高中数学导入有针对性的例子-高中数学必修四第一节ppt
第二章 数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
2、数列的项:数列中的每一个数.
3、有穷数列:项数有限的数列.
4、无穷数列:项数无限的数列.
5、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
6、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
7、常数列:各项相等的数列.
8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
9、数
列的通项公式:表示数列
?
a
n
?
的第
n
项与序号
n
之间的关系的公式.
10、数列的递推公式:表示任一项
a
n<
br>与它的前一项
a
n?1
(或前几项)间的关系的公式.
11、如果一
个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为
等差数列,这个常数称为
等差数列的公差.
12、由三个数
a
,
?
,
b
组
成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则
?
称为
a
与
b
的
等差中项.若
b?
a?c
2
,则称
b
为
a
与
c
的等差中项.
13、若等差数列
?
a
n<
br>?
的首项是
a
1
,公差是
d
,则
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d
.
14、通项公式的变形:
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d
;
d?
a
n
?a
1
n?1
;
d?
a
n
?a
m
n?m
. 15、若
?
a
n
?
是等差数列,且
m?n?p?q(
m
、
n
、
p
、
q??
*
)
,则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
;
*
若
?
a
n
?
是等差数列,且
2n?p?
q
(
n
、
p
、
q??
),则
2a
n
?a
p
?a
q
.
16、等差数列的前
n
项和的公式:(1)
S
n
?
n
?
a
1
?
a
n
?
2
;(2)
S
n
?na
1
?
n
?
n?1
?
2
d
.
17、等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
和
a
n
的关系:
?
S
1(n?1)
(1)等差数列
?
a
n
?
的前
n<
br>项和
S
n
与
a
n
有如下关系:
a
n
?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?
2)
(2)若已知等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
求通项公式
a
n
,要分两步进行:
①
先求
n?2
时,
a
n
?S
n
?S
n?1<
br>;
?
S
1
(n?1)
②再令
n?1
求得
a
1
.若
a
1
?S
1
,则
an
即为所求;若
a
1
?S
1
,则
a
n
?
?
,
S?S(n?2)
n?1
?
n
1
5
即必须表示为分段函数形式.
18、等差数列的前
n
项和
S
n
的性质:
n?
a
1
?a
n
?
2
n(a
m
?a
n?m?1
)
2
(1)项数(下标)的“等和”性质:
S
n
?
(2)项的个数的“奇偶”性质:
?
①若项数为
2n
?
n??
?
,则
S
2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
,且
S
偶
?S
奇
?nd
,
*
S
奇
S
偶
奇
?<
br>a
n
a
n?1
.
②若项数为
2n?1
?<
br>n??
*
?
,则
S
2n?1
?
?
2
n?1
?
a
n?1
,且
S
?n:n?1
偶
?
S
??a
n?1
,
S
偶
:
S
奇
(3)“片段和”性质:等差数列
?
a
n
?<
br>中,公差为
d
,前
k
项的和为
S
k
,则S
k
、
S
2k?k
、
S
3k?2k
,
……,
S
mk?(m?1)k
,……构成公差为
kd
的等差数列.
2
19、如果一个数列从第
2
项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数
,则这个数列称为
等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
20、在
a
与
b
中间插入一个数
G
,使
a
,
G
,
b
成等比数列,则
G
称为
a
与
b
的等比中项.若
G?ab
,则称
G
为
a
与
b
的等比中项.
n?1
21、若等比数列
?
a
n
?
的首项是
a
1
,公比是
q
,则
a
n
?a
1
q
.
2
22、通项公式的变形:
a
n
?a
m
q
n?m
;
q
n?1
?
a
n
a<
br>1
;
q
n?m
?
a
n
a
m
.
*
23、若
?
a
n
?
是等比数列,且
m?n?p?q
(
m
、
n
、
p
、
q??<
br>),则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q<
br>;
*
若
?
a
n
?
是等比数列,且
2
n?p?q
(
n
、
p
、
q??
),则
a<
br>n
?a
p
?a
q
.
2
?
na1
?
q?1
?
?
24、等比数列
?
a
n
?
的前n项和的公式:
S
n
?
?
a
1<
br>?
1?q
n
?
a?aq
.
1n
?
?
q?1
?
?
1?q1?q
?
25、等比数列的前
n
项和的性质:
(1)项的个数的“奇偶”性质:
①若项数为
2n
?
n??
*
?
,则
S
偶
S
奇
?
q
②若项数为
2n?1
?
n??
*
?
,
则
S
奇
?
