高中数学必修五 知识点和习题

26、在
?ABC
中，若
sinA:si nB:sinC?3:2:4
，则
cosC
的值为________
27、在
?ABC
中，已知
sinA?
解三角形的进一步讨论 利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边
或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；（3）三角形面积定理的应用。
已知两边和其中一边的对 角，解三角形时，注意解的情况．如已知
a
，
b
，
A
，则
3
,sinA?cosA?0,a?35,b?5
，求
c
。
5
A
为锐角
A
为钝角或直
角
图形


关系
式
解的
个数

a
＝
b
sin
A




a
＜
b
sin
A

b
sin
A
＜
a
＜
b

a
≥
b

a
＞
b

a
≤
b

无解 一解 两解 一解 一解 无解
三角形面积公式：
S?
【典型例题】
111
absinC;S?acsinB;S?bcsinA

222
1、在
?
ABC中，已知
a
,
b
,
A
， 讨论三角形解的情况。
分析：先由
sin
B
?
a
sin< br>C
b
sin
A
可进一步求出B；则
C
?180
0
?(
A
?
B
)
，从而
c
?

A
a
1．当A为钝角或直角时，必须
a
?
b
才能有 且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果
a
≥
b
，那么只有一解；
如果
a
?
b
，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若
a
?
b
sin
A
，则有两解；（2）若
a
?
b
sin
A
，则只有一解；（3）若
a
?
bsin
A
，则无解。
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形 时，只有当A为锐角且
b
sin
A
?
a
?
b
时，
有两解；其它情况时则只有一解或无解。
2、根据所给条件,判断
?ABC
的形状.
1）在
?
AB C中，已知
a
?7
，
b
?5
，
c
?3。2）
acosA?bcosB;
3）
3、在
?ABC
中， 若
?A?120
，
AB?5
，
BC?7
，求
?AB C
的面积。
o
abc
??

cosAcosBcosC< /p>

4、在△ABC中，证明：
cos2Acos2B11

???
2222
abab
4
，
b?2
。
5
5、设
?ABC
的内角
A,B,C
所对的边长分别为
a、 b、c
，且
cosB?
?
（1） 当
A?30
时，求
a
的值；(2)当
?ABC
的面积为
3
时，求
a?c的值．
6、在
?ABC
中，已知
AB?3,BC?2
。
（Ⅰ）若
cosB??
【练习】
1、在
?
ABC中，已知
a
?80
，
b
?100
，
?
A
? 45
0
，试判断此三角形的解的情况。
2、在
?
ABC中，若a
?1
，
c
?
3
，求
sinC
的值； （Ⅱ）求角
C
的取值范围．
6
1
，
?
C
?40
0
，则符合题意的b的值有_____个。
2
3、在
?ABC中，
a
?
xcm
，
b
?2
cm
，
?
B
?45
0
，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范 围。
4、在
?
ABC中，已知
sin
A
:sin
B
:sin
C
?1:2:3
，判断
?
ABC的类型。 5、在
?
ABC中，
A
?60
0
，
a
?1
，
b
?
c
?2
，判断
?
ABC的形状 。
6、
?ABC
中，
2b?a?2bccosA
，判断该三角形的 形状。
7、
?ABC
中,
lg
?
sinA?sinC< br>?
?2lgsinB?lg
?
sinC?sinA
?
，判断该 三角形的形状。
8、在
?ABC
中，若
sinAsinB?cosAcos B
，判断
?ABC
的形状。
0
9、在
?ABC
中 ，若
B?60,2b?a?c
，判断
?ABC
的形状。
22
10、在
?ABC
中，已知
ba
，判断该三角形的形状。
?sinC，ca?cosB
11、在
?ABC
中，已知
(a?b?c)( a?b?c)?3ab
，且
2cosAsinB?sinC
，试确定
?ABC
的形状。
12、
?ABC
中，如果
lga?lgc?lgsinB ??lg2
，并且
B
为锐角，试判断此三角形的形状。
Ab?c
?
（
a、b、c
分别为角
A,B,C
所对的边），判断此三角形的形状 。
22c
14、根据所给条件，判断
△ABC
的形状.
abc
??
（Ⅰ）
acosA?bcosB
； （Ⅱ）
c osAcosBcosC
13、
?ABC
中，
cos
2
15 、在
?ABC
中，
a、b、c
分别为内角
A、B、C
的对边 ，且
2asinA?(2b?c)sinB?(2c?b)sinC

（Ⅰ）求
A
的大小；（Ⅱ）若
sinB?sinC?1
，试判断
?ABC
的 形状.
16、在△ABC中，
AB?3
,
AC?1
,∠A＝30° ，求△ABC面积。

17、在
?
ABC中，
A
?6 0
0
，
b
?1
，面积为
3
a
?
b
?
c
，求的值
2
sin
A
?sin
B< br>?sin
C
18、在
?
ABC中，若
a
?55
，
b
?16
，且此三角形的面积
S
?2203
，求角C
19、在
?
ABC中，其三边分别为a、b、c，且三角形的面积
S
?
a
2
?
b
2
?
c
2
4
，求角C
20、已知在
?
ABC中，
?
B=30
?
,b=6,c=6
3
,求a及
?
ABC的面积
21、在
?OAB
中，O为坐标原点，
A(1,cos
?
),B(sin
?< br>,1),
?
?(0,
A．
?
2
?
?
则当
?OAB
的面积达最大值时，
]
，
D．
?

6
B．
?

4
C．
?

3
?

