1高中数学必修5第一章_解三角形全章教案(整理)

课题: §1．1．1正弦定理
如图1．1-1，固定
?
ABC的边 CB及
?
B，使边AC绕着顶点C转动。
思考：
?
C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？
在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，
角与边的等式关系。

从而在直角三角形ABC中，
a
sinA
?
b
sin
B
?
c
sin
C



思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
如图1．1-3，当
?
ABC是 锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有
CD=
a
si n
B
?
b
sin
A
,则
同理可得
从而a
sin
A
?
b
sin
B
， C
c
sin
C
?
?
b
sin
B
?
， b a
a
sin
A
b
sin
B
c
sinC
A c B

从上面的研探过程，可得以下定理
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a
sin
A
?
b
sin
B
?
c
sin
C

[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同 一正数，即存在正数k使
a
?
k
sin
A
，
b?
k
sin
B
，
c
?
k
sin
C
；
（2）
a
sin
A
?
b
sin< br>B
?
c
sin
C
等价于
a
sin
A
?
b
sin
B
，
c
sin
C
?< br>b
sin
B
，
a
sin
A
?
csin
C

从而知正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及 其一边可以求其他边，如
a
?
b
sin
A
；
si n
B
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如
sinA
?sin
B
。
一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

例1． 在
?ABC
中，已知
A?45
0
，
B?75
0，
a?40
cm，解三角形。




< br>例2．在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?202
cm，
A?45
0
，解三角形。




练习：已知
?
ABC中，
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，求
a
:
b
:
c



1
a
b

< br>练习：1.在
?ABC
中，已知
A?45
0
，
C?3 0
0
，
c?10
cm，解三角形。
2.在
? ABC
中，已知
A?60
0
，
B?45
0
，
c?20
cm，解三角形。
3.在
?ABC
中，已知
a?20
cm，
b?102
cm，
B?30
0
，解三角形 。
4.在
?ABC
中，已知
c?102
cm，
b?20
cm，
B?45
0
，解三角形。



补充：请试着推理出三角形面积公式（利用正弦）






课题: §1.1.2余弦定理

如图1．1-4，在
?
ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,
已知a,b和
?
C，求边c

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A
???????????????
??
如图1．1-5，设
CB
?
a
，
CA
?
b
，
AB
?
c，那么
c
?
a
?
b
，则
b

c

??????
c
?
c
?
c
?
a
?
ba
?
b
???? ??
?
?
ab
?
b
?
?
2
a
?
?
b
C
a
B
?
?
2
a
?
?
2
?
a
?
b
?2
a
?
b
?
2
????< br>从而
c
2
?
a
2
?< br>b
2
?2
ab
cos
C
(图1．1-5)
同理可证
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bc
cos
A

b< br>2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B

于是得到以下定理
余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即
a
2
?
b
2
?
c
2
?2
bccos
A


b
2
?
a
2
?
c
2
?2
ac
cos
B< br>

c
2
?
a
2< br>?
b
2
?2
ab
cos
C

思考： 这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？
从余弦定理，又可得到以下推论：
b
2
?c
2
?a
2

cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2

cosB?< br>2ac
b
2
?a
2
?c
2

cosC?
2ba

2

[理解定理]
从而知余弦定理及其推论的基本作用为：
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间 的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间
的关系，如何看这两个定理之间的关系？
若
?
ABC中，C=
90
0
，则
cosC?0
， 这时
c
2
?a
2
?b
2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
例1．在
?ABC中，已知
a?23
，
c?6
，
B?45
0
，求b及A




练习：在
?
ABC中，若
a
2
?
b
2
?
c
2
?
b c
，求角A。





b
,
A
，讨论三角形解的情况 例1．在
?
ABC中，已知
a
,
分析：先由
sin
B
?
则
C
?180
0
?(
A
?
B
)

从而
c
?
b
sin
A
可进一步求出B；
a
a
sin
C

A
1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；
（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；
（3）若
a
?
b
sin
A
，则无解。
（以上解答过程详见课本第9
?
10页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，有两解；其它情况时则只有一解或无 解。
练习：（1）在
?
ABC中，已知
a
?80
，
b
?100
，
?
A
?45
0
，试判断此三角形的 解的情况。
（2）在
?
ABC中，若
a
?1
，
c
?
1
，
?
C
?40
0
，则符合题意的b的 值有_____个。
2
（3）在
?
ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?450
，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。


例2．在
?
ABC中，已知
a
?7
，
b
?5< br>，
c
?3
，判断
?
ABC的类型。




3

练习：（1）在
?
ABC中，已知
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3，判断
?
ABC的类型。
（2）已知
?
ABC满足条件a
cos
A
?
b
cos
B
，判断
?< br>ABC的类型。






例3．在
?
ABC中，
A
?60
0
，
b
?1
，面积为





练习：（1）在
?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三角形的面积S
?2203
，求角C
（2）在
?
ABC中，其三边分别为a 、b、c，且三角形的面积
S
?



