高中数学必修5模块过关测试含详细解析

高中数学必修五模块测试
时间：120分钟 总分：150分

一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）
1．等比数列
?
a
n
?
中，
a
5
a
14
?5
，则
a
8
a
9
a
10
a
11
?
（ ）．


A．
10

A．
6





B．
25

B．
2

ab
?

cd




C．
50

C．
3





D．
75

D．
26

2．在
△ABC< br>中，
A?45?
，
B?60?
，
a?2
，则
b
等于（ ）．
3．若
b?0?a
，
d?c?0
，则（ ）．
A．
bd?ac
B． C．
a?c?b?d
D．
a?c?b?d

4．关于
x
的不等式
x
2< br>?x?5?3x
的解集是（ ）．
A．
{x|x≥5
或
x≤?1}
B．
{x|x?5
或
x??1}
C．
?
x?1?x?5
?
D．
?
x?1≤x≤5
?

5．在
△ABC
中，< br>a?2
，
b?3
，
C?60?
，则
S
△AB C
?
（ ）．
A．
23
B．
3

2
C．
3
D．
3

2
6．不在
3x?2y?6
表示的平面区域内的一个点是（ ）．
A．
(0,0)
B．
(1,1)
C．
(0,2)
D．
(2,0)

7．已知数列
?< br>a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?3
，若
a
n
?2008
， 则
n?
（ ）．
A．
667
B．
668
C．
669
D．
670
?11?
8．若不等式
ax
2
?bx?2?0
的解集是
?
x??x?
?
，则
a?b
的值为（ ）．
23
??
A．
?10
B．
?14
C．
10
D．
14

9．若将
20
，50
，
100
都分别加上同一个常数，所得三个数依原顺序成等比数列，则此等比 数列的公
比是（ ）．
A．
1

2
3

2
4

3
B． C．
5
D．
3

11
，则
y?x(1?2x)
取最大值时
x
的值是（ ）．
22
1
11
A． B． C．
42< br>3
11
11．已知
a
，
b?R
?
且
??1
，则
a?b
的最小值为（ ）．
ab
A．
2
B．
8
C．
4

10．已知
0?x?
D．
2

3
D．
1

12．等比数列
?
a
n
?
中，已知对任意自然数
n
，
a
1
?a
2
?a
3
?
（ ）．
A．
(2
n
?1)
2

1
n
B．
(2?1)

3
22
?an
?2
n
?1
，则
a
1
2
?a
2
?a
3
??a
2
n
等于
C．
4
n
?1

1
n
D．
(4?1)

3
13．某人朝正东方向走
x
千米后，向右转
150?
并走
3
千米，结果他离出发点恰 好
3
千米，那么
x
的值
为（ ）．
A．
3
B．
23
C．
3
或
23
D．
3

14．对于任意实数< br>x
，不等式
(a?2)x
2
?2(a?2)x?4?0
恒成立 ，则
a
的取值范围是（ ）．

A．
?
??,2
?
B．
?
??,2
?

B．
6

C．
?
?2,2
?
D．
?
?2,2
?

15．已知
x?2y?1
，则
2
x
?4
y
的最小值为（ ）．
C．
22
D．
32

16．给出平面区域如图所示，其中< br>A(1,1)
，
B(2,5)
，
C(4,3)
，若使目标函数
Z?ax?y(a?0)
取得最大
值的最优解有无穷多个，则
a
的值 是（ ）．
A．
8

y
B

C
A
O
x

23
B．
1
C．
4
D．
32
17．在一幢
10
米高的楼顶测 得对面一塔顶的仰角为
60?
，塔基的俯角为
45?
，那么这座塔的高是（ ）．
A．

?
3
?
1?
A．
10
??
??

