高中数学必修5全册学案(整理含答案)

高中数学必修5全册学案（整理含答案）
1.1.1 正弦定理(1)
【学习目标】
1．通过对直角三角形边角间数量关系的研究,发现正弦定理.
2．能够利用向量方法证明正弦定理,并运用正弦定理解决两类解三角形的简单问题.
【重点难点】
1．重点:正弦定理的发现,证明及其简单应用.
2．难点:正弦定理的应用.
【学习过程】
一、自主学习：
任务1:在直角三角形中三角形的边与角之间有什么数量关系呢?
____________ ______________________________________.
任务2:在问题1中发现的关系式对一般的三角形是否成立呢?
正弦定理:_________________________.
二、合作探究归纳展示
探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边
的等 式关系. 如图，在Rt
?
ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，
有
abc
?sinA
，?sinB
，又
sinC?1?
，
ccc
abc
．
??
sinAsinBsinC

从而在直角三角形ABC中，
探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当
?
ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，
有CD=
asinB?bsinA
，则
同理可得
从而
ab< br>，
?
sinAsinB
cb
，
?
sinCsinB

c
ab
．
?
?< br>sinAsinB
sinC

类似可推出，当
?
ABC是 钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你推试导.
三、讨论交流点拨提升
在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即
c
ab
．
?
?
sinAsinB
sinC

（1）正弦定理说明同一 三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即
存在正数k使
a?ksinA
， ，
c?ksinC
；
（2）
cac
abcb
等价于 ，，．
??
??
sinAsinB
sinC
sinCsinB
sinAsi nC
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a?
bsinA
；
b?
．
sinB
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，
a
如
sinA?sinB
；
sinC?
．
b
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．
例1. 在
?ABC
中，已知
A?45
，
B?60
，
a?42
cm，解三角形．


变式：在
?ABC中，已知
B?45
，
C?60
，
a?12
cm，解三角 形．


例2. 在
?ABC中，c?6,A?45,a?2,求b和B,C
．


变式：在
?ABC中，b?3,B?60,c?1,求a和A,C
．


四、学能展示课堂闯关
知识拓展
abc
???2R
，其中
2R
为外接圆直径
sinAsinBsinC

1. 在
?ABC
中，若
cosAb
?
，则
?ABC
是（ ）.
cosBa
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，
则a∶b∶c等于（）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2 C．1∶1∶
3
D．2∶2∶
3

3. 在△ABC 中，若
sinA?sinB
，则
A
与
B
的大小关系为（ ）.
A.
A?B
B.
A?B

C.
A
≥
B
D.
A
、
B
的大小关系不能确定
4. 已知
?
ABC 中，
sinA:sinB:sinC?1:2:3
，则
a:b:c
= ．
5. 已知
?
ABC中， A
?60?
，
a?3
，则
a?b?c
= ．
sinA?sinB?sinC
五、学后反思
1. 正弦定理：
c
ab

?
?
sinAsinB
sinC
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，
②等积法，③外接圆法，④向量法.
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．

【课后作业】
1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝
120?
，解此三角形．
2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．

1.1.1 正弦定理(2)
【学习目标】
1.正弦定理及其拓展.
2.已知两边和其中一边的对角,判断三角形时解的个数.
3.三角形面积公式.
【重点难点】
重点:正弦定理的应用.
难点:正弦定理的应用.
【学习过程】
一、自主学习：
任务1: 正弦定理:_____ ______________ ____.

任务2: 正弦定理的变形公式：_________________________.

二、合作探究归纳展示
问题1.在
?ABC
中,已知
a?20,b ?28,A?40
0
,求
B
(精确到
1
)和
c(保留两个有效数
字)


问题2.如图课本2-7(1)所示,在< br>Rt?ABC
中,斜边
AB
是
?ABC
外接圆的直径(设0
Rt?ABC
外接圆的半径为
R
)因此
abc
??? 2R
.这个结论对于任意三角
sinAsinBsinC
形(课本图2-7(2),图 2-7(3))是否成立?


0
问题3.在
Rt?ABC
中,
C?90
,则
?ABC
的面积
S?
1
ab< br>.对于任意
?ABC
,已知
a,b
及
2
C
, 则
?ABC
的面积
S?


三、讨论交流点拨提升
1
absinC
成立吗?
2

例1.在
?A BC
中,角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
.已知
a ?2
,
b?3
,
A?45
0
,求角
B
.


小结:在
?ABC
中,已知
a,b
和
A
时求角
B
的各种情况:
(1)角
A
为锐角: ①若
a?bsinA
,则一解. ②若
bsinA?a?b
,则两解.
③若
a?b
,则一解
(2)角
A
为直角
a?b
,则一解.
(3)角
A
为钝角
a?b
,则一解.

例2在< br>?ABC
中,角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
.已知
A?30
0
,c?23,b?2
,求
?ABC
的面积.


四、学能展示课堂闯关
知识拓展
在
?
ABC中，已知
a,b,A
，讨论三角形解的情况 ：①当A为钝角或直角时，必须
a?b
才
能有且只有一解；否则无解；
②当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a?b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a?bsinA
，则有两解；
（2）若
a?bsinA
，则只有一解；
（3）若
a?bsinA
，则无解．
?ABC
的面积
S?
1
absinC
=________=______________
2
a?b
sinA2
则的值=（ ）.
?
，
b
sinB3
1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且
1245
A. B. C. D.
33
33
2. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.
A．135° B．90° C．120° D．150°
3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.

A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
4


五、学后反思
小结:在
?A BC
中,已知
a,b
和
A
时求角
B
的各种情况:
（1）.角
A
为锐角: ①若
a?bsinA
,则一解. ②若
bsinA?a?b
,则两解.
③若
a?b
,则一解
(2).角
A
为直角
a?b
,则一解.
(3).角
A
为钝角
a?b
,则一解.
. 已知△ABC中，
bcosC?ccosB
，试判断△ABC的形状 ．
?ABC
的面积
S?

【课后作业】
1
absinC
=________=______________
2
1. 在
?
ABC中，

a?xcm
，
b?2cm
，
?B?45?
，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x
的取值 范围．
1a
2
?b
2
?c
2
2. 在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且满足
absinC?
，求角C．
24

1.1.2 余弦定理(1)
【学习目标】
1. 掌握余弦定理的两种表示形式；
2. 证明余弦定理的向量方法；
3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．
【重点难点】
1．重点:余弦定理的证明及其应用.
2．难点:理解余弦定理的作用及其适用范围.
【学习过程】
一、自主学习：
问题:在三角形中,已知两角及一边,或已知两边和 其中一边的对角,可以利用正弦定理求其
他的边和角.那么,已知两边及其夹角,怎么求出此角的对边呢 ?已知三条边,又怎么求出它的
三个角呢?
余弦定理：
a
=____________
2
求角公式：
cosA?
____________
b
2
= ____________
cosB?
____________
c
2
=_____________
cosC?
____________
二、合作探究归纳展示
探究新知
问题：在
?ABC
中，
AB
、
BC
、
CA
的长分别为
c
、
a
、
b
.
∵
AC?
，
C
∴
AC?AC?






同理可得：
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
，

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
．
A
b
c
a
B
新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的
夹角的 的积的两倍．
思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2
， ，
cosA?
2bc
．
三、讨论交流点拨提升

（1）若C=
90?
，则
cosC?
，这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

例1. 在△ABC中，已知
a?3
，
b?2
，
B?45
，求
A,C
和
c
．


变式：在△ABC中，若AB＝
5
，AC＝5，且cosC＝


例2. 在△ABC中，已知三边长
a?3
，
b?4
，
c? 37
，求三角形的最大内角．


变式：在
?
ABC中， 若
a
2
?b
2
?c
2
?bc
，求角A．


四、学能展示课堂闯关
知识拓展
在△ABC中，
若
a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是直角；
若
a
2
?b
2
?c
2
，则角< br>C
是钝角；
若
a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是锐角．
1. 已知a＝
3
，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）.
9
，则BC＝_______．
10

A.
3422
B.
34
C. D.
22

22
2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.
A．
60
B．
75
C．
120
D．
150

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.
A．
5?x?13
B．
13
＜x＜5
C． 2＜x＜
5
D．
5
＜x＜5
AB
与
AC
的夹角为60°，4. 在△ABC中，|
AB
|＝3，|
AC
|＝2，则|
AB
－
AC
|＝______ __．
5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足
b
2
?a
2
?c
2
?ab
，则∠C等于
五、学后反思
1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
2. 余弦定理的应用范围：
① 已知三边，求三角；
② 已知两边及它们的夹角，求第三边

【课后作业】
1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝

2. 在△ABC中， AB＝5，BC＝7，AC＝8，求
AB?BC
的值．















13
，求最大角的余弦值．
14

1.1.2 余弦定理(2)
【学习目标】
1. 利用余弦定理求三角形的边长.
2. 利用余弦定理的变形公式求三角形的内角.
【重点难点】
灵活运用余弦定理求三角形边长和内角
【学习过程】
一、自主学习：
任务1:
余弦定理 ：
a
=____________
2



b
2
= ____________
c
2
=_____________
任务2:
求角公式：
cosA?
____________
cosB?
____________
cosC?
____________
二、合作探究归纳展示
1. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.
A．135° B．90° C．120° D．150°
2. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加长度决定
3. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosB＝ ．
4. 已知△ABC中，
bcosC?ccosB
，试判断△ABC的形状
三、讨论交流点拨提升
例1. 在
?ABC
中，已知
sinA?2 sinBcosC
,试判断该三角形的形状.
分析：题目中有
sinA,sinB< br>，很容易想到________定理，之后再利用______定理建立关系.


例2. 在
?ABC
中，已知角
A,B,C
所对的三边长分别为a,b,c
，且
a?2
，

c?3,cosB?

1.求
b
的值.
1
。
4
2.求
sinC
的值.



分析：（1）由余弦定理
b
= ____________即可得到
（2） 由余弦定理
cosC?
____________，再利用同角三角函数的_______关系 可得
到 .
例3.已知
a,b,c
为?ABC
的三边，其面积
S
?ABC
?123
,
bc? 48,

2
b?c?2
.求
a
.
分析：由三角形 的面积公式_________可求得_________，再利用______定理求得
a
.


四、学能展示课堂闯关
知识拓展
若C=
90?
，则
cosC?
，这时c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例
利用它可以判断三角形状
1．若
a
2
?b
2
?c
2
，则角
C
是直角；
2．若
a
2
?b
2
?c
2< br>，则角
C
是钝角；
3．若
a
2
?b
2?c
2
，则角
C
是锐角
课堂检测
1. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.
A．
60
B．
75
C．
120
D．
150

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.
A．
5?x?13
B．
13
＜x＜5
C． 2＜x＜
5
D．
5
＜x＜5


五、学后反思

余弦定理 ：
a
=____________
2
求角公式：
cosA?
____________
b
2
= ____________
c
2
=_____________



【课后作业】
cosB?
___________
cosC?
____________
sinB?sinC
,试判断
?ABC
的形状.
cosB?cos C
02
（2）已知
?ABC
中，
A?60
，最大边和最小边 的长是方程
3x?27x?32?0
的两实根，
（1）在
?ABC
中 ，若
sinA?
求边
BC
的长.

1.2 应用举例(第1课时)
学习目标
1 .能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题,了解
常用的测量相关术 语.
2.体会数学的应用价值;同时提升运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数
学问题的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:在日常生活和工农业 生产中,为了达到某种目的,常常想测得一个点与另一个不
可到达的点间的距离或在远处的两个物体之间 的距离,这样的想法能实现吗?如何实现呢?
例如:一个世代被大山阻隔的小山村,在无法承载贫穷重 负和生命重压之下,毅然决然以
一己之力,用比较落后的方式,开始了一段长达五年的艰难的开山之旅. 他们经历了令人难以
想象的风险,终于打通了一条长400米的隧道,从而大大拉近了闭塞小山村与现代 大都市的
时代距离.试思考,在隧道未打通之前,我们如何测量小山村与大都市的距离?


二、信息交流,揭示规律
学习了正弦定理、余弦定理后,上述所提的问题是能够实 现的.有时由于条件所限,需要
测量像一个点与河对面一点或船到礁石这类不可到达点的距离时,一般作 法是在河这边或主
航道上发生一段位移,从两个不同地点测出到这个不能到达点的视角及这段位移的长度 ,从
而通过计算得出答案.该作法只将实际问题转化为一个数学问题:已知一个三角形的两角及
夹边,要求这个三角形的其中一边,显然只要根据正弦定理,就可以达到目的.
例如:当我们想在河这 边测出河对面两点之间距离的时候,往往可以这样做:在河这边的
两个不同的地点分别测出望河对面两点 及另一地点的视角,再结合这两个地点之间的距离,
通过应用正弦定理、余弦定理计算求得河对面两点之 间的距离.
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确作出图形,把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解.
三、运用规律,解决问题

【例1】如图,设A,B两点在河的两岸 ,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在所
在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m, ∠BAC=51°,∠ACB=75°.求A,B两点的距离
(精确到0.1m).



问题1:在△ABC中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较恰当?



问题2:运用该定理解题还需要哪些边和角呢?请学生回答.



四、变式训练,深化提高

【例2】如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量A,B两点间距离的方法.



五、限时训练
1.海上有A,B两个小岛相距10海里,从 A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛
和A岛成75°视角,则B,C间的距离是( )
A.10海里
C.5海里
B.海里
D.5海里

2.某人朝正东方向走x km后,向右转150°,然后朝新方向走3km,结果他离出发点恰好
km,那么x的值为 .

3.如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在点A所在的河岸边选定一点C,测出AC的 距
离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A,B两点的距离为 m.
4.为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A和B,望对岸的标记物C,测得∠CAB=45° ,∠
CBA=75°,AB=120m,求河的宽度.