作业
（1 ）在
?
ABC中，已知
b
?4
，
c
?10
，
B
?30
0
，试判断此三角形的解的情况。


（2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。

< br>（3）在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a?1
，
b
?
c
?2
，判断
?
ABC的 形状。


（4）三角形的两边分别为3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程
5
x
2
?7
x
?6?0
的根，求这个三角形的面积 。




§2.2解三角形应用举例
(2)例1、如 图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边
选定一点C ，测出AC的距离是55m，
?
BAC=
51?
，
?
ACB =
75?
。求A、B两点的距离(精确到0.1m)









4
3
a
?
b
?
c
，求的值
2
si n
A
?sin
B
?sin
C
a
2
?
b
2
?
c
2
4
，求角C

变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北 偏东30
?
，灯塔B在观察站
C南偏东60
?
，则A、B之间的距离 为多少？




例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。










例4、如图，在山顶铁塔上B处测得 地面上一点A的俯角
?
=54
?
40
?
，在塔底C处测得A 处的俯角
?
=50
?
1
?
。已
知铁塔BC部分的高 为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)









例3、在
?
ABC中，求证：
a
2
?b
2
sin
2
A?sin
2
B?;
（1）
22
csinC
（2）
a
2
+< br>b
2
+
c
2
=2（bccosA+cacosB+abcos C）






变式练习1：已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b=6,c=6
3
, 求a及
?
ABC的面积S





5

变式练习2：判断满足下列条件的三角形形状，
（1） acosA = bcosB
（2） sinC =






附加例题：
例1．在
?ABC
中，已知
B?45
?
，
C?60
?
，
c?1
。试求最长边的长度。
例2．在
?ABC
中，已知
a:b:c?3:7:2
，试判断此角形的形状并求出最大 角与最小角的和。




解三角形归纳提高
一、知识点梳理：
1、正弦定理：在△ABC中，
sinA?sinB

cosA?cosB
abc
???2R

sinAsinBsinC
注：①R表示△ABC外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用
2、余弦定理：在△ABC中，
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA

b
2
?a
2
?c
2
?2accosB

c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

也可以写成第二种形式：
b
2
?c
2
?a
2a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
cosA?
，
cosB?
，
cosC?< br>
2bc2ac2ab
3、△ABC的面积公式，
S?
二、题组训练：
1、在△ABC中， a=12，A=
60
，要使三角形有两解，则对应b的取值范围为
2、判定下列三角形的形状
在△ABC中，已知
a?3,b?4,c?38
，请判断△ABC的形状。


在△ABC中，已知
sinA?sinB?sinC
，请判断△ABC的形状。


在△ABC中，已知
cosA?


在△AB C中，已知
bsinC?csinB?2bccosBcosC
，请判断△ABC的形状。

2222
222
0
111
absinC?bcsinA? acsinB

222
1
2
,a?bc
，请判断△ABC的形状。
2
6

在△ABC中，
(sinA?sinB?sinC)( sinB?sinC?sinA)?3sinBsinC,
请判断△ABC的形状。


3、在△ABC中，已知
a?5,b?4,A?30
0
，求△ABC的面积。


4、在△ABC中，若△ABC的面积为S，且
2S?(a?b)
2
?c
2
，求tanC的值。



5、在△ABC中，已知
b?bc?2c?0,a?



6、在△ABC中，已知
ab?603,sinB?sinC,
△ABC的面积为
15 3
，求边b的长。




7、在△ABC中，求证：





2、在△ABC
中，内角
A，B，C
对边的边长分别是
a，b，c
，已 知
c?2
，
C?
22
6,cosA?
7
，求△AB C的面积。
8
cos2Acos2B11
???

a
2
b
2
a
2
b
2
?
．
3
（Ⅰ）若
△ABC
的面积等于
3
，求
a，b；
（Ⅱ）若
sinC?sin(B?A)?2sin2A
，求
△ABC
的面积．





3、设
△ABC< br>的内角
A，B，C
所对的边长分别为
a，b，c
，且
acos B?3
，
bsinA?4
．
（Ⅰ）求边长
a
；
（Ⅱ）若
△ABC
的面积
S?10
，求
△ABC
的周长l
．





2、在
△ABC< br>中，
cosB??
54
，
cosC?
．
135
33
，求
BC
的长．
2
（Ⅰ）求
sinA
的值；（Ⅱ）设
△ABC
的面积
S
△ABC
?

7