人教A版高中数学必修五理科试卷

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作


高二下学期第一次月考理科数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） < br>1、复数
z
的共轭复数为
z
，那么条件p：
z?z
是 条件q：z为实数的（ ）
A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件
2．设
i
为虚数单位，则
7?i
3?4i
等于（ ）
A、1－
i
B、1＋
i
C、2＋
i
D、1－2
i
3. 已知f(x)=
3
x
·sinx，则
f'(1)
=( )
A.
1
3
+cos1 B.
1
3
sin1+cos1 C.
1
3
sin1-cos1 1+cos1
4、 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f ?(x)可能为（ ）

y
y
y
y y


O
x
O
x
O
x
O
x
O
x


y=f(x)
A
B
C D
3
5、
?
4
x?3x
2
?5
2
x
2
dx
的值为（ ）
A．1 B．
1
4
C.
5
4
D．2
6、由直线y= x - 4，曲线
y?2x
以及x轴所围成的图形面积为（ ）
A.
40
3
B.13 C.
25
2
D.15
7．函数
y?1?3x?x
3
有 （ ）
A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3
C. 极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2
8．函数
f(x)?ax
2
?2ax?1
在[-3，2]上有最大值4。那么 实数
a
等于
（ ）
A -3 B
3
8
C
?3或
3
8
D
3或?
3
8

9. 已知
f(x?1)?
2f(x)
f(x)?2
,f(1)?1

（x?N*）
，猜想
f(x）
的表达式为（ ）
A.
f(x)?
4212
2
x
?2
； B.
f(x)?
x?1
； C.
f(x)?
x?1
； D.
f(x)?
2x?1
.
10. 若
f(x)??
1< br>2
x
2
?bln(x?2)在(-1,+?)
上是减函数，则
b
的取值范围是（ ）
A.
[?1,??)
B.
(?1,??)
C.
(??,?1]
D.
(??,?1)

11．点
P
在曲线
y=x
3-x+
2
3
上移动时，过点
P
的切线的倾斜角的取值范围是 （ ）
A
[0,
?
]
B
(0,
?
2
)?[
3
??
3
?
3
4
?< br>,
?
)
C
[0,
2
]?[
2
,
4
?
]
D
[0,
2
]?[
4
?
,
?
)

12．对于R上可导的任意函数f（x），且
f
'
(1)?0
若满足 （x－1）
f
?
（x）
>0，则必有（ ）
A．f（0）＋f（2）? 2 f（1） B．f（0）＋f（2）? 2 f（1）
C．f（0）＋f（2）> 2 f（1） D．f（0）＋f（2）? 2 f（1）
二．填空题（每小题4分，共16分）
13、设
f(x)?
?
?
x
2
,x?[0,1]
2
?x,x?(1,2]
，则
?
0
f(x)dx
=
?
2
14、曲线
y?
2x
x
2
?1
在点
(0,0)
处的切线方程为 .

15、设复数
z
满足
1?z
1 ?z
?i
，则
1?z?
.
1 6、由
y=x
2
和
y?2x
围成的平面图形绕x轴旋转一周所形成的 旋转体的体积
为 .



三、解答题（本大题共74分）
17、（12分）设复数
Z=lg(m
2< br>-2m-2)+(m
2
+3m+2)i
，试求m取何值时
（1）Z是实数； （2）Z是纯虚数；
（3）Z对应的点位于复平面的第一象限




18、（12分）已知函数
f(x)?x
3
?3x
.
（1 ）求函数
f(x)
在
[?3,
3
2
]
上的最大值和 最小值.
（2）过点
P(2,?6)
作曲线
y?f(x)
的切线， 求此切线的方程.




