高中数学必修五考点及典型例题

必修五 第一章 解三角形
一、考点列举
1、正弦定理的理解与应用
2、余弦定理的理解与应用
二、常考题型
1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些简单三角形
★例1、在
?< br>ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm
2
）
（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5
?
;
（2）已知B=62.7
?
,C=65.8
?
,b=3.16cm;
（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm
分析： 这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，
我们可以应用解三角 形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求
出三角形的面积。
解：（1）应用S=
S=
1
acsinB，得
2
1
?
14.8
?
23.5
?
sin148.5?
≈90.9(cm
2
)
2
b

=

c

sinC
sinB
sinB
(2)根据正弦定理，

c
=
bsinC

S =
11
bcsin
A =
b
2
sinCsinA

22
sinB
A = 180
?
-(B + C)= 180
?
-(62.7
?
+ 65.8
?
)=51.5
?

sin65.8
?
sin51.5
?
1
2
S =
?
3.16
?
≈4.0(cm
2
)
?
sin62.7
2
(3)根据余弦定理的推论，得
c
2
?a
2
?b
2
cosB =
2ca
38.7
2
?41.4
2
?27.3
2
=
2?38.7?41.4
≈0.7697
sinB =
1 ?cos
2
B
≈
1?0.7697
2
≈0.6384

应用S=
S ≈
1
acsinB，得
2
1
?
41.4
?
38.7
?
0.6384≈511 .4(cm
2
)
2
★★例2、在
?
ABC中，求证： < br>a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B
?;
（1）
c
2
sin
2
C
（2）< br>a
2
+
b
2
+
c
2
=2（bcco sA+cacosB+abcosC）
分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式 子左右两边的特点，联想到
用正弦定理来证明
证明：（1）根据正弦定理，可设

a
=
b
=
c
= k
sinAsinBsinC
显然 k
?
0，所以
a
2?b
2
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
?
左边=
c
2
k
2< br>sin
2
C
sin
2
A?sin
2
B
==右边
2
sinC
（2）根据余弦定理的推论，
b
2
?c
2
?a
2
a
2
?b
2
?c
2
c
2
?a
2
?b
2
右边=2(bc+ca+ab)
2bc2ca2ab

=(b
2
+c
2
- a
2
)+(c
2
+a
2
-b
2
)+(a
2
+b
2
-c
2
)
=a
2
+b
2
+c
2
=左边
2、利用正余弦定理测量和几何计算有关的实际问题.
★★例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n mile后到达海岛
B,然后从B出发,沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n m ile后达到海岛C.如果下次航行直接从
A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距 离?(角度精确到0.1
?
,距离精确
到0.01n mile)

解：在
?
ABC中，
?
ABC=180
?
- 75
?
+ 32
?
=137
?
，根据余弦定理，
AC=
AB
2
?BC
2
?2AB?BC?cos?ABC

=
67.5
2
?54.0
2
?2?67.5?54.0 ?cos137
?

≈113.15
根据正弦定理,

BC
=
AC

sin?CAB
sin?ABC
AC
sin
?
CAB =
BCsin?ABC

=
54.0sin137
?

113.15
≈0.3255,
所以
?
CAB =19.0
?
,
75
?
-
?
CAB =56.0
?

答:此船应该沿北偏东56.1
?
的方向航行,需要航行113.15n mile
★★例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向前进30m， 至点C处
测得顶端A的仰角为2
?
，再继续前进10
3
m至D点，测 得顶端A的仰角为4
?
，求
?
的大
小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在
?
ACD中，
AC=BC=30，
AD=DC=10
3
，

?
ADC =180
?
-4
?
，

?
103
=
sin2
?
30
。
?
sin(180?4
?
)
因为 sin4
?
=2sin2
?
cos2
?

cos2
?
=
?

3
,得 2
?
=30
?

2
?
=15
?
，
?

?
在Rt
?
ADE中，AE=ADsin60
?
=15
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h
在 Rt
?
ACE中,(10
3
+ x)
2
+ h
2
=30
2

在 Rt
?
ADE中 ,x
2
+h
2
=(10
3
)
2

两式相减，得x=5
3
,h=15
?
在 Rt
?
ACE中 ,tan2
?
=
?
2
?
=30
?
,
?
=15
?

h
103?x
=
3

3
答：所求角
?
为15
?
，建筑物高度为15m
第二章 数列
一、考点列举
1、数列的概念和简单表示法
2、等差数列的概念及其表示
3、等比数列的概念及其表示
4、简单数列求和
二、常考题型
1、等差数列、等比数列的概念.
★例1 已知数列{
a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p
、
q
是常数，那么这个数列是否一
定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？
分析：由等差数列的定义，要判定
?
a
n
?
是不是等 差数列，只要看
a
n
?a
n?1
（n≥2）是不
是一个与n 无关的常数。

