
C
点，测得一塔塔顶
A
和塔基
B
的仰角
分别是
60?
和
30?
，已知塔基
B
高出地面
20m
，则
塔身
AB
的高为 _________
m
．
5. 在
?
ABC中，
b?22
，
a?2
，且三角形有两
解，则A的取值范围是 ．

课后作业

1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m< br>的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基
B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m ？










2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山
的东南，且在A的南25°西 300米的地方，在A
侧山顶的仰角是30°，求山高.








12

§1.2应用举例—③测量角度

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
一些有关计算角度的实际问题.

学习过程

一、课前准备
复习1：在
△ABC中，已知
c?2
，
C?
?
3
，且
1
2
absinC?3
，求
a，b
.









复习2：设
?ABC
的内角A
，
B
，
C的对边分别为a，
b，c，且A=
60
o
，
c?3
，求
a
c
的值.








二、新课导学
※ 典型例题

例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的
方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，
沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n m ile后达到海岛C.
如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎
样的方向航行，需要航 行多少距离?(角度精确到
0.1
?
，距离精确到0.01n mile)

分析：

首先由三角形的内角和定理求出角
?
ABC，
然后用余弦定理算出AC边，
再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角
?
CAB.





















例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45
?
相距9海里
的C处有一艘走私船， 正沿南偏东75
?
的方向以10
海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该
沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私< br>船？

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形














※ 动手试试

练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时
2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时
需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其< br>余的三角形中求出问题的解.

※ 知识拓展

已知
?< br>ABC的三边长均为有理数，A=
3
?
，B=
2
?
，
则
cos5
?
是有理数，还是无理数？
因为
C?
?
?5
?
，由余弦定理知
a
2
?b
2
?c
2
为有理数，
cosC ?
2ab
所以
cos5
?
??cos(
?
?5?
)??cosC
为有理数.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
10(
3
＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、
1. 从A处望B处的仰角为
?
，从B处望A处的俯
乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，
角为
?
，则
?
，
?
的关系为（ ）.
以及在A点观察C点的方向角.
A．
?
?
?
B．
?
=
?


C．
?
+
?
=
90
o
D．
?
+
?
=
180
o



2. 已知两线段
a?2
，
b?22
，若以
a
、< br>b
为边作

三角形，则边
a
所对的角A的取值范围是（ ）.

??
?

A．
(,)
B．
(0,]

636

??

C．
(0,)
D．
(0,]


24

3. 关于
x
的方程
sinAgx
2
?2sinBgx?sinC?0
有相

等实根，且A、B、C是
?
的三个内角，则三角形

的三边
a、b、c
满足（ ）.

A．
b?ac
B．
a?bc


C．
c?ab
D．
b
2
?ac

练2. 某渔轮在A处测得在北45°的C处有一 鱼群，
离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以
4. △ABC中，已知a:b:c=(
3
+1) :(
3
-1):
10
，
每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14
则此三角形中最大角的度数为 .
海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方
5. 在三角形中，已知:A，a，b给出下列说法:
向，需几小时才能追上鱼群？
(1)若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在

(2)若A≥90°，则此三角形最多有一解

(3)若A＜90°，且a=bsinA，则此三角形为直角三

角形，且B=90°

(4)当A＜90°，a
(5)当A＜90°，且bsinA
其中正确说法的序号是 .




课后作业


1. 我舰在敌岛A南偏西
50?
相距12海里的B处，

发现敌舰正由岛沿北偏西
10?
的方向以10海里小

时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航


行才能用2小时追上敌舰？

三、总结提升

※ 学习小结

1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次


利用正弦定理或余弦定理解之.；


14

2.






§1.2应用举例—④解三角形

学习目标

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一
步解决有关三角形的问题；
2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；
3. 能证明三角形中的简单的恒等式．

学习过程

一、课前准备
复习1：在
?
ABC中
（1）若
a?1,b?3,B?120?
，则
A
等于 ．
（2）若
a?33
，
b?2
，
C?150?
，则
c?
_____．








复习2：
在
?ABC
中，
a?33
，
b?2
，
C?150?
，则高
BD= ，三角形面积= ．








二、新课导学
※ 学习探究

探究：在
?< br>ABC中，边BC上的高分别记为h
a
，那
么它如何用已知边和角表示？
h
a
=bsinC=csinB

根据以前学过的三角形面积公式S=
1
2
ah，
代入
可以 推导出下面的三角形面积公式，
S=
1
2
absinC
，


或S= ，

同理S= ．


新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它
们夹角的正弦之积的一半．


※ 典型例题

例1. 在
?
ABC中，根据下列条件， 求三角形的面
积S（精确到0.1cm
2
）：
（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5
?
；
（2）已知B=62.7
?
，C=65.8
?
，b=3.16cm；
（3）已知三边的长分别
为
a=41.4cm，b=27.3cm，
c=38.7cm．


















变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角
形的区域改造成室内公园，经过测 量得到这个三角
形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个
区域的面积是多少？ （精确到0.1cm
2
）

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形
















例2. 在
?
ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
（1 ）
?；
c
2
sin
2
C
（2）
a
2
+
b
2
+
c
2
=2（bccosA+caco sB+abcosC）．

















小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理
或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．

※ 动手试试

练1. 在
?
ABC中，已知
a?28cm
，< br>c?33cm
，
B?45
o
，则
?
ABC的面积是 ．




练2. 在
?
ABC中，求证：
c(acosB?bcosA)?a
2
?b
2
．











三、总结提升
※ 学习小结

1. 三角形面积公式：
1
S=absinC= = ．
2
2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定
理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．
※ 知识拓展

三角形面积
S?p(p?a)(p?b)(p?c)
，
1
这里
p?(a?b?c)
，这就是著名的海伦公式．
2
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?ABC
中，
a?2,b?3,C?60
?
，则
S
?AB C
?
（ ）.
3
3
A.
23
B. C.
3
D.
2
2
3
2. 三 角形两边之差为2，夹角的正弦值为，面积
5
9
为，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.
2
A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和7
3. 在
?ABC
中，若
2cosB?sinA?sinC
，则
?ABC< br>一
定是（ ）三角形．
A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角
4.
?ABC
三边长分别为
3,4,6
，它的较 大锐角的平
分线分三角形的面积比是 ．
5. 已知三角形的三边的长分别为
a?54cm
，

b?61cm
，
c?71cm
，则
?
ABC的面积是 ．

课后作业

2. 已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
，b=6，c=6
3
，求
a及
?
ABC的面积S．











2. 在△ABC中，若
sinA?sinB?sinC? (cosA?cosB)
，试判断△ABC
的形状.

