人教A版高中数学必修五测试题

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益阳市箴言中学必修5测试试题
时间：120分钟 满分120分 命题人：谢立荣老师
一、选择题：（每小题4分共32分）
1．在等比数列
{a
n
}中,若a
1
?a
2
?40,a
3
?a
4
?60,则a
7
?a
8
=（ ）
A．150 B．135 C．95 D．80
2．n个连续自然数按规律排成下表：根据规律，从2008到2010，箭头的方向依次为 （ ）
A．↓→ B．↑→
C．→↑ D．→↓
0 3 4 7 8 11…



1 2 5 6 9 10
3．已知
S
S
5
n
表示等差数列{a
n
}的前n项和,且?
1
,那么
S
5< br>S
的值为（ ）
10
3S
20
A．
1
9
B．
1
10
C．
1
8
D．
1
3

4．设
0?b?a?1,
则下列不等式成立的是 （ ）
A．
ab?b
2
?1
B．
log
1
b?log
1
a?0
22

C．
a
2
?ab?1
D．
1
2
?(
1
a
1
2
)?(
2
)b

5．下列结论正确的是( )
A．当
x?0
且< br>x?1
时，
lgx?
1
lgx
?2
B。
当x?0
时，
x?
1
x
?2

C．当
x?2
时，
x?
1
x
的最小值为2 D。
0?x?2
时，
x?
1
x
无最大值
?
x?y?5?0
6．若不等式组
?
?
y?a
表示的平面区域是一个 三角形，则
a
的取值范围是（ ）
?
?
0?x?2
A.
a?5
B.
a?7
C.
5?a?7
D.
a?5
或
a?7

0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y
成等比数列，则
（a?b)
2
7．已知
x?0,y?
cd
的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
8．已知不等式
xy?ax
2
?2y
2
， 若对任意
x?
?
1,2
?
及
y?
?
2,3
?
，该不等式恒成立，则实数
a
的范围是（
A.
?1?a??
35
9
B.
a??3
C.
a??1
D.
?3?a??1

二、（每小题4分共28分）

）

9．已知
{a
n
}
为等差数列，且
a
1
?a
8
? a
15
?2
?
，则tan(
a
2
?a
14
)的值是
?
y?2
?
10．x、y满足约束条件：?
2x?y?5?0
，则
z?x?y?5
的最小值是________
?
x?y?4?0
?
n
(n?N*)
，则
a
n
?

3
1
222
12．在△A BC中，角A，B，C所对的边分别是学科网a，b， c，若
b?c?a?bc,且AC?AB?4
，
11．数列
?
a< br>n
?
满足
a
1
?3a
2
?3a
3< br>?
2
?3
n?1
a
n
?
则△ABC的面积等 于 ．
13．若正数x，y满足
x ?4y?xy
，那么使不等式
x?y?m?0
恒成立的实数m的取值范围是_ ．


14．定义一种运算“*”对于正整数满足下列运算：
（1）2*2000=1
（2）（2n+2）*2000=3+(2n)*2000;则2008*2000=
1
15．已知
a
n
?()
n
，把数列{a
n
}的各项排成如右图所示三角形形状，
3
记
A(m,n)
表示第 m行、第n列的项，则
A(10,8)?
___________,
a
120
在图中的位置为 。


三、解答题：(8+8+10+10+12+12=60分)
16．某公司计划2009年在 甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万
元，甲、乙电视台的广告收 费标准分别为
500
元分钟和200元分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司
所做的每 分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个
电视台 的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？


















17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，tanC=
37.

（1）求cosC；
（2）若
CB?CA?





5
,且a?b?9,求c.

2

1 8．某观测站C在城A的南偏西20°的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40°，在C
处 测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、
D 间距离为21千米，问这人还需要走多少千米到达A城？





















19．美国华尔街的次贷危机引起的 金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家
举行大型的促销活动，经测算该产品 的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用
x
万元满足
P?3?
4?
2
，已知生产该产品还需投入成本
10?2P
万元（不含促销费用），产品的 销售价格定为
x?1
20
万元.
P
（Ⅰ）将该产品的利润
y
万元表示为促销费用
x
万元的函数；
（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大。

2
20．在数列
?
a
n
?
中，
S
n
是数列
?
a
n
?
前
n
项和，
a
1
?1
，当
n?2,S
n
?a
n
(S
n
?)

1
2
（I）求
a
n
；
（II）设
b
n
?
S
n
求数列
?
b
n
?
的前
n
项和< br>T
n
；
2n?1
?
（III）是否存在自然数m，使得对任 意自然数
n?N
，都有
T
n
?
1
(m?8)
成立？若存在，求出m的最
4
大值；若不存在，请说明理由。




















21．已知数 列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n满足
S
n?1
?kS
n
?2
(n?
N
*
)，且
a
1
?2,a
2
?1

（I）求
k
的值和
S
n
的表达式；
（II）是否存在正整数
m,n
，使
理由。








S
n
?m
1
?
成立？若存在，则求出这样的正整数；若不存在，请说明
S
n?1
?m2< /p>

参考答案：
3
? n
1-8BABDBCDC;（9）
3
（10）
?
（11）
a
n
?3
（12）
23
（13）m < 9（14）3010
2
（15）.
()
;
A(11,20)

