高中数学必修五复习题及解析

高中数学必修五复习题及解析
第一章:解三角形
1．在△ABC中，A、B、C成等差数列，且b=2

2．△ABC的三个内角A、 B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos
2
A=
a，
则=（ ）

A．2


，则外接圆的半径R= ．
B．2


C．

D．

3．在△ABC 中，已知a
2
+b
2
=c
2
+
A．30°


ba，则∠C=（ ）

C．45°

D．135°

B．150°

4.在△ABC中，如果S
△ABC
=

5．在△ABC中，AB=
A．


，那么∠C= ．
，AC=1，B=
B．

，则△ABC的面积是（ ）

C．或

D．或

6．在△ABC中，
A．



，则最大角的余弦值是（ ）

B．

C．

D．


1

7．△ABC中，
求：（1）角C的大小；
（2）最短边的边长．



，且最长边的边长为1，
8．海上有A、B两岛相距10海 里，从A岛望C岛和B岛所成的视角为60°，
从B岛望C岛和A岛所成的视角为75°，求C岛和B岛 间的距离．



9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c ，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．





．

2

10．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，
且acosB﹣bcosA=c．

（Ⅰ）求的值；

的值． （Ⅱ）若A=60°，求



11．在△ABC中，已知AB=
的值．



第二章：数列
，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA
1．已知{an
}是等比数列，且a
n
＞0，a
2
a
4
+2 a
3
a
5
+a
4
a
6
=25，那么a3
+a
5
的值等
于（ ）

A．5


B．10

C．15

D．20

2 ．记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和．若a
4
+a5
=24，S
6
=48，则{a
n
}的公差为
A．1

3．已知数列{a
n
}为等比数列，S
n
是它的前n项和 ，若a
2
?a
3
=2a
1
，且a
4
与2a
7
B．2 C．4 D．8

3

的等差中项为，则S
5
=（ ）

A．35


B．33

C．31

D．29

4．数列{a
n
}，{b
n
}满足a
n
b
n
=1，a
n
=（n+1）（n+2），则{b
n
}的前10项之和为
A．

5．已知数列{a
n
} 中，a
1
=1，a
n+1
=

6．已知等比数列{a
n
}的公比q＜0，其前n 项的和为S
n
， 则a
9
S
8
与a
8
S
9
的大
小关系是（ ）

A．a
9
S
8
＞a
8
S
9


B． C． D．
，则a
20
= ．
B．a
9
S
8
＜a
8
S
9

C．a
9
S
8
≥a
8
S
9

D．a
9
S
8
≤a
8
S
9
< br>7.已知数列{a
n
}满足a
1
=33，a
n+1
﹣ a
n
=2n，则

的最小值为 ．
8．各项均为正数的等比数列 {a
n
}的前n项和为S
n
，若S
n
=2，S
3n
=14，
则S
4n
等于（ ）
A．80




B．30 C．26 D．16

4

9．设数列{a
n
}的前n项和为S
n
=2n
2
，{b
n
}为等比数列，且a
1
=b
1
，
b
2
（a
2
﹣a
1
）=b
1
．

（Ⅰ）求数列{a
n
}和{b
n
}的通项公式；

（Ⅱ）设c
n
=





10 ．在数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n+1
=2a
n
+2
n
，设b
n
=
证明：（1）数列{b
n}是等差数列；
（2）求数列{b
n
}的通项公式；
（3）求数列


11．数列{a
n
}的前n项和为Sn
，已知S
n
=a
n+1
﹣（n+1），且a
1
，a
2
，a
3
﹣2这3
个数依次成等差数列．

（Ⅰ）求a
1
的值；

（Ⅱ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅲ）若数列{b
n
}满足，设T
n
是其前n项和，求证：．

的前n项和S
n
．
，
，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．

5

第三章：不等式
1．不等式

2．已知不等式ax
2
+bx+c＞0的解集为{x|﹣＜x＜2}，则cx
2
+bx+a＜0的解集为 ．

3．（Ⅰ）设不等式2x﹣1＞m（x
2
﹣1）对满足| m|≤2的一切实数m的取值都成
立，求x的取值范围；

（Ⅱ）是否存在实数m，使 得不等式2x﹣1＞m（x
2
﹣1）对满足|x|≤2的一切
实数x的取值都成立．


4．设函数f（x）=mx
2
﹣mx﹣1．
（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．



的解集为 .
5．实数x，y满足不等式组，则的取值范围是 ．



6

6．（12分）某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个
单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位
的蛋白质和10个 单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？



