高中数学数学必修5全套同步练习

同步练习








（必修5）

















第 1 页 共 86 页

目录

第一章：解三角形
1．1．1 正弦定理（一）………………………………………………………….2

1．1．1 正弦定理（二）………………………………………………………….4

1．1．2 余弦定理 （一）…………………………………………………………6

1．1．2 余弦定理 （二）…………………………………………………………8


1．1．3 正余弦定理的综合应用…………………………….……………………10

1.2
应用举例（一）………………………………………………………………...12


1.2
应用举例（二）…………………………………………………………………15

本章测试
………………………………………………………………………………17

第二章：
数列

2.1数列的概念和简单表示……………………………………………………………20

2.2
等差数列……………………………………………………………………………23

2.3等差数列 的前n项和……………………………………………………………..25

2.4 等比数列………………………………………………………………………….27

2.5 等比数列的前n项和……………………………………………………..………29
本章测试
…………………………………………………………………………………31

第三章： 不等式
3.1 不等关系
………………………………………………………………..…..…35


3.2 一元二次不等式及其解法
………………………………………………….37


3.3.1
二元一次不等式（组）与平面区域………………………………………….39

3.3.2简单的线性规划问题…………………………………………………………….44


3.4 基本不等式
……………………………………………………………………..46
本章测试
………………………………………………………………………………...49
必 修 五 模 块 测 试 题一
… …………………………………………………...53

必 修 五 模 块 测 试 题二
………………………………………………...58

参考答案
…………… ………………………………………………………………...62

第 2 页 共 86 页

第一章 解三角形
1．1．1．正弦定理（一）
典型例题:
0
1．在△ABC中，已知
a?52,c?10,A?30
，则∠B等于（ ）
A．
105
B．
60
C．
15
D．
105或15

答案：D

2．在△ABC中，已知
a?
答案：1

3．在△ABC中，若
a:b:c?1:3:5
,求
解 由条件
∴
sin
A
?
00
000
6,b?2,A?60
0< br>，则这样的三角形有_________个．
2sinA?sinB
的值．
sinC
asinA1
??

csinC5
1
sinC

5
3
同理可得
sinB?sinC

5
13
2?sinC?sinC
2sinA?sinB1
55
∴
＝＝
?< br>
sinC5
sinC

练习:

一、 选择题
1．一个三角形的两内角分别为
45
与
60
，如果
45
角所对的边长是６，那么
60
角所对
的边的边长为（ ）．
Ａ．
36
Ｂ．
32
Ｃ．
33
Ｄ．
26

2．在△ABC中，若其外接圆半径为Ｒ，则一定有（ ）
0000
abc
???2R
Ｂ．
asinB?2R

sinAsinBsinC
Ｃ．
sinA?2aR
Ｄ．
b?RsinB

Ａ．

3．在△ABC中，
ab
?
，则△ABC一定是（ ）
cosBcosA
Ａ．等腰三角形 Ｂ．直角三角形
Ｃ．等腰直角三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形
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二、填空题
4．在△ABC中，已知
a?8,b?6,
且Ｓ
△ABC
＝

123
，则Ｃ＝_______

5．如果
1?cosAa
?
，那么△ABC是_______
1?cosBb
B
的值．
2
三、解答题
6．在△ABC 中，若ＡＢ＝２，ＢＣ＝５，面积Ｓ
△ABC
＝４，求
sin
















7．在△ABC中，
a,b,c,
分别为 内角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边，若
b?2a,B?A?60
,求Ａ的值．


















0
第 4 页 共 86 页

1．1．1．正弦定理（二）
典型例题:
1．在△ ABC中，已知
b?2,c?1,B?45
0
，则
a
的值为 （ ）
Ａ．
6?26?2
Ｂ． Ｃ．
2?1
Ｄ．
3?2

22
答案：Ｂ

2．在△ABC中，已知< br>a?5,B?105,C?15
，则此三角形的最大边长为_________
答案：

3．△ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程
5 x?7x?6?0
的根，求△ABC
的面积．
解 设两边夹角为α,而方程5x?7x?6?0
的两根
x
1
2
2
00
15 2?56

6
?2,x
2
??35

∴
cos
?
??
3

5
3
52
∴
sin
?
?1?()?
∴Ｓ
△ABC
＝

4

5
14
?3?5??6cm
2

25
练习:
一、选择题
1．在△ABC中，已知
a?8,B?60,C?75
，则
b
等于（ ）
Ａ．
42
Ｂ．
43
Ｃ．
46
Ｄ．

2．在△ABC中，已知
a?xcm,b?2 cm,B?45
，如果利用正弦定理解三角形有两解，则
x的取值范围是 ( )
0
00
32

3
＜x＜
22
Ｂ．
2
＜x
?22
Ｃ．
x
＞
2
Ｄ．
x
＜
2
Ａ.
2

3．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m, 则m的取值范围是（ ）
Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（
1
，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞）
2

二、填空题
４．在△ABC中，若sinA＝２cosBsinC,则△ABC的形状是______ ___
第 5 页 共 86 页

５．在△ABC中，已知
a?32,cosC?
三、解答题
６．已知方程< br>x?(bcosA)x?acosB?0
的两根之积等于两根之和，且
a,b
为 △ABC的
两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状















7．在△ABC中，
a?c?2b,A?C?











2
1
，Ｓ
△ABC
＝
43
，则
b?
____ _____
3
?
3
，求sinB的值。





第 6 页 共 86 页

1．1．2．余弦定理（一）
典型例题:
1．在△ABC中，已知
a?8,b?43,c?13
，则△ABC的最小角为（ ）
A．
?
?
??
B． Ｃ． Ｄ．
12
344
答案：B

0
２．在△ABC中，已知
b?1,c?3,A?60
，则
a?
_________
答案：
7


0
3．在△ABC中，已知
b?5, c?53,A?30
，求
a、B、C
及面积
S

解 由余弦定理，知
a?b?c?2bccosA

222
?5
2
?(53)
2
?2?5?53sin30
0
?25

∴
a?5

又∵
a?b

∴
B?A?30

∴
C?180?A?B?120

00
0
S?

11253
bcsinA??5?(53)sin30
0
?

224
练习:

一、选择题
1．在△ABC中，如果
(a?b?c)(b?c?a)?3bc
,则角Ａ等于（ ）
Ａ．
30
Ｂ．
60
Ｃ．
120
Ｄ．
150


２．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
Ａ．
b?10,A?45,C?75
Ｂ．
a?7,b?5,A?80

Ｃ．
a?60,b?48,C?60
Ｄ．
a?14,b?16,A?45


第 7 页 共 86 页
00
000
0000

３在△ABC中，已知
a?b?c?2c(a?b)
则角Ｃ＝（ ）
Ａ．
30
Ｂ．
60
Ｃ．
45或135
Ｄ．
120


二、填空题
4．已知锐角三角形的边长为1、3、
a
，则
a
的取值范围是___ ______

５．在△ABC中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三 角形三边的长分别
为_________

三、解答题
6．在△ABC中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,
b?4,a?c?8
,求
a、c
的长.















7．已知锐角三角形ABC中，边
a、b
为方程
x?2 3x?2?0
的两根,角A、B满足
2
444222
00
00
0
2sin(A?B)?3?0
，求角C、边c及Ｓ
△ABC
。












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1．1．2．余弦定理（二）

典型例题:
1．在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C． 钝角三角形 D．非钝角三角形
答案：Ｃ

2．在△ABC中，若sinA：sinB：sin C=2：3：4，则角B的余弦值是_________
答案：

0
3 ．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，AC=
19
，∠BAD=
60
，求梯形的高.
11

16
解 如图所示，作ＤＥ⊥ＡＢ ，
垂足为Ｅ，则ＤＥ就是梯形的高。
∵∠ＢＡＤ＝
60

∴在Ｒt△ ADE中，ＤＥ＝ＡＤsin
60
＝
0
0
3
ＡＤ
2
0
在△ACＤ中，∠ＢＡＤ＝
120
，又ＣＤ＝２， ＡＣ＝
19
，由余弦定理，得
AC
2
?AD
2
? CD
2
?2AD?CD?cos?ADC

（19）?AD?2?2?AD?2?cos120
即
解得ＡＤ＝３或ＡＤ＝－５（舍去）
∴ＤＥ＝
2220
333
ＡＤ＝
22
练习:

一、选择题
1．在△ABC中，
a?c?b?ab
，则角Ｃ为（ ）
Ａ．
30
Ｂ．
60
Ｃ．
45或135
Ｄ．
120

00
00
222
0
２．在△ABC中，已知ＡＢ＝
的值为（ ）
Ａ．
466
，
cosB?
，ＡＣ边上的中线ＢＤ＝
5< br>，则sinＡ
36
70707010
Ｂ． Ｃ． Ｄ．
17121414
第 9 页 共 86 页

３． 在△ABC中，若
(a?b?c)(b?c?a)?3bc
，并有sinA＝２sinBcos C,那么△ABC是
（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ． 等腰三角形 Ｄ．等腰直角三角形

二、填空题
４．△ABC中，ＡＢ＝２，Ｂ Ｃ＝５，Ｓ
△ABC
＝４，则ＡＣ＝_________
0
5. 在△ ABC中，已知
b?1,A?60
,Ｓ
△ABC
＝
3
,则< br>a
?
_________
sinA
三、解答题
a2
?b
2
sin(A?B)
?
6．在△ABC中，角A、B、C 对边分别为
a,b,c
，证明。
2
sinC
c
















7．已知圆内接四边形ＡＢＣＤ的边长ＡＢ＝２，ＢＣ＝６ ，ＣＤ＝ＤＡ＝４，求四边形Ａ
ＢＣＤ的面积













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1．1．3．正余弦定理的综合应用

典型例题:
１．在△ABC中，有sinＢ＝２cosCsinＡ,那么此三角形是（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．等边三角形 Ｃ． 等腰三角形 Ｄ．等腰直角三角形
答案：B

２.在△ABC中，∠Ａ满足条件
3sinA?cosA?1, AB?2cm,BC?23cm
，则∠Ａ＝
_________ ，△ABC的面积等于_______
答案：

3. 在△ABC中，角A 、B、C对边分别为
a,b,c
，已知
b?ac,且a?c?ac?bc
，
（１）求∠Ａ的大小；
（２）求
222
2
?
；
3

3
bsinB
的值
c
222
解 （１）∵
b?ac,a?c?ac?bc

∴
b?c?a?bc

在△ABC中，由余弦定理得
222
b
2
?c
2
?a
2
bc1
cosA???