2
2
22、已知
A,B,C
为?ABC
的三个内角，其所对的边分别为
a、b、c
，且
2cos
(1)求角
A
的值；
(2)若
a?23,b?c?4
，求
?ABC
的面积．
2 2
23、
?ABC
内接于半径为
R
的圆，且
2RsinA? sinC?
A
?cosA?0
。
2
??
?
2a? bsinB
，求
?ABC
的面积的最大值。
2
?
24、三 角形的某两边长分别为
3cm,5cm
,其夹角的余弦值是方程
5x?7x?6?0< br>的根，求此三角形的面积。
a
2
?b
2
sin
2< br>A?sin
2
B
?;
在
?
ABC中，求证：（1）
c
2
sin
2
C
（2）
a?b?c?2(bcco sA?cacosB?abcosC)
.
222
25、已知在
?ABC中，
AB?3,BC?13,AC?4
，则
AC
边上的高为（ ）
A.
3
3
3

2
B.
2
2
C.
3

2
D.
33

26、在
?ABC
中，已知
a
比
b
长2，
b
比
c
长2，且最大角的正弦值为
A.
3
，则
?ABC
的面积等于（ ）
2
15152135
3

3

3
B. C. D.
4444
0
27、在
?ABC
中， 已知
A?30
，且
3a?3b?12
，则
c
的值为 ( )
A. 4 B. 8 C. 4或8 D. 无解
0
28、在
?ABC
中，
A?60,AB?2
，且
?ABC
的面积
S
?ABC
?
3
，则
BC
边的长为（ ）
2
A.


3
B. 3 C.
7
D. 7

29、在
?ABC
中,若
3a?2bsinA
,则
?B
= ( )
A
30

o
B
60

22
o
C
60
或
120
D
30
或
150

2
o
o
o
o< br>30、
?ABC
中，
s
，则
A
等于（ ）
insAB?ins?inBsinC?sinC
A. 135° B. 120° C. 45° D. 60°
31、在
?ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a、b、c
。若
(3b?c)cosA?aco sC
，则
cosA
= _______
32、 已知在
?ABC< br>中，
sinA:sinB?2:1,c
2
?b
2
?2bc，则三个内角
A,B,C
的度数依次是
______
33、在
?ABC
中，已知
(b?c):(c?a):(a?b)?4:5:6
，给出下列结论 ：
① 由已知条件，这个三角形被唯一确定； ② △ABC一定是钝角三角形；
③
sinA:sinB:sinC?7:5:3
； ④ 若
b?c?8
，则?ABC
的面积是
其中正确结论的序号是_____________
34、< br>?ABC
中，已知
b?bc?2c?0
，且
a?
35、在锐角
?ABC
中，
BC?1
，
B?2A
,则

36、如图，在
?ABC
中，已知
B?45
，
D
是
BC
边上的一点，
AD?5,AC?7,DC?3,则AB?
______






B
D
C
A
0
153
。
2
22
6,cosA?
7
， 则
?ABC
的面积等于_____________。
8
AC
的值等于 ，
AC
的取值范围是
cosA
37、在
?ABC
中，内角
A,B,C
所对边的边 分别为
a、b、c
。已知
c?2,C?
?
3
（1）若
?ABC
的面积等于
3
，求
a,b
； （2）若
sinB?2sinA
，求
?ABC
的面积。
38、在< br>?ABC
中，内角
A,B,C
对边的边长分别是
a、b、c
， 已知
c?2,C?
(1)若
?ABC
的面积等于
3
，求a,b
；
(2)若
sinC?sin
?
B?A
??2sin2A
，求
?ABC
的面积．
39、
?ABC
的内角
A、B、C
的对边分别为
a、b、c
.己知
asinA?c sinC?2asinC?bsinB,

o
(Ⅰ)求
B
；（Ⅱ）若
A?75,b?2,求a,c.

。
?
3
.
40、在
?ABC
中，
A,B,C
的对边分别是
a,b,c
，已知
3acosA?ccosB?bcosC
， 求
cosA
的值。

22
41、在
?ABC
中，
a,b,c
为角
A,B,C
所对的三边，已知
a?(b?c)? bc
，求角
A
．
42、在
?ABC
中，
a、b、 c
分别是角
A、B、C
的对边，且
(1)求角
B
的大小；
(2)若
b?13
，
a?c?4
，求
?ABC
的面 积．
cosBb
.
??
cosC2a?c
43、在
?A BC
中，内角
A
,
B,C
的对边分别是
a,b,c
，设
S
为
?ABC
的面积，满足
S?
（1）求角C的大小； （2）求
sinA?sinB
的最大值。
3
2
a?b
2
?c
2

4
??< br>44、已知
m?2cosx?23sinx,1,n?
?
cosx,?y
?
，满足
m?n?0
。（1）将
y
表示为
x
的函 数
f
?
x
?
，并
求
f
?
x
?
的最小正周期。（2）已知
?ABC
内角
A
,
B,C< br>的对边分别是
a,b,c
，若
f
?
求
b?c
的取值范围
1.2 应用举例
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出 图形，把实际问题里的条件和所求转换
成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。
1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
2．实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
??
?
A
?
?
?3
，且
a?2
，
?
2
?

(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向 线的水平角，如
B
点的方位角为
α
(如图(2))．
(3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
距离测量问题

【典型例题】
1、如图，设A、B两点在河 的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一
点C，测出AC的距离是5 5m，
?
BAC=
51?
，
?
ACB=
75?。求A、B两点的距离(精确到0.1m)





【练习】
1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏 东30
?
，灯塔B在观察站C
南偏东60
?
，则A、B之间的距离为 多少？
2、 如图所示，为了测量河对岸
A,B
两点间的距离，在这岸定一基线CD
，现已测出
CD?a
和
?ACD?60
?
，
?BCD?30
?
，
?BDC?105
?
，
?ADC?6 0
?
，试求
AB
的长．






3、 如图，
A,B,C,D
都在同一个与水平面垂直的平面内
B,D
为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面
A
处测得
B
点和
D
点的仰角分别为
75
?
，
30
?
，于水面
C
处测得
B
点和
D
点的仰角均为
60?
，
AC?0.1km
.试探究图中
B
、
D
间 距离与另外哪两点间距离相等，然后
求
B
，
D
的距离．

高度测量问题
【典型例题】
1、AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。
分析：求AB长的关键是先求AE，在
?
ACE中，如能求出C点到建筑物顶部A的距 离CA，再测出由C
点观察A的仰角，就可以计算出AE的长。

【练习】
1、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点 A的俯角
?
=54
?
40
?
，在塔底C处测得A处的俯角< br>?
=50
?
1
?
。
已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)








2、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处 一山顶D在东偏南15
?
的方
向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25
?
的
方向上,仰角为8
?
,求此山的高度CD.