六、反思小结,观点提炼
解三角形应用题的一般步骤:




参考答案
一、略
二、略
三、运用规律,解决问题
【例1】解:根据正弦定理,得,
AB=≈65.7(m).
答:A,B两点间的距离为65.7米.
问题1:从题中可以知道角A和角C,所以角B就可 以知道,又因为AC可以量出来,所以应
该用正弦定理.
问题2:这是一道关于测量从一个可 到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,
题目条件告诉了边AB的对角,AC为已知边,再根据 三角形的内角和定理很容易根据两个已知

角算出AC的对角,应用正弦定理算出AB边.
四、变式训练,深化提高

【例2】解:测量者可以在河岸边选定两点C,D,测得 CD=a,并且在C,D两点分别测得∠
BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ,在 △ADC和△BDC中,应用正弦定理得
AC=,
BC=.
计算出AC和BC后,再在△ABC中,应用余弦定理计算出A,B两点间的距离
AB=.
五、限时训练
1.D 2.或2 3.50

4.解:如图,在△ABC中,由已知,可得
AC==20(3)(m),
设C到AB的距离为CD,CD=AC=20(+3)(m),
所以河的宽度为20(+3)m.
六、反思小结,观点提炼
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
(2)建模:根据已知条件与求解目 标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建
立一个解三角形的数学模型;
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

1.2 应用举例(第2课时)
学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高 度测
量的问题.
2.本节课是解三角形应用举例的延伸.可以在温故知新中学会正确识图、画 图、想图,
逐步构建知识框架.
3.进一步提升学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力.
合作学习
一、设计问题,创设情境
塞乐斯生于公元前624年,是古希腊第一位闻名世界的大数学家. 他原是一位很精明的
商人,靠卖橄榄油积累了相当财富后,塞乐斯便专心从事科学研究和旅行.他游历埃 及时,曾
用一种巧妙的方法算出了金字塔的高度,使古埃及国王阿美西斯钦羡不已.
塞乐斯的 方法既巧妙又简单:选一个天气晴朗的日子,在金字塔边竖立一根小木棍,然后
观察木棍阴影的长度变化 ,等到阴影长度恰好等于木棍长度时,赶紧测量金字塔影的长度,因
为在这一时刻,金字塔的高度也恰好 与塔影长度相等.
设问:现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度的呢?又是怎样在 水平
飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度的呢?今天我们就来共同探讨这方面的问题.
二、信息交流,揭示规律
思考:解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题和解决距离 问题是否具有一定
的相似性?


三、运用规律,解决问题
【例1】 AB是底部B不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点,设计一种测量建筑
物高度AB的方法.

问题1:这个建筑物就不好到达它的底部去测量,如果 好到达的话,那直接用尺子去量一
下就行了,那么大家思考一下如何去测量这个建筑物的高呢?



问题2:求AB长的关键是先求AE,那如何求AE?



问题3:通过以上讨论问题就转化成如何去求CA的长?



问题4:通过这道题我们是不是可以得到一般的求解这种建筑物的高的方法呢?







【例2】如图,在山顶铁塔上B处测 得地面上一点A的俯角α=54°40',在塔底C处测得
A处的俯角β=50°1'.已知铁塔BC部 分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m).

问题5:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗?若在△ABD中求CD的长,则关键需要求
出哪条 边呢?



四、变式训练,深化提高

【例3】如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路南侧远处一
山顶D在西偏北15°的方向 上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北25°的方向上,
仰角为8°,求此山的高度CD.




问题6:欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢?




问题7:在△BCD中,已知BD或BC都可求出CD,根据条件,易计算出哪条边的长?

练习:用同样高度的 两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空,分别
测得气球的仰角α和β,已知BD 间的距离为a,测角仪的高度为b,求气球的高度.




五、限时训练
1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的仰角为β,则α,β的关系为( )
A.α>β B.α+β=90° C.α=β D.α+β=180°

2. 如图,三点B,C,D在地面的同一直线上,DC=a,在D,C两点测得点A的仰角分别为
α,β(α >β),则点A离地面的高为( )
A.
C.
B.
D.
3.在200m的山顶上,测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为
( )
A.m B.m C.m D.m
4.在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ, 沿BE方向前进30m至点C处测得顶
端A的仰角为2θ,再继续前进10m至D点,测得顶端A的仰角 为4θ,则θ= .
5.飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海拔20 250m,速度为
180kmh,飞行员先看到山顶的俯角为18°30',经过120秒后又看到山顶 的俯角为81°,求山
顶的海拔高度(精确到1m).

六、反思小结,观点提炼
解三角形应用题的一般步骤:

参考答案
三、运用规律,解决问题
【例1】解:选择一条水平基线HG,使H,G ,B三点在同一条直线上.由在H,G两点用测角
仪器测得由C,D两点观察A的仰角分别是α,β,C D=a,测角仪器的高是h,那么,在△ACD中,
根据正弦定理可得AC=,AB=AE+h=ACs inα+h=+h.
问题1:要求建筑物AB的高,只要能把AE的长求出来,然后再加上测角仪的高 度EB的长
就行了.
问题2:由解直角三角形的知识,在△ADC中,如能求出C点到建筑物 顶部A的距离CA,再
测出由C点观察A的仰角,就可以计算出AE的长.
问题3:为了求C A的长,应该把CA放到△DCA中,由于基线DC可以测量,且β也可以测
量,这样在△DCA中就已 知两角和一边,所以由正弦定理可以解出CA的长.
问题4:要测量某一高度AB,只要在地面某一条 过AB底端的直线上取两点D,C,量出CD=a
的长并在C,D两点测出到AB顶端的仰角α,β,则 高度AB=+h,其中h为测角仪的高.
【例2】解:在△ABC中,∠BCA=90°+β,∠AB C=90°-α,∠BAC=α-β,∠BAD=α.根据正
弦定理,
,
所以AB=.
解Rt△ABD,得BD=ABsin∠BAD=.
把测量数据代入上式,得
BD=
=
≈177.4(m)
CD=BD-BC≈177.4-27.3=150(m).
答:山的高度约为150米.
问题5:需求出BD边,可首先求出AB边,再根据∠BAD=α求得.
四、变式训练,深化提高
【例3】解:在△ABC中,∠A=15°,∠C=25°-15°=10°,根据正弦定理,

,
BC=≈7.4524(km).
CD=BC·tan∠DBC≈BC·tan 8°≈1047(m).
答:山的高度约为1047米.
问题6:在△BCD中.
问题7:BC边.
练习:解:AC=BD=a,在△ACE中,∠ACE=β,∠AEC=α-β,根据正弦定理,得
AE=.在Rt△AEG中,EG=AEsinα=.
所以EF=EG+b=+b.
答:气球的高度是+b.
五、限时训练
1.C 2.A 3.A 4.15°
5.解:设飞行员的两次观测点依次为A和B,山顶为M,山顶到直线AB的距离为MD.

如图,在△ABM中,由已知,得
∠A=18°30',∠ABM=180°-81°=99 °,∠AMB=81°-18°30'=62°30'.
又AB=180×=6(km),
根据正弦定理,可得BM=,
进而求得MD=,所以MD≈2120(m),
可得山顶的海拔高度为20250-2120=18130(m).
六、反思小结,观点提炼
(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
(2)建模:根据已知条件与求解目 标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建
立一个解三角形的数学模型;
(3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解;
(4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

1.2 应用举例(第3课时)
学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
2.本节 课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综
合训练强化相应的能力.
3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神.
合作学习
一、设计问题,创设情境
提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这 些实际上都可转化为已知三角形的一些
边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到 新的问题,在浩瀚无垠的海
面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨 这方面的测量
问题.
二、信息交流,揭示规律
在实际的生活中,人们又会遇到新的 问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解
决,大家身边有什么例子吗?



三、运用规律,解决问题

【例1】如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,
然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C .如果下次航行直接从A
出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0 .1°,距离精确
到0.01n mile)



问题1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东75°的方向”这指的是什么?

【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里 的C处有一艘走私船,正沿南偏东
75°的方向以10海里时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海 里时的速度沿着直线方
向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船?




问题2:你能否根据题意画出方位图?




问题3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢?


四、变式训练,深化提高

【例3】如图,海中小岛A周围38海里内有 暗礁,船正向南航行,在B处测得小岛A在船
的南偏东30°,航行30海里到C处,在C处测得小岛A 在船的南偏东45°,如果此船不改变
航向,继续向南航行,有无触礁的危险?

练习:如图,有两条相交成60 °角的直线XX',YY',交点是O,甲、乙分别在OX,OY上,起
初甲在离O点3千米的A点,乙 在离O点1千米的B点,后来两人同时以每小时4千米的速度,
甲沿XX'方向,乙沿Y'Y方向步行.
(1)起初,两人的距离是多少?
(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离;
(3)什么时候两人的距离最短?





五、限时训练

1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为( )
A.南偏西
B.北偏西
C.北偏东
D.南偏东

2.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一 艘渔船遇险,
在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船 ,现
乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ= .
3.一辆汽 车从A点出发,沿一条笔直的海岸公路以100kmh向东匀速行驶,汽车开动时,
在点A的南偏东方向 距点A 500km的B处的海上有一快艇,此时,快艇所在B处距海岸300km.
现快艇上有一快递 要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角,
并求出快艇的最小速度.





六、反思小结,观点提炼
解三角形应用题的一般步骤:





参考答案
三、运用规律,解决问题
【例1】解:在△ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理,
AC=≈113.15(n mile),
根据正弦定理,,
sin∠CAB=≈0.3255,
所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.

答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15n mile.
问题1:这是方位角,这实际上就是解三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的
内角和 定理求出AC边所对的角∠ABC,即可用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算出AC
边和AB边的 夹角∠CAB,就可以知道AC的方向和路程.

【例2】解:如图,设该巡逻艇沿AB方向 经过x小时后在B处追上走私船,则
CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45 °=120°,则由余弦定理,可得
(14x)=9+(10x)-2×9×10xcos120°, 化简得32x-30x-27=0,即x=或x=-(舍去).
所以BC=10x=15,AB=14x=21.
又因为sin∠BAC=,
所以∠BAC=38°13',或∠BAC=141°47'(钝角不合题意,舍去).
所以38°13'+45°=83°13'.
答:巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.
问题2: 在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图,图画的好坏有时也会影响到解
题,这是建立数学模型的一 个重要方面.
问题3:同例2中解得BC=15,AB=21,
在△ABC中,由余弦定理,得
cos∠CAB=≈0.7857,
所以∠CAB≈38°13',38°13'+45°=83°13'.
所以巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.
四、变式训练,深化提高
【例3】解:在△ABC中,BC=30,B=30°,
∠ACB=180°-45°=135°,
则A=15°.
由正弦定理知,即.
所以AC==60cos15°=15+15.
所以A到BC所在直线的距离为
AC·sin45°=(15+15)×=15(+1)≈40.98>38(海里).
2222

答:不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.
练习:解:(1)因为甲、乙两人起初的位置是A,B,
则AB=OA+OB-2OA·OBcos60°=3+1-2×3×1×=7,
所以起初,两人的距离是千米.
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P,Q,
则AP=4t,BQ=4t,
当0≤t≤时,PQ=(3-4t)+(1+4t)-2(3- 4t)(1+4t)cos60°=48t-24t+7;
当t>时,PQ=(4t-3)+(1+4 t)-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t-24t+7,
所以,PQ=48t-24t+7.
(3)PQ=48t-24t+7=48+4,
所以当t=时,即在第15分钟末,PQ最短.
答:在第15分钟末,两人的距离最短.
五、限时训练
1.D
2.
22
2
2222
2222
22222

解析:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理,知BC=AB+AC-2AB·AC·cos120°=2800,
即得BC=20(海里).
由正弦定理,
,
所以sin∠ACB=sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,cos∠ACB=.
由θ=∠ACB+30°, 则cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.
3.分析:设快艇在B处以v kmh的速度出发,在△ABC中,由正弦定理求解.
222

解:如图,设快艇在B处以v kmh的速度出发,沿BC方向航行t小时与汽车相遇(在C
点).
在△ABC中,AB=500km,BQ=300km,AC=100t,BC=vt.
则sin∠BAC=.
在△ABC中,由正弦定理得
,
即,
则v=≥60,当且仅当∠ABC=90°时等号成立.
故快艇最小速度为60kmh且行驶方向与AB成直角.
六、反思小结,观点提炼
①根据题意作出示意图;
②明确所涉及的三角形,搞清已知和未知;
③选用合适的定理进行求解;
④给出答案.

1.2 应用举例(第4课时)
学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题.
2.掌握三角形的面积公式的简单推导和应用.
3.进一步巩固所学的知识,加深对所学定理 的理解,提高创新能力;进一步提升研究问题
和发现问题的能力,在探究中体验成功的愉悦.
4.在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点,做到不拘一格,一题多解.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:以前我们就已经接触过了三角形的面积 公式,今天我们来学习它的另一个表达
公式.在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记为ha
,h
b
,h
c
,那么如何用已知边和角表示它们?



问题2:根据以前学过的三角形面积公式S=ah,应用以上求出的高的公式如h
a
=bsin C代
入,可以推导出下面的三角形面积公式:S=absin C,大家能推出其他的几个公式吗?




二、信息交流,揭示规律
问题3:除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外,知道 哪些条件也可求出
三角形的面积?



三、运用规律,解决问题
【例1】在△ABC中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到0.1cm).
(1)已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5°;
2

(2)已知B=62.7°,C=65.8°,b=3.16cm;
(3)已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.




【例2】在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市 内公园,经过测量
得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88 m,127 m,这个区域的面积是多少?(精确到
0.1m)




四、变式训练,深化提高
【例3】在△ABC中,求证:
(1);
(2)a+b+c=2(bccos A+cacos B+abcos C).




