高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳
1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；
2、三角形三边关系：a+b>c; a-b3、三角形中的基本关系：
si n(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,
sin
A?BCA?BCA?BC
?cos,cos?sin,tan?cot

222222

4、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C< br>的对边，
R
为
???C
的外
接圆的半径，则有
abc
???2R
．
sin?sin?sinC
5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，
c?2R sinC
；
abc
，
sin??
，
sinC?
；
2R2R2R
a?b?cabc
③
a:b:c?sin?:sin?:sin C
；④．
???
sin??sin??sinCsin?sin?sinC
②化边为角：
sin??
6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的 两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型 要
注意解的情况（一解、两解、三解）)
b
2
?c
2
?a
2
7、余弦定理：在
???C
中，有
a?b?c?2bccos?< br>等，变形：
cos??
等，
2bc
222
8、余弦定理主 要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角）
9、三角形面积公式：
a bc
r(a?b?c)
111
==
S
???C
?bcsin ??absinC?acsin?
．=2R
2
sinAsinBsinC=
4 R
2
222
p(p?a)(p?b)(p?c)

10、如何判断三 角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一
成边的形式或角的形式设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：
①若
a?b?c
，则C?90
；②若
a?b?c
，则
C?90
；③若
a?b ?c
，则
C?90
．
11、三角形的四心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1）
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）
内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）
12 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。

222222222

第二章 解三角形测试卷

1. △ABC中，
B?45
，
C?60
，
c?1
，则最短边的边长等于 （ ）
663
1
A
3
B
2
C
2
D
2

BA?B
1. 在
?ABC
中，若
sin?cos
，则
?ABC
为 （ ）
22
（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等边三角形 （D）正三角形
3.△ABC中，∠A=60°, a=6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )
A 有 一个解 B 有两个解 C 无解 D 不能确定
S
4. △ABC中，
b?8
，< br>c?83
，
?163
，则
?A
等于 （ ）
A
30
B
60
C
30
或
150
D
60
或
120

a?b?c
5.△ABC中，若
A?60
，
a?3
，则sinA?sinB?sinC
等于 （ ）
ABC
1
3
A 2 B
2
C
3
D
2

6. △ABC中，
A:B?1:2
，
C
的平分线
CD
把三角形面积分成
3:2
两部分，则
cosA?
（ ）
A
1
13
B C D
0

3
24
7.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 （ ）
A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由增加的长度决定
8. 在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ ）
A.
4003
400
米 B. 米 C. 200
3
米 D. 200米
3
3
9. 海上有A、B两个 小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛
和A岛成75°的视角，则B、 C间的距离是 ( )
A.10 海里 B.5海里 C. 5
6
海里 D.5
3
海里
o
2 .在
?ABC
中，已知
a?52
，
c?10
，
A? 30
，则
B
等于
A．
105
B．
60
C．
15
D．
105
或
15

3.在
?ABC
中，三边长
AB?7
，
BC?5
，
AC?6
，则
AB?BC
的值等于
A．
19
B．
?14
C．
?18
D．
?19

4.在
?ABC
中，
sinA，则
A．
a B．
a>b
C．
a≥b
D．
a
、
b
的大小关系 22
6.在
?ABC
中，已知
b?bc?2c?0
，且
a?
ooooo
6
，
cosA?
7
，则
?ABC< br>的面积是
8
A．
15
B．
15
C．
2
D．
2

8.
?ABC
中，
a
、
b
、
c
分别是三内角
A
、
B
、
C
的 对边，且
a?4
，
b?c?5
，
tanA?tanB?3

A．
?3tanA?tanB
，则
?ABC
的面积为
33
35
B．
33
C． D．
2
22
二、填空题：(5?× 5=25? )
11.在钝角△ABC中，已知
a?1
，
b?2
， 则最大边
c
的取值范围是 。
12.在△ABC中，已知b?503
，
c?150
，
B?30
，则边长
a? 。
13.三角形的一边长为14，这条边所对的角为
60，另两边之比为8：5，则这个三角形的
面积为 。
7
, 则ΔABC是____________ 三角形。
12
31
15.在ΔABC中，a =5,b = 4,cos(A－B)=,则cosC=_____________ .
32
14.A 为ΔABC的一个内角,且sinA+cosA=
1、已知在
△ABC
中，
a ?23,c?6,A?30
，
△ABC
的面积
S
.
2.设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________． 3.在平行四边形
ABCD
中，已知
AB?103
，
?B?60 ?
，
AC?30
，则平行四边形
ABCD

的面积 ．
4．
在△
ABC
中，已知2cos
B
sin
C
＝sin
A
，则 △
ABC
的形状是 ．

三、解答题（共75?）
cosAb4
??
cosBa3
，求边a、b 的长。 16.（本题12分）在△ABC中，已知边c=10, 又知


17.（本题12 分）在△ABC中，已知
2a?b?c
，
sinA?sinBsinC
，试判 断△ABC的形状。


18.（本题12分）在锐角三角形中，边a、b是方程x－23 x+2=0的两根，角A、B满足：
2sin(A+B)－3 =0，求角C的度数，边c的长度及△ABC的面积。



2
2

19.（本题12分）在奥运会 垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒
及游击手的直线成15°的方向把球击出， 根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为
游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接 着球？（如图所示）






20.（本 题13分）已知
A,B,C
是三角形
?ABC
三内角，向
m??1, 3,n?
?
cosA,sinA
?
，
且
m?n?1
.（Ⅰ）求角
A
；（Ⅱ）若


１、已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且
a?c?b?ac
.
（Ⅰ）求角
B
的大小；
（Ⅱ）若
c?3a
，求
tanA
的值．




2.在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60
0
，AC=7，AD=6，
S
△
ADC
=





22
3.如果△ABC内接于半径为
R
的圆 ，且
2R(sinA?sinC)?(2a?b)sinB,
求△ABC
??
1?sin2B
??3
，求
tanC
.
22
cosB?sinB
222
153
，求AB的长.
2
的面积的最大值.





4. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西
30°的方向航 行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，求货轮的速度.