16

§1.2应用举例（练习）

学习目标

1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解
决一些有关测量的实际问题；
2．三角形的面积及有关恒等式．

学习过程

一、课前准备
复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化
为解三角形问题来解决．

复习2：基本解题思路是：
①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；
②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图
中；
③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；
④进行作答，并注意近似计算的要求．


二、新课导学
※ 典型例题

例1. 某观测站C在目标A的南 偏西
25
o
方向，从A
出发有一条南偏东
35
o
走 向的公路，在C处测得与
C相距31
km
的公路上有一人正沿着此公路向A走
去，走20
km
到达D，此时测得CD距离为21
km
，
求此人在D 处距A还有多远？




























例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角
为
?
，沿BE方向前进3 0m，至点C处测得顶端A
的仰角为2
?
，再继续前进10
3
m至D 点，测得
顶端A的仰角为4
?
，求
?
的大小和建筑物AE的
高．




















例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
∠ABC=60°，AC =7，AD=6，S
153
△
ADC
=
2
，求AB
的长．

D


A
1

2




60
0



B C

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形

















※ 动手试试

练1. 为测 某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m
的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基
B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？





















练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a
km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？



















三、总结提升
※ 学习小结

1. 解三角形应用题的基本思路，方法；
2．应用举例中测量问题的强化.

※ 知识拓展
秦九韶“三斜求积”公式：

2
1
?
22
?
c
2
?a
2
?b
2
?
?
?
ca?
?
S?
?
?

4
?
2
??
?
??
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 某人向正东方向走
xkm
后 ，向右转
150
o
，然后
朝新方向走
3km
，结果他离出发 点恰好
3km
，则
x
等于（ ）.
A．
3
B．
23
C．
3
或
23
D．3
2.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯
角分别为
30
o
,60
o
，则塔高为（ ）米．
20034003
200400
A． B． C． D．
33
33
3. 在
?
ABC中，?A?60?
，
AC?16
，面积为
2203
，那么
B C
的长度为（ ）.
A．
25
B．
51
C．
493
D．
49

4. 从200米高的山顶A处 测得地面上某两个景点
B、C的俯角分别是30?和45?，且∠BAC＝45?，则
这两个景 点B、C之间的距离 ．
5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方
向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏 东
45?
，则货轮的速度 ．

课后作业

1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足
1.2米地面上，另一端在 沿堤上2.8米的地方，求堤
对地面的倾斜角.










18

2. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的
对边，向量m＝（
3,?1
），n＝（cosA，sinA）. 若
m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，求角B.











第一章 解三角形（复习）

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决
一些有关测量距离的实际问题．

学习过程

一、课前准备
复习1： 正弦定理和余弦定理
（1）用正弦定理：
①知两角及一边解三角形；
②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨
论解的个数）．
（2）用余弦定理：
①知三边求三角；
②知道两边及这两边的夹角解三角形．

复习2：应用举例
① 距离问题，②高度问题，
③ 角度问题，④计算问题．
练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，
现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变
为___ ．







二、新课导学
※ 典型例题

例1. 在
?ABC
中
tan(A?B)?1
，且最长边为1，

t anA?tanB
，
tanB?
1
2
，求角C的大小及△ABC最短边的长．

















例2. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方
向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待 营救．甲
船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西
30
o
，相距10 海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏
东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到
1
o
）？
北




B

A 20
?


10


?


C













例3. 在
?< br>ABC中，设
tanA2c?b
tanB
?
b
,
求A的值．

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形




















※ 动手试试

练1. 如图，某海轮以60 n mileh 的速度航行，在
A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行
40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，
海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C
点，求P、C间的距离．

C
北


60°

B

30°


A

60°

P












练2. 在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值
时，此三角形有一个解？两个解？无解？














三、总结提升
※ 学习小结

1. 应用正、余弦定理解三角形；
2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高
度、角度等）；
3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题.
（边角转化）．

※ 知识拓展

设在
?ABC
中，已知三边
a
，
b，
c
，那么用已
知边表示外接圆半径R的公式是
abc
R?

p(p?a)(p?b)(p?c)
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，
则△ABC的面积为（ ）.
A．9 B．18 C．9 D．18
3

2.在△ABC 中，若
c
2
?a
2
?b
2
?ab
，则∠C =（ ）.
A． 60° B． 90° C．150° D．120°
3. 在
?
ABC中，
a?80
，
b?100
，A =30°，则B
的解的个数是（ ）.
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定的
1
4. 在△ABC中，
a?32
，
b?23
，
cosC?
，
3
则
S
△ABC
?
__ _____
5. 在
?
ABC中，
a
、b、c分别为
?< br>A、
?
B、
?
C
的对边，若
a
2
? b
2
?c
2
?2bcsinA
，则A=___ ____.

课后作业

1. 已知
A
、
B
、< br>C
为
?ABC
的三内角，且其对边分
1
别为
a
、
b
、
c
，若
cosBcosC?sinBsinC?
．
2
（1）求
A
；
（2）若
a?23,b?c?4
，求
?ABC
的面积．










20

2. 在△ABC中，a,b,c
分别为角A
、
B
、
C的对边，
a
2
?c
2
?b
2
?
8bc
5
，
a< br>=3， △ABC的面积为6，
（1）求角A的正弦值； （2）求边b、c.