五、限时训练
1.已知在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶2∶4,那么cos C的值为( )
A.- B. C.- D.
222
2
2.在△ABC中,A=120°,b=1,面积为,则等于( )
A. B. C.2 D.4
3.等腰三角形顶角的余弦值为,则底角的正弦值为 .
4.在△ABC中,已知a比b长2,b比c长2,且最大角的正弦值是,则面积S= . < br>5.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的 面积.

六、反思小结,观点提炼
求三角形面积的公式:



参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:h
a
=bsin C=csin B,h
b
=csin A=asin C,h
c
=asin B=bsin A.
问题2:同理,可得S=bcsin A,S=acsin B.
二、信息交流,揭示规律
问题3:如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解.
三、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)应用S=acsin B,得S=×14.8×23.5×sin148.5°≈90.9(cm).
(2)根据正弦定理,,c=,
S=bcsin A=b.
A=180°-(B+C)=180°-(62.7°+65.8°)=51.5°,
S=×3.16×≈4.0(cm).
(3)根据余弦定理的推论,得cos B=≈0.7697,
sin B=≈0.6384,
应用S=acsin B,得S≈×41.4×38.7×0.6384≈511.4(cm).
【例2】解:设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论,
cos B=≈0.7532,
sin B=≈0.6578,
应用S=acsin B,S=×68×127×0.6578≈2840.4(m).
答:这个区域的面积是2840.4m.
四、变式训练,深化提高
【例3】证明:(1)根据正弦定理,可设=k,
显然k≠0,所以左边==右边.
(2)根据余弦定理的推论,
2
2
2
22
2
2

右边=2
=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左边.
五、限时训练
1.A 2.C 3. 4.
5.分析:把四边形ABCD的面积转化为△ABD与△BCD的面积和.
222222222222

解:如图,在圆内接四边形ABCD中,连接BD,
因为A+C=180°,所以sin A=sin C,
于是,四边形ABCD的面积为 < br>S
四边形ABCD
=S
△ABD
+S
△BCD
=(A B·AD+BC·CD)sin A=×(2×4+6×4)sin A=16sin A,
在△ABD与△BCD中,由余弦定理得
20-16cos A=52-48cos C,
又∵cos C=-cos A,∴64cos A=-32,cos A=-,∴A=120°.
将A=120°代入S
四边形ABCD
=16sin A,得S
四边形ABCD
=16×sin120°=16×=8.
六、反思小结,观点提炼
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的 三角函数式,然后
化简并考察边或角的关系,从而确定三角形的形状.特别是有些条件既可用正弦定理也 可用
余弦定理甚至可以两者混用.正弦定理和余弦定理的运用除了记住正确的公式之外,贵在活
用,体会公式变形的技巧以及公式的常规变形方向,并进一步推出新的三角形面积公式.解有
关已知两边 和其中一边对角的问题,注重分情况讨论解的个数.同时解有关三角形的题目还
要注意讨论最终解是否符 合规律,防止丢解或增解,养成检验的习惯.

2.1 数列的概念与简单表示法(第1课时)
学习目标
通过本节学习,理解数列的概念,理解数列是一种特殊的函数,把数列融于函数之中 ,了
解数列和函数之间的关系;理解数列的通项公式,会用通项公式写出数列的任意一项,对于比
较简单的数列,会根据前几项写出它的通项公式;通过探究、思考、交流、观察、分析等教学
方式,充 分发挥学生的主体作用.通过日常生活中的大量实例,鼓励学生大胆猜想,培养学生
对科学的探究精神和 严肃认真的科学态度.
合作学习
一、设计问题,创设情境
阅读章头图的文字说明 ,“有人说,大自然是懂数学的”“树木的分叉、花瓣的数量、植
物的种子或树木的排列……都遵循了某 种数学规律”,那么大自然是怎么懂数学的?都遵循
了什么样的规律?插图右侧是四种不同类型的花瓣, 其花瓣数目分别是3,5,8,13.你看出这
几个数字的特点了吗?前两个之和恰好等于后一个.这种 规律就是我们将要学习的数列.
1.看几个例子:
(1)三角形数:
(2)正方形数:
(3)国际象棋中的每个格子中依次放入的麦粒数排成一列数:
(4)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.每日所取棰长排成一列数:
(5)童谣:一 只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿;三只青
蛙三张嘴,六只眼睛十二条 腿;四只青蛙四张嘴,八只眼睛十六条腿.按顺序排列起来:
青蛙
1
2
3
4

二、信息交流,揭示规律
2.数列的概念

嘴
1
2
3
4
眼睛
2
4
6
8
腿
4
8
12
16

【注】从数列的定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而
排列 次序不同,那么它们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.
3.数列的记法
数列的一般形式可以写成: ,可简记为{a
n
}.其中a
n
是数列的第n项.
4.数列的通项公式
如果数列{a
n
}的第n项与序号n之间的关系可以用 一个式子a
n
=f(n)来表示,那么这个公
式叫做这个数列的通项公式.
【注】(1)一个数列的通项公式有时不唯一.
如1,0,1,0,1,0,1,0,…,
它的通项公式可以是a
n
=,也可以是a
n
=.
(2)通项公式的作用:
①求数列中的任意一项;
②检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.
三、运用规律,解决问题
5.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
(1)1,-,-;(2)2,0,2,0;
(3)1,3,5,7;(4).


6.下图中的三角形称为谢宾斯基三角形.在下图五个三角形图案中,着色的三角形的个数依次构成一个数列的前5项,请写出这个数列的一个通项公式.


四、变式训练,深化提高
7.写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:
(1)1,0,1,0; (2)-,-,-;
(3)7,77,777,7777; (4)-1,7,-13,19,-25,31;

(5)1,3,3,5,5,7,7,9,9;
(7)2,-6,12,-20,30,-42;
(9),3,;


五、反思小结,观点提炼

参考答案
一、设计问题,创设情境
(10).
(6)1,3,7,15;
(8)0.9,0.99,0.999,0.9999;
1.(1)1,3,6,10,15,21,… (2)1,4,9,16,… (3)1,2,2,2,…,2 (4),…
2.按照一定顺序排列的一列数叫做数列.数列中的每一 个数叫做数列的项.数列中的每
一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也 叫做首项),排在第
二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项.
3.a
1
,a
2
,…,a
n
,…
三、运用规律,解决问题
5.解:(1)a
n
=;(2)a
n
=2;
(3)a
n
=2n-1;(4)a
n
=.
6.这五个三角形中着色三角形的个数依次为
1,3,9,27,81.
则所求数列前5项都是3的正整数指数幂,指数为序号减1.所以,这个数列的一个通项
公式是
a
n
=3.
四、变式训练,深化提高
7.解:(1)a
n
=;(2)a
n
=(-1)·;
(3)a
n
=(10-1);(4)a
n
=(-1)(6n-5);
(5)a
n
=n+;(6)a
n
=2-1;
(7)a
n
=(-1)n(n+1);(8)a
n
=1-;
(9)a
n
=;(10)a
n
=.
五、反思小结,观点提炼
略
n+1
n
nn
n
n-1
2363

2.1 数列的概念与简单表示法(第2课时)
学习目标
了解数列的递推公式,明 确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数
列的前几项;经历数列知识的感受及理解运 用的过程;通过本节课的学习,体会数学来源于生
活,从而提高学习数学的兴趣.
合作学习
一、设计问题,创设情境
1.回顾复习数列及有关定义,数列既然是按一定顺序排列的一列数 ,有些数列能够写出
一个通项公式a
n
=f(n),那么除了通项公式外还可以怎么表 示?



2.观察钢管堆放示意图,寻求规律,建立数学模型.

自上而下:
第1层钢管数为4;
第2层钢管数为5;
第3层钢管数为6;
第4层钢管数为7;
第5层钢管数为8;
第6层钢管数为9;
第7层钢管数为10.
若用a
n
表示钢管数 ,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a
n
=n+3(1≤n≤7),
相邻两层之间有没有关系?即a
n+1
与a
n
有没有关系?

3.国际象棋中的每个格子中依次放入1,2,2,2 ,2,…,2这样的麦粒数排成一列数,相
邻两数之间有没有关系?即a
n+1
与a< br>n
有没有关系?





二、信息交流,揭示规律
数列有四种表示法:通项公式法、列表法、图象法和递推公式法.通常用通项公式法表示
数列.
4.通项公式法
如果数列{a
n
}的第n项a
n
与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式就
叫做这个数列的通项公式.
如数列0,1,2,3,4,…的通项公式为
1,1,1,1,…的通项公式为
1,,…的通项公式为 .
5.图象法
从函数的观点看,数列可以看成以正整数 集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域
的函数a
n
=f(n)当自 变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是
函数值,序号就是自变量,数列的 通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立的点.
我们可以仿照函数图象的画法画数列的图象 .具体方法是以项数n为横坐标,相应的项
a
n
为纵坐标,即以 为坐标在平面 直角坐标系中作出点
例,作出一个数列的图象
以前面提到的数列1,,…为
*
23463
,所得的数列的图象是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以
这些点都在y轴的 右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项
随项数由小到大变化而变化的趋 势.
6.列表法
数列可看做特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,相对于列表 法表示一个函
数,数列有这样的表示法:用a
1
表示第一项,用a
2
表示第二项,……,用a
n
表示第n项,依次写

出a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,….记为{a
n
}.
7.递推公式法
知识都来源于实践,最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题. 观察钢管堆放示意
图,寻其规律,建立数学模型.

模型一:自上而下:
第1层钢管数为4,即1?4=1+3;
第2层钢管数为5,即2?5=2+3;
第3层钢管数为6,即3?6=3+3;
第4层钢管数为7,即4?7=4+3;
第5层钢管数为8,即5?8=5+3;
第6层钢管数为9,即6?9=6+3;
第7层钢管数为10,即7?10=7+3.
若用a
n
表示钢管数,n表示 层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且
a
n
=n+3(1≤n≤7).
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立数列模型,运用这一关系,会快捷地
求出每一层的钢 管数,这会给我们的统计与计算带来很多方便.
继续看此图片,是否还有其他规律可循?
模型二:上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.
即a
1
=4;
a
2
=5=4+1=a
1
+1;
a
3
=6=5+1=a
2
+1;
依此类推:a
n
=a
n-1
+1(2≤n≤7).
对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项.
递推公式:如果已知数列{a
n
}的第1项(或前几项),且任一项a
n
与它的前一项a
n-1
( 或前几
项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
递推公式也是给出数列的一种方法.

如下数列:3,5,8,13,21,34,55,89,
递推公式为:a< br>1
=3,a
2
=5,a
n
=a
n-1
+a< br>n-2
(3≤n≤8).
8.数列的分类
(1)根据数列项数的多少分
①有穷数列:
②无穷数列: .
(2)根据数列项的大小分
①递增数列:
②递减数列:
③常数数列:
④摆动数列: .
三、运用规律,解决问题
9.设数列{a
n
}满足a
n
=写出这个数列的前5项.


10.已知a
1
=2,a
n+1
=2a
n
,写出前5项,并猜想a
n
.



四、变式训练,深化提高
11.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.
(1)a1
=0,a
n+1
=a
n
+(2n-1)(n∈N);
(2)a
1
=1,a
n+1
=(n∈N);
(3)a1
=3,a
n+1
=3a
n
-2(n∈N).




五、反思小结,观点提炼

*
*
*

参考答案
一、设计问题,创设情境
3.有关系.a
n+1
=2a
n

二、信息交流,揭示规律
4.a
n
=n-1(n∈N);a
n
=1(n∈N);a
n
=(n∈N)
5.(n,a
n
)
8.(1)①项数有限的数列
②项数无限的数列
(2)①从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
②从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
③各项相等的数列
④从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
三、运用规律,解决问题
9.解:由题意可知,a
1
=1,a
2< br>=1+=2,a
3
=1+,a
4
=1+,a
5
=1+ .
10.解:a
1
=2,a
2
=2a
1
=2×2 =2,a
3
=2a
2
=2×2=2,a
4
=2a
3
=2×2=2,a
5
=2a
4
=2×2=2,观察可得
a< br>n
=2.
四、变式训练,深化提高
11.解:(1)∵a
1
=0,a
2
=1,a
3
=4,a
4
=9,a
5< br>=16,∴a
n
=(n-1);
(2)∵a
1
=1,a2
=,a
3
=,a
4
=,a
5
=,∴a
n
=;
(3)∵a
1
=3=1+2×3,a
2
=7=1 +2×3,a
3
=19=1+2×3,
a
4
=55=1+2×3, a
5
=163=1+2×3,∴a
n
=1+2×3.
五、反思小结,观点提炼
略
2.2 等差数列(第1课时)
学习目标
掌握等差数列的概念;理解等差数列的通项公式的推导过程;了解等差数列的函数特征;
能用等 差数列的通项公式解决相应的一些问题.让学生亲身经历“从特殊入手,研究对象的
性质,再逐步扩大到 一般”这一研究过程,培养他们观察、分析、归纳、推理的能力.通过对
等差数列的研究,培养学生主动 探索、勇于发现的求索精神;使学生逐步养成细心观察、认真
分析、及时总结的好习惯.
34 n-1
012
2
n
2233445
***

合 作学习
一、设计问题,创设情境
1.通常情况下,从地面到11km的高空,气温随高度的 变化而变化符合一定的规律,请你
根据下表估计一下7km高空的温度.
距地面的高度
1 2 3 4 5 6 7
(km)
3
温度(℃)
8 2 6 0 4

思考:依据前面的规律,填写2,3题:
2.1,4,7,10,( ),16,…
3.2,0,-2,-4,-6,( ),…
它们共同的规律是什么?从第2项起,每一项 与前一项的差等于同一个常数,我们把有这
一特点的数列叫做等差数列.
二、信息交流,揭示规律
4.等差数列的定义
一般地,如果一个数列从第2项起, ,那么这个数列就叫做等差数列.这
个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
思考:(1)定义中的关键词有哪些?


(2)公差d是哪两个数的差?


