高中数学必修五第二章数列教案

第二章 数列
1、数列：按照一定顺序排列着的一列数．
2、数列的项：数列中的每一个数．
3、有穷数列：项数有限的数列．
4、无穷数列：项数无限的数列．
5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．
6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．
7、常数列：各项相等的数列．
8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．
9、数 列的通项公式：表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式．
10、数列的递推公式：表示任一项
a
n< br>与它的前一项
a
n?1
（或前几项）间的关系的公式．
11、如果一 个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为
等差数列，这个常数称为 等差数列的公差．
12、由三个数
a
，
?
，
b
组 成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则
?
称为
a
与
b
的
等差中项．若
b?
a?c
2
，则称
b
为
a
与
c
的等差中项．
13、若等差数列
?
a
n< br>?
的首项是
a
1
，公差是
d
，则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
．
14、通项公式的变形：
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
；
d?
a
n
?a
1
n?1
；
d?
a
n
?a
m
n?m
． 15、若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q（
m
、
n
、
p
、
q??
*
） ，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
*
若
?
a
n
?
是等差数列，且
2n?p? q
（
n
、
p
、
q??
），则
2a
n
?a
p
?a
q
．
16、等差数列的前
n
项和的公式：（1）
S
n
?
n
?
a
1
? a
n
?
2
；（2）
S
n
?na
1
?
n
?
n?1
?
2
d
．
17、等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
和
a
n
的关系：
?
S
1(n?1)
（1）等差数列
?
a
n
?
的前
n< br>项和
S
n
与
a
n
有如下关系：
a
n
?
?

?
S
n
?S
n?1
(n? 2)
（2）若已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
求通项公式
a
n
，要分两步进行：
① 先求
n?2
时，
a
n
?S
n
?S
n?1< br>；
?
S
1
(n?1)
②再令
n?1
求得
a
1
.若
a
1
?S
1
，则
an
即为所求；若
a
1
?S
1
，则
a
n
?
?
，
S?S(n?2)
n?1
?
n
1 5

即必须表示为分段函数形式.
18、等差数列的前
n
项和
S
n
的性质：
n?
a
1
?a
n
?
2
n(a
m
?a
n?m?1
)
2
（1）项数（下标）的“等和”性质：
S
n
?
（2）项的个数的“奇偶”性质：
?

①若项数为
2n
?
n??
?
，则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
S
偶
?S
奇
?nd
，
*
S
奇
S
偶
奇
?< br>a
n
a
n?1
．
②若项数为
2n?1
?< br>n??
*
?
，则
S
2n?1
?
?
2 n?1
?
a
n?1
，且
S
?n:n?1

偶
?
S
??a
n?1
，
S
偶
:
S
奇
（3）“片段和”性质：等差数列
?
a
n
?< br>中，公差为
d
，前
k
项的和为
S
k
，则S
k
、
S
2k?k
、
S
3k?2k
， ……，
S
mk?(m?1)k
，……构成公差为
kd
的等差数列.
2
19、如果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数 ，则这个数列称为
等比数列，这个常数称为等比数列的公比．
20、在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项．若
G?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项．
n?1
21、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
，公比是
q
，则
a
n
?a
1
q
．
2
22、通项公式的变形：
a
n
?a
m
q
n?m
；
q
n?1
?
a
n
a< br>1
；
q
n?m
?
a
n
a
m
．
*
23、若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??< br>），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q< br>；
*
若
?
a
n
?
是等比数列，且
2 n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
a< br>n
?a
p
?a
q
．
2
?
na1
?
q?1
?
?
24、等比数列
?
a
n
?
的前n项和的公式：
S
n
?
?
a
1< br>?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q
?
25、等比数列的前
n
项和的性质：
（1）项的个数的“奇偶”性质：
①若项数为
2n
?
n??
*
?
，则
S
偶
S
奇
? q

②若项数为
2n?1
?
n??
*
?
， 则
S
奇
?
S
偶
?
a
1
?a
2n?2
1?q
2 5
（
q??1
）

（2）“片段和”性质：等比数列
?
a
n
?
中，公比为
q
，前
k
项的和为
S
k
(S
k
?0)
，则
S
k
、
S
2k?k
、
k
S
3k?2k
，……，
S
mk?(m?1)k
，……构成公比为
q
的等比数列.
（3）“相关和”性质：
S
n? m
?S
n
?q?S
m

