高一数学必修5基本不等式总结和例题

基本不等式
典题精讲
例1（1）已知0＜x＜
（2）求 函数y=x+
1
，求函数y=x(1-3x)的最大值;
3
1
的值域.
x
思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和 为定值，可考虑把括号内外x的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x＞0，因而不能
直接使用基本 不等式，需分x＞0与x＜0讨论.
1
,∴1-3x＞0.
3
11
3x?(1?3x)
2
1
11
∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x )≤［］=，当且仅当3x=1-3x，即x=时，等号成立.∴x=
3366
212
11
解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.
33
1
x??x
1
1
11
3
∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］
2
=，当 且仅当x=-x,即x=时，等号成立.
336
12
2
1
1
∴x=时，函数取得最大值.
6
12
1
1
（2）解：当x＞0时，由基本不等式，得y=x+
≥2
x?
=2，当且仅当x=1时，等号成立.
x
x
1
1
当x＜0时，y=x+=-［(-x)+］.
( ?x)
x
1
1
∵-x＞0,∴(-x)+
≥2,当且仅当-x=,即x=-1时，等号成立.
(?x)
?x
1
∴y=x+
≤-2.
x
1
综上,可知函数y=x+的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞).
x
（1）解法一：∵0＜x＜
时，函数取得最大值
1
.
1 2
绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时 要注意等号成立的条件是否具
备.
1
的最小值.
x?1
1
思路分析：x＞-1
?
x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与的积为常数.
x?1
变式训练1当x＞-1时，求f(x)=x+
解：∵x＞-1,∴x+1＞0.
1
11
=x+1+-1≥2
(x?1)?
(x?1)
x?1 x?1
1
当且仅当x+1=,即x=0时,取得等号.
x?1
∴f(x)=x+
∴f(x)
min
=1.
-1=1.
x
4
?3x
2
?3
变式训练2求函数y=的最小值. x
2
?1
思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而 且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分
母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可 展开.
解：令t=x
2
+1，则t≥1且x
2
=t-1.
x
4
?3x
2
?3(t?1)
2
?3(t?1)?3t< br>2
?t?11
??t??1
. ∴y==
2
ttt
x?1
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∵t≥1,∴t+
≥2
1
t
t?
1
1
=2 ,当且仅当t=,即t=1时，等号成立.
t
t
∴当x=0时，函数取得最小值3.
例2已知x＞0,y＞0，且
1
9
+
x
y
=1，求 x+y的最小值.
思路分析：要求x+y的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条 件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体
会.
解法一：利用“1的代换”,
∵
1
9
+
x
y
=1,
∴x+y=(x+ y)·(
1
9
+
x
y
)=10+
y9x
.
?
xy
∵x＞0,y＞0,∴
当且仅当
y9x
y9x
?
≥2=6.
?
xy
xy
y9x
，即y=3x时，取等号.
?
xy
又
1
9
+
x
y
=1,∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.
解法二：由
1
9
+
x
y
=1，得x=
y
.
y?9
∵x＞0,y＞0,∴y＞9.
x+y=
yy?9?999
+y=y+=y++1=(y-9)++10.
y?9y?9y?9y?9
∵y＞9,∴y-9＞0.
9
y?9?9
≥2
(y?9)?
=6.
y?9
y ?9
9
1
9
当且仅当y-9=，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当 x=4,y=12时，x+y取得最小值16.解法三：由+
y?9
x
y
∴< br>∴(x-1)(y-9)=9.
=1，得y+9x=xy,
(x?1)(y?9)
=16,
1
9
当且仅当x-1=y-9时取得等号.又+=1,
x
y
∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2
∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时，x+y取得最小值16.
绿色通道：本题给出了三种解法，都用到 了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用
的方法，要学 会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个 变量的范
围的影响.
黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：
1
9
+
x
y
≥2
9
xy
①,即
6
xy
≤ 1,∴
xy
≥6.
∴x+y≥2
xy
≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.
产生不同 结果的原因是不等式①等号成立的条件是
1
9
=
x
y
，不等 式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等
式,但是两个基本不等式等号成 立的条件不同，会导致错误结论.
变式训练已知正数a,b,x,y满足a+b=10,
思路分析：本题属于“1”的代换问题.
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ab
?
=1，x+y的最小值为18，求a,b的值.
xy

解：x+y=(x+y)(
abbxaybxay
+b=10+.
?
)=a+
??
xyyxyx
∵x,y＞0,a,b＞0，
∴x+y≥10+2
又a+b=10，
ab
=18，即
ab
=4.
?
a?2,
?
a?8,
∴
?
或
?