5.等差数列定义的数学表达式:
试一试:它们是等差数列吗?
(1)1,3,5,7,9,2,4,6,8,10,…;
(2)5,5,5,5,5,5,…;
(3)-1,-3,-5,-7,-9,…;
3221
8

(4)数列{a
n
},a
n +1
-a
n
=3.


6.等差数列的通项公式
探究1:等差数列的通项公式(求法一:不完全归纳法)
如果等差数列{a
n
}的首项是a
1
,公差是d,那么这个等差数列中的a
2
,a
3< br>,a
4
如何表示?a
n
呢?
根据等差数列的定义可得: < br>a
2
-a
1
=d,a
3
-a
2
=d ,a
4
-a
3
=d,….
所以a
2
=a
1
+d,
a
3
=a
2
+d=(a
1
+d)+d=a
1
+2d,
a
4
=a
3
+d=(a
1
+2d)+d=a
1
+3d ,
…
由此得a
n
= .
因此等差数列的通 项公式就是:a
n
=a
1
+(n-1)d,n∈N.
探究2:等差数列的通项公式(求法二:叠加法)
根据等差数列的定义可得:

将以上n-1个式子相加所得到的等差数列的通项公式为
a
n
=a
1
+(n-1)d,n∈N.
三、运用规律,解决问题
7.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.
(2)等差数列-5,-9,-13,…的第几项是-401?





8.某市出租车的计价标准为1.2元km,起步价为10元,即最初的4km( 不含4km)计费10
元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路通畅,等候时间 为0,则需要支
*
*

付多少车费?






9.在等差数列中,已知a
5
=10,a
1 2
=31,求首项a
1
与公差d.




四、变式训练,深化提高
10.已知等差数列{a
n
}中,a
3< br>=9,a
9
=3,求公差d.


11.在等差数列{a< br>n
}中,a
1
=13,a
3
=12,若a
n
=2,求n.



12.等差数列{a
n
}中,a1
+a
5
=10,a
4
=7,求数列{a
n
} 的公差.



五、反思小结,观点提炼

参考答案:一、设计问题,创设情境
1.2 2.13 3.-8
二、信息交流,揭示规律
4.每一项与它的前一项的差等于同一个常数 思考(答案略)
5.a
n
-a
n-1
=d(d是与n无关的常数,n∈N)
试一试:(2)(3)(4)是,(1)不是.
6.a
1
+(n-1)d
三、运用规律,解决问题
7.(1)解:因为a
1
=8,a
2=5,所以d=a
2
-a
1
=-3,n=20.
于是a
20
=a
1
+(n-1)d=8+(20-1)×(-3)=-49.
( 2)解:因为a
1
=-5,a
2
=-9,所以d=a
2
-a
1
=-4,于是-401=-5+(n-1)×(-4)
解得n=100,所以-401是该数列的第100项.
8.解:根据题意,当该市出租车的 行程大于或等于4km时,每增加1km,乘客需要支付1.2
元.所以,可以建立一个等差数列{a< br>n
}来计算车费.
令a
1
=11.2,表示4km处的车费,公差d =1.2.那么,当出租车行至14km处时,
n=11,此时需要支付车费a
11
=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
答:需要支付车费23.2元.
9.解:由a
n
=a
1
+(n-1)d,得解得
四、变式训练,深化提高
10.解:等差数列{a
n
}中,由等差数列的通项公式,可得
a
3
=a
1
+2d,a
9
=a
1
+8d.
解得,d=-1.
即等差数列的公差d=-1.
11.分析:根据a
1< br>=13,a
3
=12,利用等差数列的通项公式求得d的值,然后根据首项和公差
写出数列的通项公式,让其等于2得到关于n的方程,求出方程的解即可得到n的值.
解:由题意得 a
3
=a
1
+2d=12,把a
1
=13代入求得d=-,
则a
n
=13+(n-1)=-n+,由a
n
=2,得-n+=2, 解得n=23.
12.分析:设数列{a
n
}的公差为d,则由题意可得2a
1
+4d=10,a
1
+3d=7,由此解得d的值.
解:设数列{a< br>n
}的公差为d,则由a
1
+a
5
=10,a
4=7,可得2a
1
+4d=10,a
1
+3d=7,解得d=2.

*

2.2 等差数列(第2课时)
学习目标
在 理解等差数列定义、如何判定等差数列及学习等差数列通项公式的基础上,掌握等差
中项的定义及应用, 明确等差数列的性质,并运用其进行一些等差数列的相关计算.
合作学习
一、设计问题,创设情境
在上一节我们已经学习了等差数列,掌握了等差数列的定义、通项公 式与公差,作为一类
特殊的数列,是否具有某些特殊的性质?又如何去证明或判定一个数列是等差数列呢 ?


二、信息交流,揭示规律
1.对于三个数成等差数列,我们定义等差中项
在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列.
(1)2,( ),4;
(2)-12,( ),0;
(3)a,( ),b.
2.等差中项定义
由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时A叫 做a与b的等差
中项.
符号表示:2A=a+b?A= .
【思考】(1 )在等差数列{a
n
}中,是否有2a
n+1
=a
n
+a< br>n+2
成立?等差数列又可以怎么叙述?
从第2项起,每一项是它的前一项和后一项的等差中项.
(2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.
3.等差数列的性质
问题1:列举几个数列,观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系.

性质1:若数列{a
n
} 是等差数列,公差为d.若d>0,则{a
n
}是递增数列;若d<0,则{a
n}是递
减数列;若d=0,则{a
n
}是常数列.
问题2:探究等差数 列{a
n
}中任意两项a
n
,a
m
之间的关系.它们之间的 关系可表示为 .
由此也可得到等差数列通项公式的另一种表示:a
n
=a
m
+(n-m)d
公差的另一种表示:d=,
性质2:a
n
=a
m
+(n-m)d,d=.
问题3:在 等差数列{a
n
}中,若m+n=p+q,则a
m
+a
n
= a
p
+a
q
一定成立吗?特别地,m+n=2k,则
a
m< br>+a
n
=2a
k
成立吗?





性质3:在等差数列{a
n
}中,若m+n=p+q,则a
m+a
n
=a
p
+a
q
.
三、运用规律,解决问题
4.已知数列{a
n
}的通项公式为a
n
=pn+q,其中p,q为常数,那么这个数列一定是等差数列
吗?证明你的结论.




5.已知等差数列{a
n
}中,a
1
+a
4
+a
7
=15,a
2
·a
4
·a
6
=45,求数列{a
n
}的通项公式.




四、变式训练,深化提高
6.三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,求此三个数.

7.已知a,b,c成等差数列,求证:b+c,c+a,a+b也成等差数列.






五、反思小结,观点提炼




参考答案
二、信息交流,揭示规律
1.(1)3 (2)-6 (3)
2.
问题1:略
问题2:a
n
=a
m
+(n-m)d
分析:证明等式,可以考虑从等号的两侧证明,能够利用的是前面掌握的等差数列的通项
公式.
解:由等差数列的通项公式a
n
=a
1
+(n-1)d,得
a
m
=a
1
+(m-1)d.
a
n
-a
m
=-=(n-m)d,
∴a
n
=a
m
+(n-m)d.
即等式成立.
问题3:a
m
+a
n
=a
p
+a
q
一定成 立;当m+n=2k时,a
m
+a
n
=2a
k
成立.
三、运用规律,解决问题
4.证明:取数列{a
n
}中的任意相邻两项a< br>n
与a
n-1
(n>1),
求差得a
n
-a
n-1
=(pn+q)-=pn+q-(pn-p+q)=p,
它是一个与n无关的常数,所以{a
n
}是等差数列.

5. 解:∵a
1
+a
7
=2a
4
,∴a
1
+a
4
+a
7
=3a
4
=15,由此得到a
4
=5.
又∵a
2
·a
4
·a
6
=45,∴a2
a
6
=9,即(a
4
-2d)(a
4
+2d )=9,∴(5-2d)(5+2d)=9.得d=±2.
当d=2时,a
n
=a
4
+(n-4)d=2n-3;
当d=-2时,a
n
=a
4
+(n-4)d=13-2n.
四、变式训练,深化提高
6.解:设这三个数分别为x-d,x,x+d.
则解得
∴相应地,所求三个数为3,5,7或7,5,3.
7.证明:∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c.
∴(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c),
∴b+c,c+a,a+b成等差数列.
说明:如果a,b,c成等差数列,常化成2b=a +c的形式去运用;反之,如果求证a,b,c成等
差数列,常改证2b=a+c成立.
五、反思小结,观点提炼
略

2.3 等差数列的前n项和(第1课时)
学习目标
掌握等差数列前n项和的公式,并能运用公式解 决简单的问题.了解等差数列前n项和的
定义,了解倒序相加的原理,理解等差数列前n项和公式推导的 过程,记忆公式的两种形式;
用方程思想认识等差数列前n项和的公式,利用公式求S
n
,a
1
,d,n;等差数列通项公式与前n
项和的公式共涉及五个量,已知其中三个 量可求另两个量;会利用等差数列通项公式与前n
项和的公式研究S
n
的最值.
合作学习
一、设计问题,创设情境

1.一个堆放铅笔的V形架的最下面 一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一
支,最上面一层放100支.这个V形架上共放着多 少支铅笔?
问题就是
这是小学时就知道的一个故事,高斯的算法非常高明,回忆他是怎样 算的.这实际上是一
个求等差数列前100项和的问题,高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可 以分为50
组,第一个数与最后一个数一组,第二个数与倒数第二个数一组,第三个数与倒数第三个数一
组,…,每组数的和均相等,都等于101,50个101就等于5050.高斯算法将加法运算转化为 乘
法运算,迅速准确的得到了结果.
我们要求一般的等差数列的前几项和,高斯算法对我们有何启发?



二、信息交流,揭示规律
2.公式推导
设等差数列{a
n
}的首 项为a
1
,公差为d,S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=?,由学生讨论,研究高斯算法
对一般等差数列 求和的指导意义.
思路一:运用基本量思想,将各项用a
1
和d表示,得
S
n
=a
1
+(a
1
+d)+(a
1
+2 d)+(a
1
+3d)+…++,有以下等式a
1
+=(a
1
+d)+=(a
1
+2d)+=…,问题是一共

有多少个 ,似乎与n的奇偶有关.这个思路似乎进行不下去了.
思路二:
上面的等式其实就是a< br>1
+a
n
=a
2
+a
n-1
=a
3
+a
n-2
=…,为回避个数问题,做一个改写
S
n
=a< br>1
+a
2
+a
3
+…+a
n-2
+a
n-1
+a
n
,S
n
=a
n
+a
n-1
+a
n-2
+…+a
3
+a
2
+a
1,两式左右分别相加,得
2S
n
=(a
1
+a
n)+(a
2
+a
n-1
)+(a
3
+a
n-2
)+…+(a
n-2
+a
3
)+(a
n-1
+a< br>2
)+(a
n
+a
1
),
2S
n
=n(a
1
+a
n
)
于是有 .这就是倒序相加法.
思路三:受思路二的启发,重新调整思路一,可得2S
n
= n,于是S
n
=na
1
+d.
综合思路二和思路三得到了两个公式: 和 .
三、运用规律,解决问题
3.求和:(1)101+100+99+98+97+…+64;
(2)2+4+6+8+…+2n(结果用n表示).




4.等差数列2,4,6,…中前多少项的和是9900?





5.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市
据此提出了实施“校校通”工程的总目标:从2001年起用10年时间,在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的
顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内,
该市在 “校校通”工程中的总投入是多少?

四、变式训练,深化提高
6.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
3
=6,a
4
=8,求公差d.





7.设S
n
为等差数列{a
n
}的 前n项和,若满足a
n
=a
n-1
+2(n≥2),且S
3
=9,求首项a
1
.





五、反思小结,观点提炼





参考答案
一、设计问题,创设情境
1.“1+2+3+4+…+100=?”
二、信息交流,揭示规律
2.a
1
+ S
n
= S
n
= S
n
=na
1
+d
三、运用规律,解决问题
3.解:(1)101,100,99,98,97,…,64可以 看做是一个首项为101,公差为-1的等差数列,
由等差数列的通项公式,可得64=101+(n- 1)(-1),解得n=38,
于是S
n
==3135.
另外也可用公式 S
n
=na
1
+d来求解,S
n
=38×101+×(-1 )=3135.

(2)2+4+6+8+…+2n可以看做是等差数列{2n}的前n项和,
则S
n
==n+n,
另外可运用公式S
n
=na
1
+d来求解.
4.解:由题 知,等差数列首项a
1
=2,公差d=2,由S
n
=na
1
+d,得2n+×2=9900,即n+n-9900=0,
解得n=-100(舍去),或n=99, 所以等差数列2,4,6,…中的前99项的和是9900.
5.解:根据题意,从2001~201 0年,该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加
50万元.
所以,可以建立一个等 差数列{a
n
},表示从2001年起各年投入的资金,其中a
1
=500, d=50.
那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为
S
10
=10×500+×50=7250(万元)
答:从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.
四、变式训练,深化提高
6.解:∵等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,
∵S< br>3
=6,即a
1
+a
2
+a
3
=6∴a2
=2.∵a
4
=8,∴8=2+2d,∴d=3.
7.解:∵an
=a
n-1
+2(n≥2),∴a
n
-a
n-1=2(n≥2),
∴等差数列{a
n
}的公差是2.由S
3
= 3a
1
+×2,即3a
1
+6=9,解得a
1
=1.
五、反思小结,观点提炼
略

















2
2

2.3 等差数列的前n项和(第2课时)
学习目标
进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式,了解等差数列的一些性质,并 会
用它们解决一些相关问题,提高应用意识.
合作学习
一、设计问题,创设情境
复习引入
1.通项公式:
2.求和公式:
3.两个公式中含有五个量,分别是 ,把公式看成方程,能解决几个量?





4.S
n
是关于n的二次函数,二次函数存在最值问题,如何求最值?