3、 如图，山脚下有一小塔
AB，在塔底
B
测得山顶
C
的仰角为
60
，在山顶
C
测得塔顶
A
的俯角为
45
，
已知塔高
AB?20 m
，求山高
CD
.





4、 如图所示，测量河对岸的塔高
AB
时，可以选与塔底
B
在同一 水平面内的两个测点
C
与
D
，现测得
??
?BCD?
?
，
?BDC?
?
，
CD?s
，并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为
?
，求塔高
AB
.

角度测量问题
【典型例题】
如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75
?
的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32
?
的方向航行54.0 n mile后 达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要
航行多少距离?(角 度精确到0.1
?
,距离精确到0.01n mile)





【练习】
1、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为
?
，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为
2
?
，再继续前进1 0
3
m至D点，测得顶端A的仰角为4
?
，求
?
的大小和建 筑物AE的高。






2、某巡逻艇在A 处发现北偏东45
?
相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75
?
的方 向以10海里
小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇 应该沿什么方
向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

（3?1）
3、 在某海岸
A
处，发现北偏东
30
?
方向，距离
A
处 n mile的
B
处有一艘走私船在
A
处北偏西
15
?的方向，距离
A
处
6
n mile的
C
处的缉私船奉命以
53
n mileh的速度追截走私船. 此时，走私船
正以5 n mileh的速度从
B
处按照北偏东
30
?
方向逃窜，问缉私船至少经过多长时间可以追上走私船，
并指出缉私船航行方向.






注：在求解三角形中，我们可以根据 正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必
须检验上述所求的解是否符合实际意义， 从而得出实际问题的解。
A
C
·
15
?
B
·

30
?

第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示方法
数列的概念与简单表示方法
定义：按一定次序 排列的一列数叫数列，其中数列中的每一个数都是函数值，将数列中的每个数称为数列
的项，和它在数列 中的次序对应起来，称为第1项，第2项，…，第n项，…。
数列的一般形式：
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
，简记为< br>?
a
n
?

数列的分类：
（1）按项数来分：
有穷数列：项数有限的数列；
无穷数列：项数无限的数列叫。
（2）按项的大小来分：
递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列： 各项相等的数列
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
数列
?
a
n
?
的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式 叫做这个数列的通项公式。

【典型例题】
1、已知数列
?
a< br>n
?
满足
a
n?1
?a
n
?3
，则 这个数列是（）
A 递增数列 B 递减数列 C 摆动数列 D 不确定
，，-< br>2、数列
-1
,8
5
15,24
，，?
的一个通项公 式是（）
79
2
n
2
?n
n
(n?1)?1n
n(n?3)
n
n(n?2)
A
a
n
?(?1)
B
a
n
?(?1)
C
a
n
?(?1)
D
a
n
?(?1)

2n?1
2n?1
2n?12n ?1
n
3、数列
2，,5,22，,11，?
的一个通项公式是______ ________
【练习】
1、下列数列是递增、递减、摆动还是常数列？
（1）
1,,,?,

11
23
1
,?
（ 2）
1,2,2
2
,?2
63
;
（3）
1,?1, 1,?1,?
（4）
6,6,6,?

n

2、已知数 列
?
a
n
?
满足：
a
1
?0,
A . 递增数列
a
n?1
1
?
，则数列
?
an
?
是（）
a
n
2
B. 递减数列 C.摆动数列 D.不确定
3、已知数列
?
a
n
?
满足：
an?1
?a
n
?3
，则数列
?
a
n
?
是（）
A. 递增数列
4、数列
,
B. 递减数列 C.摆动数列 D.不确定
1111
,,?,,?
中，第10项是_________
345n
,123
234
?
，其中0.9是它的第____项。 5 、已知数列
0，，，，
6、1,1,2,3,5...，这个数列的第八项是________ _______
7、观察下列的图形中小正方形的个数，则第7个图中有______个小正方形。


8、上述关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是（ ）
2
A．
a
n
?n?n?1

n
?
n?1
?
B．
a
n
?
< br>2
D．
a
n
?
C．
a
n
?
n
?
n?1
?

2
n
?
n?2
?

2
9、设数列
2
，
5
，
22
，
11
，……，则
25是这个数列的（ ）
A．第
6
项 B．第
7
项 C．第
8
项 D．第
9
项
10、数列
7
，
77
，
777
，
7777
，
77777
，……的 通项公式为_______________________．
11、已知数列
n?n
，那么（ ）
A．
0
是数列中的一项 B．
21
是数列中的一项
C．
702
是数列中的一项 D．以上答案都不对
12、若
a
n
?
?
2
?n
，则
a
n
与
a
n?1
的大小关系是（ ）
n?2
B．
a
n
?a
n?1
C．
a
n
?a
n?1
D．不能确定 A．
a
n
?a
n?1

13、根据下列数列的前几项写出数列的一个通项公式
(1)
19,25
,2，,8，，?；

222

（2）
1

，-3,5，-7,9，?；
（3）
5,3,5,3,5,3，

?；
（4）
9，

99,999,9999，?；
14、写出下列数列的一个通项公式：
（1）
1234
,,,,?;

2345
（2）
?1,2,?3,4,?;

（3）
1,3,5,7,?;

（4）
7,77,777,7777,?;