§2.1数列的概念与简单表示
法(1)


学习目标

1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的
关系；
2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列
的任意一项；
3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的
个通项公式.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
28
~ P
30
，找出疑惑之处）
复习1：函数
y?3
x
，当x依次取1，2，3 ，…时，
其函数值有什么特点？






复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，…时，
其函数值有什么特点？






二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：数列的概念
⒈ 数列的定义： 的一列
数叫做数列.


⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这
个数列的项.
反思：
⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，
那么它们是相同的数列？



⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？


3. 数列的一般形式：a
1
,a
2
,a
3
,L,a
n
,L< br>，或简记为
?
a
n
?
，其中
a
n
是 数列的第 项.

4. 数列的通项公式：如果数列
?
a
n
?
的第n项
a
n
与n
之间的关系可以用 来表示，那么
就叫做这个数列的通项公式.
反思：
⑴所有数列都能写出其通项公式？


⑵一个数列的通项公式是唯一？



⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？




5．数列的分类：
1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；

2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列，
数列， 数列和 数列.

※ 典型例题

例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项
分别是下列各数：
⑴ 1，－
1
2
，
1
3
，－
1
4
；
⑵ 1， 0， 1， 0.

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形
变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4
项分别是下列各数：
14916
⑴ ，，，；
251017
⑵ 1， －1， 1， －1；











小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公
式，只需观察分析数列中的项的构成 规律，将项表
示为项数的函数关系.
7
例2已知数列2，，2，…的通项公式为< br>4
an
2
?b
，求这个数列的第四项和第五项.
a
n
?
cn








变式：已知数列
5
，
11
，
17，
23
，
29
，…，
则5
5
是它的第 项.


小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代
入通项公式，就可以求出项数和项.

※ 动手试试

练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4
项分别是下列各数：
11
1
⑴ 1， ，， ；
7
35
⑵ 1，
2
，
3
，2 .





练2. 写出数列
{n
2
?n}
的第20项，第n＋1项.








三、总结提升
※ 学习小结

1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的
一个通项公式；
2. 会用通项公式写出数列的任意一项.

※ 知识拓展
数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.
1
1
1
思考：设
f(n)
＝1＋＋＋…＋
23n?1
3
（n
?
N*
）那么
f(n?1)?f(n)
等于（ ）
1
11
A. B.
?

3n3n?1
3n?2
11111
C. D.
???
3n?13n?23n3n?13n?2
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 下列说法正确的是（ ）.
A. 数列中不能重复出现同一个数
B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列
C. 1，1，1，1…不是数列
D. 两个数列的每一项相同，则数列相同
2. 下列四个数中，哪个是数列
{n(n?1)}
中的一项
（ ）.
A. 380 B. 392 C. 321 D. 232
3. 在横线上填上适当的数：
3，8，15， ，35，48.
4.数列
{(?1)}
的第4项是 .
1
111
5. 写出数列
?
，，
?
，的一个
2?1
2?22?32?4
通项公式 .

n(n?1)
2
课后作业

1. 写出数列｛
2
n
｝的前5项.










2
2
?13
2
?14
2
?15
2
?1
2. （1）写出数列，，，的
2345
一个通项公式为 .
22

< br>（2）已知数列
3
，
7
，
11
，
15
，
19
，… 那
么3
11
是这个数列的第 项.










个通项公式是 .

2. 图象法：

数列的图形是 ，因为横
坐标为 数，所以这些点都在y轴的 侧，而点
的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地
看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势
．


3. 递推公式法：
递推公式：如果已知数列
?
a
n
?< br>的第1项（或前几项），
且任一项
a
n
与它的前一项
a
n?1
（或前n项）间的关
系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这
个数列 的递推公式.

试试：上图中相邻两层的钢管数
a
n
与
a
n?1
之间关系
的一个递推公式是 .

4. 列表法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数 n之间关系的
用列表法如何表示？


反思：所有数列都能有四种表示方法吗？
§2.1数列的概念与简单表示
法(2)

学习目标

1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式
的异同；
2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单
数列的通项公式的方法.


※ 典型例题

a
1
?1
?
?
例1

设数列
?< br>a
n
?
满足
?
写出这个
1
a?1?(n?1 ).
?
n
a
n?1
?
数列的前五项.









变式：已知< br>a
1
?2
，
a
n?1
?2a
n
，写 出前5项，并猜
学习过程

一、课前准备
（预习教材P
31
~ P
34
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？



复习2：数列如何分类？



二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：数列的表示方法

问题：观察钢管堆放示意图，寻< br>找每层的钢管数
a
n
与层数n之
间有何关系？

1. 通项公式法：
试试：上图中每层的钢管数
a
n
与层数n之间关系的一

想通项公式
a
n
.








小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不
同的值代入递推公式就可求出数列的项.

例2 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n?1
?a
n
?2n
， 那

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形
么
a
2007
?
（ ）.
A. 2003×2004 B. 2004×2005
C. 2007×2006 D.
2004
2










变式：已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n?1
?a
n
?2n
，
求
a
n
.








小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形
与化归及归纳猜想都是常用方法.
※ 动手试试

2
练1. 已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
2
?
，且
3
，求
a
3
,a
4
.
a
n?1
ga
n
?a
n
ga
n?1
?2a
n?1< br>ga
n?1
?0
（
n?2
）






练2.（2005年湖南）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0
，
a
n?1
?
a
n
?3
3a
n
?1
※ 学习小结

1. 数列的表示方法；
2. 数列的递推公式.

※ 知识拓展

n刀最多能将比萨饼切成几块？
意大利一家比萨饼店的员工乔治喜
欢将比萨饼切成形状各异的小块，以
便出售. 他发现一刀能将饼切成两块，
两刀最多能切成4块，而三刀最多能

切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将
饼切成多少块？n刀呢？
解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看
成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一 个交
点，所以第n刀最多与前n－1刀的切痕都各有一
个不同的交点，因此第n刀的切痕最多被 前n－1
刀分成n段，而每一段则将相应的一块饼分成两块.
也就是说n刀切下去最多能使饼增加n块. 记刀数
为1时，饼的块数最多为
a
1
，……，刀数为n时，
饼的块数最多为
a
n
，所以
a< br>n
=
a
n?1
?n
.
由此可求得
a
n
=1+
n(n?1)
.