2bc2bc2
∴∠Ａ＝
60

0
bsin60
0
（２）在△ABC中，由正弦定理得
sinB?

a
∵
b?ac,?A?60

20
bsinBb
2
sin60
0
3
??sin60
0
?
∴
cca2
练习:

一、选择题
１．在△ABC中，有一边是另一边的２倍，并且有一个角是
30
，那么这个三角形（ ）
Ａ．一定是直角三角形 Ｂ．一定是钝角三角形
Ｃ．可能是锐角三角形 Ｄ．一定不是锐角三角形
第 11 页 共 86 页
0

２．在△ABC中，角A 、B、C所对的边分别为
a,b,c
，且
cosA?
的值为（ ）
A．
1
2
B?C
，则
sin?cos2A
32
1 11
1
B．
?
C． D．
?

9910
10
22
22
３．已知△ABC 中，
(a?b)sin(A?B)
＝（
a?b
）
sinC
成 立的条件是（ ）
Ａ．
a?b
Ｂ．
?C?90

Ｃ．
a?b
且
?C?90
Ｄ．
a?b
或
?C?90

二、填空题
４．已知在△AB C中，Ａ＝
60
，最大边和最小边的长是方程
3x?27x?32?0
的两实
根，那么 ＢＣ边长等于________

５．在△ABC中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝ ８，∠ＡＢＣ＝
60
，Ｄ是其外接圆
AC
弧上一点，
且ＣＤ＝３，则 ＡＤ的长是________
三、解答题
６．在△ABC中，角A、B、C对边分别为
a,b,c
，Ｓ为△ABC的面积，且有
0
0
2
00
0
4sinBsin
2
(?
4
?
B
)?cos2B?1?3
，
2
（１）求角Ｂ的度数；
（２）若
a?4
，Ｓ＝
53
，求
b
的值









７．△ABC 中的三
a,b,c
和面积Ｓ满足Ｓ＝
c?(a?b)
，且
a?b?2
，求面积Ｓ的最大
值。
22



第 12 页 共 86 页

1．2 应用举例（一）
典型例题:
1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C
岛和A岛成 75°的视角，则B、C间的距离是( )
A.10
3
海里 B.
106
海里
3
C. 5
2
海里 D.5
6
海里
答案：D

2．一树干被台风吹断折成与地面 成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来
的高度为
答案：20
3
米

3．在湖面上高h处，测得云彩仰角为?，而湖中云彩影的俯角为?，求云彩高.
解 C、C解’关于点B对称，设云高CE = x
则CD = x ? h，C’D = x + h，
在Rt△ACD中，
AD?
在Rt△AC’D中，
AD?
CD x?h

?
tan?tan?
C'Dx?h
?
,
tan
?
tan
?
∴
x?hx?h
?

tan?tan?
tan
?
?tan
?
sin(
?
?
?
)
?h?
.
tan
?
?tan?
sin(
?
?
?
)
解得
x?h?









第 13 页 共 86 页

练习:
一、选择题
1．从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α、β的关系为 （ ）
A.α＞β B.α=β C.α+β=90° D.α+β=180°

2．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成6 0°的视角，从B岛望C
岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( )
A.10
3
海里 B.
106
海里 C. 5
2
海里 D.5
6
海里
3
3．如图，△ABC是 简易遮阳棚，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线
与地面成 40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为 ( )
阳光
C
B
D
地面

A


A.75° B.60° C.50° D.45°
二、填空题
4．一树干被台风吹断 折成与地面成30°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来
的高度为

5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，
则甲、乙两楼的高分别是
三、解答题
6．如 图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15?，
向山顶前进10 0m后，又从点B测得斜度为45?，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的
斜度?














第 14 页 共 86 页

7 ．某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出
该船的方位角为 45?，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105?的方向以每小
时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试
求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。








































第 15 页 共 86 页

1．2 应用举例（二）

典型例题：

1．一船向正北航行，看见正西方向有相距1 0海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续
航行半小时后，看见一灯塔在船的南60°西， 另一灯塔在船的南75°西，则这只船的速度是
每小时（ ）
A.5海里 B.5
3
海里 C.10海里 D.10
3
海里
答案：C
2某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该 渔船沿北
偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船
的最短时间是
答案：
2
小时
3

3．某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后， 立即测出
该船的方位角为45?，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105?的方向以每小
时9 nmail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试
求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。
解： t小时，在点设所需时间为B处相遇（如图）
在△ABC中，?ACB = 120?, AC = 100, AB = 21t, BC = 9t, 由余弦定理，得
(21t)
2
= 10
2
+ (9t)
2
? 2×10×9t×cos120?
整理得：36t
2
?9t ? 10 = 0
解得：
t
1
?
25
,t
2
??
（ 舍去）
312
由正弦定理，得
23
(9?)?
ABBC
32
?
33
∴?CAB = 21?47
??sin?CAB?
2
14
sin120
?sin?CAB
21?
3



练习：
一、选择题
1．台风中心从A地以20 kmh的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险
区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为（ ）
A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h

第 16 页 共 86 页

2．已知D、C、B三点 在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、
β（α＞β）则A点离地面的高 AB等于（ ）
A．
asin
?
sin
?
asin< br>?
sin
?
acos
?
cos
?
B． C．
sin(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)
D．
acos
?
cos
?

cos(
?
?
?
)

3．在△ABC中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范 围
是（ ）
A．
2?a?22
B．
2?a?4
C．
2?a?2
D．
2?a?22

二、填空题
4．我 舰在敌岛A南50°西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10°西的方向以
10nmil eh的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为

5．在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为_______
三、解答题
6．如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定 滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，
并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中 间的一段绳子悬挂另一物体，为使
系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的 重量）
F
1
4 kg
F
2
2 kg
mkg




7．海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上 午11时测得一轮船在A
的北偏东60°的B处，俯角是30°，11时10分，该船位于A的北偏西6 0°的C处，俯角为
60°，
（1）求该船的速度；
（2）若船的速度与方向不变，则船何时能到达A的正西方向，此时船离A的水平距离是多
少？
（3）若船的速度与方向不变，何时它到A站的距离最近？









第 17 页 共 86 页

解三角形测试题
一、选择题
1.在△ABC中，
tanA?sinB?tanB?sinA
，那么△ABC一定是
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

2.△ABC中
a?4sin10?,b?2sin 50?,?C?70?
，则S
△ABC
=
A．
22
（ ）
（ ）
11
B．
84
C．
1

2
D．
1

3

3.在△ABC中，一定成立的等式是（ ）
A．asinA=bsinB B．acosA=bcosB C．asinB=bsinA D.．cosB=bcosA

4.若，
sinAcosBcosC
，则△ABC为（ ）
??
abc
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形

5.边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 （ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
6.设A是△ABC中的最小角，且
cosA?
a?1
，则实数a的取值范围是
a?1
D．a＞0
（ ）
A．a≥3 B．a＞－1 C．－1＜a≤3

a?6,b?4
,那么满足条件的 △ABC7.△ABC中,A、B的对边分别为a,b，且A=60°，（ ）
A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定

8.在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）
A．b = 10，A = 45°，B = 70° B．a = 60，c = 48，B = 100°
C．a = 7，b = 5，A = 80° D．a = 14，b = 16，A = 45°

９.在△ABC中，
sinA :sinB:sinC?2:6:(3?1)
，则三角形最小的内角是 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．以上都错

１０.有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长（ ）

A．1公里 B．sin10°公里 C．cos10°公里 D．cos20°公里

二.填空题
1１.在△ABC中，B=135
0
，C=15
0
，a=5，则此三角形的最大边长为

1２.在△ABC中，a+c=2b，A－C=60°，则sinB= .

1３.在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B= 时，BC的长取得最大值.

14．△ABC的三个角A第 18 页 共 86 页

三、解答题： 1５.在△ABC中，a+b=1，A=60
0
，B=45
0
，求a，b












16.在△ABC中，Ｓ
△ABC
＝
123
，
ac?48
，
a?c?2
，求b.

















17．已知在ΔABC中，2B=A+C ，求
tan








ACAC
?tan?3tan?tan
的值
2222
第 19 页 共 86 页

１8．在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线
AD?











19.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
7
，求边BC的长.
2
D
A
2
1
153
∠ABC=60
0
，AC=7，AD=6，S
△ADC
=
，求AB的长.
2









20.一缉私艇在岛B南50°东相距 8（
6?
0
B
60
C
2
）n mile的A处，发现一走私船正由岛B沿
o
方位角为
10
方向以 8
2
n mile／h的速度航行，若缉私艇要在2小时时后追上走私船，求
其航速和航向．












第 20 页 共 86 页

第二章 数列
2.1数列的概念和简单表示
一 、典型例题
【例1】 求出下列各数列的一个通项公式
13579
(1)，，，，，…
48163264< br>2468
(2)，，，，…
3183563

2n?1
解 (1)
通项公式为：a
n
=
n+1
．

2
(2)所给数列的通项公式为：
2n
a
n
?．
(2n?1)(2n?1)

【例2 】已知数列a
n
满足：a
1
=1,a
n
=a
n－1
+n（n≥2）
（1）写出这个数列a
n
的前七项为 。
（2）试猜想这个数列a
n
的通项公式 。
解 Qa
n
?a
n?1
?n?a
n
?a
n?1
?n(n?2)

(2+n)(n-1)n
2
+n-2a
n
=+1=+1
22
11
=n
2
+n(n? 2)又Qn1时,a
1
=1
22
1
2
1

满足上式a
n
=n+n(n?1)

22
a
1=1,a
2
=3,a
3
=6,a
4
=10,
a
5
=15,a
6
=21,a
7
=28

1






a

n

=

a

n

?
1
【例3】


已知＋


n(n

?