15、一给定函数
y ?f(x)
的图象在下列图中，并且对任意
a
1
?(0,1)
，由关 系式
a
n?1
?f(a
n
)
得到的数
?
列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?a
n< br>(n?N)
，则该函数的图象可能是 ( )







16、已知数列
?
a
n
?
中的首项
a
n?1
?
11
a
n
?
，则此数列的第三项是________
22n
17、已知数列
?
an
?
满足
a
1
?0,a
n?1
?
a< br>n
?3
3a
n
?1
(n?N
?
)
， 则
a
20
?
________
?
18、练习：已知数列< br>?
a
n
?
满足：
a
4n?3
?1,a
4n?1
?0,a
2n
?a
n
,n?N
,
a2009
?
_______;
a
2014
?
_____ __
19、设
a
n
?1?
111
????(n?N
?
)
，则
a
n?1
?a
n
?
_____ __
233n?1
111
11111
?
???
A．B. C. D.
3n?2
3n3n?1
3n?13n?2
3n3n?13n? 2
n
20、已知数列
?
a
n
?
满足
an
a
n?1
?a
n?1
?(?1)(n?2)
，且a
1
?1,
则
a
5
的值是_______
a
3
21、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
2
?
112
2
??(n?N,n?2)
， 则
a
6
?
_________.
,
且
a
n?1
a
n?1
a
n
3

22、已知数列?
a
n
?
的第1项是1，第2项是2，以后各项由
a
n
?a
n?1
?a
n?2
(n?2)
给出，
（1） 写出这个数列的前5项；（2）利用上面的数列
?
a
n
?
，通过公式
b
n
?
项。
2.2 等差数列
等差数列：一般地，如 果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫
做等差数列，这个常数就 叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）
a
n?1
构造一个新的数列
?
b
n
?
的前5
a
n
等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这 三个数成等差数列，那么Ａ＝
中项．
a?ba?b
．我们把Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差< br>22
等差数列的通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1) d
【变式：
a
n
?
a
m
?(n?m)d
】
性质：若
?
a
n
?
是等差数列，且
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则< br>a
m
*
?a
n
?a
p
?a
q

【典型例题】
1、已知数列1，4，7，10，…，3n+7,其中后一项比前一项大3.
（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+…+（3n－5）是该数列的前几项之和. 2、将一个等差数列的通项公式输入计算器数列
u
n
中，设数列的第s项和第t项 分别为
u
s
和
u
t
，计算
u
s
? u
t
的值，你能发现什么结论？并证明你的结论
s?t
【练习】
1、（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.
（2）求等差数列10，8，6，……的第20项.
（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. < br>（4）－20是不是等差数列0，－3
1
，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不 是，说明理由.
2
2、在等差数列{
a
n
}中，（1）已知a
4
=10,
a
7
=19,求
a
1
与 d;
（2）已知
a
3
=9,
a
9
=3,求
a
12
.
3、在等差数列
?
a
n
?
中，已知
a
5
?10
，
a
12
?31
，求
a
1
,
d
,
a
20
,a
n

4、 梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各
级的宽度
5、 已知数列{a
n
}的通项公式
a
n
?pn?q
，其中
p< br>、
q
是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若
是，首项与公差分别是什么 ？
6、已知为等差数列，，则等于
A. -1 B. 1 C. 3 D.7

7、已知
?
a
n
?< br>为等差数列，且
a
7
－2
a
4
＝－1,
a
3
＝0,则公差d＝
A.－2 B.－
11
C. D.2
22
8、等差数列< br>{a
n
}
中，
a
1
?a
2
?L?a
9
?81
且
a
2
?a
3
?L?a
10
?171
，则公差
d
=
2
{a}
2a?a? 2a
11
?0
，则
a
7
的值为（） 9、各项不为零的等差数列中，
37
n
．．．

A．
0
B．4 C．
0或4
D．
2

10、已 知等差数列
{a
n
}
中，
a
7
?a
9?16,a
4
?1,则a
12
的值是 （ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
11、等差数列
?
a
n
?
中，
a
5
?a
11
?30
，
a
4
?7
，则
a
12
的值为
A．15 B．23 C．25 D．37
12、设
?
a
n
?
是公差为正数 的等差数列，若
a
1
?a
2
?a
3
?15
，
a
1
a
2
a
3
?80
，则
a< br>11
?a
12
?a
13
?
（）
A
120
B
105
C
90
D
75

13、若一个等差数列前3项和为34,后3项和为146,且所有项的和为390,求这个数列项数.
14、在等差数列{a
n
}中,
a
m
?n,a
n< br>?m
，则
a
m?n
，的值为（）
A
m?n
B
11
(m?n)
C
(m?n)
D 0
22
15、已知在等差数列
?
a
n
?
中，
S
5
?a
5
,a
4
?0
，求
a
7
:a
4
?
2
16、在等差数列
?
a
n
?
中，若
a
3
,a
11
是方程
x?10x?16?0
的两根，则
a< br>7
?
_______
17、若
a?b
，两个等差数列
a,x
1
,x
2
,b
与
a,y
1
,y< br>2
,y
3
,b
的公差分别为
d
1
,d
2
，则
d
1
?
________
d
2
18、等差数列
?
a
n
?
的前10项的和
S
10< br>?100,
前100项的和
S
100
?10
,求前110项的 和
S
110
.

