高中数学必修五：1角度问题

课 题
教
学
目
标
1．知识与技能
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题．
2．过程与方法
通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问 题的过程
中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三．
3．情感、态度与价值观
培 养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的
探索精神．

教学重点
能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系．

教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题．

教学方法 讲练结合

教学过程：步骤、内容、教学活动

二次备课
角度问题
第 课时

方位角与方向角
【问题导思】
课上，老师让同学们画148°的 方位角，有二位同学提出疑问，甲说：老师的
说法不对，应具体说出148°角是哪个方向偏哪个方向的 角度，如南偏东148°.
乙说：方位角应该小于90°，不应该为148°.你认为老师说法正确吗？ 二位同学
产生疑问的原因是什么？
【提示】 老师说法是正确的．二位同学产生疑问的原因是混淆了方位角与
方向角的概念．


图1－2－17
1．方位角：从指北方向顺时针方向转到目标方向线所成的水平角．如点B
的方位
角为
α
°(如图1－2－17)． 方位角的取值范围：0°～360°.
2．方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水 平角，如南偏西60°，
指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
俯角、仰角与坡角
(1)仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线 的
夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角，目标视线在水平视线下方时叫做俯
角．如图1－ 2－18，仰角为∠1，俯角为∠2.

图1－2－18
[来源:学科网ZXX K][来源:学|科|网Z|X|X|K]

(2)坡角是指斜坡所在平面与水平面的夹角．坡 度(坡比)是指坡面的垂直高度
和水平宽度的比．

确定航向的角度问题
一艘海轮从
A
出发，沿北
偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛< br>B
，然后从
B
出发，沿北偏东32°
的方向航行54.0 n mil e后达到海岛
C
.如果下次航行直接从
A
出发到达
C
，此船
应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01
n mile)

图1－2－19
【思路探究】 (1)如图
AB
，
BC
已知，只要求出它们的夹角
ABC
就可以用余
弦 定理求出
AC
，∠
ABC
怎样求？
(2)∠
CAB
怎样求？若求出∠
CAB
，航向该怎样表示？
【自主解答】 在△
ABC
中，∠
ABC
＝180°－75°＋32 °＝137°，根据余弦
定理，
AC
＝
AB
2
＋
BC
2
－2
AB
×
BC
×cos ∠
ABC

＝67.5＋54.0－2×67.5×54.0×cos 137°
≈113.15.
由正弦定理，得＝， sin ∠
CAB
＝
sin ∠
CAB
sin ∠
ABC
＝
22
BCACBC
sin ∠
ABC

AC
54.0×sin 137°
≈0.3255，所以∠
CAB
＝19.0°，
113.15
75°－∠
CAB
＝56.0°.
答：此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile.

1．本题中由于
A
、
C
均为固定点，故所 求航向是确定的，只要解出∠
CAB
的大
小，可用方向角表示出来．
2．在 解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角．因为余弦
函数在(0，π)上是单调递减的 ，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正
π
弦值可以对应两个角．但角在(0，]上 时，用正、余弦定理皆可．
2

如图1－2－20所示，从
A
到
B
，方位角是50°，距离是470 m，从
B
到
C
，
方位角是80°，距离是860 m，从
C
到
D
，方位角是150°，距离是640 m，试计
算从
A
到
D
的方位角和距离．

图1－2－20
【解】 连接
AC
，在△
ABC
中，
∠
ABC
＝50°＋(180°－80°)＝150°，
由余弦定理，得
AC
＝
AB
2
＋
BC
2
－2
AB
·
BC
cos 150°≈1 289 m，
由正弦定理，得
sin ∠
BAC
＝
BC
sin ∠
ABC
860sin 150°
≈≈0.333 6，
AC
1 289
∴∠
BAC
≈19.5°，
∴∠
ACB
≈10.5°.
在△
ACD
中，∠
A CD
≈80°－10.5°＋30°＝99.5°.
由余弦定理，得
AD
＝
AC
＋
CD
－2
AC
·
CD
cos ∠
ACD
≈1 531 m.
22
AC
2
＋
AD
2
－
CD
2
∴cos ∠
CAD
＝≈0.911 1，
2
AC
·
AD
∴∠
CAD
≈24.3°.
∴从
A
到
D
的方位角为50°＋19.5°＋24.3°＝93.8 °.
即从
A
到
D
的方位角约为93.8°，距离约为1 531 m.

不确定航向的角度问题

某渔船在航行中不幸遇险，
发出呼救信号，我海军舰艇在
A
处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距
离
A
为10海里的
C
处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里 时的
速度向小岛
B
靠拢，我海军舰艇立即以103海里时的速度前去营救，求舰艇的< br>航向和靠近渔船所需的时间．
【思路探究】 (1)你能否根据题意画出图形？(2)舰艇与渔船在何处相遇？
相遇时有怎样的等量关系？
【自主解答】 如图所示，设所需时间为
t
小时，
则
AB
＝103
t
，
CB
＝10
t
，

在△
ABC
中，根据余弦定理，则有
AB
2
＝
A C
2
＋
BC
2
－2
AC
·
BC
· cos 120°，
可得：(103
t
)＝10＋(10
t
)－2 ×10×10
t
cos 120°.
222

整理得：2
t
－
t
－1＝0，
1
解得
t
＝1或
t
＝－(舍去)，
2
所 以舰艇需1小时靠近渔船，此时
AB
＝103，
BC
＝10.
在△
ABC
中，由正弦定理得：＝，
sin∠
CAB
sin 120°
10×
2
BCAB
3
2
1
BC
·sin 120°
∴sin∠
CAB
＝＝＝.
AB
2
103
∴∠
CAB
＝30°.
所以舰艇航行的方位角为75°.


