人教版高中数学必修五解三角形单元检测卷

高中数学必修五解三角形单元测试题
一、选择题(本大题共10 个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1.在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若
a
A．
?

6
B．
?

3
2

?c
2
?b
2
?3ac
，则角B的值为（ ）
?
5
?
?
2
?
C．或 D．或
63< br>63
2
2.在
?ABC
中，若
cosAcosB?sinA．等边三角形
C
，则
?ABC
是 ( ）
2
C．锐角三角形
0
B．等腰三角形 D．直角三角形
0
3.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为
60
，塔基的俯角为
45，那么这座塔吊的高是（ ）
A．
10(1?
3
)

3
B．
10(1?3)
C．
5(6?2)
D．
2(6?2)

4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )
11
A．－ B． C．－1 D．1
22
5. 在锐角
?ABC
中，若
C
A．
?
2,3

?
c
?2B
，则的范围（ ）
b
B．
3,2
C．
?
0,2
?

??
D．
?
2,2

?
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
a?
为 ( ）
A．
2
，b=2，sinB+cosB=
2
，则角A 的大小
D．
?

2
B．
?

3
C．
?

4
?

6
7.如图， 在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD
,
2AB＝3BD，BC＝2BD，则sin C的值为( )
33
A． B．
36
66
C． D．
36
8.在
?ABC
中，已知
B?60
且
b
A.
0
?3
，则
?ABC
外接圆的面积是（ ）
?
3
?
B . C.
?
D.
2
?

4< br>2
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝2a ，则( )
A．a>b

B．aC．a＝b

D．a与b的大小关系不能确定
10.若△
ABC
的三个内角满足
sinA:sinB:sinC?5:11:13
，则△
ABC
( ）
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
2
BC 的三角形ABC的面积的最大值是 ．
AC
12.在锐角△ABC中，BC=1,B=2A,则的值等于_______，AC的取值范围为_______ .
cosA
17
13.在△ABC中，已知BC=4,AC=3,且cos(A-B)= ,则cosC=_______.
18
11.满足条件AB=2，AC=
1

14.已知△ABC的面积是30，内角A，B，C所 对边分别为a，b，c，cosA=
12
,若c-b=1,则a的值是_______. 13
15.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论 ：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；
③sinA∶s inB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是
153
.
2
其中正确结论的序号是______.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1 6.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行
o
驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两 船
相距最近？


















17.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c，已知3acosA＝ccosB＋bcosC
(1)求cosA的值；
(2)若a＝1，cosB＋cosC＝
23
3
，求边c的值．















2

18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C＝
(1)求sinB的值；
(2)若c－a＝5－10，求△ABC的面积．














19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b，c，且acosC＋
(1)求角A 的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长l的取值范围.



























3π5
，sinA＝．
45
1
c＝b.
2
3

20.如图，在
?ABC
中，点
D
在
BC
边上，
AD?33
，
sin?BAD?
(1）求
sin?ABD< br>的值；
(2）求
BD
的长．

















21.在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知< br>2acosA?ccosB?bcosC.

(1）求
cosA
的值；
(2）若
a?1,cosB?cosC?


















53
，
cos?ADC?
．
135
3
，求边c的值.
2



4

解三角形单元综合测试
一、选择题(本大题 共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的) < br>1.在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若
a
A．
?
6
B．
?

3
2
?c
2
? b
2
?3ac
，则角B的值为（ ）
?
5
?
?
2
?
C．或 D．或
63
63
2
【答案】A
2.在
?ABC
中，若
cosAcosB?sin
A．等边三角形
【答案】D
C
，则
?ABC
是 ( ）
2
C．锐角三角形
0
B．等腰三角形 D．直角三角形
0
3.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为
60
，塔基的俯角为
45，那么这座塔吊的高是（ ）
A．
10(1?
3
)

3
B．
10(1?3)
C．
5(6?2)
D．
2(6?2)

【答案】B
4.在△
ABC
中，角< br>A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
.若
a
cos
A
＝
b
sin
B
，则sin
A
cos
A
＋cos2
B
＝ ( )
11
A．－ B． C．－1 D．1
22
【答案】D
5.在锐角
?ABC
中，若
C
A．
?
2,3

?
c
?2B
，则的范围（ ）
b
B．
3,2
C．
?
0,2
?

