高中数学必修5知识结构框图

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高中数学（必修5）
知识结构框图
第一章 解三角形
任
意
三
角
形
的
边
角
关
系
正
弦
定
理
距离问题
abc

??
sinAsinBsinC
解
三
角
形
高度距离
余
弦
定
理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
b?c?a?2 cacosB

c
2
?a
2
?b
2
?2a bcosC
222
角度问题
几何计算问题
三角形面积公式：
b ?c?a
2bc
c
2
?a
2
?b
2
cosB?
2ca
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
cosA?
222
1
absinC
21
　　?bcsinA

2
1
　　?casinB
2
S
V
?









.

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第二章 数列
定义：
a
n?1
?a
n
?d

等差中项：
A?
a?b

2
等
差
数
列
通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d

若
m?n?p?q
则：
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

前n项和：

数



列
n(a
1
?a
n
)

2
n(n?1)
S
n
?na
1
?d
2
S
n
?
定义：
a
n?1
?q(q?0)
a
n
数
列
的
应
用
等比中项：
G?ab

等
比
数
列
n?1
通项：
a
n
?a
1
q

2
若
m?n?p?q
则：
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

(q?1)
前n项和：
S
n
?na
1
　　
a
1
(1?q
n
)
a
1
?a
n
q
S
n
??(q?1)
1?q1?q


.

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第三章 不等式
不等式基本性质：（1）
a?b?b?a
（反身性）
（2）
a?b,b?c?a?c
（传递性）
(3)
a?b?a?c?b?c
（平移性）
(4)
a?b,c?0 ?ac?bc;a?b,c?0
?ac?bc
（伸缩性）
(5)
a?b,c?d?a?c?b?d
（叠加性）
(6)
a?b?0
,c?d?0
?
ac?bd
（叠乘性）
(7)
a?b?0
?a?b(n?N*,n≥２)
（乘方性）
(8)
a?b?0
?
n
nn
a?
n
b( n?N*,n≥2)
（开方性）
一元
一次
不等
式
ax?b?0(a?0)
ax?b?0(a?0)

不
等
关
系
不
等
式
一元
二次
不等
式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
ax?bx?c?0(a?0 )
2

三个
“二
次”之
间的
关系
P77
二元
一次
不等
式
（组）
不等式表示的平面区域P84
约束条件；
目标函数；
可行域；
最优解。
简单的线性规划问题
基
本
不
等
式
ab≤
a?b
(a?0,b?0)

2
最值
问 题
一“正”；
二“定”；
三“相等。

.

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第1讲 第1章 §1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征
¤知识要点：
结 构 特 征
（1）两底面相互平行，
棱其余各面都是平行四边
柱 形；
（2）侧棱平行且相等.
（1）底面是多边形，各
棱侧面均是三角形；
锥 （2）各侧面有一个公共
顶点.

（1）两底面相互平行；（2）侧面的母
线平行于圆柱的轴；
圆
（3）是以矩形的一边所在直线为旋转
柱
轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的
几何体.
（1）底面是圆；（2）是以直角三角形
圆的一条直角边所在的直线为旋转轴，其
锥 余两边旋转形成的曲面所围成的几何
体.
图例


（1）两底面相互平行；
（1）两底面相互平行；
棱（2）是用一个平行于棱圆
（2）是用一个平行于圆锥底面的平面
台 锥底面的平面去截棱锥，台
去截圆锥，底面和截面之间的部分.
底面和截面之间的部分.
球
（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所在直线为
旋转轴， 半圆面旋转一周形成的几何体.


第2讲 §1.1.2 简单组合体的结构特征
¤例题精讲：【例1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 选D.
【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为
r,R
，求球的半径.
解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R+r，梯形的高即球的直径为
(r?R)
2
?(R?r)
2
?2rR
，
所以，球的半径为
rR
.
第4讲 §1.2.3 空间几何体的直观图
¤知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在 坐
标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 ，得到直
角坐标系
xoy
，直观图中画成斜坐标系
x'o'y'
，两 轴夹角为
45?
.(2）平行不变：已知图形中平行于x轴或
y轴的线段，在直观图中 分别画成平行于x’或y’轴的线段.（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，
在直观图中保持 长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
第5讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积
¤学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式） ；能运用柱、锥、台的表面积进
行计算和解决有关实际问题.
¤知识要点：
表面积相关公式 表面积相关公式
棱柱
棱锥
棱台
S
全?S
侧
?2S
底
，
其中S
侧
?l
侧棱 长
gc
直截面周长

圆柱
圆锥
圆台
S
全
?2
?
r
2
?2
?
rh
（r：底面半径，h：高）
S
全
?
?
r
2
?
?
rl
（r：底面半径，l：母线长）
S
全
?S
侧
?S
底

S
全
?S
侧
?S
上底
?S
下底

S
全
?
?
(r'
2
?r
2
?r' l?rl)

（r：下底半径，r’：上底半径，l：母线长）
第6讲 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积
¤知识要点：1. 体积公式：

棱柱
棱锥
体积公式
圆柱
圆锥
体积公式
V?S
底
gh
高

1
V?S
底
gh
高

3
V?
?
r
2
h

1
V?
?
r
2
h

3
.