5.S
n
与a
n
的关系 :S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+an-1
+a
n
,如何求数列{a
n
}的通项公式?





二、信息交流,揭示规律
6.两个公式中含有五 个量,分别是S
n
,a
n
,n,d,a
1
,两个公式对应两 个方程,因此已知其中
的三个量,就可以求其他的两个量,即“知三求二”.

a
n
=a
1
+(n-1)d,
S
n
==na
1
+d.
7.S
n
是关于 n的二次函数,二次函数可以求最值,归纳为求二次函数的最值问题,不过要
注意自变量n是正整数;还 可以从研究数列的单调性及项的正负进而研究前n项和S
n
的最值,
方法更具有一般性 .
S
n
= , 有最大值; 有最小值.
8.S
n
与a
n
的关系:S
n
=a
1+a
2
+a
3
+…+a
n-1
+a
n
如何求数列{a
n
}的通项公式?
S
n-1
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n-1
(n≥2)
只要 两式相减就会得到a
n
=S
n
-S
n-1
(n≥2),只不 过这个表达式中不含有a
1
,需要单独考虑
a
1
是否符合a
n
=S
n
-S
n-1
.
类似于分段函数.
a
n
= ,最后验证是否可以用一个式子来表示.
三、运用规律,解决问题
9.已知一个等差数列{a
n
}的前10项的和是 310,前20项的和是1220,由此可以确定求其
前n项和的公式吗?



10.已知等差数列5,4,3,…的前n项和为S
n
,求使得S
n
最大的序号n的值.




11.已知数列{an
}的前n项和为S
n
=n+n,求这个数列的通项公式.这个数列是不是等差数
列?




四、变式训练,深化提高
2

12.已知{a
n
}是一个等差数列,且a
2
=1,a< br>5
=-5.
(1)求{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)求{a
n
}前n项和S
n
的最大值.


13.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
=n+n+1,求这个数 列的通项公式,这个数列是不是等差
数列?

五、反思小结,观点提炼

参考答案
一、设计问题,创设情境
1.a
n
=a
1
+(n-1)d
2.S
n
==na
1
+d
3.S
n
,a
n
,n,d,a
1

二、信息交流,揭示规律
7.n+n=

8.a
n
=
三、运用规律,解决问题
9.分析:将已知条件代入等差数列前n项和的公式后,可得到两个 关于a
1
与d的二元一
次方程,然后确定a
1
与d,从而得到所求前 n项和的公式.
解:由题意知S
10
=310,S
20
=1220,
将它们代入公式S
n
=na
1
+d,得到

解这个关于a
1
与d的方程组,得到a
1
=4,d=6,
所以S
n
=4n+×6=3n+n
这就是说,已知S
10
与S
20
可以确定这个数列的前n项和的公式,
这个公式是S
n
=3n+n.
10.解:方法一:令公差为d,则
2
2
2
2

d=a
2
-a
1
=a
3
-a
2
=3-4=-,
所以S
n
==-.
又n∈N,所以当n=7或者n=8时,S
n
取最大值.
方法二:d=a< br>2
-a
1
=a
3
-a
2
=3-4=-,
其通项公式为a
n
=5+(n-1)×=-n+.
因为a
1
=5>0,d=-<0,所以数列{a
n
}的前n项和有最大值.
即有解得即7≤n≤8,又n∈N,
所以当n=7或者n=8时,S
n
取最大值.
11.解:由题意知,当n= 1时,a
1
=S
1
=,当n≥2时,S
n
=n+n, ①
S
n-1
=(n-1)+(n-1), ②
由①- ②得a
n
=S
n
-S
n-1
=2n-,
又当n= 1时,2×1-=a
1
,所以当n=1时,a
1
也满足a
n
=2n-,
则数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2n-(n≥1,n∈N).
这个数列是等差数列,a
n
-a
n-1
==2(这是一个与n无关的 常数).
四、变式训练,深化提高
12.解:(1)设{a
n
}的公差为 d,由已知条件,解出a
1
=3,d=-2,
所以a
n
=a
1
+(n-1)d=-2n+5.
(2)S
n
=na
1
+d=-n+4n=4-(n-2),
所以当n=2时,S
n
取到最大值4.
13.解:由题意知,当n=1时,a
1
=S
1
=,
当n≥2时,S
n
=n+n+1, ① S
n-1
=(n-1)+(n-1)+1, ②
由①- ②得a
n
=S
n
-S
n-1
=2n-,
又当n= 1时,2×1-≠a
1
,所以当n=1时,a
1
不满足a
n
=2n-,
则数列{a
n
}的通项公式为a
n
=
这个数 列不是等差数列,a
2
-a
1
≠a
3
-a
2
=a
4
-a
3
=…=2.
五、反思小结,观点提炼
略




22
22
2
2
*
*

2.4 等比数列(第1课时)

学习目标
1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念.
2.能根 据定义判断一个数列是不是等比数列,明确一个数列是等比数列的限定条件;能
够运用类比的思想方法得 到等比数列的定义,会推导等比数列的通项公式.
合作学习
一、设计问题,创设情境
1.复习等差数列的相关内容:
定义:
通项公式:a
n
=a
1
+(n-1)d,(n∈N).
前n项和公式:S
n
==na
1
+d,(n∈N).
问题:等差数列只是数列的其中一种形式,现在来看这三个数列
1,2,4,8,…;1,,…;-1,1,-1,1,…
思考:这三个数列是等差数列吗?各个数列的各项之间有什么关系?


二、信息交流,揭示规律
与等差数列的概念相类比,可以给出这种数列的概念吗?是什么?
1.定义:如果一个数列从第2项起, ,那么这个数列叫做等比数列,这个
常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).
2.数学表达式: .
从等比数列的定义及其数学表达式中,可以看出什么?也就是这个公式在什么条件下成
立?
结论:等比数列各项均不为零,公比q≠0.
3.通项公式:
等比数列{a
n
}的首项为a
1
,公比为q,
a
2
=a
1
q,
a
3
=a
2
q=a
1
q,
a
4
=a
3
q=a
2
q=a
1
q,
232
*
*

以此类推,可以得到a
n
用a
1
和q表示的数学表达式吗?
归纳猜测得到: .
三、运用规律,解决问题
【例1】判断下列数列是否为等比数列:
(1)1,1,1,1,1;
(2)0,1,2,4,8;
(3)1,-,-,….




【例2】某种放射性物 质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%.
这种物质的半衰期为多长(精确到 1年)?




【例3】(1)一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项和第2项;

(2)一个等比数列的第9项是,公比是-,求它的第1项.




四、变式训练,深化提高
变式训练1:已知等比数列{a
n
}中 a
n+1
>a
n
,且a
3
+a
7
=3,a
2
·a
8
=2,则等于( )
A. B. C. D.2
变式训练2:已知等比数列{a
n
}的公比为正数,且 a
3
·a
9
=2,a
2
=1,则a
1
等于 ( )
A. B. C. D.2
变式训练3:在等比数列{a
n
}中 ,a
5
=-16,a
8
=8,则a
11
等于( )

A.-4 B.±4 C.-2 D.±2
五、反思小结,观点提炼





参考答案
一、设计问题,创设情境
1.一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这
个数 列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.
二、信息交流,揭示规律
1.每一项与它的前一项的比等于同一常数
2.=q(n∈N)
3.a
n
=a
1
q
三、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)数列的首项为1,公比为1,所以是等比数列;
(2)因为等比数列中的各项均不为零,所以不是等比数列;
(3)数列的首项为1,公比为-,所以是等比数列.
【例2】解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是a
n
,那么:
经过1年,剩留量为a
1
=1×0.84=0.84,
经过2年,剩留量为 a
2
=0.84a
1
=0.84×0.84=0.84,
经过3年 ,剩留量为a
3
=0.84a
2
=0.84×0.84=0.84,
……
经过n年,剩留量为a
n
=0.84a
n-1
. < br>因此a
n
构成一个等比数列{a
n
},其中a
1
=0 .84,q=0.84.
设a
n
=0.5,则0.84=0.5两边取对数,得lg0.84=lg0.5,
于是nlg0.84=lg0.5,n=
用计算器算得n≈4.
答:这种物质的半衰期大约为4年.
nn
23
2
n-1
*

【例3】解:(1)设这个等比数列的第1项是a
1
,公比是q,那么
两式相比得q=,代入其中一个方程,得a
1
=,
因此,a
2
=a
1
q==8.
(2)设这个等比数列的第 1项是a
1
,公比是q,那么a
9
=a
1
q,
即=a
1
,解得a
1
=2916.
四、变式训练,深化提高
变式训练1:分析:在做这种题的时候,可以根据等比数列的定义, 列出一个或多个等式
来求解.
由a
2
·a
8
=a
3
·a
7
,得解得
因此=2.选D.
答案:D
变式训 练2:分析:设等比数列{a
n
}的公比为q,由已知得a
1
q·a
1
q=2(a
1
q),即q=2,又因
为等比数列{a
n
} 的公比为正数,所以q=,故a
1
=,选B.
答案:B
变式训练3:分析 :设等比数列{a
n
}的公比为q,由已知得a
8
=a
5
q ,即8=(-16)×q,q=-,所
以a
11
=a
8
·q=8×= -4.选A.
答案:A
五、反思小结,观点提炼
略
















3
333
28422
8

2.4 等比数列(第2课时)
学习目标
灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的 概念;熟悉等比数列的有关
性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流 获得对等比数列
性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用 于现
实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.
合作学习
一、设计问题,创设情
首先回忆一下上一节课所学主要内容:
1.等比数列:如果 一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这
个数列叫做等比数列,这个常数叫 做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),
即: .
2.等比数列的通项公式: .
二、信息交流,揭示规律 < br>1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b
的 等比中项.即G=±(a,b同号).
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则 ,反之,
若G=ab,则,即a,G,b成等比数列.
(1)在等比数列{a
n< br>}中,是否有=a
n-1
a
n+1
(n≥2)?
(2)如果 数列{a
n
}中,对于任意的正整数n(n≥2),都有=a
n-1
a
n+1
,那么{a
n
}一定是等比数列
吗?
分析:(1)由{a
n
}是等比数列,知,所以有=a
n-1
a
n+1
(n≥2 );
(2)当数列为0,0,0,0,…时,仍有=a
n-1
a
n+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一
定;若数列{a
n
}中的每一项均 不为零,且=a
n-1
a
n+1
(n≥2,n∈N),则数列{a
n
}是等比数列,反之成
立.
2.几个性质
(1)已知a
1
,a
2
,a
3
,…,a
n
是公比为q的等比数列,新数列 a
n
,a
n-1
,…,a
2
,a
1
也是等 比数列吗?
分析:由等比数列的定义可得=…==q.
所以=…=,由此可以看出a
n
,a
n-1
,…,a
2
,a
1
是从第2项起, 每一项与它的前一项的比值都等
2

于,所以是首项为 ,公比为 的等比数列.
(2)已知无穷等比数列{a
n
}的首项为a
1
,公比为q. ①依次取出数列{a
n
}的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗?如果 是,
它的首项和公比分别是多少?
②数列{ca
n
}(其中常数c≠0)是 等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?
分析:①由=q,得a
n+1
=a
n
q,
a
3< br>=a
2
q=a
1
q,所以=q;a
5
=a
4
q=a
3
q,所以=q;以此类推,可得,=q,所以数列{a
n
} 的所有奇数
项组成的数列是首项为 ,公比为 的等比数列.
②因为=…==q,
所以数列{ca
n
}(c≠0)是首项为ca
1
,公比为q的等比数列.
(3)已知数列{a
n
}是等比数列.
①=a
3
a
7
是否成立?=a
1
a
9
成 立吗?
②=a
n-1
a
n+1
(n>1)是否成立?
③=a
n-k
a
n+k
(n>k>0)是否成立?
④在等 比数列中,m+n=p+k,a
m
,a
n
,a
p
,a
k
有什么关系呢?
分析:①设数列{a
n
}的公比为q,则a
3
=a
1
q,a
5
=a
1
q,
a
7
=a
1
q,q,a
3
a
7
=(a
1q)(a
1
q)=q,
所以=a
3
a
7
,同 理=a
1
a
9
.
②=a
n-1
a
n+1
(n>1)成立.
③=a
n-k
a
n+k
(n>k>0)成立.
④由等比数 列定义,得a
m
=a
1
q,a
n
=a
1
q ,a
p
=a
1
q,a
k
=a
1
q, a
m
·a
n
=q
m+n-2
m-1n-1p-1k-1
68268
24
22222
,a
p
·a
k
=q
p+k-2
,则a
m
a
n
=a
p
a< br>k
.
结论:若m+n=p+k,则 .
三、运用规律,解决问题
【例1】等比数列{a
n
}中,
(1) 已知a
2
=4,a
5
=-,求数列{a
n
}的通项公式;
(2)已知a
3
a
4
a
5
=8,求a
2< br>a
3
a
4
a
5
a
6
的值.

【例2】如果数列{a
n
},{b
n
}是项数相同的等比数列,那么{a
n
·b
n
} 也是等比数列.




【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)+(c-a)+(d-b)=(a-d).





【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.



四、变式训练,深化提高
变式训练1:等比数列{a
n
}中,若a
7
·a
12
=5,则a
8
·a9
·a
10
·a
11
= .
变式训练2 :等比数列{a
n
}中,若a
1
+a
2
+a
3=7,a
1
·a
2
·a
3
=8,则a
n
= .
变式训练3:已知数列{a
n
}为等比数列,且a
n< br>>0,a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25,则
a
3
+a
5
= .
变式训练4:三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.







