高中数学必修五1.1.1 正弦定理练习

一、本节学习目标
1．理解正弦定理，并能初运应用它解斜三角形；
2. 熟练运用“向量”的方法解决有关几何问题．
二、重难点指引
1.重点：正弦定理的探究过程；渗透“数学地”发现问题的方法.
2.难点：正弦定理的探究过程.
三、学法指导
处理三角形问题要注意与三角形全 等的判定相结合，要从几何图形、三角函及三角形的边角
关系等去分析三角形解的情况．
4．熟练应用定理．
四、教材多维研读
▲ 一读教材
1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 ．
2．一般地，把三角形的三个角
A,B,C
和它们所对的边
a,b,c< br>叫做三角形的 ，已知
三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 ．
3．你能得到正弦定理的哪些变式?
4．
?ABC
的面积公式：
S
?ABC
?
__________=__________=_________
▲ 二读教材
1．已知：在
?ABC
中，
A?45
，C?30
，
c?10
，解此三角形．
?
2．已知：在
?ABC
中，
A?45
，
AB?
??
6
，
BC?2
，解此三角形．
▲ 三读教材
1．用正弦定理可解决下列那种问题
(1)已知三角形三边； (2)已知三角形两边与其中一边的对角；(3)已知三角形两边与第三边
的对角； (4)已知三角形三个内角；(5)已知三角形两角与任一边； 6)已知三角形一个内角
与它所对边之外的两边．
2．在
?ABC
中,分别根据所给条件，指出解的个数：
(1)
a?4,b?5,A?30?
； (2)
a?5,b?4,A?60?
；
[来源学科网]




(3)
a?3,b?2,B?120?
； (4)
a?3,b?6,A?60?
.

五、典型例析
例1 在
?ABC
中，a?15,b?10,A?60?
，则
cosB
=
A ．－
222266
B ． C ．－ D．
33

3

3

例2 在
?ABC
中，若
a cosA?bcosB
，判断
?ABC
的形状.





例3 如图，A，B是海面上位于东西方向相距
53?3
海里 的两个观测点，现位于A点北
偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点 南偏西60°且与B
点相距
203
海里的C点的救援船立即即前往
航行速度为 30海里小时，该救援船到达D点需
间？





六、课后自测
◆ 基础知识自测
1．已知
△ABC
中，
a?
A．
135

o
??
北
D

营救，其
要多长时
A

B

C
2
，
b?3
，
B?60
o
，那么角
A
等于（ ）
oo
B．
90
C．
45
D．
30

o
2．在
?ABC
中，若
?
s inAcosB
?
，则
B
的值为（ ）
ab
???
A．
30
B．
45
C．
60
D．
90

３．在
?ABC
中 ,若
cosAb4
??
,则
?ABC
是( )
cosBa3
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形D．钝角三角形
４．已知
?ABC
，根据下列条件，求相应的三角形中其它边和角的大小：
b?36,c?6,B?120?
．（１）
A?60?,B?45?,a?10
；（2 ）（3）
a?5,b?2,B?120?
；

5．如图，货轮在海上以50海里时 的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的
oo
水平角）为155的方向航行．为了 确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125．半
o
小时后，货轮到达C点处，观测到灯 塔A的方位角为80．求此时货轮与灯塔之间的距离（答
案保留最简根号）．

北
125
o

o
155
B


北
A
80
o
◆ 能力提升自测
C
1．如图：
D,C,B
三点在地面同一直线上,
DC?a
,从
C,D
两点测得
A
点仰角分别
是
?
,
?
(
?
?
?
),则
A
点离地面的高度
AB
等 于
A．
（ ）
asin
?
sin
?
asin
?
?sin
?
B．
sin(
?
?
?
)
cos(
?
?
?
)
asin
?
cos
?
acos
?
sin
?
D．
sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)
A
C．
α
D
C
β
B
2．在
?ABC
中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是( )
A．
b?7,c?3,C?30?
B．
b?5,c?42,B?45?

C．
a?6,b?63,B?60?
D．
a?20,b?30,A?30?

3．在
?ABC
中，若
b?2csinB
，则
?C
＝_____________
4．已知
a,b,c
分别是的三个内角
A,B,C
所对的边，若
a?1,b?3，
A?C?2B
,则
sinC
= .
tanAa
2
?
5.在
?ABC
中，若，则△ABC的形状是（ ）
tanB
b
2
A 直角三角形 B 等腰或直角三角形 C 不能确定 D 等腰三角形
◆ 智能拓展训练
１．设锐角三角形
AB C
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c
，
a?2bs inA
．