b?2.
b?8
?
?
4
例3求f(x)=3+lgx+的最 小值（0＜x＜1）.
lgx
思路分析：∵0＜x＜1,
4
＜0不满足各 项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.
lgx
44
解：∵0＜x＜1,∴lgx＜0,＜0.∴-＞0.
lgxlgx
∴lgx＜0,
4
4
)
=4.
)≥ 2
(?lgx)(?
lgx
lgx
44
∴lgx+
≤-4. ∴f(x)=3+lgx+≤3-4=-1.
lgxlgx
4
1
当且仅当lgx=,即x=时取得等号.
lgx
100
4
则有f(x)=3+lgx+ (0＜x＜1)的最小值为-1.
lgx
∴(-lgx)+(-
黑色陷阱：本题容易忽略0＜x＜1这一个条件.
51
，求函数y=4x-2+的最大值.
44x?5
5
思路分析： 求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x＜，则4x-5＜0.
4
5
解：∵x＜,∴4x-5＜0.
4
11
y=4x-5++3=-［(5-4x)+］+3
4x?55?4x
1
≤-2
(5?4x)?
+3=-2+3=1.
5?4x
1
当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.
5?4x
变式训练1已知x＜
所以当x=1时，函数的最大值是1.
38
时，求函数y=x+的最大值.
22x?3
8
思路分析：本题 是求两个式子和的最大值,但是x·并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以 变为
2x?3
183
3?2x8
3
y=（2x-3）++=-（）+ ,再求最值.
?
22x?322
23?2x
183
3?2x83
解：y=（2x-3）++=-（）+，
?
22x?322
23?2x
3
∵当x＜时，3-2x＞0，
2
变式训练2当x＜
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3 ?2x8
3?2x83?2x8
1
?
≥
2
=4，当且仅当， 即x=-时取等号.
??
23?2x
2
23?2x23?2x
3< br>55
于是y≤-4+=
?
，故函数有最大值
?
.
2
22
∴
例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的 墙，其他各面用钢筋网围成.
图3-4-1
（1）现有可围36 m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24 m
2
，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
思路分析：设每间虎笼长为x m，宽为y m，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy的最大 值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y
的最小值.
解：（1）设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.
设每间虎笼的面积为S，则S=xy.
方法一：由于2x+3y≥2
∴2

2x?3y
=2
6xy
,
2727
6xy
≤18,得xy≤，即S≤.
22
当且仅当2x=3y时等号成立.
由
?
?
2x?2y ,
?
x?4.5,
解得
?

?
2x?3y?18,
?
y?3.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大.
方法二:由2x+3y=18，得x=9-
∵x＞0,∴0＜y＜6.
S=xy=(9-
3
y.
2
33
y)y= (6-y)y.
22
.
∵0＜y＜6,∴6-y＞0.
∴S≤
3
(6?y)?y
2
27
［］=
22
2
当且仅当6 -y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m时，可使面积最大.
(2)由条件知S=xy=24.
设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.
方法一:∵2x+3y≥2
2x?3y
=2
6xy
=24,
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.
由
?
?
x?6,
?
2x?3y,
解得
?

y?4.
xy?24,
?
?
故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小.
方法二:由xy=24，得x=
24
y
. < br>∴l=4x+6y=
16
96
16
?
y
+6y=6(
+y)≥6×2
y
y
y
=48,当且仅当
16
=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6.
y
故每间虎笼长6 m,宽4 m时，可使钢筋总长最小.
绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：
（1）x,y都是正数；
（2）积xy（或x+y）为定值；
（3）x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.
变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4- 2所示),由于地形限制,长、宽都不能超
过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道 隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不
计,试设计污水处理 池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.
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图3-4-2
思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件, 若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.
解：设污水处理池的长为x米,则宽为
于 是总造价Q(x)=400(2x+2×
200
x
米(0＜x≤16,0＜
2 00
x
≤16),∴12.5≤x≤16.
200
x
)+248×2×
200
x
+80×200.
324
324
)+16 000≥800×2
x?
+16 000=44 800,
x
x
324
当且仅当x= (x＞0),即x=18时等号成立,而18
?
［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800.
x
=800(x+
下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.
对任意12.5≤x
1
＜x
2
≤16,则x
2
-x
1
＞0,x
1
x
2
＜16
2
＜324.
11
?
x
2
x
1
(x
2
?x1
)(x
1
x
2
?324)
=800×＜0,
x
1
x
2
Q(x
2
)-Q(x
1
)=8 00［(x
2
-x
1
)+324()］
∴Q(x
2
)＞Q(x
1
).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.
∴Q(x)≥Q(16)=45 000.
答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.
问题探究
问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度 升高.当住第n层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空
气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因 此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n层楼时,环境不满意程度为
8
.则此人应选第 几楼,会
n
有一个最佳满意度.
导思：本问题实际是求n为何值时,不满意度最小的 问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.
探究：设此人应选第n层楼,此时的不满意程度为y.
8
.
n
8
8
?
42
, ∵n+
≥2
n?
n
n
8
当且仅当n=,即n=
22
时取等号.
n
由题意知y=n+
但考虑到n∈N
*
,
∴n≈2×1.414=2.828≈3,
即此人应选3楼,不满意度最低.
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