【2020】最新高中数学必修五学习配套练习：1

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【2020】最新高中数学必修五学习配套练习：1

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第一章 1.2 第2课时

一、选择题

1．在某测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的( )

A．北偏西35°
C．北偏东35°
[答案] D

[解析] 根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．

B．北偏东55°

D．南偏西55°

α＝55°，则β＝α＝55°.

所以B在A的南偏西55°.

2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为
30°、60°，则塔高为( )

A．m
C．200m
[答案] A

[解析] 如图，设AB为山高，CD为塔高，则AB＝
200，

∠ADM＝30°，∠ACB ＝60°∴BC＝＝，AM＝
DMtan30°＝BCtan30°＝.

∴CD＝AB－AM＝.

3．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得 塔顶A的
仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的
∠BCD＝12 0°，CD＝40m，则电视塔的高度为( )

A．10m
C．20m
[答案] D

B．20m

D．40m

B．m

D．200m


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[解析] 设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝xm，在△BCD中，由余弦定
理，得

BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，

∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．

4．一艘客船上午930在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°，
之后它以每小时32n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午
1000到达B处，此时测得船与灯塔S相距8n mile，则灯塔S在B
处的( )

A．北偏东75°

B．南偏东15°

C．北偏东75°或南偏东15°

D．以上方位都不对

[答案] C

[解析] 画出示意图如图，客船半小时行驶路程为32×＝16n
mile，∴AB＝16，

又BS＝8，∠BAS＝30°，

由正弦定理，得＝，

∴sin∠ASB＝，∴∠ASB＝45°或135°，

当∠ASB＝45°时，∠B′BS＝75°，

当∠ASB＝135°时，∠AB′S＝15°，故选C．

5．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设α为坡角，那么
cosα等于( )

A．
C．
B．

D．

4
3
4
5

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[答案] B

[解析] 由题意，得tanα＝，∴＝，

∴＝，即＝，∵α为锐角，

∴cosα＝.

6．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观< br>察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在
灯塔B的( )

A．北偏东10°
C．南偏东10°
[答案] B

[解析]

如图，由题意知

∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，

∵AC＝BC，∴∠ABC＝50°，

∴α＝60°－50°＝10°.

二、填空题

7．一艘船以4 kmh的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，
已知河水流速为2 kmh，则经过h，该船实际航程为________．

[答案] 6 km

[解析] 如图，水流速和船速的合速度为v，

在△OAB中：

B．北偏西10°

D．南偏西10°

OB2＝OA2＋AB2－2OA·AB·cos60°，

∴OB＝v＝2kmh.

即船的实际速度为2kmh，则经过h，其路程为2×＝6 km.

8．在灯塔上面相距50m的两点A、B，测得海内一出事渔船的俯角

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分别为45°和60°，试计算该渔船离灯塔的距离________．

[答案] 25(＋1)m

[解析] 由题意，作出图形如图所示，

设出事渔船在C处，根据在A处和B处测得的俯角分别为45°和
60°，

可知∠CBD＝30°，∠BAC＝45°＋90°＝135°，

∴∠ACB＝180°－135°－30°＝15°，

又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得＝，

∴AC＝＝＝25(＋)(m)．

∴出事渔船离灯塔的距离CD＝AC

＝＝25(＋1)(m)．

三、解答题

9．如图，A、B、C、 D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D
为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和 D点的仰
角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，
AC＝0. 1km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求
B、D的距离(计算结果精确到0. 01km，≈1.414，≈2.449)．

[解析] 在△ADC中，∠DAC＝30°， ∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，
所以CD＝AC＝0.1，

又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，

故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA，

在△ABC中，＝，

即AB＝＝，

因此，BD＝≈0.33km.

故B、D的距离约为0.33km.


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一、选择题

1．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A
与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点
20m，则建筑物高度为( )

A．20m
C．40m
[答案] C

[解析] 设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，
OB＝20，B D＝40，OD＝20.

在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，

∴AB＝OA－OB＝40，故选C．

2．已知两力|F1|＝4N，|F2|＝4N，且夹角为45°，则其合力|F|
为( )

A．4N
C．4N或4N
[答案] B

[解析]

如图，合力为，在△ABC中，AC＝4，CD＝4，∠ACD＝135°，

由余弦 定理，得AD2＝(4)2＋(4)2－2×4×4·cos135°＝240，所
以AD＝4.