19、（12分）在各项为正的数列< br>?
a
1
?
1
?
n
?
中,数列的前< br>n
项和
S
n
满足
S
n
?
2
?
?
?
a
n
?
a
?
,
n
?
?
⑴求
a
1
,a
2
,a
3
；
⑵由⑴猜想数列
?
a
n
?
的通项公式,并用数学归纳法证明 你的猜想







20、（12 分）已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c
在
x??
2
3
与
x?1
时都取得极值
(1)求
a,b
的值与函数
f(x)
的单调区间
(2)若 对
x?[?1,2]
，不等式
f(x)?c
2
恒成立，求c的取值范 围





21. （12分）设点P在曲线y?x
2
上，从原点向A（2，
4）移动，如果直线OP，曲线
y?x< br>2
及直线x=2所围成的
面积分别记为
S
1
、
S2
。
（Ⅰ）当
S
1
?S
2
时，求点P的坐标；
（Ⅱ）当
S
1
?S
2
有最小值时，求点P的坐标和最小值。





22（14分）已知过函数
f
（
x
）=
x
3
?ax
2
?1
的图象上一点
B
（1，
b
）的切线的斜率为－3．
（1）求
a
、
b
的值；
（2）求
A
的取 值范围，使不等式
f
（
x
）≤
A
－1993对于
x
∈[－1，4]恒成立；

(3) 令
g
?
x
?
??f
?
x
?
?3x
2
?tx?1
． 是否存在一个实数t，使得当
x?(0,1]
时，g（
x
）
有最大值 1？








参考答案
1、C 2、A 3、B 4、D 5、C 6、A 7、C 8、C 9、B 10、C 11、D 12、C
13、
5
6
14、.y=2x 15、
2
16、
64

15
?

2
17.解：
(1)
?
?
?
m?2m?2?0
?
解得m??2或－1。即m??2或－1时，Z是实数

?
m
2?3m?2?0
2
(2)
?
?
?
m?2m?2＝1?
m
2
?3m?2?0
解得m?3。即m?3时，Z是纯虚数

?
(3)
?
?
?
m
2
?2m?2?1?
m
2
?3m?2?0
解得m?3或m?－2。即m??3或m?－2时 ，

?
Z对应的点位于复平面的第一象限

18.解：（I）
f'(x)?3(x?1)(x?1)
，
当
x? [?3,?1)
或
x?(1,
3
]
时，
f'(x)?0，
?[?3,?1],[1,
3
22
]
为函数
f(x)
的单调增区间
当
x?(?1,1)
时，
f'(x)?0
，
?[?1,1]
为函数
f(x)
的单调减区间
又因为
f (?3)??18,f(?1)?2,f(1)??2,f(
3
)??
9
28
，
所以当
x??3
时，
f(x)
min
??18
当
x??1
时，
f(x)
max
?2
…………6分 （II）设切点为
Q(x,x
3
?3x)
，则所求切线方程为
y ?(x
3
?3x)?3(x
2
?1)(x?x)

由于切线 过点
P(2,?6)
，
??6?(x
3
?3x)?3(x
2
?1)(2?x)
，
解得
x?0
或
x?3
所以切 线方程为
y??3x或y?6?24(x?2)
即
3x?y?0
或
24x?y?54?0
…………12分

19 .解:⑴易求得
a
1
?1,a
2
?2?1 ,a
3
?3?2
…………2分
⑵猜想
a
n
?n?n?1(n?N
*
)
…………5分
证明:①当
n?1
时,
a
1
?1?0?1< br>,命题成立
②假设
n?k
时,
a
k
?k?k?1
成立,
则
n?k?1
时,
a
111
k?1
?Sk?1
?S
k
?
2
(a
a
?(a
1< br>k?1
?)
k
?)

k?1
2a
k

?
1
2
(a
11111
k?1
?
a
)?(k?k?1?)?(a
k?1
?)?k
,
k?1
2
k?k?1
2a
k?1
所以,
a
2
k?1
?2ka
k?1
?1?0
,
?a
k?1
?k?1?k
.
即
n?k?1
时,命题成立. 由①②知,
n?N
*
时,
a
n
?n?n?1
. …………12
分

20. 解：（1）
f(x)?x
3
? ax
2
?bx?c,f
'
(x)?3x
2
?2ax?b
由
f
'
(?
2
3
)?
12
9
?
4
3
a?b?0
，
f
'
(1)?3? 2a?b?0
得
a??
1
2
,b??2

f
'
(x)?3x
2
?x?2?(3x?2)(x?1)
，函数
f( x)
的单调区间如下表：


(??,?
2
3
)

?
2
3

(?
2
3
,1)



(1,??)

f
'
(x)


0



0


f(x)

?
极大值
?
极小值
?