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棱台
1
V?(S'?S'S?S)h

3
圆台
1
V?
?
(r'
2
?r'r?r
2
)h

3
2. 柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当 台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；
当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成 了柱体. 因而体积会有以下的关系：
11
S'?0S'?S
?

V
台
?(S'?S'S?S)h

????

V
柱
?Sgh
.
V
锥
?Sgh

???
33
第7讲 §1.3.2球的体积和表面积
¤知识要点：1. 表面积：
S
球面
?4
?
R
（R：球的半径）. 2. 体积：
V
球面
?
2
4
3
?
R
.
3
第8讲 §2.1.1 平面
¤知识要点：
1. 点
A< br>在直线上,记作
A?a
；点
A
在平面
?
内,记作A?
?
；直线
a
在平面
?
内,记作
a?
?
.
2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：

公理1 公理2 公理3


如果一条直线上的两点在过不在一条直线上的三点，有
文字
一个平面内，那么这条直线且只有一个平面.
语言
在此平面内.
A ?l,B?l
?
A,B,C不共线?
符号
?l?
?


?
语言
A?
?
,B?
?
?
A ,B,C确定平面
?
3.公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
¤知识要点：
?
?
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
?
?
1.空间两条直线的位置关系：
?

?
平行直线：同一平面内，没有公共点；
?
?
异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点.
图形
语言

如果两个不重合的平面有一个公
共点，那么它们有且只有一条过该
点的公共直线. < br>?
?
I
?
?l
P?
?
,P?
??
?

P?l
?
第9讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
2. 已知两条异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
a
?
a,b
?
b
，把
a
?
,b
?
所成的锐角（或直角）
叫异面直线
a,b
所成的角（或夹角）.
a
?
,b
?
所成的角的大小与点
O
的选择无关，为了简便，点
O
通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为
(0,90?]
，如果两条异面直线所成的角
是直角，则叫两条异面直线垂直，记作< br>a?b
. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：
选点→平移→定角→计算.
第19讲 §3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
¤知识要点：1. 对于两条不重合的直线
l
1
、
l
2
，其斜率分别为
k
1
、
k
2
，有：
（1）
l
1
l
2
?
k
1
?k
2
；（2）
l
1
?l
2
?
k
1
?k
2
??1
.
2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；….
第20讲 §3.2.1 直线的点斜式方程
¤知识要点：
1. 点斜式：直线
l
过点
P
0
(x
0
,y
0
),且斜率为k，其方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
.
2. 斜截式：直线
l
的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为
y?kx?b
.
3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线
l
过点
P
0
(x
0
,y
0
)
且与x轴垂直,此时它的倾斜
角为 90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为
x?x
0
?0< br>，或
x?x
0
.
4. 注意：
y?y
0
?k
与
y?y
0
?k(x?x
0
)
是不同的方程， 前者表示的直线上缺少一点
P
0
(x
0
,y
0
)< br>，
x?x
0
后者才是整条直线.
.