五、反思小结,观点提炼
2222

参考答案
一、设计问题,创设情境
1.=q(q≠0)
2.a
n
=·q(a
1
·q≠0), a
n
=·q(a
m
·q≠0)
二、信息交流,揭示规律
1.?G=ab?G=±
2.(1)a
n

(2)①a
1
q
(3)a
m
a
n
=a
p
a
k
(m,n,p,k∈N)
三、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)∵a
5
=a
2
q,∴q=-.
∴a
n
=a
2
q=4×.
(2)∵a
3
a
5
=,a
3
a
4
a
5
==8,
∴a
4
=2.
又∵a
2
a
6
=a
3
a
5
=,
∴a
2
a
3
a
4
a
5
a
6
==32.
【例2】解:设数列{a
n
}的首项是a
1
,公比为q
1
;数列{b
n
}的首项为b
1
,公比为q2
,那么数列
{a
n
·b
n
}的第n项与第n+1项分 别为a
1
··b
1
·与a
1
··b
1
·, 即为a
1
b
1
(q
1
q
2
)
a< br>1
b
1
·(q
1
q
2
),
因为=q
1
q
2
,
它是一个与n无关的常数,所以{a< br>n
·b
n
}是一个以a
1
b
1
为首项,以q
1
q
2
为公比的等比数列.
【例3】证明:法一:∵a,b,c,d成等比数列,
∴,
∴b=ac,c=bd,ad=bc,
∴左边=b-2bc+c+c-2ac+a+d-2bd+b
=2(b-ac)+2(c-bd)+(a-2bc+d)
=a-2ad+d
=(a-d)=右边.
证毕.
法二:∵a,b,c,d成等比数列,设其公比为q,
2
22
2222222222
22
n
n-1
n-2
5-2
*
2
2
n-1n-m
与

则b=aq,c=aq,d=aq,
∴左边=(aq-aq)+(aq-a)+(aq-aq)
=a-2aq+aq
=(a-aq),
=(a-d)=右边
证毕.
【例4】解:设a,b, c分别为b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d与b-d,b,b+d+2都成等比
数列 ,整理,得
所以b+d=2b-2d,即b=3d,
代入①,得9d=(3d-d+1)(3d+d),
9d=(2d+1)·4d,
解之,得d=4或d=0(舍d=0),
所以b=12.
四、变式训练,深化提高
变式训练1:解析:因为a
7
·a
12
=a
8
·a
11
=a
9
·a
10
,又a
7
·a
12
=5,所以
2
2
2
32
22326
2222 32
23
a
8
·a
9
·a
10
·a
11
=5×5=25.
答案:25
变式训练2:解析:由a
1
·a
2
·a
3
=8得=8,于是a
2
=2所以a
1
·a
3
=4, ①
由a
1
+a
2
+a< br>3
=7得a
1
+a
3
=5, ②
由①②解得
当时,q==2,a
n
=2,
当时,q=,a
n
=4×=2.
答案:2或2
变式训练3:解析 :因为a
2
a
4
=a
3
a
3
=,a
4
a
6
=a
5
a
5
=,
所以a
2
a
4
+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=+2a
3
a
5
+=(a
3
+a
5
)=25.
又a
n
>0,所以a
3
+a
5
=5.
答案:5
变式训练4:解:设这三个数为,a,aq,由题意解得
于是所求的三个数为2,4,8或8,4,2.

2
n-13-n
3-n
n-1

2.5 等比数列的前n项和(第1课时)
学习目标
掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路. 会用等比数列的前n项和公式解决一些
有关等比数列的简单问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨·班·达依尔,舍罕王为了 表彰大臣的功绩,
准备对大臣进行奖赏.
国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”这位聪明 的大臣达依尔说:“陛下,请您在这
张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒,在第二个格子内放上2颗麦粒 ,在第三个格子内放上4
颗麦粒,在第四个格子内放上8颗麦粒,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内 的麦粒数的2
倍的规律,放满棋盘的64个格子,并把这些麦粒赏给您的仆人吧.”
国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒.
计数麦粒的工作开 始了,在第一个格内放1粒,第二个格内放2粒,第三个格内放4粒,
第四个格内放8粒,…,国王很快 就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不
了他对这位大臣的奖赏承诺.
这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢?
每个格的麦粒数组成首项为1,公比为2的等比数列 ,大臣西萨·班·达依尔所要的奖赏
就是这个数列的前64项和.即求 ,怎么计算?

二、信息交流,揭示规律
如何求数列1,2,4,…2,2各项的和?
以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为:
S
64
=1+2+4+8+…+2+2 ①
用公比2乘以①的两边,得
2S
64
=2+4+8+16+…+2+2 ②
由②- ①可得:S
64
=2-1.
这种求和方法称为 ,它是研究数列求和的一个重要方法.
等比数列的前n项和公式:
当q≠1时,S
n
= ① 或S
n
= ②
64
6 364
6263
6263

当q=1时,S
n
=na< br>1

公式的推导方法一:
一般地,设等比数列a
1
,a2
,a
3
,…,a
n
,…它的前n项和是
S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
,
由
得
所以(1-q)S
n
=a
1
-a
1
q.
所以当q≠1时,
当q=1时,
公式的推导方法二:
S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n
=a
1
+q(a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n-1
)
=a
1+qS
n-1
=a
1
+q(S
n
-a
n
)
?(1-q)S
n
=a
1
-a
n
q(结论同上).
现在我们看一看本节开头提出的问题,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺?
国王承诺奖赏的麦粒数为
S
64
==2-1≈1.84×10,
据测量,一般一千粒麦子重约为40g,则这些麦子的总质量约为7.36×10g,约合7360
亿吨 .国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢?
三、运用规律,解决问题
【例1】求下列等比数列前8项的和.
(1),….
(2)a
1
=27,a
9
=,q<0.

【例2】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加
10%, 那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果取整数)?




17
6419
n

四、变式训练,深化提高
已知等比数列{a
n
}满足a
3
=12,a
8
=,记其前 n项和为S
n
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n
;
(2)若S
n
=93,求n.



五、反思小结,观点提炼



参考答案
一、设计问题,创设情境
S
64
=1+2+4+8+…+2+2
二、信息交流,揭示规律
“错位相减法” S
n
=na
1

三、运用规律,解决问题
【例1】解:(1)因为a
1
=,q=,所以当n=8时,S
n
=.
(2)由a
1
=27,a
9
=,可得=27·q.又由q<0,可得 q=-.
于是当n=8时,S
8
=.
【例2】分析:第1年销售量为5000台.
第2年销售量为5000×(1+10%)=5000×1.1(台).
第3年销售量为5000×(1+10%)×(1+10%)
=5000×1.1(台).
……
第n年销售量为5000×1.1台.
则n年内的总销售量为(5000+5 000×1.1+5000×1.1+…+5000×1.1)(台).
解:根据题意,每年销售量比 上一年增加的百分率相同.所以从今年起,每年的销售量组
成一个等比数列{a
n
}, 其中a
1
=5000,q=1+10%=1.1,S
n
=30000.
于是得到:=30000.
2n-1
n-1
2
3
6263

整理,得1.1=1.6.
两边取常用对数,得lg1.1=lg1.6,即nlg1.1=lg1.6.
用计算器算得
n=≈5(年).
答:大约5年可以使总销售量达到30000台.
四、变式训练,深化提高
解:(1)设等比数列{a
n
}的公比为q,则
解得
所以a
n
=a
1
q=48·.
(2)S
n
==96,
由S
n
=93,得96=93,解得n=5.
五、反思小结,观点提炼
略
2.5 等比数列的前n项和(第2课时)
学习目标
掌握等比数列的 前n项和公式,能用等比数列的前n项和公式解决相关问题.通过等比数
列的前n项和公式的推导过程, 体会“错位相减法”以及分类讨论的思想方法.通过对等比
数列的学习,发展数学应用意识,逐步认识数 学的科学价值、应用价值,发展数学的理性思维.
合作学习
一、设计问题,创设情境
复习引入:
1.等比数列的通项公式
2.等比数列的前n项和公式 .
3.类比等差数列的前n项和,等比数列的前n项和会有怎样的性质?
已知数列{a
n
}是等差数列,S
n
是其前n项和.
可以证明若k∈N,S
k
,S
2k
-S
k
, 成等差数列.
那么等比数列是否有类似的性质?
二、信息交流,揭示规律
1. 等比数列的通项公式和前n项和公式这两个公式中含有五个量,分别是S
n
,a
n,n,q,a
1
,
两个公式对应两个方程,因此已知其中的三个量就可以求另外的 两个量,即“知三求二”.
*
n-1
n
n

把公式看 成方程,两个公式对应两个方程,可以解决两个未知数.
2.已知数列{a
n
}是等比数列,S
n
是其前n项和.
可以证明:k∈N,S
k
,S
2k
-S
k
,S
3k
-S
2k
成等比数列.
S
k
=a
1
+a
2
+a
3
+…+a
k
=a
1
(1+q+q +…+q),
S
2k
-S
k
=a
k+1
+ak+2
+a
k+3
+…+a
2k
=a
k+1
( 1+q+q+…+q),
S
3k
-S
2k
=a
2k+1< br>+a
2k+2
+a
2k+3
+…+a
3k
=a
2k+1
(1+q+q+…+q),
= .
三、运用规律,解决问题
【例1】在等比数列{a
n
}中,已知a
1
=2,S
3
=26,求q和S
n
.




【例2】在等比数列{a
n
}中,已知S
n
= 48,S
2n
=60,求S
3n
.



【例3】已知S
n
是数列{a
n
}的前n项和,S
n
=p (p∈R,n∈N),判断{a
n
}是否为等比数列?



四、变式训练,深化提高
等比数列{a
n
}的前n项和为S
n,已知S
1
,S
3
,S
2
成等差数列.
(1)求{a
n
}的公比q;
(2)若a
1
-a
3
=3,求S
n
.


五、反思小结,观点提炼


n*
2k-1
2k-1
2k-1
*

参考答案
一、设计问题,创设情境
1.a
n
=a
1
q
2.S
n
=
3.S
3k
-S
2k

二、信息交流,揭示规律
2.q
三、运用规律,解决问题
【例1】解: 因为S
3
=26,a
1
+a
2
+a
3
=2 6,
所以a
1
(1+q+q)=26,即2(1+q+q)=26,
于是得q+q-12=0,解得q=-4,或q=3,
当q=-4时,S
n
=×(-4),
当q=3时,S
n
==3-1.
【例2】解:由性质知:S
n,S
2n
-S
n
,S
3n
-S
2n
成 等比数列.
所以12=48×(S
3n
-60),解得S
3n
=63.
【例3】解:由S
n
=p(n∈N),有a
1
=S
1
=p .
当n≥2时,a
n
=S
n
-S
n-1
=p-p =(p-1)p,
故a
2
=(p-1)p,因此数列{a
n
}成等比数列?
但满足此条件的实数p是不存在的,所以数列{a
n
}不是等比数列.
四、变式训练,深化提高
解:(1)由题意,有S
1
+S
2
=2S
3
,即a
1
+(a
1
+a
1
q) =2(a
1
+a
1
q+a
1
q).
又已知a
1
≠0,q≠0,解得q=-.
(2)由已知得a
1-a
1
=3,解得a
1
=4.从而S
n
=.
五、反思小结,观点提炼
略
3.1 不等关系与不等式(第1课时)
学习目标
1.通过具体情境建立不等观念,并能用不等式或不等式组表示不等关系.
2.了解不等式或不等式组的实际背景.
3.能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.
2
nn-1n-1
n*
2
n
n
2
22k
n-1

合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:请大家阅读下列问题,说出下列问题中蕴含着怎样的数量关系.
(1)下面左图是某品牌牛奶盒子背面的图片,成分表传达了怎样的信息?
(2)下面右图中的“100”“80”表示什么意思?


(3)某天的天气预报报道,最高气温32℃,最低气温26℃.



二、信息交流,揭示规律
问题2:问题1中的三个问题,蕴含着怎样的数量关系?与等量关系 一样,不等关系也是自
然界中存在着的基本的数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在,那么你 能举出一
些与不等关系有关的现实生活的例子吗?



问题3:在数学中用什么来表示不等关系?什么是不等式?不等号有哪些?



三、运用规律,解决问题
你能用刚才所学的知识来解决一些问题吗?你敢于接受挑战吗?请大家看下面的问题:
【例1】用不等式表示下列情况:
(1)a与b的和是负数;

(2)x的平方加上x的2倍大于10;
(3)实数a的绝对值不超过3;
(4)x不小于y的2倍,且x与y的差不大于6.




四、变式训练,深化提高
【例2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本. 据市场调查,若单价每
提高0.1元,销售量就相应减少2000本.若把提价后杂志的定价设为x元, 怎样用不等式表示
销售的总收入不低于20万元呢?



问题4 :不等式(组)表示数量关系中的什么关系?既然不等式表示数量之间的不等关系,
那么我们在用不等式 解答实际问题时,应从哪些角度分析实际问题呢?



问题5:例2中的不等关系是什么?销售收入由哪个量来决定?请大家列出相应的不等式.



问题6:本题中,若不用“定价”表示题中的不等关系,你能否选取其他的变量来 表示这
个不等关系呢?




【例3】某钢铁厂要把长 度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种,按照生产的要

求,600m m钢管的数量不能超过500mm钢管的数量的3倍.写出满足上述所有不等关系的不等
式.


问题7:这个问题中涉及哪些不等关系呢?这些不等关系中涉及的量最少能用几个变量
表示呢?


问题8:用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时,有哪些步骤?



五、反思小结,观点提炼
问题9:同学们,通过这节课的学习我们学到了什么知识、方法以及数学思想?