1)

(n
≥

2),

a
1
?1
,



(1) 写出数列的前5项； (2) 求a
n
．
第 21 页 共 86 页

解(1)
由已知
a

n

=

a

n

?

＋

1

1

(n


2)

a

=

1
得


≥
1

n

(

n

?

1)

1

3

?

?

a

2

＝

1

2

·

(

2

?

1)

2

3

1

9

?

1

5

?

?

a

3

＝

?

2

3

2

6

3

·

51217
???
312124

71369
???
420205
51
a
4
＝??
34·3
71
a< br>5
＝??
45·4
(2)由第(1)小题中前5项不难求出．
an
?
2n?11
(或a
n
?2?)
nn


二、练习
1 求出下列各数列的一个通项公式．
(1)2，0，2，0，2，…

1

1

1

1

(2)

?

，

，

?

，

，…

3

8

15

24

1

9

25

(3)

，

2

，

，

8

，

…

2

2

2


2 已知数列
a
n
满足：a
1
=5, a
n
=a
n
－
1
+3（n≥2）
（1）写出这个数列
（2）这个数列

a
n
的前五项为__________________________。
a
n
的通项公式是__________________________。
3 已知数列
2,5,22,11L
，
则25是这个数列的第____项.


4 已知数列









第 22 页 共 86 页
a
n
满足：a
1
=1，a
n+1
=2a
n
+1，求数列
a
n的通项公式．

5 数列{a
n
}中，a
1
＝1，对所有的n≥2，都有a
1
·a
2
·a
3
· …·a
n
＝n
2
．
(1)求a
3
＋a
5
；
256
(2)是此数列中的项吗？

225
















6 已知数a
n
=(a
2
－1) (n
3
－2n)(a=≠±1)是递增数列，试确定a的取值范围．










第 23 页 共 86 页

2.2等差数列
例题:
1.在等差数 列
?
a
n
?
中，已知
a
1
=
2,
a
2
?a
3
=13,
则
a
4
?a
5
?a
6

等于（ ）
（A）40 （B）42 （C）43 （D）45
【答案】B
【分析】：由已知
a
1
?2,a
2
? a
3
?2a
1
?3d?13
得公差d=3, 所以
a
4
?a
5
?a
6
?3a
5

=
3(a
1
?4d)?3?(2?12)?42


2.已知等差数列
{a
n
}
中，
a
7
? a
9
?16,a
4
?1,则a
12
的值是________ .
【分析】：由
a
7
?a
9
?a
4
?a
12
,得
a
12
?15


3.已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少相同的项？

【分析】:
分析一：两个等差数列的相同的项按原来的先后次序组成一个等差数列 ，且公差为原来两个
公差的最小公倍数。
解：设两个数列相同项按原来的前后次序组成的新数 列为
?
a
n
?
，则
a
1
?11

又因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别是302和399，
的公差d?3?4?12,?a
n
?12n?1
∵数列5，8，11，…和 3，7，11…的公差分别为3与4
?
?
a
n
?
?a
n
?12n?1?302即n?25.5,又n?N
?
,
所以两个数列有2 5个相同的项。

分析二：由条件可知两个等差数列的通项公式，可用不定方程的求解法来求解。
解：设数列5 ，8，11，…和3，7，11…分别为
?
a
n
?
,
?b
n
?
,则a
n
?3n?2,b
n
?4n?1

设
?
a
n
?
中的第n项与
?
b
n
?
中的第m项相同，即
4
m?1,
又
m,n?N
?
,

3
?
设
m?3r,(r?N
?
)
得
n?4r?1
3 n?2?4m?1?n?
根据题意得：
?
1?3r?100
解得:1?r?25(r?N
?
)

?
?
1?4r?1?100
从而有25个相同的项，且公差为12.
课后练习:
1．等差数列的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则a的值为 （ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2

2．已知数列
{a
n
}
的
a
1
?1
，
a
2
?2
且
a
n?2
?2a
n?1
?a
n
，则
a
2007
?
（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
第 24 页 共 86 页

3．已知b是a,c的等差中项，且 曲线
y?x
2
?2x?6
的顶点是(a,c)，则b等于（ ）
Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．0

4．如果
a
1
，
a
2
，…，
a
8
为各项都 大于零的等差数列，公差
d?0
，则（ ）
A．
a
1
a
8
?
a
4
a
5
B．
a
8
a
1
?
a
4
a
5
C ．
a
1
+
a
8
?
a
4
+
a
5
D．
a
1
a
8
=
a
4
a
5


5．一架飞机在起飞时，第一秒滑行了2.3米，以后 每秒都比前一秒多滑行4.6米，又知离地
前一秒滑行了66.7米，则这架飞机滑行起飞的所用时间为 _________秒.

6．在1和25间加入5个数，使它们成等差数列，则通项公式a
n
=_______________。
7．已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为










8.等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?
















第 25 页 共 86 页
85
，求这5个数.
9
1
,a
2
?a
5
?4,a
n
? 33
，试求n的值
3

2.3等差数列的前n项和
例题:
1．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5 B.4 C. 3 D. 2
【分析】：
?
5a
1
?20d?15
.
?
?d?3
，故选C.
5a?25d?30
?
1

Sn
2．等差数列{a
n
}的通项公式是a
n
=2n+1,其前n 项和为S
n
,则数列{}的前10项和为
n
___________.
S
n
n(a
1
+a
n
)3+2n+110(3+1 2)
【分析】：===n+2,其前10项和为: =75.
n2n22

3．已知
?
a
n
?
为等差数列,前10项的和为
S
10
?100,
前100项的和
S
100
?10
,求前11 0项的和
S
110
.

【分析】：
11
1
?
?
a??
10a??10?9d?100
1
?
1
?
50

2
解得:
?
解法一:设
?
a< br>n
?
的首项为
a
1
,公差
d
,则
?
11099
?
100a
1
??100?99d?10
?d?
2100
?
?
1
?S
110
?110a< br>1
??110?109d??110

2
2
分析二:运用前n项和变式:
S
n
?An?Bn


2
解法二:
?< br>a
n
?
为等差数列,故可设
S
n
?An?Bn
,
则
?
?
100A?10B?100
解得110A?B??1

10000A?100B?10
?
?S
110
?110
2< br>A?110B?110(110A?B)??110

解法三：
?S
100
?S
10
?
?a
11
?a
100
( a
11
?a
100
)?90
??90

2
??2
?S
110
?
110(a
1
?a
110)(a
11
?a
100
)?110
???110

22
课后练习:

1．若等差数列{
a
n
}的前 三项和
S
3
?9
且
a
1
?1
，则
a
2
等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
第 26 页 共 86 页

2.设等差数列
?
a
n
?
的公差为d，如果它的前n项和Sn=－n
2
，那么 （ ）
A.
a?2n?1,d??2
B.
a
n
?2n?1,d?2

n

C. D.
a
n
??2n?1,d?2

a
n
??2n?1,d??2

3.等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?a
2
?a
3
?? 24,a
18
?a
19
?a
20
?78
，则此数列 前20项和等于
（ ）
A．160 B．180 C．200 D．220

4．设数列
?
a
n
?
是等差数列，
a
2
??6,

a
8
?6
，S
n
是数列
?
a
n
?
的前n项和，则（ ）
A.S
4
＜S
5
B.S
4
＝S
5
C.S
6
＜S
5
D.S
6
＝S
5

5．已知数列的通项
a
n
??5n?2
，则其前
n
项和
S
n
?
．

2
6.已知数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
?n?9n
，则其通项
a
n
?
；若它的第
k
项满足
5?a
k
?8
，则
k?
．

7．（1）设等差数列的前 n项之和为S
n
，已知a
3
=12，S
12
>0，S
13
<0，求公差d的取值范围。
（2）指出S
1
，S
2
，S
3
，…S
n
中哪一个值最大，并说明理由。





n
8.已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?3?2
，求
a
n




第 27 页 共 86 页

2.4等比数列
例题:
2
1. 已知等比数列
{a
n< br>}
中，
a
n
?0,a
1
,a
99
为 方程
x?10x?16?0
的两根，则
a
20
?a
50?a
80
的
值为（ B）
A、32 B、64 C、256 D、
?64

解：
a
20
?a
50
?a
80
=16
?
4=64

2. 已知a、b、c成等比数列，如果a、x、b和b、y、c都成等差数列，则
解法一 赋值法
ac
?
=___
xy
解法二 b=aq,c=aq
2
,x=
1111
(a+b)=a(1+q), y=(b+c)=aq(1+q),
2222
1
2
1
aq(1?q )?a
2
q
2
(1?q)
ay?cx
2
ac
2
?
=2
?
=
1
2
xy
xy
2
aq(1?q)
4

3. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
解：设这个等比数列的第1项为
a
1
，公比为
q
，那么

a
1
q?12
①

a
1
q?18
②
3
2
3
③
2
16
把③代入①，得
a
1
?

3
163
因此，
a
2
?a
1
q???8

32
①÷②，得
q?

课后练习:
1. 等比数列
?< br>a
n
?
中，
a
2
?a
3
?6,a< br>2
a
3
?8,则q?
（ ）
A．2

2. 在等比数列中，
a
1
?
A．3
B．
11
C．2或
22
D．－2或
?
1

2
912
,a
n
?,q?
，则项数n为（ ）
833
C．5 D．6 B．4
第 28 页 共 86 页

3.已知实数
a、b、c
满足
2?3,2?6,2 ?12
，那么实数
a、b、c
是（
A．等差非等比数列 B．等比非等差数列
C．既是等比又是等差数列 D．既非等差又非等比数列

4.若
a、b、c
成等比数列，则关于x的方程
ax?bx?c?0
（ ）
A．必有两个不等实根 B．必有两个相等实根
C．必无实根 D．以上三种情况均有可能

5. 已知等差数列
?
a
n
?
的公差
d?0
，且
a
1
,a
3
,a
9
成等比数列，则
2
abc
）
a
1
?a
3
?a
9
的值是
a
2
?a
4
?a
10

6.已知等比数列 {a
n
}中，a
3
=3，a
10
=384，则该数列的通项 a
n
=__________________.