19、《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作 之一，请解答书中的一道题目，把100个面包分给5个
人，使每个人所得成等差数列，且是较多的三分 之和的
1
是较少的两份之和，求最少一份的量。
7
（
20、已知数 列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，点
P
n
a
n
,?
1
a
n?1
）(n?N< br>?
)
在曲线
f(x)??4?
1
，且
a
1< br>?1.a
n
?0
，
2
x
求证：数列
?
?
1
?
是等差数列，并求
a
n
。
2
?
?
a
n
?
21、如果
a
1
，
a< br>2
，…，
a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d?0
，则( )
A
a
1
a
8
?
a
4
a
5
B
a
8
a
1
?
a
4
a
5
C
a
1
+
a
8
?
a
4
+
a
5
D
a
1
a
8
=
a
4
a
5

22、已知

的值.
是一次函数，其图象过点

，又

成等差数列，求
f(1)?f(2)???f(n)
23、已 知数列
?
?
1
?
1113
?
成等差数列，且
a
3
??,a
5
??
，求
a
8
的值。
67
?
a
n
?2
?
2.3 等差数列的前n项和
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?
S?
S?na?d
． 等差数列的前
n
项和的公式 ：①
n
；②
n1
2
2
等差数列的前
n
项和 的性质：
①若项数为
2nn??
?
*
?
，则
S< br>2n
?n
?
a
n
?a
n?1
?
，且
S
偶
?S
奇
?nd
，
*
S
奇a
?
n
S
偶
a
n?1
．
S
奇
n
②若项数为
2n?1
?
n??
?
，则
S
2n?1
?
?
2n?1
?
a
n
，且S
奇
?S
偶
?a
n
，（其中
S
奇?na
n
，
?
S
偶
n?1
。
S偶
?
?
n?1
?
a
n
）
【典型例题】
1、已知等差数列
?
a
n
?
的前n项之和记为S
n
，S
10
=10 ，S
30
=70，则S
40
等于 。
2、已知一个等差数列
?
a
n
?
的通项公式a
n
=25－5n，求数列
?
|a
n
|
?
的前n项和 ；
【练习】
1、 等差数列-10，-6，-2，2，…前___项的和是54？
2、 （1）求正整数列前n个偶数的和；（2）求正整数列前n个奇数的和。
3、 如果等 差数列
?
a
n
?
的前4项的和是2，前9项的和是-6，求其前n项 和的公式。
4、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列
?
a
n
?
的有关未知数：
（1）
a
1
?
51
,d??, S
n
??5,
求n 及
a
n
； （2）
d?2,n ?15,a
n
??10,求a
1
及S
n

66S
n
a
7n?1
?(n?N
?
),
求
7
；
T
n
4n?27
b
7
5、等差数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
的前n项和 为S
n
、T
n
.若
6、已知一个等差数列的前10项的和是310， 前20项的和是1220，求前n项和。
7、设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前n项和，已知
a
2
?3
，a
6
?11
，则
S
7
等于( )
A．13 B．35 C．49 D． 63
8、等差数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
，且
S
3
=6，
a
1
=4， 则公差d等于（）
A．1 B
5
C.- 2 D 3
3

2
9、等差 数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，已知< br>a
m?1
?a
m?1
?a
m
?0
，
S
2m?1
?38
,则
m?
（）

A.38 B.20 C.10 D.9
10、若等差数列< br>{a
n
}
的前5项和
S
5
?25
，且
a
2
?3
，则
a
7
?
( )
A.12 B.13 C.14 D.15
11、已知
{a
n
}
是等差数列，
a
1
? a
2
?4
，
a
7
?a
8
?28
， 则该数列前10项和
S
10
等于（ ）
A．64 B．100 C．110 D．120
12、记等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
a
1
?
A．16 B．24
1
，S
4
?20
，则
S
6
?
（ ）
2
D．48 C．36
13、等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
x
若< br>a
2
?1,a
3
?3,则S
4
＝
（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
14、设等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
S
3
?9
，
S
6
?36
，则
a
7
?a
8
?a
9
?
（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
15、已知两个等差数列
{a
n
}
和
{b
n
}
的前
n
项和分别为A
n
和< br>B
n
，且
整数
n
的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16、等差数列{a< br>n
}中，a
1
=1,a
3
+a
5
=14，其 前n项和S
n
=100,则n=（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
17、设等差数列
?
a
n
?的前
n
项和为
S
n
，若
S
4
?10, S
5
?15
，则
a
4
的最大值为______
1 8、设S
n
=是等差数列{a
n
}的前n项和，a
12
=- 8,S
9
=-9,则S
16
= .
19、已知等差 数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
S
12
?21
，则
a
2
?a
5
?a
8
?a
11
?


．
；数列
a
A
n
7n?45
?
，则使得
n
为整数的正
b
n
B
n
n?3
2
2，3，L )
，则此数列的通项公式为 20、若数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?n?10n(n?1，
?
na
n
?
中数值最小的项是第 项．
2?
21、各项均不为零的等差数 列
{a
n
}
中，若
a
n
?a
n?1
?a
n?1
?0(n?N,n?2)
，则
S
2009
等于 （ ）
A．0 B．2 C．2009 D．4018
22、已知等差数列{a
n
}的前n项和为Sn，若
S7
?14
，则
a
3
?a
5
的值为（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8

23、在等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
8
?4
,则 其前9项的和S
9
等于 （ ）
A．18 B 27 C 36 D 9
24、在等差数 列
{a
n
}
中，
a
1
?a
4
?a
7
?39
，
a
3
?a
6
?a
9< br>?27
，则数列
{a
n
}
的前9项之和
S
9
等于（）
A.
66

B
．
99

C
．
144

D.
．
297

25、设等差数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,若S
4
?8,S
8
?20,则a
11
?a
12
?a
13
?a
14?
A．18 B．17 C．16 D．15

（ ）
26 、已知等差数列
?
a
n
?
共有100项，前三项的和为7，最后三项 和为3，那么前100项和为____
27、等差数列
?
a
n
?< br>前m项的和为30，前2m项和为100，那么它的前3m项和为____
28、设等差数列< br>?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，若
S
9
?72
,则
a
2
?a
4
?a
9
=
11、设等差数列
?
an
?
的前
n
项和为
S
n
，若
a
5
?5a
3
则
S
9
?

S
5
29、等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，且
6S
5
?5S
3?5,
则
a
4
?