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第21讲 §3.2.2 直线的两点式方程
¤知识要点：
y?y
1
x?x
1
，
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
2 . 截距式：直线
l
在x
、
y轴上的截距分别为a
、
b，其 方程为
??1
.
ab
3. 两点式不能表示垂直x
、
y轴 直线；截距式不能表示垂直x
、
y轴及过原点的直线.
x
1
?x
2
y
1
?y
2
4. 线段
P
,)
.
1
P
2
中点坐标公式
(
22
第22讲 §3.2.3 直线的一般式方程
1. 两点式：直线
l
经过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
，其方程为
¤知识要点：
1. 一般式：注意A
、
B不同时为0. 直线一般式方程
Ax?By?C?0(B?0)< br>Ax?By?C?0
，
化为斜截式方程
y??
AC
AC
x?
，表示斜率为
?
，y轴上截距为
?
的直线.
BB
BB
2 与直线
l:Ax?By?C?0
平行的直线，可设所求 方程为
Ax?By?C
'
?0
；与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线，可设所求方程为
Bx?Ay?C
'
?0
. 过点
P(x
0
,y
0
)
的直线可写为
A(x?x
0
) ?B(y?y
0
)?0
.
经过点
M
0
，且平行于 直线l的直线方程是
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
；
经过点
M
0
，且垂直于直线l的直线方程是
B(x?x
0
)?A(y?y
0
)?0
.
3. 已知直线
l
1
,l
2
的方程分别是：
l
1
:A
1
x? B
1
y?C
1
?0
（
A
1
,B
1
不同时为0），
，则两条直线的位置关系可以如下判别：
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
（
A
2
,B
2
不同时为0）
（1）
l
1
?l
2< br>?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
； （2）
l
1
l
2
?A
1
B
2< br>?A
2
B
1
?0,AC
12
?A
2
B
1
?0
；
（3）
l
1
与
l
2
重合
?A
1
B
2
?A
2
B
1?0,AC
1
B
2
?A
2
B
1
?0< br>.
12
?A
2
B
1
?0
； （4）
l
1
与
l
2
相交
?A
如果
A
2
B
2
C
2
?0
时，则
l
1
l2
?
A
1
B
1
C
1
ABC
；
l
1
与
l
2
重合
?
1
?
1
?
1
；
l
1
与
l
2
相交
??
A
2
B
2
C
2
A
2
B2
C
2
?
A
1
B
1
.
?
A
2
B
2
第23讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标
?
A
1
x?B
1
y?C
1< br>?0
¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组
?
. 若
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组有惟一解，则两条直线相交 ，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，
此时两条直线平行；若方程组有无数解， 则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
2. 方程
?
(A
1x?B
1
y?C
1
)?(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就
是
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点.
第24讲 §3.3.2 两点间的距离
¤知识要点：1. 平面内两点
P
1
(x1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
, y
2
)
，则两点间的距离为：
22
|PP
12
|? (x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
.
特别地，当
P
1
,P
2
所在直线与x轴平行时，|PP
12
|?|x
1
?x
2
|
；当
P
1
,P
2
所在直线与y轴平行时，
2
|PP
12
|?1?k|x
1
?x
2
|
.
12
|? |y
1
?y
2
|
；当
P
1
,P
2
在直线
y?kx?b
上时，
|PP
2. 坐标法解决问题的基本步骤 是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运
算；（3）把代数运算的结果“翻译 ”成几何关系.
第25讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离
|Ax
0
?By
0
?C|
¤知识要点：1. 点
P (x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的 距离公式为
d?
.
22
A?B
2. 利用点到直线的距离公式，可 以推导出两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0
，.

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A?B
P(x
0
,y
0
)
，则
Ax
0
?By
0
?C
2
? 0
，即
Ax
0
?By
0
??C
2
. 这时 点
P(x
0
,y
0
)
到直线
|Ax
0?By
0
?C
1
|
|C
1
?C
2|
.
l
1
:Ax?By?C
1
?0
的距离为
d??
2222
A?BA?B
第26讲 第4章 §4.1.1 圆的标准方程
¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程
(x?a)
2
?(y ?b)
2
?r
2
(r?0)
表示圆心为A（a，b），半径
长为r的圆.
2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出
标准方程； < br>（2）待定系数法：先根据条件列出关于a、b、r的方程组，然后解出a、b、r，再代入标准
方程.
第27讲 §4.1.2 圆的一般方程
¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（
D
2
?E
2
?4F?0
）表示圆心
DE1
是
(?,?)
，半径长为
D
2
?E
2
?4F
的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标
(x,y)
满足
222
的关系式.

第28讲 §4.2.1 直线与圆的位置关系
¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成
的方程组，消去x或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；
|Aa?Bb?C|
方法二：利用圆心（< br>a,b
）到直线
Ax?By?C?0
的距离
d?
，比较d与r 的大小.
22
A?B
（1）相交
?d?r
?

? ?0
；（2）相切
?d?r
?
??0
；（3）相离
?d?r
?
??0
.
2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时， 我们要熟记直线与圆的各种方程、几何
|Ax
0
?By
0
?C|性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式
d?

A
2
?B
2
第29讲 §4.2.2 圆与圆的位置关系
¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为
O
1
,O
2
，半径分别为
r
1
,r
2
，则：
（1）两圆 相交
?|r
1
?r
2
|?|O
1
O
2|?r
1
?r
2
；（2）两圆外切
?|O
1
O
2
|?r
1
?r
2
；（3）两圆内切
?|O
1
O
2
|?|r
1
?r
2
|
；
l
2
:Ax?By?C
2
?0
之间的距离公式
d?
|C
1
?C
2
|
22
，推导过程为：在直线
l< br>2
上任取一点
第30讲 §4.2.3 直线与圆的方程的应用
¤知识要点 ：坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐
标之间的运算，由此 解决几何问题

.