S
偶
?
a
1
?a
2n?2
1?q
2 5
(
q??1
)
(2)“片段和”性质:等比数列
?
a
n
?
中,公比为
q
,前
k
项的和为
S
k
(S
k
?0)
,则
S
k
、
S
2k?k
、
k
S
3k?2k
,……,
S
mk?(m?1)k
,……构成公比为
q
的等比数列.
(3)“相关和”性质:
S
n?
m
?S
n
?q?S
m
26、数列的通项公式的求法
(1)观察法(2)代换法(3)迭代法(4)累加法(5)累乘法(6)待定系数法
27、数列的前
n
项和的求法
(1)公式法(2)倒序相加法(3)裂项相消法(4)错位相减法(5)分段求和法
数列单元测试题
(满分100分 90分钟)
姓名_______________
一. 选择题:(每题4分,共48分)
1.在数列
?
a
n
?
中,
A.
?
16
3
n
a
16
3
1
?
1
3<
br> ,
a
n
?
(?1)
2
a
8
3<
br>1
n
n?1
(n?2)
,则
a
5
?
( )
B. C.
?
D.
?
8
3
2.在等差数列
?
a
?n
中,
a
?
a
4
a
7
?
39
,
a
?
a
?
a
?
258
33
则
a
?
a
?
a
?
( )
369
A. 30 B. 27 C.
24 D. 21
3.设
?
a
?
是递增等差数
列,前三项的和是12,前三项的积为48,则它的首项是( )
n
A. 1
B. 2 C. 4 D. 6
4.在等差数列?
a
?
中,若
a
?
a
?
a
?
a
?8
,则
a
n
391517
11
?
( )
A.1
B.-1 C.2 D.-2
5.
等差数列前10项和为100,前100项和为10。则前110项的和为
A.-90
B.90 C.-110 D.10
6.两
个等差数列,它们的前
n
项和之比为
A.
5
3
5n?32n?1
,则这两个数列的第9项之比是( )
8
3
B.
8
5
C.
D.
7
4
7. 设等比数列{a
n
}中,每项均为正数,
且a
3
〃a
8
=81,log
3
a
1
+l
og
3
a
2
+…+log
3
a
10
等于
A.5 B.10 C.20
D.40
8.已知等比数列的公比为2,若前4项之和为1,则前8项之和为( )
A.15 B.17 C.19
D.21
3 5
9.数列1 ,
a
,
a
, …… ,
a
2
n?1
,……的前N项和为( )
A.
1?
a
n
1?a
B.
1?
a
n?1
1?a
C.
1?
a
n?2
1?a
D.均不正确
2
10.设直角三角形ABC三边成等比数列,公比为q, 则
q
的值为(
)
5?1
2
5?1
2
5?1
2
A.2
B. C. D.
11.若数列
1,2cos
?
,2
2
cos
2
?
,2
3
cos
3?
,??,
前100项之和为0,则
?
的值为( )
A.
k
?
?
?
3
(k?Z)
B.
2k
?
?
?
3
(k?Z)
C.
2k
?
?
2
?
3
(k?Z)
D.以上的答案均不
对
12.设2
a
=3,2
b
=6,2
c
=12,则数列a,b,c成
A.等差 B.等比
C.非等差也非等比 D.既等差也等比
二.
填空题:(每题4分,共16分)
13.在等差数列
?
a
n
?中,
a
3
、
a
10
是方程
x
则
a
5
2
?3x?5?0
的两根,
?
a
?
8
14. 已知数
列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?
1
n?n?1
,若它的前n项和为10,则项数n为
15.小于200的自然数中被7除余3的所有的数的和是______________。
16. 等差数列5,8,11,……与等差数列3,8,13,……都有100项,那么这两个数列相
同的项共有______________项。
三、解答题(共36分)
17.
已知
a
,
b
,
c
成等差数列。求证:
a?bc,
b?ac
,
c?ab
是等差数列。(8分)
18. 一个等比数列
?
a
n<
br>?
中,
a
1
?a
4
?133,a
2
?a
3
?70
,求这个数列的通项公式。(8分)
4 5
222
19. 数列
?
a
n
?
中,当
n
为奇数
时,
a
n
?5n?1
,当
n
为偶数时,
a
n
=
2
2
,若数列
?
a
n
?
共有
2
m
(m?N)
项。求这个数列的前2
m
项的和
S
2m
。(12分)
20.设等差数列<
br>?
a
n
?
的前n项和为
s
n
,已知
a
3
=12,且
s
12
?0,s
13
?0
。(8分)
(1) 求公差d的范围;
(2) 问前几项和最大?并说明理由。
n
5 5