参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:(1)花生含量>3%,乳粉含量>0.8%;
(2)“小客车行驶速度≤100kmh”“除小客车外的其他车辆行驶速度≤80kmh”;
(3)26℃≤这一天的气温≤32℃.
二、信息交流,揭示规律
问题2:不等关系;学生举例:高矮、胖瘦、长短、轻重等.
问题3:不等式;用不等号将两个代数式连接起来的式子叫不等式;<、>、≠、≤、≥.
三、运用规律,解决问题
【例1】(1)a+b<0;
(2)x+2x>10;
(3)|a|≤3;
(4)
2

四、变式训练,深化提高
问题4:不等关系;找出不等关系以及不等关系中涉及的量,并用合理的字母表示这些
量.
问题5:“销售的总收入≥20万元”;定价.
若杂志的定价为x元,则销售量就减少万本.
销售量为万本,则总收入为x万元.
即“销售的总收入不低于20万元”的不等式表示为x≥20.
问题6:可设杂志的单价提高了0.1n元(n∈N),
那么销售量减少了0.2n万本,单 价为(2.5+0.1n)元,则也可得“销售的总收入不低于20
万元”的不等式,表示为(2.5+ 0.1n)(8-0.2n)≥20.
【例3】问题7:①“500mm钢管总长度+600mm钢管总长度≤4000mm”;
②“600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的数量的3倍”;
③“两种钢管的数量都不能为负”.
两个,即两种钢管的数量.
解:假设截得500mm和600mm钢管的数量分别为x,y根.
同时满足上述不等关系,可以用下面的不等式组来表示:
问题8:(1)找出问题中的不等关系,必要时用文字、符号等表示出来;
(2)分析不等关系中涉及的量,并分析这些量之间的数量关系;
(3)用最少的变量(字母)表示不等关系中涉及的量;
(4)列出与不等关系对应的不等式(组).
五、反思小结,观点提炼
问题9:(1)生活中存在着大量的不等关系;
(2)用不等式(组)表示不等关系时,应遵 循“一找(不等关系);二析(涉及的量);三设(设
出合理的未知数);四列(不等式(组))”.
(3)本节课的学习过程中,重点渗透了数学建模思想和函数思想.
3.1 不等关系与不等式(第2课时)
学习目标
1.掌握常用不等式的基本性质.
2.会将一些基本性质结合起来应用.
3.学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
*

合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:等式的性质有哪些?请大家用符号表示出来.


问题2:根据等式的这些性质,你能猜想不等式的类似性质吗?请大家加以探究.


二、信息交流,揭示规律
问题3:上面得到的结论是否正确,需要我们给出证明. 需要证明的不等式,是描述两个
数之间的大小关系,可以用什么方法比较呢?其原理是什么呢?


问题4:请大家用作差法证明性质(4).


问题5:利用上面的性质,证明不等式的下列性质:
性质5 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d;
性质6 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd;
性质7 如果a>b>0,那么a>b(n∈N,n≥1);
性质8 如果a>b>0,那么(n∈N,n≥2).


三、运用规律,解决问题
【例题】已知a>b>0,c<0,求证.


问题6:观察条件和结论中的不等式有什么差异?用不等式的哪些性质可以将条件向结
论转化?

nn

问题7:请大家思考还有其他证明方法吗?请大家尝试一下.



问题8:用作差法比较两个数的大小,一般经历哪几个步骤?


四、变式训练,深化提高
变式训练1:下列结论的正误,正确的打“√”,错误的打“×”.
①若b②若a>b,则. ( )
③若,则a>b. ( )
④若a+c>b+d,则a>b,c>d.( )
⑤若a>b>0,则a>b>0. ( )
⑥若,则a>b. ( )
变式训练2:设x

变式训练3:设α∈,β∈,那么2α-的取值范围是( )
A. B. C.(0,π) D.
2222
22
五、反思小结,观点提炼


参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:①对称性:a=b?b=a;②传递性 a=b,b=c?a=c;③加法法则:a=b?a±c=b±c;④
乘法法则:a=b,c≠0?ac =bc.
问题2:(1)如果a>b,那么bb.即a>b?b

(2)如果a>b,b>c,那么a>c.即a>b,b>c?a>c.
(3)如果a>b,那么a+c>b+c.
(4)如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,c<0,那么ac二、信息交流,揭示规律
问题3:可以用作差法比较.
a-b>0?a>b;a-b=0?a=b;a-b<0?a问题4:证明:因为a>b,c>0,
所以ac-bc=c(a-b)>0,
所以ac>bc.
同理可证如果a>b,c<0,那么ac问题5:证明:(5)因为a>b,
所以a+c>b+c. ①
因为c>d,
所以b+c>b+d. ②
由①②得,a+c>b+d.
(6)?ac>bd;
(7)因为a>b>0,由性质(6)可得a>b,(n∈N,n≥1);
(8)(反证法)假设,
若这都与a>b矛盾,
所以.
三、运用规律,解决问题
【例题】证明:因为a>b>0,所以ab>0,>0.
于是a×>b×,即.
由c<0,得.
问题6:结论中的a,b在分母上,且结论中a,b,c在同一个不等式中;性质(4).
问题7:有,用作差法.
证明:因为,
又因为a>b>0,所以b-a<0,ab>0.
又c<0,所以>0,所以.
问题8:作差—变形—定号—结论,四个步骤.
nn

四、变式训练,深化提高
变式训练1:答案:√、×、×、×、×、√
变式训练2:解:方法一:(x+y)(x-y)-(x-y)(x+y)
=(x-y)=-2xy(x-y),
∵x0,x-y<0,∴-2xy(x-y)>0,
∴(x+y)(x-y)>(x-y)(x+y).
方法二:∵xy,x+y<0.
∴(x+y)(x-y)<0,(x-y)(x+y)<0,
∴0<<1,
∴(x+y)(x-y)>(x-y)(x+y).
变式训练3:解析:由题设得0<2α<π,0≤,
-≤-≤0,所以-<2α-<π.
答案:D
五、反思小结,观点提炼
略
3.2 一元二次不等式及其解法(第1课时)
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式的方法.
合作学习
一、设计问题,创设情境 < br>问题1:观察不等式x-4x<0和-x+x+2>0,它们有什么共同特征?怎样给这样的不等式命名?它的一般形式是什么?


问题2:请尝试求解不等式x-4x<0.


问题3:两种方法分别体现了什么样的数学思想?哪种方法更简洁、直观?请同学 们用这
种方法求不等式-x+x+2>0的解集.
2
2
22
222 2
2222
22
2222
2222

问题4:用数形结合的方法求解一元二次不等式的解集,主要关注相应二次函数图象的
什么特征?


问题5:上面的方法可以推广到求一般的一元二次不等式ax+bx+c>0或a x+bx+c<0(a>0)
解集吗?相应的二次函数图象与x轴的交点情形确定吗?由谁决定?怎么处 理?(分类讨论)请
大家探究.
根据探究的情形,完成下表:
Δ
三个“二

Δ>

Δ=
0

Δ<
0
22
次” 0
二次函数
y=ax+bx+c

(a>0)的图
象
一元二次方
程
ax+bx+c=0


2
2


续表

Δ
Δ>
三个“二次”
0
ax+bx+c>0(a>
0)
的解集

2

Δ=
0

Δ<
0

ax+bx+c<0(a>
0)
的解集

问题6 :当二次项系数a<0时,怎样处理呢?请大家思考解一元二次不等式的一般步骤,并完成
下面的程序框 图.

2


二、运用规律,解决问题
【例题】解下列不等式:
(1)4x-4x+1>0;
(2)-x+2x-3>0.



三、变式训练,深化提高
变式训练1:解下列不等式:
(1)-x+2x+8≥0;
(2)x-6x+9≤0.


变式训练2:请同学们自己编两道解一元二 次不等式的题目,并由同位给出解答,交流解
2
2
2
2

答结果.


四、反思小结,观点提炼
问题7:本节课我们主要用什么 思想方法推导了一元二次不等式的解法?这种思想对一
般的不等式f(x)>0可以求解吗?具体步骤是 什么?类似的你能用这种方法求不等式f(x)>k
的解集吗?



参考答案
一、设计问题,创设情境
问题1:只含有一个未知数,并且未知数的最高 次数是2;一元二次不等
式;ax+bx+c>0(<0)(a≠0).
问题2:(数形结合)设f(x)=x-4x,画出其图象.
2
2

容易知道方程x-4x=0的根x
1
=0,x
2
=4,就是函数f(x)= x-4x的零点,也就是函数
f(x)=x-4x的图象与x轴交点的横坐标.
而不等式x- 4x<0的解集,即f(x)<0的解集,也就是函数f(x)=x-4x图象在x轴下方的
部分对应的 横坐标的取值集合为{x|0(化归转化)不等式x-4x<0可以化为x(x-4)<0,由“符号法则”得
或
解得{x|0问题3:函数思想、数形结合思想和化归转化思想;数形结合;{x|-1问题4:开口方向和图象与x轴交点的横坐标.
问题5:能;不确定;判别式Δ;分类讨论.
Δ>0 Δ=0 Δ<0
2
22
2
22

二次函数
y=ax+bx+c
(a>0)的图象
一元二次方程 有两相异实根
ax+bx+c=0
ax+bx+c>0(a>
0)
的解集
ax+bx+c<0(a>
0)
的解集

问题6:可利用不等式的基本性质,将二次项系数化为正;当然也可以考虑其图象求解.
{x|x
1
2
} ? ?
2
2
2
2

有两相等实根

无实根

x
1
,x
2
(x
1
2
) x
1
=x
2
=-
{x|x1
或x>x
2
} R


二、运用规律,解决问题
【例题】解:(1)因为Δ=0,方程4x-4x+1=0的解是x
1
=x
2
=.
所以,原不等式的解集是.
(2)整理,得x-2x+3<0.
因为Δ<0,方程x-2x+3=0无实数解,
所以不等式x-2x+3<0的解集是?.
2
2
2
2

从而,原不等式的解集是?.
三、变式训练,深化提高
变式训练1:解:(1)不等式可化为x-2x-8≤0,
因为Δ>0,方程x-2x-8=0的解为x
1
=-2,x
2
=4,而函数 y=x-2x-8的图象开口向上,所以原
不等式的解集为{x|-2≤x≤4}.
(2)注意到x-6x+9=(x-3)≥0,
所以,原不等式的解集为{x|x=3}.
四、反思小结,观点提炼
问题7:函数与方程思想;可以;画出函数y=f(x)的图象,求 出函数y=f(x)的图象与x轴
交点的横坐标,即方程f(x)=0的根,然后根据函数y=f(x) 的图象与x轴的位置关系,即可得
出相应不等式的解;只需将x轴,换做直线y=k即可.
3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)
学习目标
1.巩固一元二次方程、 一元二次不等式与二次函数的关系,进一步熟悉一元二次不等式
的解法.
2.会解含参数的一元二次不等式.
3.能应用一元二次不等式解决简单问题.
合作学习
一、设计问题,创设情境
题组一:再现型题组
解答下列各题:
(1)已知二次函数f(x)=ax+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax+bx+c=0的 解
是 一元二次不等式ax+bx+c>0的解集是 .
2
22
22
22
2

(2)若关于x的不等式x+2x+m>0的解集为R,则实数m的取值范围是 .
(3)已知a<0,则关于x的不等式(x-a)(x+a)<0的解集为 .
(4)若关于x的不等式x+ax+b<0的解集为{x|12
2

二、信息交流,揭示规律
问题1:二次函数f(x)= ax+bx+c(a≠0)、一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)和一元二次不
等式ax+bx +c>0(a≠0)之间有怎样的关系?



问题2:通过前面的学习思考:确定一元二次不等式的解集的因素有哪些?



三、运用规律,解决问题
题组二:提高型题组
【例1】已知关于x的不等式ax+x+2>0.
(1)若该不等式对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围;
(2)若该不等式的解集为{x|-1



【例2】已知a>0,解关于x的不等式ax-(a+1)x+1<0.




【例3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度x kmh有如下的
关系:s=x+x.
在一次交通事故中,测得这种车的刹 车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是
多少?(精确到0.01kmh)


2
2
2
2
22

四、变式训练,深化提高
题组三:反馈型题组
变式训练1:若不等式ax+x+2>0对任意的x∈(-1,2)恒成立,求实数a的取值范围.




变式训练2:若将例2中的条件“a>0”换为“a∈R”,再去求解.



五、反思小结,观点提炼
问题3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想?


参考答案
一、设计问题,创设情境
题组一:再现型题组
(1)0,4 {x|0(2)(1,+∞)
(3)(a,-a)
(4)-1
二、信息交流,揭示规律
问题1:规律一:一元二次方程和一元二次不等式都可以看做是相应 二次函数的特殊情
形.一元二次方程的解是相应二次函数的函数值等于零时,自变量的取值.也就是二次 函数图
象与x轴交点的横坐标.而一元二次不等式的解集是相应的二次函数的函数值大于零时,自
变量的取值集合,也就是函数图象在x轴上方的部分对应的横坐标的取值集合.
一元二次不等式解集 的情形与一元二次不等式的根的个数的情形相对应.当一元二次不
等式ax+bx+c>0(a≠0)的 解集为{x|x1
或x>x
2
}时,可以得到a>0,且x
1< br>,x
2
是一元二次方程
2
2

ax+bx+c= 0(a≠0)的两个解;当一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x
1
2
}时,
可以得到a<0,且x
1
,x
2
是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个解.
问题2:规律二:首先是二次项系数a的符 号;其次是相应一元二次方程的根的判别式
Δ=b-4ac的符号;最后是相应一元二次方程的根.总之 ,一元二次不等式的系数a,b,c决定
了它的解集.因此,当系数a,b,c不确定时,往往按照上述 三个方面的情形分类讨论.
三、运用规律,解决问题
题组二:提高型题组
【例1】解:(1)由题意,得
解得a>.
(2)由题意,-1,t是关于x的方程ax+x+2=0的两根,
所以解得a=-1,t=2.
【例2】解:不等式可化为a(x-1)<0,
①当<1,即a>1时,不等式的解集为;
②当=1,即a=1时,不等式的解集为?;
③当>1,即0综上所述,当a>1时,不等式的解集为;当 a=1时,不等式的解集为?;当0的解集为.
【例3】解:设这辆汽车刹车前的速度至少为x kmh,根据题意,我们得到x+x>39.5.
移项整理得:x+9x-7110>0,
显然Δ>0,
方程x+9x-7110= 0有两个实数根,即x
1
≈-88.94,x
2
≈79.94.
所以不等式的解集为{x|x<-88.94,或x>79.94}.
在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94kmh.
四、变式训练,深化提高
题组三:反馈型题组
变式训练1:解:方法一:设f(x)=ax+x+2,
①当a≥0时,因为-10,故f(x)>0显然成立;
②当a<0时,由二次函数图象知,只需即
解得a≥-1,所以-1≤a<0.
综上可知,实数a的取值范围是a≥-1.
2
2
2
2
2< br>2
2
22

方法二:①当x=0时,不等式ax+x+2>0显然 成立,此时a∈R;
②当x≠0时,不等式ax+x+2>0可以化为a>-2,
令t=,则t∈(-∞,-1)∪.
由题意,不等式a>-2t-t在t∈(-∞,-1)∪时恒成立,所以,a≥-1.
综上可知,实数a的取值范围是[-1,+∞).
变式训练2:解:①当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);
②当a>0时,同例2;
③当a<0时,因为<1,所以,不等式的解集为∪(1,+∞).
综上所述,当a>1时, 不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为?;当0的解集为;当a=0时,不 等式的解集为(1,+∞);当a<0时,不等式的解集为∪(1,+∞).
五、反思小结,观点提炼
问题3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一
元二次不 等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想.
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(第1课时)
学习目标
1.了解二元一次不等式的几何意义.
2.能用平面区域表示二元一次不等式(组).
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题1:你会求二元一次方程x+y-1=0的 解吗,它的解有多少个?请你写出几个.这些解可
以用怎样的几何图形表示?