7．已知x，y都是正数，且
A．4

8．已知正项等比数列{a
n
}满足：a
7
=a
6
+2a
5
，若存在两项a< br>m
，a
n
使得
则
A．


，求x+y的最小值是（ ）
C．6 D．9 B．5
=4a
1
，
的最小值为（ ）

B．

C．

D．不存在

9．（1）求函数f（x）=（x＜﹣1）的最大值，并求相应的x的值．

的最大值 并求此时a和b的（2）已知正数a，b满足2a
2
+3b
2
=9，求a值．






7

10．某工厂要建造一个长方体的无盖贮水池，其容积为4800m
3
，深为3m，如果池底造价为每平方米150元，池壁每平方米造价为120元，怎么设计水池能
使总造价最低？最 低造价是多少？





11．设计一幅宣传画，要求 画面面积为4840cm
2
，画面的宽与高的比为k（k
＜1），画面的上、下各留8 cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的
高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？
























8

解析：

第一章:解三角形
1.
【解答】解：∵在△ABC中，角A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵b=2，
=2R得：R===2． ∴由正弦定理
故答案为：2．
2.
【解答】解：∵asin AsinB+bcos
2
A=a

sinA

∴由正弦定理可知sin
2
AsinB+sinBcos
2
A=
∴sinB（sin
2
A+cos
2
A）= sinB=
∴
选D

3.
【解答】解：∵a
2
+b
2
=c
2
+
sinA

==

b a，即a
2
+b
2
﹣c
2
=
=，

ab，

∴由余弦定理得：cosC=
∴∠C=45°．

故选：C．

4.
【解答】解：∵S
△ABC
=absinC==，
∴sinC=cosC，即tanC=1，
∵C∈（0，π），

9

∴C=．
．
=，

故答案为：
5.【解答】解：由正弦定理知
∴sinC=
∴C=
或C=
，A=
= ，


，S=AB?ACsinA=
，S=AB?ACsinA=，A=．

故选：D．

6.
【解答】解：∵，

，

则
∴c=3；

故角B为最大角，

cosB=
故选：B．


7.
【解答】解：（1）△ABC中，，
则：，
tanC=tan（π﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）=﹣1，
得．
（2）因为tanA＞tanB，
且tanA＞tanB．
所以A＞B，所以最短边为b．
，

10

利用正弦定理：
所以：．
，
8.
【解答】解：由题意可知AB=10海里，A=60°，B=75°，
∴C=45°；
由正弦定理得：，
∴BC===海里．
9.【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S
△ABC
=acsinB=，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC=；
（2）∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC=，
∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，
∴cos（B+C）=﹣，
∴cosA=，
∵0＜A＜π，
∴A=
∵
，
===2R==2，
∴sinBsinC=

?===，
11

∴bc=8，
∵a
2
=b
2
+c
2
﹣2bccosA，
∴b
2
+c
2
﹣bc=9，
∴（b+c）
2
=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
．
，

∴周长a+b+c=3+
10.
【解答】解：（1）△ABC中 ，由条件利用正弦定理
可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC．（2分）
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，sinAcosB=sin BcosA，
（5分）

可得=．（7分）

，得tanB=．

（Ⅱ）若A=60°，则tanA=
∵cosC=
∴
（12分）

=
，

=﹣tan（A+B）==﹣．…
11.
【解答】解 ：解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=AB=
，设BE=x．

由DE∥AB可得出∠BED=π﹣∠B，即cos∠BED=﹣

在△BDE中利用 余弦定理可得：BD
2
=BE
2
+ED
2
﹣2BE?EDc os∠BED，5=x
2
++2
××x，

解得x=1，x=﹣（舍去）．


12

故BC= 2，从而AC
2
=AB
2
+BC
2
﹣2AB?BCcosB =，即AC=

又sinB=，故=，sinA=．

解法二：以B为坐标原点，
第一象限．

由sinB=
设
， 则=（
=（
为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于
cosB，
，=
sinB）=（，
）．

．

）．

），

=（x，0），则
|=由条件得|
从而x=2，x=﹣（舍去 ）．故=（﹣，
于是cosA===．

∴sinA==．

解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC．
过P做PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=，AH=
BN====
=
，

．

，

而 HB=，∴CN=，HC=，AC=
故由正弦定理得=，∴sinA=．



13

第二章：数列
1.
【解答】解：由等比数列的性质得 ：a
2
?a
4
=a
3
2
，a
4
? a
6
=a
5
2

∴a
2
a
4+2a
3
a
5
+a
4
a
6
=25可化 为

（a
3
+a
5
）
2
=25又∵an
＞0

∴a
3
+a
5
=5

故选：A．

2.
【解答】解：∵S
n
为等差数列{an
}的前n项和，a
4
+a
5
=24，S
6
= 48，
∴，
解得a
1
=﹣2，d=4，
∴{a
n
}的公差为4．
故选：C．