（Ⅰ）求
B
的大小；
（Ⅱ）求
cosA?sinC
的取值范围．





２．在
?
ABC中，
ACcosB
．
?
ABcosC
（Ⅰ）证明
B?C
；（Ⅱ）若
cosA
= －




?
?
1
?
，求
sin
?
4B?
?
的值．
3
?
3
?< br>３．在
?ABC
中,角A、B、C所对的边分别为
a,b,c
，已知< br>cos2C??
(Ⅰ)求
sinC
的值；
(Ⅱ)当a?2
，
2sinA?sinC
时，求c的长．
[来源:]
1< br>
4

1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理参考答案：

教材多维研读
▲ 一读教材
abc
；2．元素，解三角形；
==
sinAsinBsinC
3 ．(1)
a?2RsinA，b?2RsinB，c?2RsinC
；
abc
(2)
sinA?
；
,sinB?,sinC?
2 R2R2R
(3)
a:b:c?sinA:sinB:sinC
；
111
4．
S?absinC?bcsinA?casinB
．
222
1．正弦，
▲ 二读教材
1．解：
?A?45?,C?30?,A?B?C?180?,


?B?180??
?
A?C
?
?105?

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

abc
???k

sinAsinBsinC
cc
?a?sinA??102,b?sinB??52?6

sinCsinC
又∵
??
?
2．已知：在
?AB C
中，
A?45
，
AB?6
，
BC?2
，解此三角 形.
解： ∵
abc
???k

sinAsinBsinC
sinA3
?
，∴
C?60?或120?

a2
?sin C?c?
当
C?60?
时，
B?75?,b?1?3
；
当
C?120?
时，
B?15?,b?
▲ 三读教材
1．②⑤；
【解析】(1)
3?1

ba5
?,sinB??1,?a?b?A?30??B,
两组解；
sin BsinA8
ba23
?,sinB??1,?a?b?A?60??B,
一组解；
sinBsinA5
(2)

(3)
ba32
?,sinA??b?a?B?120??A,
无解；
sinBsinA4
ba6
?,sinB??1
，无解.
sinBsinA2
(4)

课后自测
◆ 基础知识自测
1．
C
2．
B
３．
A

４．(1)C=
75?
，b=
106152?56
,c= (2)无解（3）C=45
0
，A=15
0
，a≈2.2
335．解：在
?ABC
中，
?ABC
＝155°－125°＝30°，?BCA
＝180°－155°＋80°＝105°，
1
－30°－105°＝45°，
BC
＝
?50
＝25，
?B AC
＝180°
2
由正弦定理，得
BC?sin30?252
ACB C
?
∴
AC
＝（海里）
?
sin45?2
sin30?sin45?
252
海里．
2
答：船与灯塔间的距离为
◆ 能力提升自测
[来源:学§科§网]
１．
A
２．
C
３．
30?或150?
４．１ 5．
B

◆ 智能拓展训练
１．解：（Ⅰ）由
a?2bsinA
，根据正弦定理得
sinA?2sinB sinA
，所以
sinB?
由
△ABC
为锐角三角形得
B?
1
，
2
π
．
6
?
?
?
?
?A
?

?
?
（Ⅱ）
cosA?sinC?cosA?sin
?
??
13
?
??
?
??
sinA
?3sin
?
A?
?
．
?cosA?sin
?
?A
?
?cosA?cos A?
22
3
??
?
6
?
由
△ABC
为锐角三角形知，
??????2???
?A??B
，
?B???
．
?A? ?
，
222263336
所以
[来源学科网ZXXK]

1
?
?
?
33?
?
3
?
．由此有
s in
?
A?
?
??3sin
?
A?
?
?? 3
，
2
?
3
?
223
?
2
?< br>?
33
?
所以，
cosA?sinC
的取值范围为
? ?
?
2
，
?
．
2
??

２．解：（Ⅰ）证明：在
△ABC
中，由正弦定理及已知得
sinBcosB
=.于是
sinCcosC
sinBcosC?cosBs inC?0
，即
sin
?
B?C
?
?0
.因为?
?
?B?C?
?
，从而
B?C?0,所以B?C
.
（Ⅱ）解：由
A?B?C?
?
1
cos2B
=
?c os
?
?
?2B
?
=
?cosA
=.
3
2
和（Ⅰ）得
A?
?
?2B
,故
又
0?2 B?
?
,于是
sin2B?1?cos2B?
22
.
3
从而
sin4B?2sin2Bcos2B?
42
7
22
，
cos4B?cos2B?sin2B??
.
9
9
?cos4Bsin
所以
sin(4B?
?
3
)?sin4Bcos
?
3
?
3
?
42?73

18
.
３．（Ⅰ）解：因为
cos2C?1?2sin C??
2
10
1
，及
0?C?
?
所以
sinC?
.
4
4
（Ⅱ）解：当
a?2
，< br>2sinA?sinC
时，由正弦定理
.


ac
，得c=4
?
sinAsinC