3
??
B．
101?3

??
C．
5
?
6?2

?
D．
2
?
6?2

?
18．下列结论正确的是（ ）．
A．当
x?0
且x?1
时，
lgx?
C．当
x≥2
时，
x?
1
≥2

lgx




B．当
x?0
时，
x?
1
x
≥2

1
的最小值为
2

x
D．当
0?x≤2
时，
x?
1
无最大值
x
19．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别为
45
个、
50
个， 所用原料为
A
、
B
两种规格的金属板，每
张面积分别为
2m
2
、
3m
2
，用
A
种金属板可造甲产品
3
个，乙产品
5
个，用
B
种金属板可造甲、乙产品
各
6
个，则
A
、
B
两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料 面积最省？（ ）．
A．
A
用
3
张，
B
用
6
张
C．
A
用
2
张，
B
用
6
张










B．
A
用
4
张，
B
用
5
张
D．
A
用
3
张，
B
用
5
张
x

8
天，且每件产品每天的仓储费用为
1
元．为使平均每 件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批
20．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用 为
800
元．若每批生产
x
件，则平均仓储时间为
应生产产品（ ）．
A．
60
件 B．
80
件 C．
100
件 D．
120
件
二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
21．在
△ABC
中，若
sinA:sinB:sinC?7:8:13
，则角
C?
____ ______．
22．设
x
，
y
是满足
2x?y?4的正数，则
lgx?lgy
的最大值是__________．
23．不等式< br>(x?2)(3?x
2
)?0
的解集是__________．
x?1
≥0
的解集为__________．
x?2
【答案】
(??,?1](2,??)

24．不等式
25．数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S< br>n
?n
2
?1(n?N
*
)
，则它的通项公式是__ ________．

26．在公差不为
0
的等差数列
?a
n
?
中，
a
1
，
a
3
，< br>a
4
成等比数列，则该等比数列的公比__________．
?
1
?
27．已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?ln
?1?
?
，则数列
?
a
n
?
的通项公式为___ _______．
n
??
c
，
C
所对的边分别为
a
、
b
、28．锐角
△ABC
中，角
A
、
B
、若
C?2A
，则
c
的取值范围是__________． a
29．已知
x?0
，
y?0
，且
21
??1
，若
x?2y?m
2
?2m
恒成立，则实数
m
的取 值范围是__________．
xy
?
x?0
?
y?0
?
30．设
x
，
y
满足条件
?
；求
z?2 x?y
的最大值__________．
2x?3y≤12
?
?
?
3x?y≤7
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
31．在三 角形
ABC
中，
?A
、
?B
、
?C
的对边 分别为
a
、
b
、
c
，若
bcosC?(2a?c) cosB
．
（I）求
?B
的大小．
（II）若
b?7< br>，
a?c?4
，求
△ABC
的面积．



32．某人承揽一项业务，需做文字标牌
4
个，绘画标牌
5
个，现有 两种规格的原料，甲种规格每张
3m
2
，
可做文字标牌
1
个 ，绘画标牌
2
个，乙种规格每张
2m
2
，可做文字标牌
2< br>个，绘画标牌
1
个，求两种规
格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？




33．某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定 为
8m
，最大装水量为
72m
3
，池底和池壁的
造价分别为
2a
元
m
2
、
a
元
m
2
，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？
最低造价是多少？





34．在等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，前
n
项和
S
n
满足条件
（
1
）求数列
?
a
n
?
的通项公式和
S
n
．
（
2
）记
b
n< br>?a
n
?2
n?1
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
．





S
2n
?4
，
n?1
，
2< br>，
S
n
，

高中数学必修五模块测试详解

一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分）
1．等比数列
?
a
n
?
中，
a
5
a
14
?5
，则
a
8
a
9
a
10
a
11
?
（ ）．
A．
10
B．
25
C．
50
D．
75

【答案】B
【解析】根据等 比数列的性质可知
a
8
a
11
?a
9
a
1 0
?a
5
a
14
?5
，所以
a
8
a
9
a
10
a
11
?5
2
?25
，故选
B
．

2．在
△ABC
中，
A?45?< br>，
B?60?
，
a?2
，则
b
等于（ ）．
A．
6
B．
2
C．
3
D．
26

【答案】A
【解析】在
△ABC
中，根据正弦定理有：

3．若
b?0?a
，
d?c?0
，则（ ）．
A．
bd?ac
B．
ab
?