3.
【解 答】解：a
2
?a
3
=a
1
q?a
1
q< br>2
=2a
1

∴a
4
=2

a4
+2a
7
=a
4
+2a
4
q
3=2×

∴q=，a
1
==16

故S
5
=
故选：C．

=31

4.【解答】解：∵a
n
b
n
=1，a
n
=（n+1）（n +2），
∴=，
+…+（） ∴{b
n
}的前10项之和S
10
=

14

=
=．

故选：D．
5.
【解答】解：∵a
n+1
=，两边取倒数可得：﹣=2，

∴数列是等差数列，公差为2．

∴
∴
=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

．

．

．

﹣=
则a
6
=
故答案为 ：
6.
【解答】解：a
9
S
8
﹣a
8
S< br>9
=
=﹣a
1
2
q
7

∵q＜0

∴﹣a
1
2
q
7
＞0

∴S
8
a
9
＞S
9
a
8

故选：A．

7.
【解答】解：a
n
=（a
n﹣a
n﹣1
）+（a
n﹣1
﹣a
n﹣2
）+…+（a< br>2
﹣a
1
）+a
1
=2[1+2+…
+（n﹣1）] +33=33+n
2
﹣n

所以
设f（n）=


，令f′（n）=
15
，

则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，

因为n∈N
+
，所以当n=5或6时f（n）有最小值．

又因为，，

所以的最小值为

8.
【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a
n
}的公比等于q，
∵S
n
=2，S
3n
=14，∴q≠1
∴
∴S
4n
=
=2，=14，解得 q
n
=2，=﹣2．
（1﹣q
4n
）=﹣2（1﹣16）=30，
故选：B．
9.
【解答】解：（1）：当n=1时，a
1
=S1
=2；当n≥2时，a
n
=S
n
﹣S
n﹣1
=2n
2
﹣2
（n﹣1）
2
=4n﹣2，

故{a
n
}的通项公式为a
n
=4n﹣2，即{a
n
}是a
1
=2，公差d=4的等差数列．

设{b
n
}的公比为q，则b
1
qd=b
1
，d=4，∴q=．

故b
n
=b
1
q
n﹣1
=2×，即{b
n
}的通项公式为bn
=．

（II）∵c
n
===（2n﹣1）4
n﹣1
，

T
n
=c
1
+c
2
+…+c
n

T
n
=1+3×4
1
+5×4
2
+…+（2n﹣1 ）4
n﹣1

4T
n
=1×4+3×4
2
+5×4
3
+…+（2n﹣3）4
n﹣1
+（2n﹣1）4
n


16

两式相减得，3T
n
=﹣1﹣2（4
1
+4
2
+4
3
+…+4
n﹣1
）+（2n﹣1 ）4
n
=[（6n﹣5）
4
n
+5]

∴T
n
=[（6n﹣5）4
n
+5]

10.【解答】证明：（1）数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n+1< br>=2a
n
+2
n
，
由于：，
则：，
所 以：b
n+1
﹣b
n
=
则数列{b
n
}为等差数列 ．
=，
解：（2）数列{b
n
}为等差数列．
则：首项，公差d=1，
则：b
n
=1+（n﹣1）=n，
（3）由
则：
所以：数列
则：
，
，
的通项公式为：
+…+①，

所以：=1+…+②
①﹣②得：…+﹣

17

解得：．
11.【解答】解：（Ⅰ）由已知S
n
=a
n+1
﹣（n+1），得

当n=1时，S
1
=a
2
﹣2，∴a
2
=a
1
+2①…（1分）

当n=2时，S
2
=a
3
﹣3，∴a
3
=2a
1
+5②…（2分）

又∵a
1
，a
2
，a
3
﹣2成等差数列，∴2a
2
=a< br>1
+a
3
﹣2③…（3分）

将①、②代入③解得：a
1
=1…（4分）

（Ⅱ）由S
n
=a
n+1
﹣（n+1）得：S
n﹣1
=a
n
﹣n …（5分）

∴a
n
=a
n+1
﹣a
n
﹣ 1即a
n+1
=2a
n
+1…（6分）

∴a
n+1
+1=2（a
n
+1），

∴{an
+1}是以a
1
+1=2为首项，2为公比的等比数列…（7分）

∴
∴
（Ⅲ）由
，

．…（8分）

得：…（9分）

①当n=1时，，

②当n=2时，，

③当n≥3，n∈N
*
时，，…（10分）

∴
=
=．




18

综上所述，当n∈N
*
时，

第三章：不等式
1.
【解答】解：由
．…（12分）

可得：，等价于（3x﹣6）（1﹣x）≥0，
且1﹣x≠0，
解得：1＜x≤2．
故选：C．
2.
【解答】解：不等式ax
2
+bx+c＞0的解集 为{x|﹣＜x＜2}，

