高中数学必修五 不等关系与不等式 教案

第三章 不等式
必修5 3.1 不等关系与不等式
一、教学目标
1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不
等关系；
2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不
等式的相关内容；
3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程.
二、教学重点：
用不等式 （组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）
研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于 刻画不等关系的意
义和价值.
三、教学难点：
使用不等式（组）正确表示出不等关系.
四、教学过程：
（一）导入课题
现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系
我们知道，两点之间线段最短， 三角形两边之和大于第三边，两
边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等
关系.
在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.

1

提问：
1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于).
2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述）
引入知识点：
1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫
不等式.
2.不等式
a?b
的含义.
不等式
a?b
应读作“
a
大于或者等于
b
”，其含义是指“或者
a
>
b
，
或者
a
=
b
”，等价于“
a
不小于
b< br>，即若
a
>
b
或
a
=
b
之中有一个 正确，
则
a?b
正确.
3.实数比较大小的依据与方法.
（1） 如果
a?b
是正数，那么
a?b
；如果
a?b
等于零，那么
a?b
；
如果
a?b
是负数，那么
a?b
.反之也 成立，就是（
a?b
>0
?
a
>
b
；
a? b
=0
?
a
=
b
；
a?b
<0
?
a
<
b
）.
（2）比较两个实数
a
与
b
的大小，需归结为判断它们的差
a?b
的
符号，至于差的值是什么，无关紧要 .
（二）基础练习
1.用不等式表示下面的不等关系：
（1）
a
与
b
的和是非负数；
（2）某公路立交桥对通过车辆的高度
h
“限高4m”；
解：（1）
a?b?0
；（2）
h?4
.
2.有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2.试用

2

不等式表示上述关系（用
a
和
b
分别表示 这个两位数的十位数字和个
位数字）.
解：由题意知
?
?
50?1 0a?b?60,
?
50?10a?b?60,
?
?
?50?11a ?2?60

b?a?2,b?a?2,
??
43
?a?5
.
1111
?48?11a?58?4
3.比较（
a
+3）（
a
-5） 与（
a
+2）（
a
-4）的大小.
解：（
a
+3 ）（
a
-5）-（
a
+2）（
a
-4）=（
a2
?2a?15）
-
?
a
2
?2a?6
?=-7<0,
∴（
a
+3）（
a
-5）<（
a
+2）（
a
-4）.
（三）提升训练
1.比较
x
2< br>?3
与
3x
的大小，其中
x?
R.
222
?
2
3
?
33
?
3
?
?
?
3
??
解：
?
x?3
?
?3x?x?3x?3?
?
x?3x?
??
?
?
??
?3?
?
x?
?
??

2
?
44
?
2
?
?
?
?
??
?
2
?
22
?0
，
?x
2
?3?3x
.
方法总结：两个实数比较大小，通常用作差法来进行，其一般步
骤是：
第一步：作差 ；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变
形手段，将差化积；第三步：定号.最后得出结论.
2.小明带了20元钱去超市买笔记本和钢笔.已知笔记本每本2元，钢
笔每枝5元.设他所能 买的笔记本和钢笔的数量分别为
x
，
y
，则
x
，
?
2x?5y?20,
?
y
应满足关系式
?
x?N,

?
y?N.
?
3.一个盒中红、白、黑三种球分别有
x
个、
y
个、
z
个，黑球个数至
少是白球个数的一半，至多是红球的，白球 与黑球的个数之和至少

3
1
3

为55 ，使用不等式将题中的不等关系表示出来（
x,y,z?
N
*
）.
y
?
x
?
?z?,
解：
?
32

?
?
y?z?55.
（四）课后巩固
p74
练习题：1,2.
p75
习题3.1 A组：1,2.

4