1．本题欲求方位角，先求边长，而 要求边长，需先求时间，由于舰艇与渔船
同时在移动，故相遇点不确定，即舰艇的航向不确定，解题时画 图的关键是设出
相遇点
B
，画出可以求解的三角形．
2．解决这类问题首先 明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，根据题意
画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题， 运用正弦定理或余弦定理求
解．体现了数形结合与方程的数学思想方法．

< br>在甲船
A
处观察到乙船在它的北偏东60°方向的
B
处，两船相距a
海里，乙
船正向北行驶，若甲船速度是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在
最短时间内追上乙船？此时乙船行驶了多少海里？

【解】 设甲船沿直线与乙船同时到
C
点，
则
A
、
B
、< br>C
构成△
ABC
，如图，设乙船速度为
v
，则甲船速度为3< br>v
，到达
C
处用时为
t
.
由题意
BC＝
vt
，
AC
＝3
vt
，∠
ABC
＝ 120°.
在△
ABC
中，由余弦定理得
AC
＝
AB＋
BC
－2
AB
·
BC
·cos 120°，
∴3
vt
＝
a
＋
vt
＋
avt
. ∴2
vt
－
avt
－
a
＝0,
解得
vt
＝－(舍去)或
vt
＝
a
. ∴
BC
＝
a
，
2
在△
ABC
中
AB
＝
BC
＝
a
，∴∠
BAC
＝∠
ACB
＝30°. 60°－30°＝30°.
22222222
222
a

即甲船应取北偏东30°的方向去追乙船，此时乙船行驶了
a
海里．
易错辨析题：
应用正余弦定理时出现增根致误

图1－2－21
某观测站
C
在
A
城的南偏西
20°方向上，由
A
城出发的一条公路走向是南偏东40°.在
C
处测得公路上距
C
为3 1 km的
B
处有一人正沿公路向
A
城走去，走了20 km后到达
D
处，此时
CD
间
的距离为21 km，则这人还要走多远才可到达
A
城？
【错解】 如题图所示，∠
CAD
＝60°，
在△
BCD
中，由余弦定理，得：
BC
2
＋
BD
2
－
CD
2
31
2
＋20
2
－2 1
2
23
cos
B
＝＝＝.
2
BC
·
BD
2×31×2031

所以sin
B
＝1－cos
B
＝
2
123
.
31
BC
sin
B
在△
ABC
中，
AC
＝＝24(km)．
sin ∠
BAC
在△
ACD
中，由余弦定理，得：
CD
2
＝
AC
2
＋
AD
2
－2
AC< br>·
AD
cos ∠
CAD
，
即21＝24＋
AD
－24
AD
. 所以
AD
＝15或
AD
＝9，
即这人还要走15 km或9 km才能到达
A
城．
【错因分析】 余弦定理中线段都带着平方，故求值时会出现两个值，未检
验解是否合题意，导致了错误．
【防范措施】 求解应用题一定要注意验根，看是否符合题意或符合实际问
题．
【正解】 设∠
ACD
＝
α
，∠
CDB
＝
β
，
在△
CBD
中，由余弦定理，得：
222
BD
2
＋
CD
2
－
CB
2
20
2
＋21
2
－31
2
143
cos
β
＝＝＝－. 所以sin
β
＝.
2
BD
·
CD
2×20×2177
431
所以sin
α
＝sin(
β
－60°)＝sin
β
cos 60°－sin 60°cos
β
＝×＋
72
3153
×＝.
2714
在△
ACD
中，由正弦定理，得

21×sin
α
所以
AD
＝＝15(km)．
sin 60°
即这人还要走15 km才可以到达
A
城．

巩固练习：

＝，
sin 60°sin
α
CDAD

图1－2－22
1．对右图正确的描述应为( )
A．东偏北
α
° B．东北方向
α
° C．北偏东
α
°
【答案】 C
2．已知两座灯塔
A
和
B
与海洋观察站C
的距离相等，灯塔
A
在观察站
C
的北
偏东40°，灯 塔
B
在观察站
C
的南偏东60°，则灯塔
A
在灯塔
B
的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10°
10°
【解析】 如图，由题意，知
AC
＝
BC
，∠
ACB
＝80°，
∴∠
CBA
＝50°，
α
＋∠
CBA
＝60°.
∴
α
＝10°，
即
A
在
B
的北偏西10°.
D．南偏西
[来源:学科网ZXXK]

【答案】 B

3．△
ABC
中，
a
＝4，
b
＝5，< br>c
＝7，则cos
C
＝( )
11
A．－ B.
55
74
C. D.
95
a
2
＋
b< br>2
－
c
2
－81
【解析】 cos
C
＝＝＝－.
2
ab
405
【答案】 A
4． 一船向正北匀速行驶，看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在
同一直线上，继续航行半小时后 ，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一
灯塔在南偏西75°方向上，求该船的速度．
【解】 如图，
B
，
C
为两灯塔，行驶半小时后船从
A到达
D
，由∠
ADC
＝75°，
∠
ADB
＝6 0°，∴∠
BCD
＝∠
BDC
＝15°.

∴
BD
＝
BC
＝10，∴
AD
＝10×cos 60°＝5.
1
设船速为
x
，则
x
＝5，即
x< br>＝10(海里小时)．
2

课堂小结：
1．测量角度问题是指无法 直接用量角器和测角仪测量角度的求解问题．在实
际生活中，要测量角的大小，求三角形中角度的大小， 求不能直接测得的角，求
轮船航行时航速与航向等问题都可以结合正、余弦定理，通过解三角形解决．
2．在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角

的 含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决.

布置作业：













板
书
设
计
教
学
反
思



[来源:]