cd
abasinB2sin60?
???6
，故选
A
． ，所以
b?
sinAsinBsinAsin45?
C．
a?c?b?d
D．
a?c?b?d

【答案】C
【解析】
A
选项，由
b?0?a
，
d?c?0
可知，bd?0
，
ac?0
，则
bd?ac
，故
A
错 误；
a
b
ab
?0
，
?0
，所以
?，故
B
错误；
ccd
d
B
选项，由
d?c? 0
，
b?0?a
可知
C
选项，因为
b?a
，
d?c
，所以
b?d?a?c
，即
a?c?b?d
，故
C
正确；

D
选项，
a?b
，
c?d?a?c?b ?d
，如
a?1
，
b??1
，
c??1
，
d??4
，
a?c?b?d
，故
D
错误．
综上所述，故选< br>C
．

4．关于
x
的不等式
x
2
?x?5?3x
的解集是（ ）．
A．
{x|x≥5
或
x≤?1}
B．
{x|x?5
或
x??1}
C．
?
x?1?x?5
?
D．
?
x?1≤x≤5
?

【答案】B
【解析】不等式< br>x
2
?x?5?3x?x
2
?4x?5?0?(x?1)(x?5)? 0?x?1
或
x?5
，
∴不等式
x
2
?x?5? x
的解集是
{x|x?5
或
x??1}
，
故选
B
．

5．在
△ABC
中，
a? 2
，
b?3
，
C?60?
，则
S
△ABC
?
（ ）．
A．
23
B．
3

2
C．
3
D．
3

2
【答案】D
1133
?
，故选
D
． 【解析】
S
△ABC
?absinC??2?3?
2222

6．不在
3x?2y?6
表示的平面区域内的一个点是（ ）．
A．
(0,0)
B．
(1,1)
C．
(0,2)
D．
(2,0)

【答案】D

【解析】
A
选项，当
x?0
，
y?0
时，
3x?2y?0?6
，故
(0,0)
在
3x?2y?6
表示的平面 区域内，
A
错
误；
B
选项，当
x?1
，
y?1
时，
3x?2y?5?6
，故
(1,1)
在
3x?2 y?6
表示的平面区内，故
B
错误；
C
选项，当
x?0< br>，
y?2
时，
3x?2y?4?6
，故
(0,2)
在
3x?2y?6
表示的平面区域内，故
C
错误；

D选项，当
x?2
，
y?0
时，
3x?2y?6?6
，故
(2,0)
不在
3x?2y?6
表示的平面区域内，故
D
正 确．
综上所述，故选
D
．

7．已知数列
?
a< br>n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1?a
n
?3
，若
a
n
?2008
，则
n?
（ ）．
A．
667
B．
668
C．
669
D．
670

【答案】D
【解析】∵ 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，< br>a
n?1
?a
n
?3
，
∴数列
?
a
n
?
是以
1
为首项，
3
为公差的等差数列，∴< br>a
n
?3n?2
，
∵
a
n
?2008，∴
3n?2?2008
，解得
n?670
．故选
D
．

?11?
8．若不等式
ax
2
?bx?2?0
的 解集是
?
x??x?
?
，则
a?b
的值为（ ）．
23
??
A．
?10
B．
?14
C．
10
D．
14

【答案】B
?11?
【解析】因为不等式
ax
2
?bx?2?0
的解集是
?
x ??x?
?
，
23
??
1
1
所以
?，是方程
ax
2
?bx?2?0
的两根，
2
3
b11211
由韦达定理可知：
????
，
???
，解得：
a??12
，
b??2
，
a23a23
所以
a?b??14
，故选
B
．

9．若将
20
，
50
，
100
都分别加上同一个常 数，所得三个数依原顺序成等比数列，则此等比数列的公
比是（ ）．
A．
1

2
3

2
4

3
B． C．
5
D．
3

【答案】D
【解析】设加的常数为
x
，得的三个数分别为
20?x
，
5 0?x
，
100?x
，
∵所得三个数依原顺序成等比数列，
∴< br>(50?x)
2
?(20?x)(100?x)
，解得
x?25
，
∴所得新的等比数列是
45
，
75
，
125
，则此等比数列的公比为
故选
D
．

10．已知
0?x?
1
A．
3
【答案】B
11
，则
y?x(1?2x)
取最大值时
x
的值是（ ）．
22
11
B． C．
42
755
?
．
453
D．
2
3