7. 数列
{ a
n
}
满足
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n
?1
。
①求证
{a
n
?1}
是等比数列；
②求数列
{a
n
}
的通项公式。











8.在等比数 列
{a
n
}
中，
a
n
?0
，且
a
1
a
9
?64
，
a
3
?a
7?20
，求
a
11
。









第 29 页 共 86 页

2.5等比数列的前n项和
例题:
2
1. 数 列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?7 n?8n
，则
a
100
?
（ A ）
A．1385 B．-99 C．69200 D．1399
解析：
a
100
?S
100
?S
99
?7?100
2
?8?100 ?7?99
2
?8?99?1385


2. 数列
1,1 ?2,1?2?2
2
,L,1?2?2
2
?L?2
n?1
, L
的前n项和是_
2
n?1
?n?2
__。
n
解析：先求通项
a
n
?2?1
，再分组求和

3. 在等比数列
?
a
n
?
的前n项和中，
a1
最小，且
a
1
?a
n
?66,a
2
a
n?1
?128
，前n项和
S
n
?126
，求n 和公比q
a?a
n
?66
解：因为
?
a
n
?
为等比数列，所以
a
1
a
n
?a
2
a
n?1
?
?
,且a
1
?a
n
,解得a
1
?2,a
n
?64

?
a
1< br>a?128
?
1n
依题意知
q?1

?S
n
?126,?

?2q

n?1
a
1
?a
n
q
?126?q?2

1?q
?64,?n?6

课后练习:
1. 在递增的等比数列
{a
n
}
中，
a
5
?a
6
?32 4
，
a
5
?a
6
??162
，则
S
6
?
（ ）
A．-364 B．364 C．108 D．243

2．在等比数列
{a
n
}
中，
a
n
?0
，且
a
2
a
4
?2a
3< br>a
5
?a
4
a
6
?25
，则
a3
?a
5
?
（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20

3．在等比数列
{a
n
}
中，
a
1
?1,a
k
?243,q?3
，则
S
k
=（ ）
A．182 B．364 C．91 D．273

4.在等比数列中，
S
30< br>?13S
10
，
S
10
?S
30
?140< br>，则
S
20
?
（ ）
A．90 B．70 C．40 D．30

2
5. 数列前n 项和为
S
n
?n?3n
,则其通项
a
n
?
_____

6. 在公比为整数的等比数列
?
a
n
?< br>中，如果
a
1
?a
4
?18,a
2
?a3
?12,
那么该数列的前8项之
和为_____


第 30 页 共 86 页

7 设{a
n
} 为等差数列，{b
n
}为等比数列，a
1
=b
1
=1,a< br>2
+a
4
=b
3
,b
2
·b
4=a
3
,分别求出{a
n
}及{b
n
}的前
1 0项和S
10
及T
10















8．（2006年福建卷）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1
(n∈N)
（Ⅰ）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）若数 列
?
b
n
?
满足
4
b
1
?1?4
b
2
?1
?4
b
3
?1
?L?4
b
n
?1
?
?
a
n
?1
?
n
(n∈N*),证明:
?
b
n
?
是等差数列;

b
?




















第 31 页 共 86 页

本章测试
一.选择题
1、等差数列
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
的公差为d，则数列
ca
1< br>,ca
2
,ca
3
,?,ca
n
（c为常数，且c?0
）
是（ ）
A．公差为d的等差数列 B．公差为cd的等差数列
C．非等差数列 D．以上都不对

2、在数列
?
a
n
?
中，a
1
?2,2a
n?1
?2a
n
?1
，则a
101
的值为（ ）
A．49 B．50 C．51 D．52

3、已知
a?
1
3?2
,b?
13?2
,
则
a,b
的等差中项为（ ）
A．
3
B．
2
C．
1
3
D．
1
2

4、等差数列
?
a
n
?
中，
S
10
?120
，那么
a
1
?a
1 0
的值是（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48

5、
ac?b
2
是
a、b、c
成等比数列的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6、设
a
1
,a
2
,a
3
,a
2a
1
?a
2
4
成等比数列， 其公比为2，则
2a
的值为（ ）
3
?a
4
A．
11
4
B．
1
2
C．
8
D．1

7、数列3，5，9，17，33，…的通项公式
a
n
等于（ ）
A．
2
n
B．
2
n
?1
C．
2
n
?1
D．
2
n?1


8、数列
?
a
1
n
?
的通项公式是a
n
?
n?n?1
，若前n项的和为10，则项数n为（
A．11 B．99 C．120 D．121

第 32 页 共 86 页
）

9、计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低
9年后的价格可降为（ ）
A．2400元 B．900元

1
，现在价格为8100元的计算机，
3
C．300元 D．3600元
10、数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
都是等差数列，其中
a
1
?25,b
1< br>?75,a
100
?b
100
?100
，那么
?a
n
?b
n
?
前100项的和为（ ）
A．0 B．100 C．10000

D．102400
2
11、 若数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
?n< br>，则（ ）
A．
a
n
?2n?1
B．
a
n
?2n?1
C．
a
n
??2n?1

12、等差数列—3，1，5，…的第15项的值是（ ）
A．40 B．53 C．63 D．76
二、填空题
D．
a
n
??2n?1

13、在等差数列
?
a< br>n
?
中，已知
a
1
?a
2
?a
3< br>?a
4
?a
5
?20
，那么
a
3
等 于
14、某厂在1995年底制定生产计划，要使2005年底的总产量在原有基础上 翻两番，则年平
均增长率为

15、数列
?< br>a
n
?
中，
a
1
?1,a
n
?1
a
n?1
?1
，则
a
4
?

16、已知在等比数列
?
a
n
?
中，各项均为正数，且a
1
?1,a
1
?a
2
?a
3
?7,
则数列
?
a
n
?
的通
项公式是
a
n
?_________

三、解答题
*
17、（本小题满分14分） 已知数列
{log
2
(a
n
?1)},(n?N)
为等差数列，且
a
1
?3,a
3< br>?9.

（１）求数列
{a
n
}
的通项公式；(2) 求数列
{a
n
}
的前n项和
S
n
。










第 33 页 共 86 页

18．（本小题满分14分）数列
(Ⅰ) 求
?
a
n
?
前n项和记为
S,
a
1
?1,
a
n?1
?2S
n
?1,(n?1)
，
n
?
a
n
?
的的通项公式；
(Ⅱ) 等差数列< br>?
b
n
?
的各项为正，其前n项和为
T,
且
T
n3
?15,
又
a
1
?b
1
,
a
2
?b
2
,a
3
?b
3
成等比数列，求
T
n
.




















19．已知等比数列
{a
n
}
中，
a
n
?0
，数列
{b
n
}
满足
b
n
?log
2
a
n
，且
b
1
?b
2
?b
3
?3
，
b
1
b
2
b
3
??3
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
















第 34 页 共 86 页

*
20、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,a
n?1
?a
n
?3n,n?N< br>，求数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n





















*
21、已知等比数列
?
b
n
?
与数列
?
a
n
?
满足
b
n
?3
n
,n?N

a
（1） 判断
?
a
n
?
是何种数列，并给出证明；
（2） 若a
8
?a
13
?m,求b
1
b
2
?b
20
















第 35 页 共 86 页

第三章 不等式
3.1 不等关系和不等式
一．例题
1．如果a （A）
）
aa11
?1
（B）
ab?1
（C）
?1
（D）
?

bbab
答案 利用不等式的基本性质 c

2．一个工程队规定要在6天内完成300土方的工程，第一天 完成了60土方，现在要比原计
划至少提前两天完成任务，则以后几天平均每天至少要完成的土方数x应 满足的不等式
为 。
答案3x≥300－60

3 比较大小：

解 (1)根据不等的比差性质，作差比较：


(2)[法一]作差比较：





第 36 页 共 86 页

二．课后练习

1、下列命题中正确的是…………………………………………… ( )
22
(A)
若a?b,则a?b
(B)
若a?b,则a?b

22
(C)
若a?b,则a
2
?b
2
(D)
若a?b,则a
2
?b
2

2、设
11
??0
，则 ……………………（ ）
ab
222
(A)
a?b
(B)
a?b?2ab
(C)
ab?b
(D)
a
2
?b
2
?a?b


3、若
a?b?c,a?b?c?0
,有……………… ( )
(A)
ab?ac
(B)
ac?bc
（C)
ab?bc
(D)以上皆错

4、以下命题：⑴a>b
?
|a|>b ⑵a>b
?
a
2
>b
2
⑶|a|>b
?
a>b ⑷a>|b|
?
a>b
正确的个数…………………… （ ）
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D)4个

5、如果二次函数y?f(x)
的图象过原点，并且1≤
f(?1)
≤2,3≤
f(1)< br>≤4,则
f(?2)
的取值范
围__________________.

6、已知
a?2,b?2
，试比较
a?b与ab
的大小_ _____________。

7．某蔬菜收购点租用车辆，将100t新鲜辣椒运往某市 销售，可租用的大卡车和农用车分别
为10辆和20辆，若每辆卡车载重8t,运费960元，每辆农用 车载重2.5t,运费360元，据此，
安排两种车型，应满足那些不等关系，请列出来．













第 37 页 共 86 页

3.2一元二次不等式及其解法
一．例题
1
例1 若0＜a＜1，则不等式(x－a)(x－)＜0的解是
[ ]
a
A．a＜x＜
1
C．x＞或x＜a
a

11
B．＜x＜aD．x＜或x＞a
aa
1
a
1
分 析 比较a与的大小后写出答案．
答案A
a

例2 不等式
解：
x?1
?0
的解集是 .
x?2
x?1
（x－2）?0?x?－1或x?2.
?0
?（x＋1）
x?2

例3、已知f(x)=-3x
2
+a(6-a)x+b
（1）解关于a的不等式f(1)>0；
（2）当不等式f(x)>0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值。
解题思路分析：
（1）f(1)=-3+a(6-a)+b=-a
2
+6a+b-3
∵ f(1)>0
∴ a
2
-6a+3-b<0
△=24+4b
当b≤-6时，△≤0
∴ f(1)>0的解集为φ；
当b>-6时，
3?b?6?a?3?b?6

∴ f(1)>0的解集为
x|3?b?6?a?3?b?6
?
?

