高中数学必修五综合练习及答案解析

高中数学必修五综合练习及答案解析

１．给出命题
p:2?3,q:4?
?
2,3
?
则
p?q

p?q

?p
中，真命题的个数是
Ａ 3个 Ｂ 2个 Ｃ 1个 Ｄ 0个
2.命题“
? x?R,x
3
?x
2
?1?0
”的否定是
A不存在
x?R
,
x?x?1?0
B
?x?R
,
x?x?1?0

3232
＞
0
D
?x?R,x
3
?x
2
?1
C
?x?R

x?x?1
＞
0

x
2
y
2
??1
的右焦点到直线
y?3x
的距离是 3.椭圆
43
A
32
1
3
B C 1 D
3

2
2
4．空间四个点< br>A,B,C,D
，则
DA?CD?CB
等于
A
DB
B
AC
C
AB
D
BA

x
2
y
2
??1
的左右焦点,过中心任作一直线交椭圆于
P,Q
两点,当四边形 5.
F
1
,F
2
是椭圆
43
PF
1
QF
2
的面积最大时,
PF
1
?PF2
的值等于
A 2 B 1 C 0 D 4
６．
y??x
2
上的点到直线
4x?3y?8?0
距离的最小值是
A
8
47
B C D 3
5
35
７. 已知
m?
?
1?k,1?k,k
?

n?
?
2,k,k
?
，则
m?n
的最小值是
Ａ
25
11
35
5
Ｂ Ｃ Ｄ
5
5
5
5
8.
?ABC
一边的两个顶点
B
?
?3,0
?
,C
?
3,0
?
，另两 边所在直线的斜率之积为
?
（
?
为常数）,
则顶点
A
的轨迹不可能是
A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D抛物线
9. 已知
a?
?
2,x,y
?
，
b?
?
1,2,5
?
，
c?
?
?1,2?x,y?9< br>?
，若
a
∥
b
则下列结论中正确的是
＜
a,c
＜
90?
Ｄ
0?
＜
a,c
＜
180?
Ａ
a
∥
b
∥
c
Ｂ
a,c?90?
Ｃ
0?
10. 正四面体
OABC
中，
E,F
分别为AB,OC
的中点，则
OE?BF
等于
Ａ
11
11
Ｂ
?
Ｃ Ｄ
?

24
24
x
2
y
2
11． 已知双曲线
2
?
2
?1,
?
a
＞
0,b< br>＞
0
?
的右焦点为
F
,过
F
作倾角为< br>60?
的直线与双曲
ab
线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取 值范围是

A （
1,2
］ B (1,2) C [
2,??
） D ［
2.??
）
12.抛物线
y?4x
的焦点为
F
,准线为
l
,过
F
且斜率为
3
的直线与抛物线在
x
轴上方
的部 分交于点
A
,
AK?l
垂足为
K
, 则
?AKF
的面积为
A 4 B
43
C
33
D 8
2

13．若
a?
?
3,?5,2
?

b?
?
3,1,?4
?
则
a
2
?b
2
?
.
14.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为 .
15.以抛物线
y
2
?8x
上任意一点为圆心作圆与直线
x?2?0
相切,这些圆必过一定点,
则这个定点的坐标为 .
16．已知空间四边形
OABC,M,N
分别为
OA,BC
的中点，点
G
在
MN
上且
MG?2GN
，试写出向量
OG
沿基底
OA,OB,OC
的分解式
17.已知
p:x
2
?8x?20?0
；
q:x
2
?2x?1?m
2
?0
（
m
＞
0
） 若非
q
是非
p
的必
要条件，求实数
m
的取值范围。






??
x
2
y
2
18．已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线
2
?
2?1
的一个焦点,且这条准线与双曲
ab
线的两个焦点连线垂直,抛物线与双曲线 交于点(






3
,6
),求抛物线和双曲线的方程.
2
x
2
y
2
??1
的两个焦点,
P
是椭圆上任意一点 19．已知
F
1
,
F
2
是椭圆
10064
(1) 若
?F
1
PF
2
?
?
3
, 求
?F
1
PF
2
的面积;
P
的坐标. (2) 求
PF
1
?PF
2
的最大值及点

20.如图: 在四棱锥
P?ABCD
中,底面是边长为2的菱形,
?DAB?60?
,对角线
AC
与
BD
相交于
O
,
PO?
平面ABCD
,
PB
与平面
ABCD
所成的角为
60?
.
(1) 求四棱锥
P?ABCD
的体积;
(2) 若
E
是
PB
的中点,求异面直线
DE
与< br>PA
所成角的大小.











21．已知中心在原点,一个焦点为
F
1
0,6
的椭圆被直线
y?3x?2
截得弦
AB
的中点的横
坐标为
??
1
,
2
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 求弦
AB
的长.










22. 如图:在底面为直角梯形的四棱锥
P?ABCD
中,
AD
∥
BC< br>,
?ABC?90?
,
PA?平面ABC
,
PA?4
,
AD?2
,
AB?23
,
BC?6

(1) 求证
BD?平面PAC

(2) 求二面角
A?PC?D
的大小.