1
?
1
?
11
2
【解析】< br>y??(1?2x)??x?x
，对称轴为
x??
?
0,
?< br>，且函数图象开口向下，
4
?
2
?
22
11
∴当
y?x(1?2x)
取最大值时
x?
．
24
故选
B
．

11．已知
a
，
b?R
?
且
A．
2

11
??1
，则
a?b
的最小值为（ ）．
ab
B．
8
C．
4

11
??1
，
ab
D．
1

【答案】C
【解析】∵
a
，
b?R
?
，
baab
?
11
?
∴
a?b?(a?b)
?
??
?2??≥2?2??4
，当且仅当
a?b?2
时，等号成立． abba
?
ab
?
∴
a?b
的最小值为
4．
故选
C
．

12．等比数列
?
a
n
?
中，已知对任意自然数
n
，
a
1
?a
2
?a
3
?
（ ）．
A．
(2
n
?1)
2

1
n
B．
(2?1)

3
?a
n
?2
n
?1
，
a
n< br>)?(a
1
?a
2
?
2
?a
n?1
)?2
n
?1?(2
n?1
?1)?2
n?1
，
a
n
?(2
n?1
)
2
?4
n?1
， 22
?a
n
?2
n
?1
，则
a
12
?a
2
?a
3
??a
2
n
等于 C．
4
n
?1

1
n
D．
(4?1)

3
【答案】D
【 解析】∵
a
1
?a
2
?a
3
?
∴
a
1
?1
，
a
n
?(a
1
?a
2
?
2
∴
a
n
是以
1
为首项，
4< br>为公比的等比数列，
??
2
1
∴
a?a?

2
2
1?(1?4
n
)1
n
?a??(4?1)
．故选
D
．
1?43
2
n
13．某人朝正东方向走
x
千米后，向右转
150?
并走
3
千米，结果他离出发点恰好3
千米，那么
x
的值
为（ ）．
A．
3
B．
23
C．
3
或
23
D．
3

【答案】C
【解析】
A

x
30°
3
C
B

3
如图，
AB?x
，
BC?3
，
AC?3
，
?ABC?30?
，
由余弦定理得：
3
2
?x
2
?9?2?3?xcos30?
，解得
x?23
或
x?3
．故选
C
．

14．对于任意实数
x
，不 等式
(a?2)x
2
?2(a?2)x?4?0
恒成立，则
a
的取值范围是（ ）．
A．
?
??,2
?
B．
?
??,2
?
C．
?
?2,2
?
D．
?
?2,2
?

【答案】D
【解析】当
a? 2?0
时，即
a?2
时，不等式为
?4?0
恒成立，故
a? 2
符合题意；
当
a?2?0
时，即
a?2
时，不等式(a?2)x
2
?2(a?2)x?4?0
恒成立，则：
?
a?2?0
，解得
?2?a?2
．
?
2
??4(a?2)?16(a?2)?0
?
综上所述，
a
的取值范围是(?2,2]
，故选
D
．

15．已知
x?2y?1
，则
2
x
?4
y
的最小值为（ ）．
A．
8
B．
6
C．
22
D．
32

【答案】A
【解析】∵
2
x
，
4
y
均大于
0
，
∴
2
x
?4
y
≥22
x
?4
y
?22
x
?2
2y?22
x?2y
?22
．故选
C
．

16． 给出平面区域如图所示，其中
A(1,1)
，
B(2,5)
，
C(4 ,3)
，若使目标函数
Z?ax?y(a?0)
取得最大
值的最优解有无穷多 个，则
a
的值是（ ）．
y
B

C
A
O
x

A．
2

3
B．
1
C．
4
D．
3

2
【答案】A
【解析】依题意可得，目标函数
z ?ax?y
在可行域的边界上取得最大值．因为
a?0
，所以根据图形可
知目 标函数在
AC
所在直线上取得最大值，所以
a?k
AC
?

17．在一幢
10
米高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为
60?
，塔基 的俯角为
45?
，那么这座塔的高是（ ）．

3?12
?
，故选
A
．
4?13
?
3< br>?
101?
A．
??
??