2
*
30、设
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和，
S
n
?kn?n
，
n?N
，其中
k
是常数，求
a
1
及
a
n
； ?
31、设数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n< br>?pn?q(n?N,P?0)
. 数列
{b
n
}
定义如下： 对于正整数m，
b
m
是使
得不等式
a
n
?m
成立的所有n中的最小值.
（Ⅰ）若
p?
11
,q??
，求
b
3
；
23
（Ⅱ）若
p?2,q??1
，求数列
{b
m
}
的前2m项和公式；
?
（Ⅲ）是否存在p和q，使得
b
m
?3m?2(m?N)
？如果存在，求p和q的取值范围；如果不存在，请
说明理由.
32、已知等差数列{
a
n
}中，
a
3
a
7??16,a
4
?a
6
?0,
求{
a
n
}前n项和
s
n
.
33、已知{a
n
}是一个公差大于0的等差数列，
且满足a
3
a
6
＝55, a
2
+a
7
＝16.
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式：
2.4 等比数列
概念：如 果一个数列从第
2
项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，
这个常数称为等比数列的公比．若等比数列
?
a
n
?
的首项 是
a
1
，公比是
q
，则通项公式为
a
n
? a
1
q
n?1

通项公式的变形：①
an
?a
m
q
n?m
；②
a
1
?an
q
?
?
n?1
?
；③
q
n?1a
n
n?m
a
n
?
?
；④
q
．
a
a
1
m
等比中项：在
a
与
b
中间插入一个数
G
，使
a
，
G
，
b
成等 比数列，则
G
称为
a
与
b
的等比中项．若
G
2
?ab
，则称
G
为
a
与
b
的等比中项 ．
*
若
?
a
n
?
是等比数列，且
m?n ?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；若
?
a
n
?
是等比数列，
且
2n?p?q
（
n
、
p
、
q??
），则
a
n
*
2
?a
p
?a
q
．
【典型例题】
1、在等比数列
?
a
n
?
中，
（1）
a
4
?27,q??3
，求
a
7
；
（2）
a
2
?18,a
4
?8
，求
a1
,q

（3）
a
5
?4,a
7
?6
，求
a
9

（4）
a
5
?a
1< br>?15,a
4
?a
2
?6
，求
a
3

2、求下列各组数的等比中项
（1）
7?35与7-35

（2）
a?ab与b?ab(a?0,b?0)

3、在等比数列中
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，公比
q ?1
，若
a
m
?a
1
a
2
a
3< br>a
4
a
5
，则m=
4、设
{a
n
}
是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则
a
1
?a
8
与
a
4
?a
5
的大小关系为（ ）
A．
a1
?a
8
?a
4
?a
5
B．
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
C．
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
D．与公比的值有关
5、若不等于1的三个正数a，b，c成等比数列，则
(2?logb
a)(1?log
c
a)?
_______。
6、若数列是等比数列，下列命题正确的个数是（ ）
422422
{a
2n
}
是等比数列 ②
{lga
n
}
成等差数列 ③
{
①
{a
n
2
}
，
成等比数列。 1
}
，
{a
n
?k}
(k?0)
{a
n
}
成等比数列 ④
{ca
n
}
，
a
n
D．2 A． 5 B．4 C．3
【练习】
1 、在等比数列
?
a
n
?
中，
a
3
?2,a
8
?64
，求
a
n
。
2、在等比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，公比
q? 1
，若
a
m
?a
1
a
2
a
3a
4
a
5
，则m=_________

3、已 知
?
a
n
?
为等比数列，
a
1
?a
2
?a
3
?3,a
6
?a
7
?a
8?6
，求
a
11
?a
12
?a
13
的 值。
4、在公比为整数的等比数列
?
a
n
?
中，且
a
n?2
?a
n?1
?2a
n
，求公比q=______ __
5、已知等比数列
?
a
n
?
的公比为
1，且
a
1
?a
3
???a
99
?60
，则
a
2
?a
4
?a
6
??a
100?
_______
2
6、在等比数列
?
a
n
?
中，
a
9
?a
10
?a,a
19
?a< br>20
?b
，则
a
99
?a
100
?
___________
7、已知
{a
n
}
是等比数列，且
a
n
?0
，
a
2
a
4
?2a
3
a
5
?a
4
a
6
?25
，那么
a
3
?a
5
?

8、在等比数列
?
a
n
?
中，公比
q?2
，且
a
1
?a
2< br>?a
3
?a
30
?2
30
，那么
a
3
?a
6
?a
9
?a
30
?
______ __
9、三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（ ）
A．2，4，8 B．8，4，2 C．2，4，8，或8，4，2 D．
142856
,?,

333
10、设
{a
n
}
是由正数组成的等比数列，且公比不为1，则
a
1
?a
8
与
a
4
?a
5
的大小关系为（ ）
A．
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
B．
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
C．
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
D．与公比的值有关
11、已知等比数列
A.
{a
n
}
的公比为正数，且
a
3
·
a
9
a
=2
5< br>，
a
2
=1，则
a
1
=
2
2
1
B. C.
2
2
2
D.2
12、设
?
a
n
?
是公差不为0的等差数列，
a
1
?2
且
a1
,a
3
,a
6
成等比数列，则
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
=（ ）
n
2
7nn
2
5nn
2
3n
??
C．
?
A． B．
443324
13、已知
?
a
n
?
是等比数列，
a
2
?2，a
5
?A.16（
1?4
C.
?n
D．
n?n

2< br>1
，则
a
1
a
2
?a
2
a
3
???a
n
a
n?1
=（ ）
4
?n
） B.6（
1?2
）
3232
?n?n
（
1?4
） D.（
1?2
）
33
14、在等比数列{a
n
}中，a< br>2
＝8，a
5
＝64，，则公比q为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
15、若互不相等的实数 成等差数列， 成等比数列，且
a?3b?c?10
，则
a?