∴﹣，2是一元二次方程ax
2
+bx+c=0的两个实数根，且a＜0；

∴﹣+2==﹣，﹣×2=﹣=；

∴b=﹣a，c=﹣a，

∴cx
2
+bx+a＜0化为﹣ax
2
﹣ax+a＜0，

∴2x
2
+5x﹣3＜0，

∴（x+3）（2x﹣1）＜0，

解得：﹣3＜x＜；

∴不等式cx
2
+bx+a＜0的解集是：（﹣3，）．

故答案为：（﹣3，）．

3.
【解答】解：（Ⅰ）不等式2x﹣1＞m（x
2
﹣1）可化为2x﹣1﹣m（x
2
﹣1）＞
0，

令f（m）=2x﹣1﹣m（x
2
﹣1）=（1﹣x
2
）m+2x﹣1，< br>
要使不等式2x﹣1＞m（x
2
﹣1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值 都成立，即
只需当|m|≤2时，f（m）=2x﹣1﹣m（x
2
﹣1）＞0恒成立， …（2分）

关于m的函数（fm）=2x﹣1﹣m（x
2
﹣1）的图象是一条直线，则有

19
，

即，

即

∴满足条件的x的取值范围为．

（Ⅱ）令g（x）=2x﹣1﹣m（x
2< br>﹣1）=﹣mx
2
+2x+（m﹣1），使|x|≤2的一切
实数都有2x﹣1 ＞m（x
2
﹣1）．

当m=0时，g（x）=2x﹣1在时，g（x）≥0，不满足题意；

当m≠0时，g（x）只需满足下式或或，

解之得上述不等式组的解集均为空集，

故不存在满足条件的m的值．
4.
【解答】解：（1）由题意，mx
2
﹣mx﹣1＜0对任意实数x恒成立，
若m=0，显然﹣1＜0成立；
若m≠0，则
所以﹣4＜m≤0．
（2）由题意，f（x）＜﹣m+5，即m（x
2
﹣x+1）＜6
因为x
2
﹣x+1＞0对一切实数恒成立，所以m＜在x∈[1，3]上恒成立．
，解得﹣4＜m＜0．
因为函数y=x
2
﹣x+1在x∈[1，3]上的最大值为7，所以只需m＜即可．
所以m的取值范围是{m|m＜}．

20

5.
【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：
表示可行域内 的点（x，y）（0，0）与A（2，2）与点（﹣1，1）连线
的斜率
由图可知的取值范围是 [﹣1，]，

故答案为：[﹣1，]．
6.
【解答】解：设每盒盒饭需要面食x（百克），米食y（百克），

所需费用为S=0.5x+0.4y，

且x、y满足6x+3y≥8，4x+7y≥10，x≥0，y≥0，

由图可知，直 线y=﹣x+S过A（
故每盒盒饭为面食百克，米食
，）时，纵截距S最小，即S最小．

百克时既科学又费用最少．


7.


21

【解答】解：∵x，y都是正数，且
∴x+y=（x+y）
等号．
故选：D．
8.
【解答】解：∵a
7
=a
6
+2 a
5
，

，
=9，当且仅当x=2y=6时取=5++≥5+2< br>∴a
5
q
2
=a
5
q+2a
5
，< br>
∴q
2
﹣q﹣2=0，

∴q=2，

∵ 存在两项a
m
，a
n
使得
∴a
m
a
n=16a
1
2
，

∴q
m+n﹣2
=16，

∴m+n=6

∴=（m+n）（）=

=4a
1
，

故选：A．

9.
【解答】解：（1），

=
∵x＜﹣1，

∴x+1＜0，

，

∴﹣（x+1）＞0，

∴
∴

，


22

当且仅当
f（x）取最大值1．…（6分）

（2）解：a，b都是正数，
时，

，

，
当且仅当2a
2
=3+3b
2
，又2a
2
+3b
2
=9，得
有最大值．…（12分）

时，

10.
【解答】解：如图所示，设长方体的长宽分别为x，y，
则3xy=4800，可得y=．
）×720+1600×150水池总造价f（x）=xy ×150+2（3x+3y）×120=（x+
≥2×720+240000
=57600+240000=297600元．当且仅当x=40m，y=40m时取等号．
∴设计水池底面为边长为20m的正方形能使总造价最低，最低造价是297600
元．

11.
【解答】解：设画面高为xcm，宽为kxcm，

则kx
2
=4840

设纸张面积为S，则有

S=（x+16）（kx+10）=kx
2
+（16k+10）x+160，

将x=代入上式得


23

S=5000+44

当8时，

S取得最小值，

此时高：x=cm，

宽：kx=cm



24