2
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 已知数列
a
n?1
?a
n
?3?0
，则数列
?
a< br>n
?
是（ ）.
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 摆动数列 D. 常数列
2. 数列
?
a
n?
中，
a
n
??2n
2
?9n?3
，则此数列 最大
项的值是（ ）.
（
n?N
*
），则
a
20
?
（ ） .
1
A. 3 B. 13 C. 13 D. 12
8
3. 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?2
（n≥1）， 则该数
列的通项
a
n
?
（ ）.
A.
n(n?1)
B.
n(n?1)

n(n?1)n(n?1)
C. D.
22
1
4. 已知数列
?
a
n
?
满足a
1
?
，
a
n
?(?1)
n
g2a< br>n?1
（n
3
≥2），则
a
5
?
.
1
1
5. 已知数列
?
a
n
?
满足< br>a
1
?
，
a
n?1
?1?
（n≥2），
a
n
2
则
a
6
?
.

3
A．0 B.－
3
C.
3
D.
2


练3. 在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2
，
a
17
?66
， 通项公式
是项数n的一次函数.
⑴ 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
⑵ 88是否是数列
?
a
n
?
中的项.







三、总结提升

课后作业

1. 数列
?
a
n
?
中，
a
1
＝ 0，
a
n?1
＝
a
n
＋(2n－1) (n∈N)，
写出前五项，并归纳出通项公式.

24

2. 数列
?
a
2a
n
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?
a
(n?N)，写出
n
?2
前5项，并猜想通项公式
a
n
.










§2.2等差数列（1）


学习目标

1. 理解等 差数列的概念，了解公差的概念，明确一
个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一
个数 列是等差数列；
2. 探索并掌握等差数列的通项公式；
3. 正确认识使用等差数列的各 种表示法，能灵活运
用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定
的项.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
36
~ P
39
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列？





复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方
法？




二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：等差数列的概念
问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有
什么共同特征？
① 0，5，10，15，20，25，…
② 48，53，58，63
③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5
④ 10072，10144，10216，10288，10366




新知：
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，
每一项与它 一项的 等于同一个常数，这
个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列
的 ， 常用字母 表示.

2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，
这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式
表示为A=

探究任务二：等差数列的通项公式
问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？
如果存在，分别是什么？
若一等差数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公差是d，则据其
定义可得：
a
2
?a
1
?
，即：
a
2
?a
1
?

a
3
?a
2
?
， 即：
a
3
?a
2
?d?a
1
?

a
4
?a
3
?
，即：
a
4
?a
3
?d?a
1
?

……
由此归纳等差数列的通项公式可得：
a
n
?

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项
a
1
和
公差d，便可求得 其通项
a
n
.

※ 典型例题

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；
⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如
果是，是第几项？

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形
变式：（1）求等差数列3，7，11，……的第10项.





（2）100是不是等差数列2，9，16，……的项？
如果是，是第几项？如果不 是，说明理由.






小结：要求出数列 中的项，关键是求出通项公式；
要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键
是要看是否存 在一正整数n值，使得
a
n
等于这一数.

例2 已知数列{a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
那么 这个数列是否一定是等差数列？
p
、
q
是常数，
若是，首项与公差分 别是多少？




变式：已知数列的通项公式为
an
?6n?1
，问这个
数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别
是什么？










小结：要判定
?
a
n
?
是不是等差数列，只要看
a
n
?a
n?1
（n≥2）是不是一个与n无关的常数.

※ 动手试试

练1. 等差数列1，－3，－7，－11，…，求它的通
项公式和第20项.










练2.在等差 数列
?
a
n
?
的首项是
a
5
?10,a< br>12
?31
，
求数列的首项与公差.











三、总结提升
※ 学习小结

1. 等差数列定义：
a
n
?a
n?1
?d
(n≥2)；
2. 等差数列通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d
(n≥1).

※ 知识拓展

1. 等差数列通项公式为
an
?a
1
?(n?1)d
或
a
n
?a
m
?(n?m)d
. 分析等差数列的通项公式，
可知其为一次函数，图象上表现为直 线
y?a
1
?(x?1)d
上的一些间隔均匀的孤立点.
2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个
数为
a?d,a,a?d
. 若四个数成等差数列，可设
这四个数为
a?3d,a?d,a?d,a?3d
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）.
A. 92 B. 47 C. 46 D. 45
2. 数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?2n?5
，则此数列是
（ ）.
A.公差为2的等差数列 B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列 D.公差为n的等差数列
3. 等差数列的第1项是7，第7项是－1，则它的
第5项是（ ）.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4. 在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，
则∠B＝ .
5. 等差数列的相邻4项是a+1，a+3，b，a+b，那
么a＝ ，b＝ .

课后作业

1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
⑴已知
a
1< br>?2
，d＝3，n＝10，求
a
n
；




⑵已知
a
1
?3
，
a
n
?21
，d＝2，求n；




26

⑶已知
a
1
?12
，
a
6
?27
，求d；




⑷已知d＝－
1
3
，
a
7
?8
，求
a
1
.




2. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm，75c m，
把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，
构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各 级的宽度.








§2.2等差数列（2）
学习目标

1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公
式；
2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关
问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
39
~ P
40
，找出疑惑之处）
复习1：什么叫等差数列？



复习2：等差数列的通项公式是什么？




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：等差数列的性质
1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，
a
m
与
a
n
有何关
系？






2. 在等差数列
?
a
n
?
中，
d
为公差，若
m,n,p,q?N
?
且
m ?n?p?q
，则
a
m
，
a
n
，
a
p
，
a
q
有何关系？







※ 典型例题

例1 在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，
求首项
a
1
与公差
d
.











变式：在等差数列
?
a
n
?
中， 若
a
5
?6
，
a
8
?15
，
求公差d及
a
14
.










小结：在等差数列
{a
n
}
中，公 差d可以由数列中任
意两项
a
a?a
n
m
与
an
通过公式
m
m?n
?d
求出.

例2 在等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
3
?a
10
?a
11
?36
，
求
a5
?a
8
和
a
6
?a
7
.