16. 解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为
x
分钟和
y< br>分钟，总收益为
z
元，由题意得
1
3
89
?
x?y≤300，
?
………3分
?
500x?200y≤9 0000，
?
x≥0，y≥0.
?
目标函数为
z?3000x?2000y
．…………5分
?
x?y≤300 ，
?
二元一次不等式组等价于
?
5x?2y≤900，

?
x≥0，y≥0.
?
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域． ………8分
如图：作直线
l:3000x?2000y?0
，即
3x?2y ?0
．
平移直线
l
，从图中可知，当直线
l
过
M
点时，目标函数取得最大值．
y
500
400
300
l 200
100
M
0 100 200 300
x
?
x?y?300，
解得
x?100，y?200
．
?< br>5x?2y?900.
?
点
M
的坐标为
(100，200)< br>． ……………10分
?z
max
?3000x?2000y?700000
（元）
联立
?
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大， 最大收益是70
万元．………………………12分
sinC
?37.
（2分）
cosC
11
又sin
2
C?cos
2
C?1,解得cosC??.(4分)tanC?0,?C是锐角.?cosC?.(6分)
88
55
（2）
?CB?CA?,?abcosC?,?ab?20.
（8分）
22
22
又a?b?9,?a?2ab?b?81.?a
2
?b2
?41.?c
2
?a
2
?b
2
?2abco sC?36,?c?6.(12分)
17. 解：（1）
?tanC?37,即
18. 解：根据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，
∠CAB=60?．设∠ACD = α ，∠CDB = β ．
在△CDB中，由余弦定理得：

CD
2
?BD
2< br>?BC
2
21
2
?20
2
?31
2
1
cos
?
????
2?CD?BD2?21?207
，
43
7
．
sin
?
?sin
?
180? ??CAD??CDA
?
?sin
?
180??60??180??
?
?

sin
?
?1?cos
2
?
??sin
?
?
?60?
?
?sin
?
cos6 0??cos
?
sin60??
在△ACD中，由正弦定理得：
4311353
????
727214
．…9分
CD215321 53
?sin
?
?????15
．答：此人还得走15千米到达A城．…12 分
sinAsin60?14
3
14
2
10?2P10?2P19. 解：（1）由题意知，该产品售价为
2?()
万元，
y?2?()?P? 10?2P?x
代
PP
4
入化简的
y?17?(
（
x?0
）………………6分
?x?1)
，
x?1
44
?x?1)?17?2?(x?1)?13
（2）
y? 17?(
x?1x?1
4
当且仅当
?x?1,即x?1
时，上式取等 号 所以促销费用投入1万元时，厂家的利润最大 …12分
x?1
11
112S
n
S
n?1
?S
n?1
?S
n
，
2??
20. 解：（I），
S
n
2
?a
n
(S
n
?)(n?2)

S
n
2
?(S
n
?S
n?1
)(S
n
?)
，
S
n
S
n?1
22
AD?
a
1
?1,
?
1< br>?
11
?1
数列
??
是以1为首项，2为公差的等 差数列，
?1?(n?1)?2?2n?1
，
S
1
S
n< br>?
S
n
?
?
1(n?1)
1
?
，< br>a
n
?
?

S
n
?
2
2n ?1
?
?
(2n?1)(2n?3)
(n?2)
?
S
n
1111
??(?)
（II ）
b
n
?
2 n?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
1
?
11111
?11n
T
n
?b
1
?b
2
??b
n< br>?
?
(1?)?(?)?(?)
?
?(1?)?

2
?
2352n?12n?1
?
22n?12n?1
xn
（I II）令
T(x)?
则
T(x)
在
?
1,??
?< br>上是增函数，当
n?1
时，
T
n
?(n?N
?
)
取得最小值
2x?12n?1
11111
?
依题意可知，要使得 对任意
n?N
，都有
T
n
?(m?8)
，只要
T< br>1
?(m?8)
，
T
1
?
，
??(m?8)
，
34434
28
?
m?
，
m?N,m?9

3
21. 解（I）
S
2
?kS
1
?2?a< br>1
?a
2
?ka
1
?2
又
a
1
?2,a
2
?1,2?1?2k?2
，∴
k?
1
… ……（2分）
2
?

S
n?1
?S
n
?2
① 当
n?2
时，
S
n
?S
n?1
?2
② ①－②，得
a
n?1
?a
n
(n?2)

1
又
a
2
?a
1
，由
a
1
?2?0
可得
a
n
?0(n?N
?
)
2
?
a
n?1
1
?(n?N
?
)

a
n
2
1
2
1
2
1
2

1
2? [1?()
n
]
1
1
2
于是
{a
n
}
是等比数列，其首项为
a
1
?2
，公比为，所以
Sn
??4(1?
n
)
……（6分）
1
22
1?
2
1
)?m
n
n
S?m
11
.，整理得
2(4?m)?41
，
2
（II）不等式
n
，即
?
?
?
n
1
S
n?1
? m2
2
2
2(4?m)?2
4(1?
n?1
)?m
2
4(1?
t?41
?
，解之得
2?t?6
即
2? 2
n
(4?m)?6
………………（8分）
t?22
假设存在正 整数
m,n
使得上面的不等式成立，由于2
n
为偶数，
4?m
为整数，
令
t?2
n
(4?m)
，则不等式变为
则只能 是
2
n
(4?m)?4
?
?
?
2
n
?2,
?
2
n
?4,
?
4?m?2;
或
?
?
4?m?1

因此，存在正整数
m?2,n?1;或 m?3,n?2,使
S
n
?m
1
S
?
.
n?1
?m2
…………（12分）