（2）∵ 不等式-3x
2
+a(6-a)x+b>0的解集为（-1，3）
∴ f(x)>0与不等式(x+1)(x-3)<0同解
∵ 3x
2
-a(6-a)x-b<0解集为（-1，3）
a(6?a)
?
2?
?
?
3
∴
?

b
?
3?
?
3
?
?
?
a?3?3
解之得
?

?
b?9
?

第 38 页 共 86 页

二．课后练习
1．一元二次不等式ax
2
+bx+c>0的解集为(α, β) (α>0)，则不等式cx
2
+bx+a>0的解集为（ ）
（A）(

11
1
1
1
1
11
, ) （B）(－, －) （C）(,) （D）(－, －)
??
??
?
?
??
x?1
?2
的解集为（ ）.
x
A.
[?1,0)
B.
[?1,??)
C.
(??,?1]


2．不等式
3．已知不等式x
2
+px+q<0
D.
(??,?1]U(0,??)

x
2
?px?q
的解集为{x| 12
>0的解集为（ ）
x?5x?6
（A）(1, 2) （B）(－∞, －1)∪(1, 2)∪(6, +∞)
（C）(－1, 1)∪(2, 6) （D）(－∞, －1)∪(6, +∞)

4．已知集合M={x| －2范围是
x?m
>1的解集是P，若P
?
M，则实数m的取值
2x?1
11
, 5] （B）[－3, －]
22
11
（C）[－3, 5] （D）[－3, －)∪(－, 5]
22
（A）[－

3x
2
?kx?2k
5．不等式>2的解集为R，则k的取值范围是 .
2
x?x?2

6. 若不等式x
2
＋ax＋1?0对于一切x?（0，














1
）成立，求a的取值范围
2
3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域
第 39 页 共 86 页

一、例题讲解
例题1：不等式x＋2y－6＜0表示的平面区域在直线x＋2y－6=0的 （ ）
A．左下方 B．右上方 C．左上方 D．右下方
分析解答：
（1） Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组 成的平面区域，不含边界，画
边界时画成虚线
（2） Ax+By+C≥0表示直线A x+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，包含边界，画
边界时画成实线
（3） 对于直线Ax+By+C=0某一侧所有点（x,y）代入Ax+By+C符号都相同。因此可用
其中一 点试一下，便可判断符号
（4） 当C≠0时，常用原点作为特殊点来验证是否在区域内。
记f(x,y)= Ax+By+C,
若f(0,0)>0, 则在（0，0）同一侧的所有点都有f(x,y)>0
若f(0,0)<0, 则在（0，0）同一侧的所有点都有f(x,y)<0
根据这些知识就很快可以知道答案：A
例题2．在下角坐标系内，满足不等式
x?y?0
的点(x，y)的集合(用阴影表示)22
是（ ）
分析解答：可以把
x?y?0化成(x?y)(x?y)?0
即可可以很快知道答案选 B
22

例题3画出不等式组
?
x?y?5?0
??
x?y?0
?
x?3
?
第 40 页 共 86 页

表示的平面区域
分析解答：我们可以划出每一条的区域，交集即是它表示的区域
Y
x+y=0
O
X
x-y+5=0
x=3

注：不等式组表示的平面区域是各不等式所表示平面区域的公共部分。
二、练习
1.画出下列不等式表示的平面区域：
(1) x-y+1<0 (2) 2x+3y-6>0




(3) 2x+5y-10≥0 (4) 4x-3y≤0。




2．用不等式组表示两条直线y=x和x＋y＋1=0上方的平面区域．
第 41 页 共 86 页

3.画出不等式表示的平面区域
?
x?y?5?0
?
?
x?y?0

?
x?3
?





4.画出下列不等式组表示的平面区域：
?
y?x
?
(1)
?
x?2y?4

?
y??2
?




(2)
?
x?3
?
2y?x
?

?
?
3x?2y?6
?
?
3y?x?9
第 42 页 共 86 页

5．用不等式组表示由三条直线y=2，y=x，和y=－x所围成的三角形区域(包括边界 )．


















3.3.2简单的线性规划问题
一、例题:
?
x?y??1
1. 设变量
x，y
满足约束条件
?
?
x?y?4
，则目标函数< br>z
＝2
x
+4
y
的最大值为（
?
?
y?2
第 43 页 共 86 页

）

（Ａ）10
答案：C
（Ｂ）12 （Ｃ）13 （Ｄ）14
?
x?y?2
?
2. 已知实数
x，y
满足< br>?
x?y?2，
则
z?2x?y
的取值范围是________．
?
0?y?3
?
答案：
?
?5，7
?

3. 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为
500
元分钟和200元分钟，规定甲、 乙
两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少
万元？
解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为
x
分钟和
y
分 钟，总收益为
z
元，由
?
x?y?300，
?
题意得
?
500x?200y?90000，

?
x?0，y?0.
?
目标函数为
z?3000x?2000y
．

?
x?y≤300，
?
二元一次不等式组等价于
?
5x?2y≤900，

?
x≥0，y≥0.
?
y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域．
如图：
400
300
l 200
100
0 100 200 300
M
500








x
作直线
l:3000x?2000y?0
，



即
3x?2y?0
．
平移直线
l
，从图中可知 ，当直线
l
过
M
点时，目标函数取得最大值．
联立
?< br>?
x?y?300，
解得：
x?100，y?200
．
5x?2y?900.
?


?
点
M
的坐标为
(100，200)
．
?z
max
?3000x?2000y?700000
（元）
第 44 页 共 86 页

答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电 视台做200分钟广告，公司的收益最大，最
大收益是70万元．

二、课后练习:

1.下面给出四个点中，位于
?
Ａ．
(0，2)


?
x?y?1?0，
表示的平面区域内的点是（ ）
?
x?y?1?0
Ｃ．
(0，?2)
Ｄ．
(2，0)
Ｂ．
(?2，0)

?
x? y?5??，
?
2.若不等式组
?
y?a，
表示的平面区域是一个三 角形，则
a
的取值范围是（ ）.
?
0?x?2
?
Ａ．
a?5
Ｂ．
a?7
Ｃ．
5?a?7
Ｄ．
a?5
或
a?7



3.在平面直角坐标系
xOy
，已知平面区域
A?{(x,y)|x?y?1,
且
x?0, y?0}
，则平面区
域
B?{(x?y,x?y)|(x,y)?A}
的面积 为( ).
A．
2
B．
1
C．


11
D．
24
?
2x? 3y?0
?
4.已知
?
x?y?0，
则
z?3x?y
的最小值为 ．
?
y?0.
?

?
x ?2y?5?0，
?
5.
z?2x?y
中的
x，y
满足约束 条件
?
3?x≥0，
则
z
的最小值是 ．
?
x?y≥0，
?



6. 制定投资计划时， 不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打
算投资甲、乙两个项目. 根据预 测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可
能的最大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资
金亏损不超过1.8万元.
问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？


第 45 页 共 86 页

3.4 基本不等式
ab?
a?b
2

一、例题讲解
例题1. 若不等式
x?22xy
?
a(x+y) 对一切正数x、y恒成立，则正数a的最小值为（ B
A 1 B 2 C
2?
1
2
D
22?1

第 46 页 共 86 页
）

分析 分离系数解出a
?
x?22xyx?22xy
，求a的最小值，转化为求的最大值
x?yx?y
解
Qx?0,y?0

?x?y?0,

?
原不等式可化为 a
?
x?22xy
恒成立。
x?y
又
x?22xy
x?x?2y2x?2y
???2

x?y
x?yx?y
?
a
?2

例题2.设
a?b?0
，
a?
2
16
的最小值是
b(a?b)
解 :由
161664
??
2
，此时等号成立 条件是
b?a?b
即
a?2b
，所以
b?a?b
2
a
b(a?b)
()
2
a
2
?
16
646 4
?a
2
?
2
?264?16
。此时等号成立条件是，a
2
?
2
即
a?4
，所以
b(a?b)
aa
此时
b?2
。
两次使用基本不等式是指连续两次使用不等式，使用时要注意等号要同时成立。


二、练习
1.若 x>0,y>0, 且x+y=s,xy=p, 则下列命题中正确的是 （ ）
A 当且仅当x=y 时s有最小值
2p

s
2
B当且仅当 x=y 时p 有最大值
4
C当且仅当 p为定值 时s有最小值
2p

s
2
D 当且仅当 x=y 时 有最大值
4

2函数
f
(x)
?x?
A
?
2,??
?

3. 已知
x?
1
的值域是 ( )
x
B
?
2,??
?
C R D
?
??,?2
?
U
?
2,??
?

5
1
函数
y?4x?2?
的最大值是
4x?5
4
第 47 页 共 86 页

4.若正数 a,b 满足ab=a+b+3 , 则ab 的取值范围是

5. 设
x?5
，函数
y?x?

6. 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则
(

7. 设a、b、c都是正数且a＋b＋c＝1，
求证：(







8. 用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？







9. 某村计划建造一个室内面积为800 的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内
墙各保留1 宽的通道，沿前侧内墙保留3 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜
的种植面积最大。最大种植面积是多少？


第 48 页 共 86 页
3
的最小值是
x
11
?1)(?1)
的最小值为 _________
22
ab
111
－1)(－1)(－1)≥8．
abc

10. 甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时．已

知汽车每 小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v
．．．．．．．．
(千米时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
I．把全程运输成本
．．．． ．．
y（元）表示为速度v（千米时）的函数，并指出这个函数的定义域。

II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
．．．．．．














第三章 不等式 测试题
一.选择题
1．如果
a?0,b?0
，那么，下列不等式中正确的是（ ）
（A）
11
?
（B）
?a?b
（C）
a
2
?b
2
（D）
|a|?|b|

ab
第 49 页 共 86 页

＞
b
＞
0”是“ab＜
a
2?b
2
2．“a
2
”的（ ）
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件

3．不等式
1
x
?
1
2
的解集是（ ）
(A)．
(??,2)
(B)．
(2,??)
(C)．
(0,2)
(D)．
(??,0)
?
(2,??)