所以函数< br>f(x)
的递增区间是
(??,?
2
)
与
(1,?? )
,递减区间是
(?
2
33
,1)
；…………6分

（2）
f(x)?x
3
?
1
2
x
2
?2x?c,x?[?1,2]
，当
x??
2222
3
时，
f(?
3
)?
27
?c

为极大值，而
f(2)?2?c
，则
f(2)?2?c
为最大值，要使
f(x)?c2
,x?[?1,2]

恒成立，则只需要
c
2
?f( 2)?2?c
，得
c??1,或c?2
…………12分


21 解：（Ⅰ）设点P的横坐标为t(0(t,t
2
)
，
直线OP的方程为
y?tx
…………2分
S
t
1
2
1
?
?
0
(tx?x
2
)dx?
6
t
3
，
S
2< br>?
?
t
(x
2
?tx)dx?
8
3
?2t?
1
6
t
3
…………6分
因为
S
4
416
1
?S
2
，所以
t?
3
，点P的坐标为
(
3
,
9
)
…………7分
（Ⅱ）
S?S
1
3
81
2
1
63
?2t?
6
t?
3
t
3
?2t?
8
1
?S
2
?t?
3
…………8分 < br>S
?
?t
2
?2
，令S＇=0得
t
2
?2?0
，
t?2
…………9分
因为
0?t?2
时，S＇<0；
2?t?2
时，S＇>0 …………11分
所以，当
t?2
时，
S?
8?42
min
3
,P点的坐标为
(2,2)
…………12分

22. 解：（1）
f
'
?
x
?
=
3x< br>2
?2ax

依题意得
k
=
f
'
?
1
?
=3+2
a
=－3， ∴
a
=－3
?f
?
x
?
?x
3
?3x
2
?1
，把
B
（1，
b
）代入得
b
=
f
?
1
?
??1

∴
a
=－3，
b
=－1 …………3分

（2）令
f
'
?
x
?
= 3
x
2
－6
x
=0得
x
=0或
x
=2
∵
f
（0）=1，
f
（2）=2
3
－3×2
2
＋1=－3
f
（－1）=－3，
f
（4）=17
∴
x
∈[－1，4]，－3≤
f
（
x
）≤17 < br>要使
f
（
x
）≤
A
－1993对于
x
∈[－1，4]恒成立，则
f
（
x
）的最大值17≤
A
－ 1993
∴
A
≥2010． …………7分

(3) 已知 g（
x
）=－
?
x
3
?3x
2
?1
?
?3x
2
?tx?1??x
3
?tx

∴g
'
?
x
?
??3x
2
?t

∵0＜
x
≤1，∴－3≤－3
x
2
＜0，
① 当 t＞3时，t－3
x
2
＞0，
即g
'
?
x
?
?0

∴g（
x
）在
(0.1]
上为增函数，
g（
x
）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）
② 当0≤t≤3时,
g
'
?
x
?
??3x
2
?t
< br>令
g
'
?
x
?
=0,得
x
=
t
3

列表如下:

x

（0,
tt
3
）
3

(
t
3
,1]

g
'
?
x
?

＋ 0 －
g（
x
） ↗ 极大值 ↘

3
g（
x
）在
x
=
t
3
处取最大值－
?
?
t
?
?
?
＋t
t
?
3
?
=1
?
3
∴t=
3
27
3
3
2
t
4=
2
＜
3
3

∴
x
=
t
＜1
3
'2
③ 当t＜0时，
g
?
x
?
??3x?t
＜0，∴g（
x
）在
(0.1]
上为减函数，
∴g（
x
）在
(0.1]
上为增函数，
3
32
∴存在一个
a
=，使g（
x
）在
(0.1]
上有最大值1．…………12分
2