高中数学必修五月考试卷

高二年级数学必修五第一次周练试卷

命题人：牛海轩 审核人：付亚敏 时间：2013年9月6日 星期五
一、选择题（本大题共9个小题，共45分）
1．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为
A．75° B．60° C．45°







( )
D．30°

3
D.
2
( )
( )
→→
2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则BA·AC等于
3
A．－
2

2
B．－
3

2
C.
3

3．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解




B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
( ) 4．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于
A．25











B.5
C．25或5 D．以上都不对
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos
2
B
等于













( )
1
A．－
2
1
B.
2
C．－1 D．1
A
b＋c
6．在△ABC中，cos
2
＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为( )
22c
A．直角三角形









B．等腰三角形或直角三角形
D．正三角形 C．等腰直角三角形
7．一船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一 条直线上，继
续航行半个小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方 向，
则这只船的速度是
A．15海里时
C．10海里时















( )
B．5海里时
D．20海里时
8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、 b、c，若(a
2
＋c
2
－b
2
)tan B＝3ac，则角B的值
为











1





π2π
D.或
33
( )
π
A.
6

π
B.
3
π5π
C.或
66

9．已知a，b，c分别 是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，
则sin C等于
1
A.
2

二、填空题（本大题共3个小题，共15分）
2abc
10．在△ABC中，－－＝________.
sin Asin Bsin C
11．如图，在山腰测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000
米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________米．
1
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S＝(b
2
4
＋c
2
－a
2
)，则A＝______.
三、解答题（本大题共2个小题，共40分）
cos Bb
13．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
cos C
2a＋c
(1)求角B的大小；
(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．








14．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45° 且距离为12海里的B处正以每小时10
海里的速度向方位角105°的方向逃窜,我艇立即以14海里 小时的速度追击,求我艇追上走
私船所需要的时间.




B.

3

2







C.




( )
6

6
D．1
2

选 做1．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin
A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
π
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
3











cos A－2cos C2c－a
选做2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
cos Bb
(1)求
sin C
的值；
sin A
1
(2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长．
4












3

cos Bb
纠错13．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且＝－.
cos C
2a＋c
(1)求角B的大小；
(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．














纠错14．如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小
时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜,我艇立即以14海里小时的速度追击,求我艇追
上走 私船所需要的时间.
4

高二年级数学第一次周练试卷答案
一．选择（45分）
1．B 2.A 3.D 4.C 5.D 6. A 7. C 8．D 9.D
二．填空（15分）
π
10.0 11.1 000 12.
4
三．解答题(40分)
13．解 (1)由正弦定理
得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C……………………………………………2
又
∴
cos Bb
＝－，
cos C
2a＋c
cos Bsin B
＝－，…………………………………………………………..5
cos C
2sin A＋sin C
∴2sin Acos B＋sin Ccos B＋cos Csin B＝0，
∵A＋B＋C＝π，
∴2sin Acos B＋sin A＝0，……………………………………………………………....6
1
∵sin A≠0，∴cos B＝－，………………………………………………………….....8
2
2π
∵0＜B＜π，∴B＝
……………………………………………………………………10
3
2π
(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝代入b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B，………………………12
3
即b
2
＝(a＋c)
2
－2ac－2accos B，………………………………………………………14
1
∴13＝16－2ac(1－)， 求得ac＝3……………………………………………………..18
2
13
于是，S
△
ABC
＝acsin B＝3……………………………………………………………20
24
14．解 设我艇追上走私船所需要的时间为t小时，则……………………………………2
BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，…………………………………………………..…4 < br>由∠ABC＝180°－105°＋45°＝120°，…………………………………………………... 6
根据余弦定理知
(14t)
2
＝(10t)
2
＋12
2
－2·12·10tcos 120°，…………………………………………………..12
3
∴t＝2或t＝－(舍去)．……………………………………………………………….…18
4
5

答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时．…………………………………………20
15．(1)证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，
ab
即a·＝b·，
2R2R
其中R是△ABC外接圆的半径，∴a＝b.
∴△ABC为等腰三角形．
(2)解 由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0.
∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知，4＝a
2
＋b
2
－a b＝(a＋b)
2
－3ab，
即(ab)
2
－3ab－4＝0.
∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
11
π
∴S
△
ABC
＝absin C＝×4×sin＝3.
223
abc
16．解 (1)由正弦定理，可设＝＝＝k，
sin Asin Bsin C
2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A
则＝＝，
bksin Bsin B
cos A－2cos C2sin C－sin A
所以＝，
cos Bsin B
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．
又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A.
sin C
因此＝2.
sin A
(2)由
sin C11
＝2，得c＝2a.由余弦定理及cos B＝，得b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝a
2
＋4a
2
－4a
2
×
sin A44
＝4a
2
.
所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2.
6