26、数列的通项公式的求法
（1）观察法（2）代换法（3）迭代法（4）累加法（5）累乘法（6）待定系数法
27、数列的前
n
项和的求法
（1）公式法（2）倒序相加法（3）裂项相消法（4）错位相减法（5）分段求和法
数列单元测试题
（满分100分 90分钟）
姓名_______________
一. 选择题：（每题4分，共48分）
1.在数列
?
a
n
?
中,
A.
?
16
3
n
a
16
3
1
?
1
3< br> ,
a
n
?
(?1)
2
a
8
3< br>1
n
n?1
(n?2)
,则
a
5
?
( )
B. C.
?
D.
?
8
3

2.在等差数列
?
a
?n
中,
a
?
a
4
a
7
?
39 ,
a
?
a
?
a
?
258
33 则
a
?
a
?
a
?
( )
369
A. 30 B. 27 C. 24 D. 21
3.设
?
a
?
是递增等差数 列,前三项的和是12,前三项的积为48,则它的首项是( )
n
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4.在等差数列?
a
?
中,若
a
?
a
?
a
?
a
?8
,则
a
n
391517
11
?
( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
5. 等差数列前10项和为100，前100项和为10。则前110项的和为
A．-90 B．90 C．-110 D．10
6．两 个等差数列，它们的前
n
项和之比为
A．
5
3
5n?32n?1
，则这两个数列的第9项之比是（ ）
8
3
B．
8
5
C． D．
7
4

7. 设等比数列｛a
n
｝中,每项均为正数, 且a
3
〃a
8
=81,log
3
a
1
＋l og
3
a
2
＋…＋log
3
a
10
等于
A.5 B.10 C.20 D.40
8.已知等比数列的公比为2,若前4项之和为1,则前8项之和为( )
A.15 B.17 C.19 D.21
3 5

9.数列1 ,
a
,
a
, …… ,
a
2
n?1
,……的前N项和为( )
A.
1?
a
n
1?a
B.
1?
a
n?1
1?a
C.
1?
a
n?2
1?a
D.均不正确
2
10.设直角三角形ABC三边成等比数列,公比为q, 则
q
的值为( )
5?1
2
5?1
2
5?1
2
A.2 B. C. D.
11.若数列
1,2cos
?
,2
2
cos
2
?
,2
3
cos
3?
,??,
前100项之和为0，则
?
的值为（ ）
A.
k
?
?
?
3
(k?Z)
B.
2k
?
?
?
3
(k?Z)
C.
2k
?
?
2
?
3
(k?Z)
D.以上的答案均不
对
12.设2
a
=3,2
b
=6,2
c
=12,则数列a,b,c成
A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比

二. 填空题：（每题4分，共16分）
13．在等差数列
?
a
n
?中，
a
3
、
a
10
是方程
x
则
a
5
2
?3x?5?0
的两根，
?
a
?

8
14. 已知数 列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?
1
n?n?1
，若它的前n项和为10，则项数n为
15.小于200的自然数中被7除余3的所有的数的和是______________。
16. 等差数列5，8，11，……与等差数列3，8，13，……都有100项，那么这两个数列相
同的项共有______________项。
三、解答题（共36分）
17. 已知
a
,
b
,
c
成等差数列。求证:
a?bc,
b?ac
,
c?ab
是等差数列。（8分）






18. 一个等比数列
?
a
n< br>?
中，
a
1
?a
4
?133，a
2
?a
3
?70
，求这个数列的通项公式。（8分）

4 5

222

19. 数列
?
a
n
?
中,当
n
为奇数 时,
a
n
?5n?1
,当
n
为偶数时,
a
n
=
2
2
,若数列
?
a
n
?
共有
2
m
(m?N)
项。求这个数列的前2
m
项的和
S
2m
。（12分）




20.设等差数列< br>?
a
n
?
的前n项和为
s
n
，已知
a
3
=12，且
s
12
?0,s
13
?0
。（8分）
（1） 求公差d的范围；
（2） 问前几项和最大？并说明理由。


n
5 5