A．4 B．2 C．－2 D．－4
16、在各项都为正数的等比数列｛a
n
｝中，首项a
1
=3

，前三项和为21，则a
3
+ a
4
+ a
5
=( )
A .33 B. 72 C. 84 D .189

17、若数列
{a< br>n
}
是公比为4的等比数列，且
a
1
=2
，则数列< br>{log
2
a
n
}
是（ ）
A. 公差为2的等差数列 B. 公差为
lg2
的等差数列
C. 公比为2的等比数列 D. 公比为
lg2
的等比数列
18、已知等差数列
{a
n
}< br>的公差
d?0
，且
a
1
,a
3
,a
9
成等比数列，则
19、等比数列
{a
n
}
，
a< br>1
?a
2
?1,a
3
?a
4
?9
， 则
a
4
?a
5
?

20、等比数列
{a< br>n
}
中，
a
9
?a
10
?a
11< br>?a
12
?64
，则
a
8
?a
13
?

21、等比数列
{a
n
}
中，
a
n< br>?0,a
2
a
4
?2a
3
a
5
?a
4
a
6
?36
，则
a
3
?a
5< br>?

22、有三个正数成等比数列，其和为21，若第三个数减去9，则它们成等差数列 ，这三个数分别为
_____________。
2.5 等比数列的前n项和
a
1
?a
3
?a
9
的值为 ． < br>a
2
?a
4
?a
10
?
na
1?
q?1
?
?
n
等比数列
?
a
n?
的前项和的公式：
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
．
1n
?
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
等比数列的前
n项和的性质：①若项数为
2nn??
②
S
n?m
?
*< br>?
，则
S
S
偶
奇
?q
．
?S
n
?q
n
?S
m
．
③
S< br>n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列．
【典型例题】
1、公差不为零的等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.若
a
4
是
a
3
与a
7
的等比中项,
S
8
?32
,则
S
10
等于
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
2、设等比数列
{a
n
}
的公比
q?
1
S
，前
n
项和为
S
n
，则
4< br>?
．
2
a
4
3、设等比数列{
a
n
}的前n项和为
s
n
。若
a
1
?1 ,s
6
?4s
3
，则
a
4
=
4、设有数列
{a
n
}
，
a
1
?
5
2
，若以
a
1
,a
2
,a
3
, L,a
n
为系数的二次方程
a
n?1
x?a
n
x? 1?0
都有根
?
,
?
，且
6
满足
3
?
?
??
?3
?
?1
。
（1）求证：数列
{a
n
?}
是等比数列。
（2）求数列
{a
n
}
的通项
a
n
以及前n项和
Sn
。
1
2

5、设
{a
n
}< br>是由正数组成的等比数列，
S
n
是其前n项和，证明
log
0 .5
S
n
?log
0.5
S
n?2
?log
0.5
S
n?1
。
2
6、在等比数列中，
a
1
?3
，
q?4
，使
S
n
?3000
的最小 自然数n=________。
7、若首项为
a
1
，公比为q的等比数列< br>{a
n
}
的前n项和总小于这个数列的各项和，则首项
a
1< br>公比q的一
组取值可以是
(a
1
,q)?
_________ 。
【练习】
1、已知等比数列
?
a
n
?
中a
2
?1
，则其前3项的和
S
3
的取值范围是()
A.
?
??,?1
?
B.
?
??,0
?
U
?
1,??
?

C.
?
3,??
?
D.
?
??,?1
?
U
?
3,??
?
< br>2、设｛a
n
｝是公比为正数的等比数列，若n
1
=7,a
5
=16,则数列｛a
n
｝前7项的和为( )
A.63 B.64 C.127 D.128
3、在等比数列
{a
n
}
（
n?N*
）中，若
a
1
?1
，
a
4
?
1
，则该数列的前10项和为（ ）
8
111
1
A．
2?
4
B．
2?
2
C．
2?
10
D．
2?
11

2
222
212
,,,
…各项的和等于
224
B．
2?
（ ） 4、无穷等比数列
1,
A．
2?2

2
C．
2?1
D．
2?1

5、已知
{a
n
}
是等比数列，且< br>a
n
?0
，
a
2
a
4
?2a
3
a
5
?a
4
a
6
?25
，那么
a
3
?a
5
?
（ ）
A． 10 B． 15 C． 5 D．6
30
6 、设
{a
n
}
是正数组成的等比数列，公比
q?2
，且a
1
a
2
a
3
La
30
?2
，那么
a
3
a
6
a
9
La
30
?
（ ）
A．
2

10
B．
2

20
C．
2

16
D．
2

15
7、三个数成等比数列，其和为44，各数平方和为84，则这三个数为（ ）
A．2，4，8 B．8，4，2 C．2，4，8，或8，4，2 D．
142856
,?,

333
1
}
，由
a
n
8、等比数列
{a
n
}
的首项为1，公比为q，前n 项的和为S，由原数列各项的倒数组成一个新数列
{
1
{}
的前n项的和是（ ）
a
n
1
A．
5

q
n
1S
B．
n
C．
n?1
D．
S
qSq

n
9、若等比数列
{a
n
}
的前项之和为
S
n?3?a
，则
a
等于（ ）
A．3 B．1 C．0
10、一个直角三角形三边的长成等比数列，则（ ）
A．三边边长之比为
3:4:5
，
D．
?1

B．三边边长之比为
1:3:3
，
C．较小锐角的正弦为
5?1
，
2
D．较大锐角的正弦为
5?1
，
2
11、等比数列
a
1< br>a
2
a
3
的和为定值m(m>0)，且其公比为q<0，令
t ?a
1
a
2
a
3
，则
t
的取值范围是（ ）
333
A．
[?m,0)
B．
[?m,??)
C．
(0,m]
D．
(??,m]

3
12、认定：若等比数列
{a
n}
的公比q满足
q?1
，则它的所有项的和
S?
a
1< br>，设
1?q
1212
????L
。则
S?
（ ）
77
2
7
3
7
4
4138
A． B． C． D．
15161615
13、等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，已知
S
1
，
2S
2
，
3S< br>3
成等差数列，则
?
a
n
?
的公比为 ．
S?
14、已知等比数列
?
a
n
?
的各项均为正数 ，若
a
1
?3
，前三项的和为21 ，则
a
4
?a
5
?a
6
?

