高中数学必修五第三章

高中数学必修五第三章
不等式知识点归纳
一、两实数大小的比较：
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a?b
．
二、不等式的性质： ①
a?b?b?a
；②
a?b,b?c?a?c< br>；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?bd
；⑦
a?b?0?a
n?b
n
?
n??,n?1
?
；
⑧
a?b?0 ?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
三、基本不等式定理
a
2
?b
2
1、整式形式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
ab?
?
a ,b?R
?
；
2
22
a
2
?b
2
?
a?b
?
?
a?b
?
③
ab?
??
?
?
?
a?0,b?0
?
；④
?
?
a,b?R
?

22
2
??
??
a?b< br>?ab
（
a?0
，
b?0
）②a+b
?
（2 a
2
?b
2
)

2
ba
3、分式形式：+
?
2（a、b同号）
ab
11
4、倒数形式：a>0
?
a+
?
2 ；a<0
?
a+
?
-2
aa
2、根式形式：①
2
2
a?b
四、公式：
?
ab
??
11
2< br>?
ab
2
a
2
?b
2

2
五、极值定理：设
x
、
y
都为正数，则有
s< br>2
⑴若
x?y?s
（和为定值），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x ?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．
六、解不等式
1、一元一次不等式： ax>b（a
?
0）的解：当a>0时，x>
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bb
；当a<0时，x<；
aa

高中数学必修五第三章
2、一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．



3、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b?4ac

2
??0

??0

??0

二次函数
y?ax?bx?c

2
?
a?0
?
的图象

有两个相异实数根
一元二次方程
ax?bx?c?0

2


?
a?0
?
的根
ax
2
?bx?c?0

一元二次
不等式的
解集
?b??
x
1,2
?

2a
有两个相等实数根x
1
?x
2
??
?
x
1
?x
2
?

b

2a
没有实数根
?
xx?x或x?x
?
12
?
a?0
?

ax
2
?bx?c?0


?b?
xx??
??

2a
??
R

?
a?0
?

?
xx
1
?x?x
2
?

?

?

4、解一元二次不等式步骤：一化：化二次项前的系数为整数
二判：判 断对应方程的根，三求：求对应方程的根，四画：画出对应函数的图像，五解集：根据图像
写出不等式的 解集
5、解分式不等式：
?
f(x)g(x)?0
f(x)f(x)>0
?
f(x)g(x)>0
?
0
?
?
g(x)g(x)
?
g(x)?0
6、解高次不等式：(x-
a< br>1
)(x-
a
2
)…（x-
a
n
）>0
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7、解含参数的不等式： 解形如a
x
2
+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有：（1）讨论a与0的大小
（2）讨论
?
与0的大小（3）讨论两根的大小
七、一元二次方程根的分布问题：
方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对 称轴、函数值三个角度列出不等式组，总
之都是转化为一元二次不等式组求解。
?
?
f(k)?0
1、
x
?
b
1
<
x
2
?
?
??k

?
2a
?
?
??0

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?
?
f(k)?0
2、k <
x
?
?
?
?
b
1
<
x
2
?k
?
2a
?
?
??0
3、
x
1
x
2
?
f(k)<0
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?
?
f（k
1
)?0
f(k)?0
4、
k
?
?
2
1
<
x
1
<
x
2
<
k
2
?
?
?
??0
?
?
?
k
1??
b
2a
?k
2
5、、
x
1
<k
1
<
k
2
<
x
f（k
1
) ?0
2
?
?
?
(k

?
f
2
)?0
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?
f（k
1
)?0
?
6、
k
1
<
x
1
<
k
2
<
x
2
<
k
3
?

?
f(k
2
)?0

?
f(k)?0
3
?



八、线性规划问题
1、定义：

线性约束条件：由
x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约 束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解
2、区域判断
在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平 面内的点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
， 则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
? x??y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y< br>0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
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高中数学必修五第三章
在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域．
② 若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0下方的区域；
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区 域．
3、解线性规划问题的一般步骤
第一步：在平面直角坐标系中做出可行域
第二步：在可行域内找出最优解所对应的点
第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值
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