高中数学必修五习题

1、在△中，角，，的对边分别为，，，且，则△的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
2、已知为等比数列的前项和，且，则等于（ ）
A． B． C．
3、若均为正实数，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
4、已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5、在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求；（2）若，求.
6、在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且=1．
（1）求∠C；（2）若c=，b=，求∠B及△ABC的面积．

7、在中，已知角，，所对的边分别为，，，且，．
（1）求角的大小；
． D

（2）若，求的长．
8、已知数列的前项和为，且，数列满足.
（1）求；（2）求数列的前项和.
9、已知数列满足，.
（1）求证数列是等差数列，并求出的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
10、若数列中的项都满足（），则称为“阶梯数列”.
（1）设数列是“阶梯数列”，且，（），求；
（2）设数列
成等差数列；
是“阶梯数列”，其前项和为，求证：中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项
（3）设数列是 “阶梯数列”，且，（），记数列的前项和为.
问是否存在实数，使得
在，请说明理由. < br>对任意的恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存
11、已知正项数列的前项和为，且， ．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对于 ，都有成立，求实数取值范围；
（3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列，且，证明：
存在无数个满足条件的无穷等比数列．

12、已知等比数列的公比，且满足：，且是的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求使成立的正整数
n
的最小值．
13、已知函数．
（1）解关于的不等式；
（2）证明：；
（3）是否存在常数，使得对任意的恒成立？若存在，求
出的值；若不存在，请说明理由．
14、设（为实常数）．
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）若是奇函数，求
a
与
b
的值；
（3）当是奇函数时 ，研究是否存在这样的实数集的子集
D
，对任何属于
D
的、
c
，
都有成立？若存在试找出所有这样的
D
；若不存在，请说明理由．
15、函数的定义域为A，函数。
（1）若时，的解集为B，求；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。

参考答案

一、选择题

1、A

2、A

3、A

4、A

二、简答题

5、解：（1）因为，所以，又，所以，
即，所以角．．5分
（2）因为，所以，．．．．．．．．．．7分
所以
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
因为，所以
2
，所以
2222
．．．．12分
6、解：（1）由已知条件化简可得：（a+b）﹣c=3ab，变形可得：a+b﹣c=ab，
由余弦定理可得：cosC==，∵C∈（0°，180°），∴C=60°

（2）∵c=，b=，C=60°，∴由正弦定理可得：sinB===，
又∵b＜c，∴B＜C，∴B=45°，
在△ABC中，sinA=sin（B+C）=sinBcoC+cosBsinC==，
∴S
△ABC
=bcsinA=
7、（1）因为，，
=
，
所以…………………………………2分

，………………………………4分
又，所以．……………………………………………………6分
（2）因为，且，
又，所以，……………………………………………8分
同理可得，． …………………………………………………10分
由正弦定理，得．……………………………14分
8、解：（1）由可得，当时，,
当时，，

而，适合上式，故，又∵，∴.
（2）由（1）知，，
，
∴
.
9、解：（1）由得.
，故数列是首项为1，公差为1的等差数列.
∴，.
（2）由（1）知：，
∴

相减得
，∴.
10、解：（1），，是以为首项为公比的等比数列，
，，
∵数列是“阶梯数列”，∴.

（2）由数列是“阶梯数列”得，故,
∴中存在连续三项成等差数列；
（注：给出具体三项也
可）
假设中存在连续四项成等差数列，
则，即，
当时, ，①
当时, ，②
由数列是“阶梯数列”得，③
①②与③都矛盾，故假设不成立，即中不存在连续四项成等差数列
（3）∵,,是以为首项为公差的等差数列，
，又数列是“阶梯数列”，故，
,
①当时,


,,

又恒成立，恒成立, .
②当时,

,,
又恒成立，恒成立, .
综上①②, 存在满足条件的实数，其取值范围是.



注：也可写成
11、（1）当时，，故；
当时，，
所以，
即，
n
为正偶数，
n
为正奇数.

又，所以，
所以，，，
故
（2）当为奇数时，，
由得，恒成立，
令，则，
所以．
当为偶数时，，
由得，恒成立，
所以．
又，所以实数的取值范围是
（3）当时，若为奇数，则，所以．
解法1：令等比数列的公比，则．
设，因为，
所以，

，
因为为正整数，
所以数列是数列中包含的无穷等比数列，
因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，
故无穷等比数列有无数个．
解法2：设，所以公比．
因为等比数列的各项为整数，所以为整数，
取，则，故，
由得，，
而当时，，
即，
又因为，都是正整数，所以也都是正整数，
所以数列是数列中包含的无穷等比数列，
因为公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，
故无穷等比数列有无数个．
12、解：（1）∵是的等差中项，∴，

代入，可得，
∴，∴，解之得或，
∵，∴，∴数列的通项公式为．
（2）∵，
∴，
， ……②
②-①得
．
∵，∴，∴，，
∴使成立的正整数的最小值为6．
13、（1）当时，，所以的解集为；
当时，，
若，则的解集为；
若，则的解集为．
综上所述，当时，的解集为；

……①

当时，的解集为；
当时，的解集为．
（2）设，则．
令，得，列表如下：



所以函数





极小值



的最小值为，
所以，即．
（3）假设存在常数，使得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
而当时，，所以，
所以，则，
所以恒成立，
①当时，，所以式在上不恒成立；
②当时，则，即，

所以，则．
令，则，令，得，
当时，，在上单调增；
当时，，在上单调减．
所以的最大值．所以恒成立．
所以存在，符合题意．
14、解：（1）证明：
数............................3分
，，所以，所以不是奇函
（2）是奇函数时，，
即对定义域内任意实数都成立 即，对定义域内任意实数都成
立.............................. .............5分
所以所以或 ．
经检验都符合题意........................................8分
（2）当时，，

因为，所以，，
所以.......................................10分
而对任何实数成立；
所以可取=对任何、c属于，都有成立........12分
当时，，
所以当时，；当时， .............14分
1）因此取，对任何、c属于，都有成立．
2）当
属于
时，
的、 c，都有
，解不等式
成立.....16分
得：．所以取，对任何
15、解：（1）由，解得：或，则
若
所以
，，由，解得：，则
；

（2）存在使得不等式成立，即存在使得不等式成立，所以

因为
所以
，当且仅当
，解得：
，即时取得等号
．