4．下列结论正确的是 （ ）
A．当
x?0且x?1时,lgx?
1
lgx
?2
B．
当x?0时,x?
1
x
?2

C．
当x?2时,x?
1
x
的最小值为2 D．当
0?x?2时,x?
1
x
无最大值

5．若x，y是 正数，则
(x?
1
2y
)
2
?(y?
1
2 x
)
2
的最小值是 （ ）
A．3 B．
7
2
C．4 D．
9
2

6．若a?0，b?0，则不等式－b?
1
x
?a等价于（ ）
A．
－
1
b
?x?0或0?x?
1
a
B.－
1
a
?x?
1
b

C.x?-
1
a
或x?
1
b
D.x?
－
1
b
或x?
1
a


7.设f(x)=
?
?
?
2e
x?1
,x?2,
?
x?1),x?2,
则不等式f(x)>2的解集为 ( )
?
log
2
3
(
(A)（1，2）
?
（3 ，+∞） (B)（
10
，+∞）
(C)（1，2）
?
（
10
，+∞） (D)（1，2）

8．若关于
x
的不等式
(1?k
2< br>)x
≤
k
4
＋4的解集是M，则对任意实常数
k
，总 有（
（A）2∈M，0∈M； （B）2
?
M，0
?
M；
（C）2∈M，0
?
M； （D）2
?
M，0∈M.
9．若
a、b、c?R,a?b
，则下列不等式成立的是( )
（A）
11
ab
a
?
b
. （B）
a
2
?b
2
. （C）
c
2
?1
?
c
2
?1
. （D）
a|c|?b|c|
.

10．若
a,b,c?0
且
a
2
?2ab?2ac?4bc?12
，则
a?b?c
的 最小值是( )
第 50 页 共 86 页

）

（A）
23
（B）3 （C）2 （D）
3


11.已知函数f(x)=ax
2
+2ax+ 4(01
2
,x
1
+x
2< br>=1－a,则( )
A.f(x
1
)2
) B.f(x
1
)=f(x
2
)
C.f(x
1
)>f(x
2
) D.f(x
1
)与f(x
2
)的大小不能确定

12．若 a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2
3
,则2a+b+c的最小值为( )
（A）
3
-1 (B)

二、填空题
13.不等式

14.非负实数x、y满足
?

3
+1 (C) 2
3
+2 (D) 2
3
-2
1?2x
?0
的解集是 .
x?1
?
2x?y?4?0
,则x?3y
的最大值为
?
x?y?3?0
?
x?y?3?0
?
x?2y?5?0< br>?
15．已知实数
x,y
满足
?
，则
y?2x
的最大值是_________.
?
x?0
?
?
y?0
三、解答题
16．已知x>0,y>0,x+y=1 求证: (1+









17.解关于x的不等式




第 51 页 共 86 页
1
1
)(1+
)≥9
y
x
ax?1
?1
,其中|a|≠1
x?a

18.设f(x)=3ax
2
+2bx+ c.若a+b+c=0
,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜
a
＜-1；
b
(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.






















1 9．行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前行驶一段距离才能停止,这段距离叫做
刹车距离 ,在某种型号汽车的刹车距离y(米)与汽车的车速x(千米小时)满足下列关
系:y=
11
nx+x?(n为常数,且n是正整数)我们做过两次刹车实验,有关数据是 当
100
400
x
1
=40,5≤y
1
≤7,当x
2
=70,13≤y
2
≤15.
第 52 页 共 86 页

⑴求出n的值
⑵要使刹车距离不超过18.4米,则行驶的最大速度应是多少?













20.某工厂库存A、B、C三种原料，可用来生产Z、Y两种产品，市场调查显示可获利润等
各数据如下表：

库存量（件）
Z（每件用料）
















A
100
1
B
125
2
3
C
156
3
1
每件产品利润
（I）
2000
1000
（II）
1000
3000 Y（每件用料） 4
问：若市场情况如（I），怎样安排生产能获得最大利润?
若市场情况如（II），怎样安排生产才能获得最大利润？
必 修 五 模 块 测 试 题(一)
一、选择题(50分)
：
1、若a、b为实数, 且a+b=2, 则3
a
+3
b
的最小值为 （ ）
A．18 B．6 C．2
3
D．2
4
3

2、
已知
?ABC
中，a=5, b = 3 , C = 120
0
,则sinA的值为（ ）
第 53 页 共 86 页

A、
53533333
B、
?
C、 D、
?

14141414
2
3、
若不等 式
ax?bx?2?0
的解集
?
x|?
?
?
1?x?
2
1
?
?
则a－b值是（ ）
3
?
A、－10 B、－14 C、10 D、14
4、
我市某公司，第一年产值增长率为p，第二年产值增长率q，这二年的平均增长 率为x，
p?q
那x与大小关系（
p?q)
是（ ）
2
p?qp?qp?q
A、x< B、x= C、x> D、与p、q联值有关

222
?
x?4y?3?0
?
5、
. 目标函数
z ?2x?y
，变量
x,y
满足
?
3x?5y?25
，则有 （ ）
?
x?1
?
A．
z
max
?12,z
min
?3

C．
z
min
?3,z
无最大值
B．
z
max
?12,
z
无最小值
D．
z
既无最大值，也无最小值
2
6、
若关于
x
的不等式
2x?8x?4?a?0在1?x?4
内有解，则实数
a
的 取值范围是（ ）
A．
a??4
B．
a??4
C．
a??12
D．
a??12

7．已知△ABC的周长为2?1,且sinA?sinB?2sinC.
若△ABC的面积为
1
sinC,
则角C的度数为（ ）
6
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15浬每小时的速度航行，一个灯塔M原
来在轮船的北偏东10°方向上.经过40分钟，轮船与灯塔的距离是
53
浬，则灯
塔和轮船原来的距离为（ ）
A．2
x
2
?1
2
浬 B．3浬 C．4浬 D．5浬
9 ．若
2
?
(
1
)
x?2
，则函数
y?2< br>x
的值域是（ ）
4
111
A．
[,2)
B．
[,2]
C．
(??,]

888
D．
[2,??)

10．某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买x吨，运费为4万元次，一年的总存
储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用 之和最小，则x=（ ）
A、10 B、20 C、30 D、不确定
二、填空题(25分)
第 54 页 共 86 页

1 1、已知等比数列
{a
n
}
的公比
q??
,则
1< br>3
a
1
?a
3
?a
5
?a
7
等于
a
2
?a
4
?a
6
?a
8
12、
设
x?0,y?0且x?2y?1，求?的最小值 .


?
x?1
?
2213、已知
?
x?y?1?0
求
x?y
的最小值_____________
?
2x?y?2?0
?
14．如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运动到（0，1），
接着它 按如图所示的x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→
（0，1）→（1，1）→（1，0） →（2，0）→…），且每秒移动一个单
位，那么第2008秒末这个粒子所处的位置的坐标为__ 。



三、解答题：
15（本小题满分12分）△ABC中， D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60
o
，∠ADC
＝150
o
，求AC的长及△ABC的面积。

A



















1
x
1
y
B 2 D 1 C
16题(12分). 设{a
n
}是一个公差为d（d≠0）的 等差数列，它的前10项和S
10
=110，
且a
1
，a
2
，a
4
成等比数列.（I）证明a
1
=d； （II）求公差d的值和数列{a
n
}的通
项公式
.
解：



第 55 页 共 86 页

17题(12分)．在等比数列
{a
n< br>}
中，
a
n
?0(n?N*)
，公比
q?(0,1)
，
a
1
a
5
?2a
3
a
5?a
2
a
8
?25
， 且
2
是
a3
与
a
5
的等比中项，⑴求数列
{a
n
}的通项公式；
⑵设
b
n
?log
2
a
n，数列
{b
n
}
的前
n
项和为
S
n< br>，当
解：
















18题(12分)、某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用2千元，每年投保、动
力消耗的 费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2
千元，第二年为3千元 ，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元．问这台机器最佳
使用年限是多少年？并求出年平均费 用的最小值．
解：


第 56 页 共 86 页
S
S
1
S
2
????
n
最大时，求
n
的值 .
12n

19题(13分).在△ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C的对边，关于x的不等
式x
2
cosC+4xsinC+6<0的解集是空集. （1）求∠C的最大值；
73（2）若
c?,?ABC的面积S?3
，求当∠C取最大值时a+b的值.
22
解：


















20题(13分).已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，首项为a
1
，且1，a
n
，S
n
成等差数列
（n ∈N
+
） （1）求数列{a
n
}的通项公式；（2）设T
n< br>为数列{
若对于
?n?N
?
,总有T
n
?
解 ：



第 57 页 共 86 页
1
}的前n项和 ，
a
n
m?4
成立，其中m∈N
+
，求m的最小值.

3

必修五模块测试（二）
一、选择题
1．若
a?b?0
，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．
|a|?|b|
B．
1
a?b
?
1
a
C．
11
a
?
b

2．下列不等式的解集是R的为（ ）
第 58 页 共 86 页
D．
a
2
?b
2

A．
x?2x?1?0
B．
x
2
?0
C．
()?1?0
D．
2
1
2
x
11
?3?

xx
3．在△ABC中，
a?b?c?bc
，则A等于（ ）


4．在各项都为正数的等比数列
{a
n
}
中， a
1
=3，前三项和为21，则a
3
+ a
4
+ a
5
=（ ）


5．一个等差数列共有10项，其中偶数项的和为15，则这个数列的第6项是（ ）


6．数列{x
n
}满足
x
1
?1,x
2
?
A．3 B．4 C．5 D．6
A．33 B．72 C．84 D．189
A．60° B．45° C．120° D．30°
222
2112
,且??(n?2)
，则x
n
等于（ ）
3x
n?1
x
n?1
x
n
2
3
C．
()


A．
1

n?1
B．
()
n?1

2
3
n
D．
2

n?1
7．在△ABC 中，若a、b、c成等比数例，且c = 2a，则cos B等于（ ）


8．正数a、b的等差中项是
A．3
A．
1

4
B．
3

4
C．
2

4
D．
2

3
111
，且
?
?a ?,
?
?b?,则
?
?
?
的最小值是（ ）
2ab
C．5 D．6 B．4
9．在△ABC中，若
lgsinA?lg cosB?lgsinC?lg2
，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
10．某人为了观看2008年奥运会，从2 001年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，
若年利率为P，且保持不变，并约定每年到期存 款均自动转为新的一年定期，到2008
年5月10日将所有存款和利息全部取回，则可取回的钱的总数 （元）为（ ） A、
a(1?p)
7
B．
a(1?p)
8

第 59 页 共 86 页

C．
a
[(1?p)
7
?(1?p)]

p
D．
a
[(1?p)
8
?(1?p)]

p
二、填空题
11．在△ABC中，
sinA:sinB:sinC?3: 2:4
，则cosC的值为 _______

12．若关于x的不等式
?