3
??
B．
101?3

??
C．
5
?
6?2

?
D．
2
?
6?2

?
【答案】B
【解析】

E

A
60°
45°
D

B
C
根据题意，设楼 高
AB?10
米，塔高为
CE
，
?EAD?60?
，
?DAC?45?
，则
AD?CD?AB?10
米，
∴
DE?A Dtan60??103
，
CE?CD?DE?10?103?10(1?3)
．故选
B
．

18．下列结论正确的是（ ）．
A．当
x?0
且
x?1
时，
lgx?
C．当
x≥2
时，
x?
【答案】B
【解析】
A
项，当
0?x?1
时 ，
lgx?0
，所以
lgx?
1
?0
，故
A
项错误；
lgx
1
≥2

lgx
1
x




B．当
x?0
时，
x?≥2

1
的最小值为
2

x
D．当
0?x≤2
时，
x?
1
无最大值
x
B
项，当
x?0
时，
x?
C
项，当
x ≥2
时，
x?
1
≥2
x
x?
1
?2
，故
B
项正确；
x
1
?x≥2
，所以其最小值不可能为
2
，故
C
项错误；
x
113
D
项，当< br>0?x≤2
时，易知
x?
单调递增，所以当
x?2
时，
x?
有最大值，故
D
项错误．
xx2
综上所述，故选
B
．

19．某厂生产甲、乙两种 产品，产量分别为
45
个、
50
个，所用原料为
A
、
B
两种规格的金属板，每
张面积分别为
2m
2
、
3m2
，用
A
种金属板可造甲产品
3
个，乙产品
5
个，用
B
种金属板可造甲、乙产品
各
6
个，则
A
、
B
两种金属板各取多少张时，能完成计划并能使总用料面积最省？（ ）．
A．
A
用
3
张，
B
用
6
张
C．
A
用
2
张，
B
用
6
张
【答案】A
【解析】设
A
，
B
两种金属板各取
x
，
y
张，则满足的约束条件为：
?
3x?6y≥45
?< br>?
5x?6y≥50
，总用料面积函数
z?2x?3y
，
?
x≥0,y≥0
?










B．
A
用
4
张，
B
用
5
张
D．
A
用
3
张，
B
用
5
张

y

??
525
,
24
Ox

?
525
?
在点
?
,
?
，目标函数取得最小值，
?
24
?
即当
A
、
B
两种金属板各取
3
，
6
张时，能完成计划并使总用料面积最省，故选
A
．

x

8
天，且每件产品每天的仓储费用为
1
元．为使平均每 件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批
20．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用 为
800
元．若每批生产
x
件，则平均仓储时间为
应生产产品（ ）．
A．
60
件 B．
80
件 C．
100
件 D．
120
件
【答案】B
【解析】每 件产品的生产准备费用与仓储费用之和为
即
x?80
时，取得最小值．故选
B
．

二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
21．在
△ABC
中，若
sinA:sinB:sinC?7:8:13
，则角
C?
__________．
【答案】
120?

【解析】在< br>△ABC
中，
a:b:c?sinA:sinB:sinC?7:8:13
，
800x
800x800x
?
，
?≥2??20
，当且仅 当
x8x8
x8
a
2
?b
2
?c
2
1
设
a?7k
，
b?8k
，
c?13k
，根据余 弦定理有
cosC???
，故
C?120?
．
2ab2

22．设
x
，
y
是满足
2x?y?4
的正数，则< br>lgx?lgy
的最大值是__________．
【答案】
lg2

【解析】∵
x
，
y
满足
2x?y?4
的正数，
∴
2x?y?4≥22xy
，即
xy≤2
，
∴
l gx?lgy?lgxy≤lg2
，故
lgx?lgy
的最大值是
lg2．

23．不等式
(x?2)(3?x
2
)?0
的解 集是__________．
【答案】
(??,?3)(3,2)

【解析】原不等式可转化为
(x?2)(x?3)(x?3)?0
，

3
3
2

利用数轴表根法可得：
x??3
或
3?x?2
， < br>故不等式
(x?2)(3?x
2
)?0
的解集是
(??,?3 )(3,2)
．

x?1
≥0
的解集为__________．
x?2
【答案】
(??,?1](2,??)