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形





变式：在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
2
?a
3
?a
4
?a
5
?34
，
且
a
2
ga
5
?52
，求公差d.
















小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，可以使得计算简化.








三、总结提升
※ 学习小结

1. 在等差数列中，若m+n=p+q，则
a
m
?a
n
? a
p
?a
q

注意：
a
m
?a
n
?a
m?n
，左右两边项数一定要相同才
能用上述性质.
a?a
n
2. 在等差数列中，公差
d?
m
.
m?n

※ 知识拓展

判别一个数列是否等差数列的三种方法，即：
（1）
a
n?1
?a
n
?d
；
（2）
a
n
?pn?q(p?0)
；
（3）
S
n
?an
2
?bn
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 一个等差 数列中，
a
15
?33
，
a
25
?66
， 则
a
35
?
（ ）.
A. 99 B. 49.5 C. 48 D. 49
2.

等差数列
?a
n
?
中
a
7
?a
9
?16
，
a
4
?1
，则
a
12
的
值为（ ）.
A . 15 B. 30 C. 31 D. 64
3. 等差数列
?
a
n
?
中，
a
3
，
a
10
是方程
x
2
?3x?5?0
，
则
a
5
?a
6
＝（ ）.
A. 3 B. 5 C. －3 D. －5
4. 等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
??5
，
a
6
?11
，则公差d
＝ .
5. 若48，a，b，c，－12是等差数列中连续五项，
则a＝ ，b＝ ，c＝ .

※ 动手试试

练1. 在等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
4
?a
7
?39
，
a
2
?a
5
?a
8
?33
， 求
a
3
?a
6
?a
9
的值.
















练2. 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…
都有100项，问它们有多少个相同项？












课后作业

1. 若
a
1
?a
2
?L?a
5
?30
，
a
6
?a
7
?L?a
10
?80
，
求
a
11
?a
12
?L?a
15
.









28

2. 成等差数列的三个数和为9，三数的平方和为
35，求这三个数.















§2.3 等差数列的前n项和(1)

学习目标

1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；
2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的
与前n项和有关的问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
42
~ P
44
，找出疑惑之处）
复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是
什么？



复习2：等差数列有哪些性质？




二、新课导学
※ 学习探究

探究：等差数列的前n项和公式
问题：
1. 计算1+2+…+100=?





2. 如何求1+2+…+n=?




新知：
数列
{a
n
}
的前n项的和：
一般地，称 为数列
{a
n
}
的前n项
的和，用
S
n
表 示，即
S
n
?


反思：
① 如何求首项为
a
1
，第n项为
a
n
的等差数列
{a
n
}
的前n项的和?




② 如何求首项为
a
1
，公差为d的等差数 列
{a
n
}
的
前n项的和?





试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
.
⑴
a
1
??4，a
8
??18，n?8；





⑵
a
1
?14.5，d?0.7，n?15
.





小结：
1. 用
S
n(a
1?a
n
)
n
?
2
，必须具备三个条件： .
2. 用
S
n(n?1)d
n
?na
1
?2
，必须已知三个条件： .

※ 典型例题

例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中
小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出< br>了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用
10年时间，在全市中小学建成不同标准的校 园网.
据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为
500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投
入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年
起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总
投入是多少？

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形






















小结：解实际问题的注意：
① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；
② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和
公差选择前n项和公式进行求解.
例2 已知一 个等差数列
{a
n
}
前10项的和是310，
前20项的和是122 0. 由这些条件能确定这个等差
数列的前n项和的公式吗？










变式：等差数列
{a
n
}
中，已知
a
10
?30
，
a20
?50
，
S
n
?242
，求n.









小结：等差数 列前n项和公式就是一个关于
a
n
、a
1
、n或者a
1、n、d
的方程，已知几个量，通过
解方程，得出其余的未知量.

※ 动手试试

练1.一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内
角为12 0°，公差为5°，那么这个多边形的边数n

为（ ）.
A. 12 B. 16 C. 9 D. 16或9






三、总结提升
※ 学习小结

1. 等差数列前n项和公式的两种形式；
2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；
3. 等差 数列中的“知三求二”问题，即：已知等差
数列之
a
1
,a
n
,q,n,S
n
五个量中任意的三个，列方程
组可以求出其余的两个.

※ 知识拓展

1. 若数列
{a
n
}
的前n项的 和
S
n
?An
2
?Bn
（A
?0
，
A、B是与n无关的常数），则数列
{a
n
}
是等差数列.
2. 已知数列
?
a
n
?
,
是公差为d的等差数列，S
n
是其
前n项和，设
k?N
?
,S
k
,S
2 k
?S
k
,S
3k
?S
2k
也成等差
数列 ，公差为
k
2
gd
.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在等差数列
{a
n
}
中，
S
10
?120
，那么
a
1
?a< br>10
?
（ ）.
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
2. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之
和是（ ）.
A．5880 B．5684 C．4877 D．4566
3. 已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，
前n项和为286，则项数n为（ ）
A. 24 B. 26 C. 27 D. 28
4. 在等差数列
{a
n
}
中，则
S
8
?
.
a
1
?2
，
d??1
，
5. 在等差数列{a
n
}
中，
a
1
?25
，
a
5
?33
，则
S
6
?
.

课后作业

1. 数列｛
a
n
｝是等差数列，公差为3 ，
a
n
＝11，前
n
和
S
n
＝14，求< br>n
和
a
3
.









30

2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余
2? 这些数的和是多少？


















§2.3 等差数列的前n项和(2)

学习目标

1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项
和公式；
2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些
相关问题；
3. 会利用等差数列通项公式与前

n项和的公式研
究
S
n
的最大（小）值.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
45
~ P
46
，找出疑惑之处）
复习1：等差数列{
a
n
}中，
a
4
＝－15， 公差d＝3，
求
S
5
.




复习2：等差数列{
a
n
}中， 已知
a
3
?1
，
a
5
?11
，
求
a
n
和
S
8
.