一、1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.D 9.B 10.B 11.D 12.B
二、13. 12 14. 3 15. (2,0) 16.
OG?
2
111
OA?OB?OC

633
三、17.解
x?8x?20?0
得
p:?2?x?10
????２分
解
x?2x?1?m?0
得
q:1?m?x?1?m
（
m
＞
0
）????４分
∴ “非
p
”：
A?xx
＞
10或x
＜
－2

“非
q
”：
B?xx
＞
1?m或x
＜
1?m,m
＞
0
????6分
∵ 非
q
是非
p
的必要条件。
∴
A?B
????8分
因此有
m
＞
0


1?m??2


1?m?10
????10分
＜m
?3
解得：
0
∴
m
的取值范围是
?
0,3
?
????12分
18. 解 由题意可设抛物线的方程为
y
2
?2px
(
p
＞
0
) ??????2分
点(
22
??
??
3
,6
)在其上 ∴
2
?
6
?
2
3
?2p?
解得
p?2

2
故抛物线的方程为
y
2
?4x
??????4分
抛物线的准线方程为
x??1
它过双曲线的焦点
22
∴
c?1
即
a?b?1
?????① ??????6分
396
,6
) 在双曲线上 ∴
??1
????② ??????8分
22
2
4ab
1
2
3
2
由 ①② 解得
a?
,
b?
??????10分
44
又 ∵(
x
2
y
2
??1
??????12分 ∴ 双曲线的方程为
13
44
19. 解: (1) 设
PF
1
?m
,
PF
2
?n

由椭圆定义知
m?n?20
,
F
1
F
2
?12
??????2分
在
?F
1
PF
2
中,由余弦定理可得
m
2
?n
2
?2mncos
22
?
3?12
2

∴
m?n?mn?144


?
m?n
?
?3mn?144

2
∴
mn?
S
?F
1
PF
2
256
??????4分
3
1
?PF
1
?PF
2
sin ?F
1
PF
2

2

?
643
??????6分
3
2
?
m?n
?
(2)
PF?PF?mn?
??
?100
??????8分
12
?
2
?
P
为椭圆与
y
轴的交点 当且仅当
PF
1
?PF
2
时,即
∴
P
?
0,8
?
或
P
?
0,?8
?
??????10分
此时
PF
1
?PF
2
的最大值为100. ??????12分
20. 解 (1) 由
PO?
平面
ABCD

∴
?PBO?60?
??????2分
在
Rt?AOB
中
BO?ABsin30??1


PO?BOtan60??3
??????4分

V
P?ABCD
?
1
?2?2?sin60??3?2
??????6分
3
(2)建立如图坐标系
则
A0,?3,0

B
?
1,0,0
?
D
?
?1,0,0
?
P0,0,3

????

∴
E
?
?
13
?
?
??????8分
,0,
?
22
?
??
?
33< br>?
??

AP?0,3,3

DE?,0,
∴
?
22
?
??
??
设
DE
与
AP
的夹角为
?

∴
cos
?
?
DE?AP
DE?AP
?
3
2
2
?
??????10分
4
93
??3?3
44

∴异面直线
DE
与
PA
所成角的大小为
arccos
2
??????12分
4
注(使用综合法也可如图，
按照上述给分步骤，请酌情赋分)
y
2
x
2
21. 解: (1) 设椭圆的标准方程是
2
?
2
?1
?
a
＞b＞
0
?

ab
∵ 椭圆的一个焦点为
F
1
0,6
∴
a?b?6
① ??????2分
??
22

由方程组
y?3x?2
by?ax?ab
222222
消去
y
得

a
2
?9b
2
x
2
?12b
2
x
2
?4b
2
?a2
b
2
?0
??????4分
设 < br>A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?

??
12b
2
4 b
2
?a
2
b
2
由韦达定理得
x
1
?x
2
?
2

x
1
x
2
?

2
a?9ba
2< br>?9b
2
12b
2
22
?1
a?3b
∴
2
∴ ② ??????6分
2
a?9b
解 ①②得
a?9

b?3

22
y
2
x
2
??1
??????8分 ∴ 椭圆方程为
93
(2)
x
1
?x
2
?1

x
1
x
2
??
∴
AB?1?k?

?10?1?
2
15

36

?
x
1
?x
2
?
?4x
1
x
2
15415< br> ??????12分
?
93

22. 解: (1) 由题意得

A
?
0,0,0
?

B23,0,0

C23,6,0

D
?
0,2,0
?

P
?
0,0,4
?
??????2分
???
∴
AP?
?
0,0,4
?

AC?
?
23,6,0
?

BD?
?
?2
由
BD?AP?0
且
BD?AC?0

?
3,2,0
??????4分
?
∴
BD?AP

BD?AC

∴
BD?平面PAC
??????6分
(2) 设平面
PCD
的法向量为
n?
?
x,y,1
?

则
CD?n?0

PD?n?0
????8分
∵
CD??23,?4,0

PD?
?
0,2,?4
?

??
∴
?23x?4y?0
2y?4?0
解得
x??
y?2
43
3

∴
n?
?
?
?
43
?
?
??????10分
,2,1
??
3
??
平面
PAC
的法向量取为
m?BD??23,2,0

由
cosm,n?
??
m?n
mn
?
331
??????12分
31
由图中知二面角
A?PC?D
为锐角
∴ 所求二面角为
arccos



331
??????14分
31