24．不等式
x?1
≥0
等价于
(x?1)(x?2)≥0
且
x?2?0
，解得
x≤?1
或
x?2
，
x?2
x?1
≥0
的解集为
(??,?1](2,??)
． 故不等式
x?2

【解析】
25．数列
?
a
n?
的前
n
项和为
S
n
?n
2
?1(n ?N
*
)
，则它的通项公式是__________．
?
2,n?1
a?
【答案】
n
?

?2n?1,n≥2
【解析】由题意可知：当
n?1
时，
a
1?S
1
?2
，
当
n≥2
时，
S
n< br>?n
2
?1
，
S
n?1
?(n?1)
2?1
，
∴
a
n
?S
n
?S
n?1< br>?n
2
?(n?1)
2
?2n?1
．
经验证
a
1
不满足
a
n
?2n?1
， < br>故
?
a
n
?
的通项公式是：
a
n
?
?

26．在公差不为
0
的等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
，
a
3
，
a
4
成等比数列，则该等比数列的公比__________．
【答案】
1

2
?
2,n?1
．
?
2n?1,n≥2
【解析】 设公差为
d
，则
(a
1
?2d)
2
?a
1
(a
1
?3d)
，
∴
a
1
??4d，
a
3
??2d
，
∴
q?

?1
?
27．已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?a
n
?ln
?
1?
?
，则数列
?
a
n
?
的通项公式为 __________．
n
??
1
．
2
【答案】
a
n
?1?lnn

?
1?
【解析】∵
a
n?1
?a
n
?ln
?
1?
?
，
?
n
?
∴
a
n?1
?a
n
?ln
n?1
，
n
∴
a
n?1< br>?a
n
?ln(n?1)?lnn
，
∴
a
n?1
?ln(n?1)?a
n
?lnn
，
∴
?
a
n
?lnn
?
是常数列，
又∵
n?1
时
a
1
?ln1?1
，
∴
a
n
?lnn?1
，

故
a
n
?1?lnn
．

c，
C
所对的边分别为
a
、
b
、28．锐角
△A BC
中，角
A
、
B
、若
C?2A
，则
c< br>的取值范围是__________．
a
【答案】
(2,3)
【解析】锐角
△ABC
中角
A
、
B
、
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，
C?2A
，
∴
0?2A?
∴
ππ
，且
?3A?π
，
22
ππ
23
?A?
，∴
?cosA?
，
64
22
csin2A
??2cosA
，
asinA
由正弦定理可得
∴
2?
故

c
?3
，
a
c
的取值范围是
(2,3)
．
a
21
??1
，若
x?2y?m
2
?2m
恒成立，则实数
m
的取值范围是__________．
xy
29．已知
x?0
，
y?0
，且
【答案】
(?4,2)

【解析】∵
x?0，
y?0
，
21
??1
，
xy
?
21
?
x4yx4y
≥2??4?8
． ∴
x?2y?(x?2y)
?
?
?
?4??
xyyxyx??
∵
x?2y?m
2
?2m
恒成立，
∴
m
2
?2m?8
，解得：
?4?m?2
，
故实数
m
的取值范围是
(?4,2)
．

?x?0
?
y?0
?
30．设
x
，
y
满 足条件
?
；求
z?2x?y
的最大值__________．
2x ?3y≤12
?
?
?
3x?y≤7
【答案】
40

7
【解析】

y
7

4
??
3
O
722
,
07
76

x
满足约束条件的平面区域如图所示，当
x?