解：当n≥2时, （取数列
?
a
n
?
中的任意相邻两项
a
n?1
与
a
n
（ n≥2））
a
n
?a
n?1
?(pn?q)?[p(n?1)?q ]
?pn?q?(pn?p?q)?p
为常数
∴{
a
n
} 是等差数列，首项
a
1
?p?q
，公差为p。
★例2 在等差数 列{
a
n
}中，若
a
1
+
a
6
= 9,
a
4
=7, 求
a
3
,
a
9
.
分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要 求通项公式，必须知
道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知 道公
差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手??
解：∵ {a
n
}是等差数列
∴
a
1
+
a6
=
a
4
+
a
3
=9
?
a
3
=9－
a
4
=9－7=2
∴ d=
a
4
－
a
3
=7－2=5
∴
a
9
=
a
4
+(9－4)d=7+5*5=32 ∴
a
3

=2,
a
9
=32
222★★例3.已知
a,b,c
依次成等差数列，求证：
a?bc,b?ac,c?a b
依次成等差数
列.
分析：要证三个数
a?bc,b?ac,c?ab成等差数列，只需证明等式：
222
即证
2(b?ac)?(a?bc)?(c? ab)
成
(b
2
?ac)?(a
2
?bc)?(c
2
?ab)?(b
2
?ac)
，
222
立.
证明：
?a,b,c
成等差数列，
?b?a?c?b?d,c?a?2d
（设其公差为
d
），
a?b?d,c?b?d
，
?
(a
2
?bc)?(c
2
?ab)?(a
2
?ab)?(c
2
?bc)?a(a?b)?c(c?b)
??ad?cd?d(c?a)?d?2d ?2d
2
.

又
b?ac?b?(b?d)(b?d)?b?(b?d)?d
，
2222 22
?
(a
2
?bc)?(c
2
?ab)?2(b
2
?ac)
，
?

a
2
?bc,b
2?ac,c
2
?ab
成等差数列.
★★例4、 等差数列
?
a
n
?
中：
（1）如果
a
5
?11,a
8
?5
，求数列的通项公式．
（2）如果
a< br>1
?a
5
?a
9
?a
15
?a
17
?117,
求
a
3
?a
11
.

分析：（1）求等差数列的通项公式只要求
a
1
、d
两个量即可．
解：（法1）由题意
?
a
5
?a
1
?4d?11
?
a
1
?19
?
?
?a
n
?19 ?(n?1)?(?2),

?
?
d??2
?
a
8
?a
1
?7d?5
故数列的通项公式为
a
n
?21 ?2n.

（法2）
a
8
?a
5
?5?11?3d ?d??2,a
5
?a
1
?4d?a
1
?19
，故
a
n
?21?2n.

分析：（2）显然不能通过已知条件求出数列 的通项公式，只有寻找已知条件和所求问题
的关系．
解：
a
1
?a
5
?a
9
?a
15
?a
17
?117?a
1
?6d?117,

而
a
3
?a
11< br>?2a
1
?12d?2(a
1
?6d)?234.

★★例5、等比数列
?
a
n
?
中
a
2
?a
7
?66,a
3
a
6
?128
，求等比数列的通项 公式
a
n
．
分析：求等比数列的首项为
a
1
，
q
两个参数即可．
解：（法1）设等比数列的道项为
a
1
，公比为
q
，由题意
6
?
a
2
?a
7
?66
?
?a
1
q?a
2
q?66,
?
?
27

?
aa?128
?
?
36
?
a
1
q?128.
以下求解
a
1
，
q
不易找到思路．
转换思路，利用等和列的性质，不难得以下解法．
（法2）设等比数列的首项为
a
1
,公比为
d
，由题意 < br>?
a
2
?a
7
?66
?
a
2
?a
7
?66,

?
??
?
a
3
a
6
?128
?
a
2
a
7
?128.< br>故
a
2
,a
7
为方程
x?66x?128?0
的两个根．
2
?
a?128,
?
a
2
?2?
a
2
?64
?
a
1
?1
?
1
解得
?
或
?
或
?
?
?
1

?
q?2
?
q?.
?
a
7
?64?
a
7
?2
2
?
所以数列通项公式为
a
n
?2
n?1
或
a
n
?2
8?n
.
★★例6、在等比数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?a
3
??20
，
a
2
?a
4
?40
，求该数列的第11
项
a
11
．

分析：首先根据已知条件求出等比数列的通项．
解：设首项为
a
1
，公比为
q
，则
2
?
?
a
1
?a
1
q??20(1)

?3
?
?
a
1
q?a
1
q?40(2)
(2)?(1)
得：
q??2
，
将
q??2
代入（1），得
a
1
??4
，
所以，
a
11
?a
1
q
10
?(?4)?(?2 )
10
??4096