13．△ABC中，A（2，4）、B（－1， 2）、C（1，0），D（x，y）在△ABC内部及边界运动，
则z=x－y的最大值为 最小值为

14．根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有 个点.





827
15．在
和
之 间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积
32
为 .
三、解答题
1
2
x?2x?mx
的解集为
{x|0? x?2}
，则m的值为 .
2
16．已知
a?0,集合A ?{x|x
2
?x?6?0},B?{x|x
2
?2x?8?0},C?{x |x
2
?4ax?3a
2
?0}
，
且
C?
(A∩C
R
B).求实数a的取值范围.










17．在塔底的水平面上某点测得塔 顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走30米，测得塔
顶的仰角为2θ，再向塔前进
103< br>米，又测得塔顶的仰角为4θ，
求塔高。


第 60 页 共 86 页

18、设函数f(x)=|lgx|, 若0f(b).证明: ab<1.









19、 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，且
a
n?1
?2a
n
?1
，又设
b
n
?a
n
?1
(1)求证：数列
?
b
n
?
是等
比数列； (2)求数列
?
a
n
?
的通项公式； (3)设
c
n
?
前
n
项的和
S
n








20．（本小题满分12 分）某小区要建一个面积为500平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地
长边外路宽5米，短边外路宽9 米，怎样设计绿地的长与宽，
使绿地和小路所占的总面积最小，并求出最小值。

n ?1
(
n?N*
)，求数列
?
c
n
?
的< br>a
n
?1
第 61 页 共 86 页

*
21．（本小题满分12分）数列
?
a
n
?
的 前
n
项和为
S
n
，
a
1
?1
，< br>a
n?1
?2S
n
(n?N)
．
（Ⅰ）求数列?
a
n
?
的通项
a
n
； （Ⅱ）求数列
?
na
n
?
的前
n
项和
T
n
．



















第一章 解三角形参考答案

1．1．1．正弦定理（一）

1．Ａ 2．Ａ 3．Ｄ
4．
60或120
5．等腰三角形
第 62 页 共 86 页
00

1
acsinB

2
14
??5?2sinB?5sinB?4
∴
sinB?

25
3
当B为锐角时，
cosB?

5
1?cosB1
2
B
由
sin??

225
6．解 由条件
c?2,a?5,
Ｓ
△ABC
＝∴
sin
B5
?

25
当B为钝角时，
cos B??
由
sin
2
3

5
B1?cosB4
??

225
∴
sin
B25
?

25
0
7．解∵Ｂ＝Ａ＋
60

∴
sinB?sin(A?60)

0
sinB?
13
sinA?cosA

22
又
b?2a,2RsinB?4RsinA

∴
sinB?2sinA

∴
2sinA?
13
sinA?cosA

22
3sinA?3cosA

∴
tanA?
∴
A?30

0
3
,
又∵
0
0
＜A＜
180
0

3
1．1．1．正弦定理（二）
1．Ｃ 2．Ａ 3．Ｂ
4．等腰三角形 5．
23


第 63 页 共 86 页

6．由方程两根之积为
acosB
，方程两根之和为
bcosA
，∴
acosB?bcosA

由正弦定理，得
sinAcosB?sinBcosA

即
sin(A?B)?0

∵
?180
＜A
?B
＜
180

∴Ａ－Ｂ＝０
∴Ａ＝Ｂ
∴三角形为等腰三角形

7．解 由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB
00
A?CA?CA?CA?C

?;C??
2222
A?CA?C
得
2sincos?2sinB< br>
22
A?C
?
即
sincos?sinB

26
由
A?
即
sinB?
3A?C
sin

22
∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝
?

∴Ｂ＝
?
－（Ａ＋Ｃ）
B
?
A?C

??
222
B
?
A ?CA?C
∴
cos?cos(?

)?sin
2222
∴
2sin
BB3B
cos?cos

2222
∵
cos
B3
B

?0
∴
sin?
24
2
∴
cos
B313

?1 ?()
2
?
244
BB31339
cos?2???

22448
∴
sinB?2sin
1．1．2．余弦定理（一）
1．Ｂ 2．Ｄ 3．Ｃ
＜a＜
10
5．
23
4．
22
第 64 页 共 86 页

6．由正弦定理，得
∵Ａ＝２Ｃ
ac

?
sinAsinC
ac

?
sin2CsinC
∴
a?2csinC

∴
又
a?c?8
∴
cocC?
由余弦定理，得
8?c
①
2c
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?4ccosC?16?16cosC
222
②
16
?
c?
?< br>?
5
?
c?4
或
?
(舍)
①代入②，得
?
?
a?
24
?
a?4
?
5
?< br>∴
a?
2416
，c?

55
2
7．解
x?23x?2?0
，得
X
1
=
3?1
, X
2
=
3?1

∵
sin(A?B)?sin(
?
?C)?sinC

∴
sinC?
3

2
0
由于△ABC为锐角三角形，∴Ｃ＝
60

由余弦定理，得
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
< br>?x
1
?x
2
?2x
1
x
2
cos C
?(3?1)
2
?(3?1)
2
?2(3?1)(3?1)cos 60
0
∴
C?6

?6
Ｓ
△ABC
＝
22
3
11

acsinC?(3?1)(3?1)sin60
0
?
2
22
1．1 ．2．余弦定理（二）

1．Ａ 2．Ｃ 3．Ｂ
第 65 页 共 86 页

4．
17或41
5．
6．解 由余弦定理,知
239

3
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA

b
2
?a
2
?c
2
?2accosB

∴
a?b?b?a?2bccosA?2accosB

2222
a
2
?b
2
sinAcosB?cosAsinB
?
2
sinC
c

sin(A?B)
?
sinC
7．解 如图，连结ＢＤ，则四边形面积
Ｓ＝Ｓ
△ABD
+Ｓ
△BCD
=
11
AB?AD?sinA?BC?CD?sinC

22
∵A+C=180
0

∴sinＡ= sin C
∴Ｓ＝
1
(AB?AD?BC?CD)sinA

2
=16 sinＡ
由余弦定理,知在△ABC中，
BD
2
?2
2
?4
2
?2?2?4cosA?20?16cosA

在△CDB中,
BD?52?48cosC

∴
20?16cosA?52?48cosC

又
cosC??cosA

2
1
cosA??,
∴Ａ＝120
0

2
∴Ｓ＝16sinＡ＝
83

正余弦定理的综合应用

1．Ｂ 2．Ｂ 3．Ｄ
4．7 5．5


6．解
(1)
由二倍角公式，已知等式化简为
2sinB(1?sinB)?2cos
2
B?2?3

第 66 页 共 86 页

∴
sinB?
0
3

2
∴Ｂ＝
60
或120°

(2)?S?
∴
c?5

13
1
acsinB,< br>∴
53??4c?
22
2

当Ｂ＝
60
时，由余弦定理,得
0
b?a
2
?b
2
?2accosB?21

当Ｂ＝120°时，由余弦定理,得
b?
22222
61

7．∵
c?(a?b)?c?a?b?2ab

?2ab?(a
2
?b
2
?c
2
)

222
由余弦定理,得
a?b?c?2abcosC

22
∴
c?(a?b)?2ab(1?cosC)

1
S?acsinB
2

∴
sinC?(1?cosC)

∵
sinC?cosC?1

∴
17cosC?32cosC?15?0

2
22
15
或cosC?1(舍去）
17

8
∴
sinC?

17
144
∴
S?acsinC?ab?a(2?a)

21717
44
??(a?1)
2
?

1717
∵
a?b?2,
∴0＜
a
＜2
4
∴当
a?1,b?2
时，Ｓmax =
17
cosC?

1．2应用举例（一）
1．Ｂ 2．Ｄ 3．Ｃ
4．
203米
5.
203米

40
3米

3
6．解：在△ABC中，AB = 100m , ?CAB = 15?, ?ACB = 45??15? = 30?
第 67 页 共 86 页

由正弦定理：
100BC
∴BC = 200sin15?
?
sin30
?
sin15
?
在△DBC中，CD = 50m , ?CBD = 45?, ?CDB = 90? + ?, 由正弦定理：
50200sin15
?
?
??
sin45sin(90?
?
)

?cos? =
3?1

∴? = 42.94?
7．解：设所求最大圆的半径为x，
则在△ABC中
15
2
? (10?x)
2
?(5?x)
2
30?x
cos
?
??
2?15?(10?x)30?3x

又在△ACD中：
(10?x)
2
?5
2
?(15?x)
2
5x?10
cos?? ?
2?(10?x)?5x?10

又在△ACD中：
(10?x)
2
?5
2
?(15?x)
2
5x?10
cos???2?(10?x)?5x?10

30?x5x?10
??7x
2
?40x?300?0
30?3xx?10

30
?x
1
?,x
2
??10(舍去 )
7
1．2应用举例（二）

1．Ｂ2．Ａ 3．Ａ
4．14nmileh 5．20（1+
3
） m


6．解：设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F
1
与竖直方向的夹角为 θ
1
，F
2
与
竖直方向的夹角为θ
2
，则有
4gsin
?
1
?2gsin
?
2
①
4gcos
?
1
?2gcos
?
2
?mg
②
（其中g为重力加速度）
2
由①式和②式消去
?
2
， 得
m?8mcos
?
1
?12?0
即
m?4cos
?
1
?24cos
?
1
?3
. ③
2
∵
cos
?
2
＞
0
，由②式知，③式中
m?4cos
?
1
?24cos
又∵4cos
2
θ
1
－ 3≥0，解得
2
?
1
?3
不合题意，舍去
3
?cos
?
1
?1

2
第 68 页 共 86 页

经检验，当
cos
?
1
?
3
时，
cos
?
2
?0
，不合题意，舍去.∴2< br>3
＜m＜6
2
综上，所求物体的质量在2
3
kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡.
7．解:设AD=x，AC=y，
即x
2
?y
2
?xy?441
①
而在△ABC中，
(x?20)
2
?y
2
?2(x?20 )ycos60??31
2
,

22
即
x?y?xy?40x?20y?561
②
②—①得
y?2x?6
，
2
代入①得
x?6x?135?0

得
x?15(km)
，即此人还需走15km才能到达A城.