??
D．
?
2,2

?
【答案】D
6.在△ABC中，角A，B， C所对的边分别为
a
，b，c，若
a?
为 ( ）
A．2
，b=2，sinB+cosB=
2
，则角A的大小
D．
?< br>
2
B．
?

3
C．
?

4
?

6
【答案】D
7.如图，在△
ABC中，
D
是边
AC
上的点，且
AB
＝
AD,2
AB
＝3
BD
，
BC
＝2
BD
，
则sin
C
的值为( )
A．
C．
3

3
B．
D．
3

6
6

6
0
6

3
【答案】D
8. 在
?ABC
中，已知
B?60
且
b
A
【答案】C
?3
，则
?ABC
外接圆的面积是（ ）
?
3
?
B C
?
D
2
?

4
2
9.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若∠C＝120°，c＝2a，则( )
A．
a
>
b
B．
a
<
b

C．
a
＝
b
D．
a
与
b
的大小关系不能确定
5

【答案】A
10.若△
ABC
的三个 内角满足
sinA:sinB:sinC?5:11:13
，则△
ABC
( ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)
2
BC 的三角形ABC的面积的最大值是 ．
22

AC
12.在锐角△ABC中，BC=1,B=2A,则的值等于__2 _____，AC的取值范围为_______.(
2,3
)
cosA
17 1
13.在△ABC中，已知BC=4,AC=3,且cos(A-B)= ,则cosC=_______.
186
12
14.已知△ABC的面积是30，内 角A，B，C所对边分别为a，b，c，cosA=,若c-b=1,则a的值是__5_____.
13
11.满足条件AB=2，AC=
15.在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶( a＋b)＝4∶5∶6，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；
③sinA∶sin B∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是
153
.
2
其中正确结论的序号是___②③____.
三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1 6.甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行
驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船
相距最近？
,甲船和乙船分别到达C,D两点
【答案】
设经过x小时后
则AC?8x,AD?AB?BD?20?10x

?CD
2
?AC
2
?AD
2
?2AC?AD?cos60?
1
2
704800
?244x
2
?560x?400?24 4(x?)
2
?
6161
?
当CD
2
取得最小值时 ,CD取得最小值.
?(8x)
2
?(20?10x)
2
?2?8x ?(20?10x)?
?当x?

答：此时,甲、乙两船相距最近
17.在 △
ABC
中，角
A
、
B
、
C
的对边是a
、
b
、
c
，已知3
a
cos
A＝
c
cos
B
＋
b
cos
C

(1)求cos
A
的值；
23
(2)若
a
＝1， cos
B
＋cos
C
＝，求边
c
的值．
3
222
【答案】(1)由余弦定理
b
＝
a
＋
c
－ 2
ac
cos
B
，
c
2
＝
a
2
＋
b
2
－2
ab
cos
C

1< br>有
c
cos
B
＋
b
cos
C
＝a
，代入已知条件得3
a
cos
A
＝
a
，即c os
A
＝
3
122122
(2)由cos
A
＝得 sin
A
＝,则cos
B
＝－cos(
A
＋
C)＝－cos
C
＋sin
C
，
3333
6