二、新课导学
※ 学习探究

问题：如果一个数列< br>?
a
n
?
的前n项和为
S
n
?pn
2
?qn?r
，其中p、q、r为常数，且
p?0
，
那么这个数列一 定是等差数列吗？如果是，它的首
项与公差分别是多少？







※ 典型例题

例1已知数列
{a
1
n
}
的前n项为
S
n
?n
2
?
2
n
，求这
个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果
是，它的首项与公差分别是什么？







变式：已知数列
{a
S
12n
}
的前n项为
n
?
4
n
2
?
3
n?3
，
求这个数列的通项公式.










小结：数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系为 a
?
S
1
(n?1)
n
=
?
，由此可 由
?
S
S
n
求
a
n
.
n
?S
n?1
(n?2)

例2 已知等差数列
5 ，4
2
7
，3
4
7
，....
的前n项和为
S
n
，求使得
S
n
最大的序号n的值.

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形

变式：等差数列{
a
n
}中，
a
4
＝－15， 公差d＝3，
求数列{
a
n
}的前n项和
S
n
的最小值.














小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.
（1）利用
a
n
: 当
a
n
>0，d<0，前n项 和有最大值，
可由
a
n
≥0，且
a
n?1
≤0，求 得n的值；当
a
n
<0，d>0，
前n项和有最小值，可由
a
n
≤0，且
a
n?1
≥0，求得n
的值
dd
（ 2）利用
S
n
：由
S
n
?n
2
?(a1
?)n
，利用二次
22
函数配方法求得最大（小）值时n的值.
※ 动手试试

练1. 已知
S
n
?3n
2
?2n
，求数列的通项
a
n
.

















练2. 有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，
14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到
大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项 之
和.

















三、总结提升
※ 学习小结

1. 数列通项
a
n
和前n项和
S
n
关系；
2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.

※ 知识拓展

等差数列奇数项与偶数项的性质如下：
1°若项数为偶数2n，则
S
a< br>S
偶
－S
奇
＝nd
；
奇
＝
n
(n?2)
；
S
偶
a
n?1
2°若项数为奇数2n＋1，则
S
奇
－S
偶
＝a
n?1
；
S
偶
?na
n?1
；
S
奇
＝(n?1)a
n?1
；
S
偶
＝
n
.
S
奇
n?1
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 下列数列是等差数列的是（ ）.
A.
a
n
?n
2
B.
S
n
?2n?1

C.
S
n
?2n
2
?1
D.
S
n
?2n
2
?n

2. 等差数列{
a
n
}中，已知
S
15
?90
，那么
a
8< br>?
（ ）.
A. 3 B. 4 C. 6 D. 12
3. 等差数列{
a
n
}的前m项和为30，前2m项和 为
100，则它的前3m项和为（ ）.
A. 70 B. 130 C. 140 D. 170
4. 在小于100的正整数中共有 个数被7除
余2，这些数的和为 .
1
5. 在等差数列中，公差d＝，
S
100
?145
，
2
则a
1
?a
3
?a
5
?...?a
99
?
.

课后作业

1. 在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为
165，所有偶数项和为150，求n的值.






32

2. 等差数列{
a
n
}，
a
1
?0
，< br>S
9
?S
12
，该数列前多
少项的和最小？
















§2.4等比数列（1）


学习目标

1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通
项公式、性质；
2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，
提高数学建模能力；
3. 体会等比数列与指数函数的关系.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
48
~ P
51
，找出疑惑之处）
复习1：等差数列的定义？



复习2：等差数列的通项公式
a
n
?
，
等差数列的性质有：






二、新课导学
※ 学习探究


观察：①1，2，4，8，16，…
②1，
11
1
1
2< br>，
4
，
8
，
16
，…
③1，20，
20
2
，
20
3
，
20
4
，…
思考以上四个数列有什么共同特征？







新知：
1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项
起， 一项与它的 一项的 等于 常数，
那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比
数列的 ，通常用字母 表示（q≠0），即：
a
n
a
= （q≠0）
n?1

2. 等比数列的通项公式：
a
2
?a
1
；
a
3
?a
2
q?(a
1
q)q?a
1
；
a
4
?a
3
q?(a
1
q
2
)q?a
1 ； … …
∴
a
n
?a
n?1
q?a
1
?
等式成立的条件

3. 等比数列中任意两项
a
n
与
a
m
的关系是：



※ 典型例题

例1 （1） 一个等比数列的第9项是
4
9
，公比是－
1
3
，求它的第1项；
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，
求它的第1项与第4项.


















小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形
式
a
n
?a
1
q
n?1
.

例2 已知数列{
a
n
}中，lg
a
n
?3n?5
，试用定义证
明数列{
a
n
}是等比数列.



















小结：要证明一个数列是等比数列， 只需证明对于
a
任意正整数n，
n?1
是一个不为0的常数就行了.
a
n










三、总结提升
※ 学习小结

1. 等比数列定义；
2. 等比数列的通项公式和任意两项
a
n
与
a
m
的关
系.

※ 知识拓展

在等比数列
{a
n
}
中，
⑴ 当
a
1
?0
，q >1时，数列
{a
n
}
是递增数列；
⑵ 当
a
1
?0
，
0?q?1
，数列
{a
n
}
是递增 数列；
⑶ 当
a
1
?0
，
0?q?1
时，数列< br>{a
n
}
是递减数列；
⑷ 当
a
1
?0
，q >1时，数列
{a
n
}
是递减数列；
⑸ 当
q?0
时，数列
{a
n
}
是摆动数列；
⑹ 当
q?1
时，数列
{a
n
}
是常数列.
※ 动手试试

练1. 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经
过一年剩留的这种物质是原来的84％. 这种物质的
半衰期为多长(精确到1年)?