一、选择题
解三角形测试题

1．Ｄ 2．Ｃ 3．Ｃ 4．B 5．B 6．Ａ 7．Ｃ 8．Ｄ 9．B 10．Ａ
二、填空题
11.
52
12.
三、解答题
15.
a?3?6

b?

16.
b?213
或
b?237


39
13. 40 14. 1:2:3
8
6?2

17．tan

ACAC
?tan?3tan?tan?3

2222
18. BC=8

19.ＡＢ＝９

20. 缉私艇应以8
3
n mile h的速度按方位角 355°方向航行.

第二章 数列
2.1数列的概念和简单表示
1 解 (1)所给数列可改 写为1＋1，－1＋1，1＋1，－1＋1，…可以看作数列1，－1，
1，－1，…的各项都加1，因 此所给数的通项公式a
n
＝(－1)
n+1
＋1．所给数列亦可看作
2，0，2，0…周期性变化，因此所给数列的

?
2


(n
为奇数

)


通项公式
a


n

=

?



)


?
0


(n
为偶数

这一题说明了数列的通项公式不唯一．

第 69 页 共 86 页

(2)从所给 数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3，8，15，
24，35，…可变形为 1×3，2×4，3×5，4×6，5×7，…，即每一项可以看成序号n
与n＋2的积，也即n(n＋ 2)．各项的符号，奇数项为负，偶数项为正．因此，所给
数列的通项公式为：
a
n
?(?1)
n
·

1
．

n(n?2)
1

4

9

16

25

(3)

所给数列可改写为

，

，

，

，

2

2

2

2

2

，…分子

组成的数列为
1，4，9，16，25，… 是序号n的平方即n
2
，分母均为2．因此所
n
2
给数列的通项公式为a
n
=．

2

2 解 (1)5,8,11,14,17 (2)a
n
=3n+2.
3 解 由所给数列的前四项可得数列的通项公式为
a
n
?3n?1
,
即< br>25?3n?1
,解得n=7,即
25
是这个数列的第7项.

4 解 由a
1
=1，a
n+1
=2a
n
+1可得
a
n
?2a
n?1
?1
?2
?
2a
n ?2
?1
?
?1?2
2
a
n?2
?2?1
?2
2
?
2a
n?3
?1
?
?2?1?2
3
a
n?3
?2
2
?2?1
LL
?2
n? 1
a
1
?2
n?2
?L?2?2?1
2

?2
n?1
?2
n?2
?L?2
2
?2?1
?2< br>n
?1
即 a
n
?2
n
?1
5 解 由已知：a
1
·a
2
·a
3
·…·a
n
＝ n
2


a

n

?

a

n

?

a

1

·

a

2

·

a

3

·……·

a

n

a

1

·

a

2

·

a

3

·……·
a


n

?

1

n

2



2

．

，

n
≥
(

n

?

1)

2

(

n
≥


2

，

n
∈


N

*)



由于
a


1

＝
1

不适合于此等式．因此

第 70 页 共 86 页

?
1
?
a
n
=
?
n
2
?
(n?1)
2
，
?
n=1
n≥2且n∈N*

3
2
5
2
61
(1) a
3
＋a
5
=
2
?
2
?
1624
256n
2

(2)令?，解方程可得n=16
225(n?1)
2
256
∵n＝16∈N*，∴是此数列的第16项．
225
说明 (1)“知和求差”、“知积求商”是数列中常用的基本方法．
(2)运用方程思想求n，若n∈N*，则n是此数列中的项，反之，则不是此数列中
的项．
6 解法一 ∵数列{a
n
}是递增数列，∴a
n+1
＞a
n

a
n+1
－a
n
＝(a
2
－1)[(n＋1)
3< br>－2(n＋1)]－(a
2
－1)(n
3
－2n)
＝(a< br>2
－1)[(n＋1)
3
－2(n＋1)－n
3
＋2n]
＝(a
2
－1)(3n
2
＋3n－1)
∵(a
2
－1)(3n
2
＋3n－1)＞0
又∵n∈N*，∴3n
2
＋3n－1=3n(n＋1)－1＞0
∴a
2
－1＞0，解得a＜－1或a＞1．
解法二 ∵{a
n
}是递增数列，∴a
1
＜a
2
即：
(a
2
－1)(1－2)＜(a
2
－1)(8－4)
化简得 a
2
－1＞0
∴a＜－1或a＞1

2.2等差数列答案
1~4 CCAB 5.15 6. a
n
=4n-3(1≤n≤7)
7. 解：设第三个数为a公差为d则这5个数依次为
?
(a?2d)?(a?d)?a?(a?d )?(a?2d)?5
?
a
1
-2d, a-d, a, a+d, a+2d.依题意：
?
85

22222
(a?2d)?(a?d) ?a?(a?d)?(a?2d)?
?
9
?
第 71 页 共 86 页

?
a?1
?
即
?
2
17
∴
2
a?2d?
?
9
?
当d=
?
a?1
?
2
.
?d??
?
3
?
21157
时,这5个数分别是-、、1、、;
33333
27511
当d=-时这5个数分别是、、1、、-.
33333
8.解：
1
a
2
?a
5
?a
1
?d?4d?2a
1
?5d?4,又a
1
?
3
21221

?d?,a
n
??(n?1)??n?< br>33333
21
a
n
?33, ?n??33得n?50
33
2.3等差数列的前n项和答案
1~4 ACBB 5.
?
7. 解：（1）
n(5n?1)
6. 2n-10 8
2
?
2a
1
?11d?0
12?1112?13
，
S
12
?12a
1
?d?0
，
S
13?13a
1
?d?0
，即
?
a?6d?0
22
?
1
由
a
3
?a
1
?2d?12
,代入得 ：
?
（2）
解一：由
S
12
?6
?
a< br>6
?a
7
?
?0
，
S
13
?13a
7
?0
可知：
a
6
?0,a
7
?0
，所以S
6
最大。
解二、
S
n
?
24
?d??3
。
7d
2
?
5d
?
24
n?
?
12??d??3
可知，它的图象是开口向下的抛物线上
?
n
，由
?< br>22
?
7
?
的一群离散的点，根据图象可知S
6
最大 。
245d?2413
d
?
5d?24
?
d5d?24< br>2
解三、
S
n
?
?
n?
?d??3
得
6??

)
，由
?
?
?(
72d22
?
2d
?
22d
又抛物线开口向下，所以S
6
最大。
nn?1n?1
8.解：
S
n
?3?2,S
n? 1
?3?2,a
n
?S
n
?S
n?1
?2(n?2 )

2
?
5,(n?1)
而
a
1
?S1
?5
，∴
a
n
?
?
n?1

?
2,(n?2)
2.4等比数列答案
1~4 CBAC 5.
13
－
6. 3·2
n
3
16
第 72 页 共 86 页

7 . 1)证明：
Qa
n?1
?2a
n
?1

?
a
n?1
?1?2a
n
?2?2(a
n
?1 )

又
Qa
1
?1
?
a
n
?1?0
故
a
n?1
?1
?2

?
{a
n
?1}
是等比数列
a
n
?1< br>n?1
②解：
Q{a
n
?1}
是等比数列，且
a1
?1?2,q?2
?
a
n
?1?2?2
aa?
64
a
3
?
4
a
3
?
16
8. 解：依题意可得
{
a
3
?
7
解得 或
{
{
a
7
?
4

a
7
?
16
3
a
7
?
20
?2
n
故
a
n
?2
n
?1

a?
4
a?
16
1
Q
当
{
a
3
?
16
时
,q
4
?4

?
a
11
?a
7
q
4
?64
当
{
a
3
?
4
时
,q
4
?

?
a
11
?a
7
q
4
?1

7
7
4


2.5等比数列的前n项和答案
1~4 BABC 5.
2n?2(n?N)
6. 510
7.解 ∵{a
n
}为等差数列，{b
n
}为等比数列，∴a2
+a
4
=2a
3
,b
2
·b
4=b
3
2
,
已知a
2
+a
4
=b< br>3
,b
2
·b
4
=a
3
,∴b
3< br>=2a
3
,a
3
=b
3
2
,
?
11
,a
3
=
24
13
由a1
=1,a
3
=，知{a
n
}的公差d=－,
48< br>10?9
55
∴S
10
=10a
1
+d=－ < br>2
8
得b
3
=2b
3
2
,∵b
3< br>≠0,∴b
3
=
由b
1
=1,b
3
=
22
1
,知{b
n
}的公比q=或q=－,
22
2b
1
(1?q
10
)
312
当q?时,T
10
??(2?2);
21?q32
当q??
b(1?q)
312
时,T
10
?
1
?(2?2).
21?q32
10

*
8.（I）解：
Qa
n?1
?2a
n
?1( n?N),







?a
n?1
?1?2(a
n
?1),

?
a
n
?1
?
是以
a
1
?1?2
为首项，2 为公比的等比数列。
?a
n
?1?2
n
.
即
a
n
?2
2
?1(n?N
*
).

b
（II）证法一：
4
b
1
?1
?4
b
2
?1
?4
b
3
?1
?L?4
b
n
?1
?
?
a
n
?1
?
n
， < br>?4
(b
1
?b
2
?...?b
n
)?n< br>?2
nb
n
.

?2[(b
1
?b
2
?...?b
n
)?n]?nb
n
,
①
第 73 页 共 86 页