3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西
75°距塔68n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N
处，则这只船的航行速度为( )

A．n mileh
C．n mileh
B．34n mileh

D．34n mileh

B．4N

D．以上都不对

B．30m

D．60m


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[答案] A

[解析] 如图所示，在△PMN中，＝，

∴MN＝＝34，∴v＝＝(n mileh)．

4．飞机沿水平方向飞行，在A处测得正前下方地面目标C的俯角
为30°，向前飞行10 000m到达B处，此时测得正前下方目标C的俯
角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )

A．2 500(－1)m
C．4 000m
[答案] A

[解析] 示意图如图，∠BAC＝30°，∠DBC＝75°，

∴∠ACB＝45°，AB＝10 000.

由正弦定理，得＝，又cos75°＝，

∴BD＝·cos75°＝2 500(－1)(m)．

二、填空题

5．某海岛周围38n mile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此
岛在北偏东60°方向，航行30n mile后测得此 岛在东北方向，若不
改变航向，则此船________触礁的危险(填“有”或“无”)．

[答案] 无

[解析] 如图所示，由题意在△ABC中，AB＝30，

∠BAC＝30°，

∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，

由正弦定理，得BC＝＝＝
15

6－2
4
B．5 000m

D．4 000m

＝15(＋)．

在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)>38.


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∴此船无触礁的危险．

6．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以a n
mileh的速度向北行驶．已知甲船的速度是a n mileh，问甲船应沿
着________方向前进，才能最快与乙船相遇？

[答案] 北偏东30°

[解析]

如图，设经过t h两船在C点相遇，

则在△ABC中，

BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，

由＝，

得sin∠CAB＝＝＝.

∵0°<∠CAB<90°，

∴∠CAB＝30°，

∴∠DAC＝60°－30°＝30°.

即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．

三、解答题

7．在某海滨城市附近海面有一台风．据监测，当前台风中心位于
城市O(如图所示)的东偏南 θ(cosθ＝)方向300km的海面P处，并以
20kmh的速度向西偏北45°方向移动．台风侵 袭的范围为圆形区域，
当前半径为60km，并以10kmh的速度不断增大．问几小时后该城市
开始受到台风的侵袭？

[解析] 如图所示，设在时刻t(h)台风中心为Q，此时台风侵 袭的
圆形区域半径为(10t＋60)km.若在时刻t城市O受到台风的侵袭，则
OQ≤10 t＋60.

由余弦定理，得


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OQ2＝PQ2＋PO2－2·PQ·PO·cos∠OPQ，

由于PO＝300，PQ＝20t，

∴cos∠OPQ＝cos(θ－45°)＝cosθcos45°＋sinθsin45°

＝×＋×＝，

故OQ2＝(20t)2＋3002－2×20t×300×

＝202t2－9600t＋3002，

因此202t2－9600t＋3002≤(10t＋60)2，

即t2－36t＋288≤0，解得12≤t≤24.

答：12h后该城市开始受到台风的侵袭．

8．在地面上某处，测得塔顶的仰角为θ ，由此处向塔走30m，测
得塔顶的仰角为2θ，再向塔走10m，测得塔顶的仰角为4θ，试求角θ的度数．

[分析] 如图所示，求角θ，必须把角θ、2θ、4θ和边长30、
10尽量集中在一个三角形中，利用方程求解．

[解析] 解法一：∵∠PAB＝θ，∠PBC＝2θ，

∴∠BPA＝θ，∴BP＝AB＝30.

又∵∠PBC＝2θ，∠PCD＝4θ，

∴∠BPC＝2θ，∴CP＝BC＝10.

在△BPC中，根据正弦定理，得＝，

即＝ ，

∴＝ .

由于sin2θ≠0，∴cos2θ＝.

∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.

解法二：在△BPC中，根据余弦定理，得

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PC2＝PB2＋BC2－2PB·BC·cos2θ，


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把PC＝BC＝10，PB＝30代入上式得，

300＝302＋(10)2－2×30×10cos2θ，

化简得：cos2θ＝ .

∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.

解法三：如下图，过顶点C作CE⊥PB，交PB于E，

∵△BPC为等腰三角形，

∴PE＝BE＝15.

在Rt△BEC中，cos2θ＝＝＝.

∵0°<2θ<90°，∴2θ＝30°，∴θ＝15°.


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