2、等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式
.
★★例1、在等差数列< br>?
a
n
?
中，已知
a
6
?a
9?a
12
?a
15
?34
，求前20项之和．
分析： 本题可以用等差数列的通项公式和求和公式求
a
1
，
d
求解；也可以 用等差数列
的性质求解．
解：法一 由
a
6
?a
9
?a
12
?a
15
?4a
1
?38d?34
.由
S
20
?20a
1
?
20?19
d
2
?20a
1
?190d?5(4a
1
?38d)
?5 ?34?170

法二 由
S
20
?
(a
1
?a
20
)
?20?10(a
1
?a
20
)，而
a
6
?a
15
?a
9
?a
12< br>?a
1
?a
20
，
2
所以
a
1?a
20
?17
，所以
a
20
?10?17?170< br>
★★例2、等差数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
的前
n
项和分别为
S
n
和
T
n
，若对一切正整数
n
都有
S
n
3n?2a
，求
11
的值.
?
T
n
2n?1b
11
分析： 由
S
n< br>、
T
n
的通项公式可求得
a
n
、
b
n
的通项公式，利用等差数列前n项和公式
的特点先假设公式的形式.
解法一：令< br>S
n
?(3n?2)n?3n
2
?2n,T
n
?(2 n?1)n?2n
2
?n
，则当
n?2,n?N
时，有
a< br>n
?S
n
?S
n?1
?6n?5,b
n
?T
n
?T
n?1
?4n?1
，所以
*
a
11
6?11?561
??.

b
11
4?11?143
解法二：
a
11
2a
11
a
1
?a
21
21(a
1
?a
21
)2S
21
S
21< br>3?21?261
???????.

b
11
2b
1 1
b
1
?b
21
21(b
1
?b
21)2T
21
T
21
2?21?143
★★例3、设
?< br>a
n
?
为等差数列，
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项和，已知
S
7
?7
，
S
15
?75
，
T
n

为数列
?
?
S
n
?
?
的前
n
项 和，求
T
n
．
?
n
?
?
S
n< br>?
?
，看能否与
n
??
分析：由题设条件，不难求出
a
1
和
d
，从而可得
S
n
，再进一步探求
?
等差或等比数列沟通．
解：设等差数列
?
a
n
?
的公差为
d
，则
1
S
n
?na
1
?n(n?1)d

2< br>由
S
7
?7
，
S
15
?75
，得
?
7a
1
?21d?7,

?
?
15a
1
?105d?75,
即
?
a
1
?3d?1,

?
a?7d?5,
?
1
解得
a
1
??2
，
d?1
.
?
S
n
11
?a
1
?(n?1)d??2?(n?1)

n22
S
n?1
S
n
1
??

?
n?1n2
S
n
1
是首项为
?2
，公差为的等差数 列，
2
n
1
2
9
故
T
n
?n?n
．
44
3、具体的问题情境中识别数列的 等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相
应的问题.

?
数列
★★例1、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作
至收割完毕需用 24小时；但它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每台投入工作后都一
直工作到小麦收割完毕，如果 第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种方法收割完这片
土地上的小麦需用多少时间．
分 析：这些联合收割机投入工作的时间组成一个等差数列，按所规定的方法收割，所需
要的时间等于第一台 收割机所需的时间，即求数列的首项
解：设从每台投入工作起，这
n
台收割机工作的 时间依次为
a
1
，
a
2
，
a
3
， ?，
a
n
小时．
依题意，
a
n
是一个等差数列， 且每台收割机每小时的工作效率为
1
，则有
24n
?
a
1
?5a
n
,(1)
?

a
n
?a
1
a
2
?
24n
?
24n
?
?
2 4n
?1(2)
?

由（2），得
a
1?a
2
???a
n
?24n
，
即
n(a
1
?a
n
)
?24n
，
2
亦即
a
1
?a
n
?48
（3）
由（1），（3）得
a
1
?40

故用这种方法收割完这片土地上的全部小麦共需40小时．

★★例2、从盛满a
升（
a?1
）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升
混合 溶液后又用水填满，如此继续下去．问第
n
次操作后溶液的浓度是多少？若
a?2，至
少应倒几次后才能使酒精浓度低于
10%
？
分析：这是一道数学应 用题．解决应用问题的关键是建立数学模型，使实际问题数学
化．注意到开始浓度为1，操作一次后溶液 浓度是
a
1
?1?
1
.操作二次后溶液浓度是
a
1 1
a
2
?a
1
(1?)
，?，操作
n
次后 溶液浓度是
a
n
?a
n?1
(1?)
.则不难发现，每次操 作后溶液
aa
浓度构成等比数列，由此便建立了数列模型．解决数列问题，便可能达到解决实际 问题之目
的．
解：设每次操作后溶液浓度为数列
?
a
n
?
，则问题即为求数列的通项
a
n
?f(n)
．
111，
a
2
?a
1
(1?)
，?，
a
n< br>?a
n?1
(1?)
．
aaa
?
a
n?
构成以首项
a
1
?1?
1
，公比
q?1?< br>1
的等比数列，
aa
11
n?1
1
n
所以 ，
a
n
?a
1
q
n?1
?(1?)(1?)?(1 ?)
，
aaa
1
n
故第
n
次操作后酒精浓度是< br>(1?)