9
2240
，
y?
时，
z?2x?y
的最大值为．
7
77
三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分）
31．在 三角形
ABC
中，
?A
、
?B
、
?C
的对 边分别为
a
、
b
、
c
，若
bcosC?(2a?c )cosB
．
（I）求
?B
的大小．
（II）若
b?7
，
a?c?4
，求
△ABC
的面积．
【答案】
【解析】（
1
）由已知条件及正弦定理可得：
sinBcosC?2sinAcosB?cosBsinC
，
∴
2sinAcosB?sinBcosC?cosBsinC
，
2sinAcosB?sin(B?C)
．
∵在三角形
ABC
中，
sin(B?C)?sinA?0
，
∴
2sinAcosB=sinA
，
cosB?
∴
B?
π
．
3
1
，
2
（
2
）∵
b2
?7?a
2
?c
2
?2accosB
，
∴
7?a
2
?c
2
?ac
，
∴
7?(a?c)
2
?3ac
，
7?4
2
?3ac
，
∴
ac?3
，
1 1333
?
∴
S
△ABC
?acsinB??3?
．
2224

32．某人承揽一项业务，需做文字标牌
4
个，绘画标牌
5
个，现有两种规格的原料，甲种规格每张
3m
2
，
可做文 字标牌
1
个，绘画标牌
2
个，乙种规格每张
2m
2
，可做文字标牌
2
个，绘画标牌
1
个，求两种规
格的原料各用多少张 ，才能使总的用料面积最小？
【答案】
【解析】设需要甲种原料
x
张，乙 种原料
y
张，则可做文字标牌
(x?2y)
个，绘画标牌
(2x?y )
个，
由题意可得：

?
2x?y≥5
?
x?2y≥4
?
，所用原料的总面积为
z?3x?2y
．
?
x≥0
?
?
?
y≥0
作出可行域如图：
y
5
4
3

2
1
O1235x
x+2 y=4
2x+ y=5
4

在一组平行直线
3x?2y?t
中，进过可行域内的点且到原点最近的直线，
过直线
2x?y?5
和直线
x?2y?4
的交点
(2,1)
，
∴最优解为
x?2
，
y?1
．
故使用甲种规格原料
2
张，乙种规格原料
1
张，可使总的用料面积最小，最小用料面积为
8m
2
．

33．某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为< br>8m
，最大装水量为
72m
3
，池底和池壁的
造价分别为2a
元
m
2
、
a
元
m
2
，怎 样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最低？
最低造价是多少？
【答案】
【解析】设池底的另一边长为
x
，水池的高为
y
，则池底的造价为< br>16ax
，池壁的造价为
2axy?16ay
．
水池的造价为：
16a(x?y)?2axy
．
∵水池的最大装水量为
72
，
∴
8xy?72
，即
xy?9
，
∴
16a(x?y)?2axy≥32axy?2axy?114a
，
当且仅当
x?y?3
时，等号成立，
故将水池底的另一边和长方形高都设计 为
3m
时，总造价最低，最低造价为
114a
．

34． 在等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，前
n
项和
S
n
满足条件
（
1
）求数列
?
a
n
?
的通项公式和
S
n
．
（
2
）记
b
n
?a
n
?2
n?1
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n
．
【答案】
【解析】（
1
）设等数列
?
a< br>n
?
的公差为
d
，
S
2n
?4
，
n?1
，
2
，
S
n
，

S
2n
a
2
?a
1
?4?4
，所以
a
2
?3
，
d?a
2
?a
1
?2
， 由得 ：
S
n
a
1
∴
?
a
n
?
是以
1
为首项，
2
为公差的等差数列，
∴
a
n< br>?1?2(n?1)?2n?1
，
S
n
?
故
a
n
?2n?1
，
S
n
?n
2
．
（2
）由
b
n
?a
n
?2
n?1
，得< br>b
n
?(2n?1)?2
n?1
，
所以
T
n
?1?3?2
1
?5?2
2
?
2T
n
? 2?3?2
2
?5?2
3
?
??1?2(2
1
?2
2
?
?(2n?3)?2
n?2
?(2n?1)?2
n?1
，①
(a
1
?a
n
)?n
(1?2n?1)?n
??n
2
，
22
?(2n?3)?2
n?1
?(2n?1)?2
n
，②
?2?2
n?1
?(2n?1)?2
n
②
?
①得 ：
T
n
??1?2?2
1
?2?2
2
?2
n?1
)?(2n?1)?2
n

2(1?2
n?1
)
??1?2??(2n?1)?2
n

1?2
??1?4(1?2
n?1
)?(2n?1)?2
n

??1?4?2?2
n
?(2n?1)?2
n

?3?(2n?3)?2
n
．
故
T
n
?(2n?3)?2
n
?3
．