问题2:二元一次方程x+y-1=0可以用怎样的几何图形表示?二元一次方程x+y-1 =0与表
示它的直线l有怎样的关系?



问题3:你会解二元 一次不等式x+y-1>0吗?你能写出该不等式的几个解吗?在平面直角
2
2
2

坐标系中,这些解对应的点与直线l:x+y-1=0有什么关系?你能找到二元一次不等式 x+y-1>0
表示的几何图形吗?请探究并解答以上问题.


二、信息交流,揭示规律
问题4:在平面直角坐标系中,直线l:x+y-1=0右侧的点的 坐标都能使x+y-1的值大于0
吗,为什么?直线l:x+y-1=0上方的点的坐标都能使x+y- 1的值大于0吗?


练习:请大家画出二元一次不等式2x-y-2≥0表示的平面区域.


问题5:为什么直线要画成实线?为什么表示的平面区域在直线的右下方呢?


问题6:在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示的几何意义是什么呢?



问题7:二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C =0哪一侧的区域呢?请大家完成下
表.
区
A B 不等式
域
A>0 B>0 Ax+By+C>0
A>0 B<0 Ax+By+C>0
A<0 B>0 Ax+By+C>0
A<0 B<0 Ax+By+C>0

三、运用规律,解决问题
不等式
域
Ax+By+C<0
Ax+By+C<0
Ax+By+C<0
Ax+By+C<0
区

【例1】画出不等式x-2y>4表示的平面区域.


【例2】用平面区域表示不等式组的解集.

问题8:大家先观察一下这个不等式组中各个不等式的特征,再考虑一下如何画图.


四、变式训练,深化提高
变式训练:(1)求例2中,不等式组表示的平面图形的面积;
(2)当x∈Z,y∈Z时, 我们把点(x,y)称为“整点”,求例2中满足不等式组的整点的个
数.



五、反思小结,观点提炼
问题9:二元一次不等式这一代数中的“数量关系”是怎 样与平面区域这一“几何形
式”结合起来的?这一过程体现了怎样的数学思想?如何作二元一次不等式表 示的平面区域?



参考答案
一、设计问题,创设情境 问题1:无数个;…,(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1),…;可以用 平面直角坐标系中
的点表示.
问题2:平面直角坐标系中的直线;方程x+y-1=0的解与直线l上点的坐标一一对应.

问题3:二元一次不等式x+y-1>0的解有无数多个,每个解在平面直角 坐标系中对应的点
都在直线l:x+y-1=0的右上方.
问题4:因为直线上各点P(x, y)的坐标都使x+y-1的值等于0,而直线右侧与P(x,y)在同
一水平线上的点P
1< br>(x
1
,y)的横坐标x
1
>x,故x
1
+y-1> 0;对,道理一样.
练习:

问题5:不等式包含相等这种情况,所以不等式表示的区域应该包括边界.
因为,直线上的点 向右移动时,x变大,所以2x会变大,这样就使得2x-y-2的值变大;同
理,直线上的点向右移动 时,y变小,但是-y会变大,这样就使得2x-y-2的值变大.
问题6:一般地,在平面直角坐 标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0
某一侧所有点组成的平面区域 ,我们把直线画成虚线,以表示区域不包括边界.
不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线.
问题7:二元一次不 等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0哪一侧的区域呢?请大家完成下
表.
A B 不等式 区域
右上
A>0 B>0 Ax+By+C>0
方
右下
A>0 B<0 Ax+By+C>0
方
左上
A<0 B>0 Ax+By+C>0
方
Ax+By+C<0
方
Ax+By+C<0
方
右下
Ax+By+C<0
方
左上
不等式 区域
左下

左下
A<0 B<0 Ax+By+C>0
方

三、运用规律,解决问题
Ax+By+C<0
右上
方

【例1】解:先作出边界x-2y=4,画成虚线.
因为,A>0,B<0,
所以,不等式x-2y>4表示的平面区域在直线x-2y=4的右下方(如图所示).
问题 8:可以先将各个不等式整理成一般形式,也可以先做出每个不等式对应的边界,然
后在边界一侧取一个 特殊点,将其坐标代入验证,若满足这个不等式,则该点坐在一侧就是不
等式表示的区域,否则,另一侧 便是.简单地说,就是“直线定界,特殊点定域”.

【例2】解:先作出边界x=y+1,取原点(0,0)代入不等式x≤y+1,
因为0<0+1,所以原点(0,0)在x≤y+1表示的区域内;
后面两个不等式表示的平面区域同理可作.
取三个区域重叠的部分,图中阴影部分就表示原不等式组的解集.
四、变式训练,深化提高
变式训练:解:(1)将三个不等式对应的直线方程分别联立,解得阴影部分,即三角形的三
个 顶点坐标分别为(-1,2),(-1,-2),(1,0),故三角形的面积为×=4.
(2)由( 1)的解答知,阴影部分点的横坐标x∈,分别令x=-1,0,1,代入不等式组,求出y
的范围后知 道,整点依次为
(-1,2),(-1,1),(-1,0),(-1,-1),(-1,-2),(0 ,1),(0,0),(0,-1),(1,1)共9个.
五、反思小结,观点提炼
问题9 :通过二元一次不等式的解与平面直角坐标系中的点的坐标的对应关系,再结合

二元一次 方程的几何意义;数形结合思想;直线定界,特殊点定域.
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域(第2课时)
学习目标
1.巩固用二元一次不等式和二元一次不等式组表示平面区域的方法.
2.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题:北京2008年奥运会主体育场“鸟巢”的外形结构是由许多巨大的钢架构成的,在
当时 为了按期完工,每天至少需要50根高质量钢柱,已知只有两个厂有能力生产这种钢柱,
一号钢厂和二号 钢厂每间车间的日生产量分别是10根和8根,但是每个厂每天总共能投入生
产的车间至多6间,那么两 个钢厂每天各提供多少车间才能满足每天的需求呢?




二、信息交流,揭示规律
师生交流1:探究2中的数学关系式能准确描述这个问题吗?这样完善后,问题解决了吗?
如何解决呢? x一定能取到0到6之间的每一个值吗?那么如何使得我们的工作更有效
呢?



师生交流2:两种探究方案有没有共同特征?这两种探究方案中,哪个 应用价值更高?那
么再碰到类似的问题时,应该如何求解呢?

三、运用规律,解决问题
【例题】要将两种大小不同的钢板截成A,B,C三 种规格,每张钢板可同时截得三种规格
的小钢板的块数如下表所示:
规格类
A
型
格
钢板类型
第一种钢板 2
第二种钢板 1

今需A,B,C三种规格的成品至少分别为15,18,27块,用数学关系式和图形表示上述要求.


师生交流3:A,B,C三种规格的成品的数量由哪些量决定?A,B,C三种规 格的成品数量的
表达式是什么?整个问题可以用几个变量来描述?


师生交流4:这类问题求解的一般步骤有哪些?


四、变式训练,深化提高
变式训练:一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车皮甲种肥 料的主要原料是磷酸
盐4t、硝酸盐18t;生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐 15t.现库存磷
酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学 关系式,并
画出相应的平面区域.



师生交流:有的同学画出 的图形比较准确、美观,而有的同学在作图过程中不怎么顺利,
作出的图形也很模糊,什么原因导致的呢 ?
格
1
2
格
1
3
规B规C规

五、反思小结,观点提炼
1.这节课我们主要学习了什么内容?这类问题在解答时的关键步骤是什么?一般有哪些
数量关系?这 里的等量关系也可以看成什么关系?


2.用平面区域表示实际问题中的数量关系有什么好处?这体现了什么数学思想?


参考答案
一、设计问题,创设情境
学生探究1:用特殊值的办法代入验证,可以得 到一号钢厂与二号钢厂各投入车间的方
案有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5 ,0),(5,1),(6,0).
学生探究2:设一号钢厂、二号钢厂分别投入x个车间和y个车间,
则x,y应满足
二、信息交流,揭示规律
1.不能.因为车间数为自然数,所以应该是没有;

给x或y取0到6之间的特殊值,代入后得出满足约束条件的另一个变量的值.
不一定;可以画出不等式组表示的平面区域,得出x的范围后,再代入求解.
由解得点A的坐标为(1,5),所以1≤x≤6.
分别令x=1,2,3,4,5,6代入 不等式组后可以得到y的值,并得出可行的方案
有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2) ,(5,0),(5,1),(6,0).
2.有,探究1实质上也是利用问题中的不等关系求得可行 方案;第二种,只有当平面区域

中的点有有限个且较少时,第一种才简洁.
设出变量—列出关系式—画出平面区域—利用平面区域求解.
三、运用规律,解决问题 3.第一、二两种钢板的数量.A的数量=第一种钢板数量×2+第二种钢板数量×1;B的数
量= 第一种钢板数量×1+第二种钢板数量×2;C的数量=第一种钢板数量×1+第二种钢板数
量×3;两 个,即第一、二两种钢板的数量.

【例题】解:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,则

用图形表示以上限制条件,得到如图所示的平面区域(阴影部分).
4.(1)分析问题中的量以及量与量之间的关系(等量关系与不等关系);
(2)设出合理的变量x,y表示问题中的不等关系,列出不等式组;
(3)用平面区域表示不等式组.
四、变式训练,深化提高
变式训练:

解:设x,y分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数,于是满足以下条件:

在直角坐标系中可表示成如图的平面区域(阴影部分).
师生交流:画图前没有分析不等式对应的直线方程的特征,刻度单位选取的不合理导致
的.
五、反思小结,观点提炼
1.用不等式组和平面区域描述实际问题;分析问题中的数量关系; 等量关系和不等关系;
函数关系.

2.直观;数形结合思想.

3.3.2 简单的线性规划问题(第1课时)
学习目标
1.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
2.了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等
概念.
3.了解线性规划的图解法,并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值.
合作学习
一、设计问题,创设情境
问题情境:在现实生产、生活中,经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.
例如,某工厂用A,B两种配件生产甲、乙两种产品,两种产品所需配件、耗时、利润如下
表:
所需配件及数
产品
量
甲产
A配件4个
品
乙产
B配件4个
品

该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件 和12个B配件,按每天工作8小时计算,怎样安排
生产才能使利润最大?
问题1:利润由哪些量来决定?有哪些数量关系?
根据这些数量关系,可以设出几个未知数?
请你用这些未知数,表达出问题中的数量关系.



问题2:有了上面的分析过程,这个实际问题可以转化为怎样的数学问题?
2 3
1 2
件) 件)
耗时(小时利润(万元

问题3:我们前面碰到过求最值的问题吗?一般方法有哪些?这个问题能转化为前面所学的函数问题吗?那么,怎样获取符合条件的x,y的值呢?




二、信息交流,揭示规律
问题4:若把不等式组改变为求z=2x+3y的最大值,这种方法 还可以用吗?那样如何求解
呢?



问题5:大家在刚才的代入 法求解中,有没有发现点A(0,3),B(3,1)使得z=2x+3y都为9,
也就是使2x+3y =9成立,你能用所学的知识解释这一现象吗?那么在平面区域内还有这样的
点吗?点(4,1)会对应 着类似的直线吗?



问题6:如何从几何角度认识z=2x+3y?它 对应的图形是什么?有什么条件约束这组平行
直线?那么,怎样求z的最大值呢?请大家自己探究一下.




三、运用规律,解决问题
【例题】设z=2x+y,式中变量x,y满足条件求z的最大值和最小值.

问题7:请大家反思一下,解答线性规划问题的一般步骤是什么.


四、变式训练,深化提高
变式训练1:设z=6x+10y,式中x,y满足条件求z的最大值和最小值.




变式训练2:请大家在上面的线性约束条件下,探究目标函数z=x-3y的最大 值和最小值
分别对应可行域中的哪个点?


问题8:目标函数z=ax+by中,z与纵截距的关系主要由哪个字母决定?




问题9:刚才有的同学得出目标函数z=x-3y的最大值和最小值分别对应可行 域中的点C
和点B,这是什么原因造成的呢?



五、反思小结,观点提炼
问题10:目标函数z=ax+by中有几个自变量?我们这节课学 习的线性规划问题,体现了什
么数学思想?那么我们在四个步骤中应该注意什么问题?