a
1
n
1
当
a?2
时， 由
a
n
?()?
，得
n?4
.
210
因此，至少应操作4次后，才能使酒精浓度低于
10%
．
依题意，知原浓度为1，
a
1
?1?
第二章 不等式及其解法
一、考点列举
1、不等式的关系及其性质
2、一元二次不等式的解法
3、二元一次不等式组与简单线性规划
4、基本不等式
二、常考题型
1、 了解现实世界和日常生活中的不等关系，会利用不等式的性质证明不等式

★★例1 已知a，b，c∈R
+
，求证：a
3
+b
3
+c
3
≥3abc．
【分析】 用求差比较法证明．
证明：a
3
+b
3
+c
3
- 3abc=[(a+b)
3
+c
3
]-3a
2
b-3ab< br>2
-3abc
=(a+b+c)[(a+b)
2
-(a+b)c+c
2
]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[a
2
+b
2
+c
2
-ab- bc-ca]

∵a，b，c∈R
+
，∴a+b+c＞0．

(c-a)]
2
≥0
即 a
3
+b
3
+c
3
-3abc≥0，∴a
3
+b
3
+c
3≥3abc．
★★例2 已知a，b∈R
+
，求证a
a
b< br>b
≥a
b
b
a
．
【分析】 采用求商比较法证明．
证明：∵a，b∈R
+
，∴a
b
b
a
＞0


★★★例3 已知a、b、c是不全等的正数，求证：
a(b
2
+c
2
)+b(c
2
+a
2
)+c(a
2
+b
2
)＞6abc．
【分析】 采用综合法证明，利用性质a
2
+b
2
≥2ab．

证明：∵b
2
+c
2
≥2bc，a＞0，∴a(b
2
+c
2
)≥2abc．
①
同理b(c
2
+a
2
)≥2abc
②
c(a
2
+b
2
)≥2abc
③
∵a，b，c不全相等，∴①，②，③中至少有一个式子不能取“=”号
∴①+②+③，得a (b
2
+c
2
)+b(c
2
+a
2
)+c (a
2
+b
2
)＞6abc．
综上所述，当a＞0，b＞0，必有 a
a
b
b
≥a
b
b
a
．
2、通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系
x
2
?8x?20
★★例1不等式
?0
的解集为
R
,求实数m
的取值范围
2
mx?2(m?1)x?9m?4
解：
当时，并不恒成立；
当时，则
得

★★例2、若函数的值域为，
求实数的取值范围
解：令，则须取遍所有的正实数，即，
而

例3、解不等式：
解： 当时，；
当时，

★★
3、会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决
例1（1）求的最大值，使式中的、满足约束
条件
（2）求的最大值，使式中的、满足约束条
件
解：（1）作出可行域 ；（2）令，
则，当直线和圆
相切时，
★★例2、制订投资计划时，不仅要考虑 可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某
投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项 目可能出的最大盈利率分别为100%
和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划 投资金额不超过10万元，要求确

保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投 资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可
能的盈利最大？
解：设分别向甲、乙两项目投资

万元，y万元，由题意知
（0,18）
（0,10） M（4,6）

（10,0）
O
（6,0）
x
目标函数
作出可行域，作直线，并作平行于直线的一组直线
，
，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线
的距离最大，这里M点是直线和0. 3x+0.1y=1.8的交点，解
方程组
解得x=4,y=6，此时z=1×4+0.5×6=7（万元） ∵7>0 ∴当x=4、y=6时z取得最大值。
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确 保亏损不超过1.8万
元的前提下，使可能的盈利最大。

4、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题
★例1设，则函数在=________时，有最小
值__________
解：
★例2下列各函数中，最小值为的是 ( )
A B ，

C D

解： D 对于A：不能保证，对于B：不能保证，
对于C：不能保证，
对于D：
★★例3 如果,则的最大值是 ( )
A B
C D
解：D 设
★★例4、一批货物随17列货车从A市以v kmh的速度匀速直达B市。已知两地铁路线长
400 km，为了安全，两列货车的间距不得小于
这批货物全部运到B市最快需要多少小时？
（货车长度忽略不计），那么

解：这批货物从A市全部运到B市的时间为