练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于
它后面的相邻两项之和，则公比
q?
（ ）.
335
A. B. C.
2
2








学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?
a
n
?
为等比数列，
a
1
?12
，
a
2
?24
，则
a
3
?
（ ）.
A. 36 B. 48 C. 60 D. 72
91
2
2. 等比数列的首项为，末项为，公比为，这
3
83
个数列的项数n＝（ ）.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知数列a，a（1 －a），
a(1?a)
2
，…是等比数
列，则实数a的取值范围是（ ）.
A. a≠1 B. a≠0且a≠1
C. a≠0 D. a≠0或a≠1
4. 设
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
成等比数列，公比为2，则
2a
1
?a
2
＝ .
2a
3
?a
4
5. 在等比数列
{a
n
}
中，
2a
4
?a
6
?a
5
，则公比q＝ .

5?1
D.
2
5?1

2
课后作业

在等比数列
{a
n
}
中，
⑴
a
4
?27
，q＝－3，求
a
7
；


34

⑵
a
2
?18
，
a
4
?8
，求
a< br>1
和q；






⑶ a
4
?4
，
a
7
?6
，求
a
9
；






⑷
a5
?a
1
?15,a
4
?a
2
?6
， 求
a
3
.





§2.4等比数列（2）


学习目标

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解
等比中项概念；
2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列
是否成等比数列的方法.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
51
~ P
54
，找出疑惑之处）
复习1：
等比数列的通项公式
a
n
?
= .

公比q满足的条件是

复习2：等差数列有何性质？




二、新课导学
※ 学习探究
问题1：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，
b成等比数列， 则
G
a
?
b
G
?G
2
?ab?G?



新知1：等比中项定义
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G ，b成等
比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项.
即G= （a，b同号）.

试试：数4和6的等比中项是 .

问题2：
1.在等比数列{
a
n
}中，
a
25
?a
3
a
7
是否成立呢？


2 .
a
2
n
?a
n?1
a
n?1
(n?1)
是否成立？你据此能得到什么
结论？



3.
a
2
n
?a
n?k
a
n?k
(n?k?0)
是否成立？你又能得到什
么结论？


新知2：等比数列的性质
在等比数列中，若m+n=p+q，则
a
m
a
n
?ap
a
k
.


试试：在等比数列
?
a
n
?
，已知
a
1
?5,a
9
a
1 0
?100
，那
么
a
18
?
.

※ 典型例题

例1已知
{a
n
},{b
n
}
是项数相同的等比数列，仿照下
表中的例子填写表格，从中你能得出什么结论?证
明你的结论.
例 自选1 自选2
a
?(
2
n

3
3
)
n


b
n

?5?2
n?1


a
n
gb
n

?10?(
4
3
)
n?1


{a
n
gb
n
}
是
否等比
是









变 式：项数相同等比数列{
ab
a
n
n
}与{
n
}， 数列{
b
}
n
也一定是等比数列吗？证明你的结论



.

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形






小结：两个等比数列的积和商仍然是等比数列.

例2在等比数列{
an
}中，已知
a
4
ga
7
??512
，且a
3
?a
8
?124
，公比为整数，求
a
10
.












变式：在等比数列{
a
n
}中，已知
a
7
ga
12
?5
，则
a
8
ga
9
ga
10
ga
11
?
.



三、总结提升
※ 学习小结

1. 等比中项定义；
2. 等比数列的性质.

※ 知识拓展

公比为q的等比数列
{a
n
}
具有如下基本性质：
{a< br>nm
}(m?N
*
)
，
{a
n
2
}
，1. 数列
{|a
n
|}
，
{ca
n
} (c?0)
，
{a
n
k
}
等，也为等比数列，公比分别为< br>|q|,q
2
,q,q
m
,q
k
.
a若数列
{b
n
}
为等比数列，则
{a
n
gb< br>n
}
，
{
n
}
也等比.
b
n
2. 若
m?N
*
，则
a
n
?a
m
gq
n?m
. 当m=1时，便得到
等比数列的通项公式.
3. 若
m?n?k?l
，
m,n,k,l?N
*
，则a
m
ga
n
?a
k
ga
l
.
4. 若
{a
n
}
各项为正，c>0，则
{log
c
a
n
}
是一个以
log
c
a
1
为首项，
log
c
q
为公差的等差数列. 若
{b
n
}
是



※ 动手试试

练1. 一个直角三角形三边成等比数列，则（ ）.
A. 三边之比为3：4：5
B. 三边之比为1：
3
：3
5?1
C. 较小锐角的正弦为
2
5?1
D. 较大锐角的正弦为
2





练2. 在7和56之间插入
a
、
b
，使7、
a
、
b
、56
成等比数列，若插入
c
、
d
，使7、
c
、
d
、56成
等差数列， 求
a
＋
b
＋
c
＋
d
的值.














以d为公差的等差数列，则
{c
b
n
}
是以
c
b
1
为首项，
c
d
为公比的等 比数列. 当一个数列既是等差数列又是
等比数列时，这个数列是非零的常数列.
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 在
?
a
n
?
为等比数列中，
a
n
?0
，
a
2
a4
?2a
3
a
5
?a
5
2
?16，那么
a
3
?a
5
?
（ ）.
A. ±4 B. 4 C. 2 D. 8
2. 若－9，a
1
，a
2
，－1四个实数成等差数列，－9，
b
1
，b
2，b
3
，－1五个实数成等比数列，则b
2
(a
2
－< br>a
1
)＝（ ）.
9
A．8 B．－8 C．±8 D．
8
3. 若正数a，b，c依次成公比大于1的等比数列，
则当x>1时，log
a
x
，
log
b
x
，
log< br>c
x
（ ）
A.依次成等差数列 B.各项的倒数依次成等差数列
C.依次成等比数列 D.各项的倒数依次成等比数列
4. 在两数1，16之间插入三个数，使它们成为等比
数列，则中间数等于 .
5. 在各项都为正数的等比数列
?
a
n
?
中，
a
5ga
6
?9
，
则log
3
a
1
+ log
3
a
2
+
…
+
log
3
a
10
?
.


课后作业

1. 在
?
a
n
?
为等比数列中，< br>a
1
ga
9
?64
，
a
3
?a7
?20
，
求
a
11
的值.