70
时,CD取得最小值,
61

代入c os
B
＋cos
C
＝
其中sinφ＝
23
得cos
C
＋2sin
C
＝3，从而得sin(
C
＋φ)＝1，
3
36ππ6
a
sin
C
3
，cosφ＝ (0< φ<)则
C
＋φ＝，于是sin
C
＝，由正弦定理得
c
＝＝ ．
33223sin
A
2
3π5
，sin
A
＝．
45
18.在△
ABC
中，角
A
，
B
，< br>C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
C
＝
(1)求sin
B
的值；
(2)若
c
－
a
＝5－10，求△
ABC
的面积．
【答案】(1)因为
C
＝
所以sin
B
＝sin
?
(2)由(1)知
C
＝
3π525π
2
，sin
A
＝，所以cos
A
＝1－sin
A
＝，由已知得
B
＝－
A
.
4554
π
ππ2252510
－
A< br>?
＝sincos
A
－cossin
A
＝×－×＝．
44252510
?
4
?
3π210
，所以sin
C＝且sin
B
＝．
4210
a
sin
A
10
由正弦定理得＝＝．又因为
c
－
a
＝5－10，所以
c＝5，
a
＝10．
c
sin
C
5
11105
所以
S
△
ABC
＝
ac
sin
B
＝×10×5×＝．
22102
19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a，b， c，且acosC＋
(1)求角A的大小；
(2)若a＝1，求△ABC的周长
l
的取值范围.
【答案】(1)由acosC＋
sinAcosC＋
1
c＝b.
2
1
c＝b和正弦定理得，
2
11
sinC＝sinB， 又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，∴sinC＝cosAsinC，
22
1?
∵sinC≠0，∴cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝.
23< br>asinB2
asinC2
＝
sinB
，c＝
＝
(2 )由正弦定理得，b＝
sinC，
sinA
sinA
3
3
22
则
l
＝a＋b＋c＝1＋
3
(sinB＋sinC)＝1＋3
［sinB＋sin(A＋B)］
1?
3
sinB＋cosB)＝1＋2sin(B＋).
26
2< br>?2???5??1
∵A＝，∴B∈(0，)，∴B＋∈(，)，∴sin(B＋)∈(，1］，
3366662
＝1＋2(
∴△ABC的周长
l
的取值范围为(2, 3］.
20.如图，在
?ABC
中，点
D
在
BC
边上，
AD?33
，
sin?BAD?
5
，
13
cos?ADC?
3
．
5
(1）求
sin?ABD
的值；
(2）求
BD
的长．
7

【答案】（1）因为
cos?ADC?
2
3
，
5
4
．
5
所以
sin?ADC?1?cos?ADC?< br>因为
sin?BAD?
512
2
，所以
cos?BAD?1? sin?BAD?
．
1313
因为
?ABD??ADC??BAD
，
所以
sin?ABD?sin
?
?ADC??BAD
?

?sin?ADCcos?BAD?cos?ADCsin?BAD

4123533
????
．
51351365
BDAD
?
(2）在△
ABD
中，由正弦定理，得，
sin?BADsin?ABD< br>5
33?
AD?sin?BAD
13
?25
． 所以
BD??
33
sin?ABD
65
21.在△ABC中，角A,B,C的对 边分别是a，b，c，已知
2acosA?ccosB?bcosC.

(1）求
cosA
的值；

?
3
，求边c的值.
2
【答案】（1）由
2acosA?ccosB?bcosC
及正弦定理得

2sinAcosA?sinCcosB?sinBcosC,
即
2sinAcosA?sin
?
B?C
?
.

又
B?C?
?
?A,
所以有
2sinAcosA?sin
?
?
?A
?
,
即
2sinAcosA?sinA.

1
而
sinA?0
，所以
cosA?.

2
1
?
2
?
.
(2）由
cosA?
及0＜A＜
?
，得A＝
.
因此
B?C?
?
?A?
23
3
3
3
?
2?
?
由
cosB?cosC?,
得
cosB?cos
?
?B
?
?,

2
?
3
?
2
(2）若
a?1,cosB?cosC?
?
?
3
133
?
，即得
sin
?
B?
?
?
cosB?s inB?
.

222
62
??
?
??
?< br>2
?
?
?
?
5
?
?
B??,B?? .
由
A?,
知
B??
?
,
于是或.
?
36363
6
?
66
?
?
?所以
B?
，或
B?.

62

?
?< br>?
1
23
若
B?,
则
C?.
在直角△ABC 中，
sin?
，解得
c?;

623c
3
??
1
3
?,
解得
c?
若
B?,
在直角 △ABC中，
tan
.

23c
3
即
cosB?



8