36

2. 已知等差数列
?
a
n?
的公差d≠0，且
a
1
，
a
3
，
a
9
成等比数列，求
a
1
?a
3
?a
9aa
.
2
?a
4
?
10












§2.5等比数列的前n项和(1)

学习目标

1. 掌握等比数列的前n项和公式；
2. 能用等比数列的前n项和公式解决实际问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
55
~ P
56
，找出疑惑之处）
复习1：什么是数列前n项和？等差数列的数列前
n项和公式是什么？





复习2：已知等比数列中，
a
3
?3
，
a
6
?81
，求
a
9
,a
10
.




二、新课导学
※ 学习探究

探究任务：

等比数列的前
n
项和

故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”





新知：等比数列的前n项和公式

设等比数列
a
1
,a2
,a
3
,La
n
L
它的前n项和是
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?La
n
，公比为q≠0，

公式的推导方法一：
则
?
?
?< br>Saa
2n?2n?1
n
?
1
?a
1
q?< br>1
q?
L
a
1
q?a
1
q
?
?
qS
n
?

?(1?q)S
n
?

当
q?1
时，
S
n
?
①
或
S
n
?
②
当q=1时，
S
n
?


公式的推导方法二：
由等比数列的定义，
a
2
a
a
?
3
a
?L?
a
n
?q
，
12
a
n?1
有
a
2
?a
3
?
L
? a
n
a
?
S
n
?a
1
a
?q，
1
?a
2
?
L
?
n?1
S
n
?a
n
即
S
n
?a
1
S
?q
.
n
?a
n
∴
(1?q)S
n
?a
1?a
n
q
（结论同上）

公式的推导方法三：
S< br>n
?a
1
?a
2
?a
3
?La
n< br>
＝
a
1
?q(a
1
?a
2
?a< br>3
?La
n?1
)

＝
a
1
?qS
n?1
＝
a
1
?q(S
n
?a
n< br>)
.
∴
(1?q)S
n
?a
1
?a< br>n
q
（结论同上）

试试：求等比数列
11
12
，
4
，
8
，…的前8项的和.








※ 典型例题

例1已知a< br>1
=27，a
9
=
1
243
，q<0，求这个等比数 列
前5项的和.

下学期◆高二 月 日 班级： 姓名： 第一章 解三角形






变式：
a
1
?3
，
a
5
?48
. 求此等比数列的前5项和.









例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每
年的销售量比上一年 的销售量增加10%，那么从今
年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保
留到个 位)?








※ 动手试试

39
练1. 等比数列中，
a
3
?,S
3
?,求a
1
及q.

22









练2. 一个球从100m高出处自 由落下，每次着地后
又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着
地时，共经过的路程是多 少？（精确到1m）

















三、总结提升
※ 学习小结

1. 等比数列的前n项和公式；

2. 等比数列的前n项和公式的推导方法；

3. “知三求二”问题，即：已知等 比数列之
a
1
,a
n
,q,n,S
n
五个量中任意 的三个，列方程组可以
求出其余的两个.

※ 知识拓展

1. 若
q??1
，则
S
m
,S
2m
?S
m,S
3m
?S
2m
,???
构
m?N
*
，
成新的等比数列，公比为
q
m
.
2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个
a
数为
,a,aq
. 若四个 同符号的数成等比数列，可设
q
aa
这四个数为
3
,,aq,aq< br>3
.
qq
3. 证明等比数列的方法有：
a
（1）定义法 ：
n?1
?q
；（2）中项法：
a
n?1
2
?a< br>n
ga
n?2
.
a
n
4. 数列的前n项和构成一 个新的数列，可用递推公
?
S?a
1
式
?
1
表示.
S?S?a(n?1)
n?1n
?
n
学习评价

※ 自我评价
你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）
计分
：

1. 数列1，
a
，
a< br>2
，
a
3
，…，
a
n?1
，…的前n项和< br>为（ ）.
1?a
n
1?a
n?1
A. B.
1?a
1?a
1?a
n?2
C. D. 以上都不对
1?a
2. 等比数列中，已知
a
1
?a
2< br>?20
，
a
3
?a
4
?40
，
则< br>a
5
?a
6
?
（ ）.
A. 30 B. 60 C. 80 D. 160
3. 设
{a
n
}< br>是由正数组成的等比数列，公比为2，且
a
1
a
2
a
3
???a
30
?2
30
，那么
a
3
a< br>6
a
9
???a
30
?
（ ）.
A.
2
10
B.
2
20
C. 1 D.
2
60

4. 等比数列的各项都是正数，若
a
1< br>?81,a
5
?16
，
则它的前5项和为 .
5. 等比数列的前n项和
S
n
?3
n
?a
，则a＝ .

课后作业

1. 等比数列中，已知
a
1
? ?1,a
4
?64,求q及S
4
.





38

2. 在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
6
?33,a2
ga
5
?32
，求
S
6
.












§2.5等比数列的前n项和(2)

学习目标

1. 进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项
和公式；
2. 会用公式解决有 关等比数列的
S
n
,a
n
,a
1
,n,q
中知
道三个数求另外两个数的一些简单问题.

学习过程

一、课前准备
（预习教材P
57
~ P
62
，找出疑惑之处）
复习1：等比数列的前n项和公式.
当
q?1
时，
S
n
?
＝
当q=1时，
S
n
?



复习2：等比数列的通项公式.

a
n
?
= .






二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：等比数列的前n项和与通项关系
问题：等比数列的前n项和
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
?L?a
n?1< br>?a
n
，
S
n?1
?
a
1
?a< br>2
?a
3
?L?a
n?1
（n≥2），
∴
S
n
?S
n?1
?
，
当n＝1时，
S
1
?
.


反思：
等比数列前n项和
S
n
与通项
a
n
的关系是什么？






※ 典型例题

例1 数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
?a
n
?1
（a≠0，a≠1），
试证明数列
{a
n
}
是等比数列.






变式：已知 数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
，且
Sn?1
?4a
n
?2
，
a
1
?1
， 设
b
n
?a
n?1
?2a
n
，求证：
数列
{b
n
}
是等比数列.
















例2 等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别
是
Sn
，
S
2n
，
S
3n
，求证：
Sn
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
也成等比.