15、在等比数列中
?
a
n
?
中，
a
3< br>?2,a
8
?64
，求
a
n
?

1 6、设
?
a
n
?
是公比为正数的等比数列，若n
1
=7,a
5
=16,则数列｛a
n
｝前7项的和为______
1 7、在等比数列
{a
n
}
（
n?N*
）中，若
a< br>1
?1
，
a
4
?
18、已知
?
a< br>n
?
是等比数列，
a
2
?2，a
5
?
19、设等比数列
{a
n
}
的公比
q?
1
，则该 数列的前10项和为______
8
1
，则
a
1
a
2
?a
2
a
3
???a
n
a
n?1=________
4
1
S
，前
n
项和为
S
n
，则
4
?
．
2
a
4
20、设等比数列{
a
n
}的前n项和为
s
n
。若
a
1
?1,s
6
?4s
3
，则
a4
=
21、在等比数列
?
a
n< br>?
中，公比
q?2
，前99项的和
S
99
?56，则
a
3
?a
6
?a
9
?????a
99
?

22、已知数列
?
a
n
?
是等比 数列，且
S
m
?10,S
2m
?30
，则
S
3m
=
11
1?a
n
，公比
q?
，
S
n
为
{a
n
}
的前n项和，证明：
S
n< br>?

33
2
20
24、已知
?
a
n
?
等比数列，
a
3
?2,a
2
?a
4?
，求
?
a
n
?
的通项公式。
3
2 5、设等比数列
?
a
n
?
的公比为
q
?
q ?0
?
，它的前n项和为40，前2n项和为3280，且前n项和中最大项
23、已 知等比数列
{a
n
}
中，
a
1
?
为27， 求数列的第2n项。
26、设等比数列
?
a
n
?
的公比< br>q?1
，前n项和为
S
n
，已知
a
3
?2, S
4
?5S
2
，求
?
a
n
?
的通 项公式。

?
27、等比数列{
a
n
}的前n项和为
S
n
， 已知对任意的
n?N
，点
(n,S
n
)
，均在函数
y?b?r(b?0
且
x
b?1,b,r< br>均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记
b
n
?
n?1
(n?N
?
)
求数列
{b
n
}
的前
n
项和
T
n

4a
n
28、等比数列{
a
n
}的前n 项和为
s
n
，已知
S
1
,
S
3
,
S
2
成等差数列
（1）求{
a
n
}的公比q；
（2）求
a
1
－
a
3
＝3，求
s
n
< br>29、等比数列
{a
n
}
中，已知
a
1
?2 ,a
4
?16

（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）若
a< br>3
,a
5
分别为等差数列
{b
n
}
的第3项 和第5项，试求数列
{b
n
}
的通项公式及前
n
项和
S
n
。
30、
{a
n
}
为等差数列
( d?0)
，
{a
n
}
中的部分项组成的数列
a
k< br>1
,a
k
2
,La
k
n
恰为等比数列，且< br>k
1
?1,k
2
?5,k
3
?17
，求k
1
?k
2
?L?k
n
。

第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
a?b?0?a?b
；
a?b?0?a ?b
；
a?b?0?a?b
．
几个性质：
①
a?b?b ?a
；②
a?b,b?c?a?c
；③
a?b?a?c?b?c
；
④
a?b,c?0?ac?bc
，
a?b,c?0?ac?bc
；⑤
a?b,c?d?a?c?b?d
；
⑥
a?b?0,c?d?0?ac?b d
；⑦
a?b?0?a
n
?b
n
?
n??,n?1
?
；
⑧
a?b?0?
n
a?
n
b
?
n??,n?1
?
．
【典型例题】
1、比较下列各组中两个数或代数式的大小：
44
⑴
11?7
与
15?3
； ⑵
a?b
???a
2
?b
2
?
与
?
a
3
?b
3
?
．
2
2、已知
a?b?0
，
c?d ?0
，
e?0
，求证：
【练习】
ee
?

a?cb?d
1、已知
a?b
，
c?d
，且
c
、
d
不为
0
，那么下列不等式成立的是（ ）
A．
ad?bc
B．
ac?bc
C．
a?c?b?d
D．
a?c?b?d

2、下列命题中正确的是（ ）
A．若
a?b
，则
ac?bc
B．若
a?b
，
c?d
，则
a?c?b?d

C． 若
ab?0
，
a?b
，则
22
11
ab
?
D．若
a?b
，
c?d
，则
?

ab
cd
3、下列命题中正确命题的个数是（ ）
①若
x? y?z
，则
xy?yz
；②
a?b
，
c?d
，abcd?0
，则
③若
ab
?
；
cd
11b b?1
??0
，则
ab?b
2
；④若
a?b
，则< br>?
．
abaa?1
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

4、如果
a?0
，
b?0
，则下列不等式中正确的是（ ）
11
22
A．
?
B．
?a?b
C．
a?b
D．
a?b

ab
5、下列各式中，对任何实数
x
都成立的一个式子是（ ）
11
2
2
?1
D．
x??2
A．
lg
?
x?1
?
?lg2x
B．
x?1?2x
C．
2
x?1x
6、若
a
、
b
是任意实数，且
a?b
，则（ ）
A．
a?b


22
b
?
1
??
1
?
B．
?1
C．
lg
?
a?b
?
?0
D．
??
?
??

a
?
2
??
2
?
ab

7、如果
a?R
，且
a
2< br>?a?0
，那么
a
，
a
2
，
?a
，
?a
2
的大小关系是（ ）
A．
a
2
?a??a
2
??a
B．
?a?a
2
??a
2
?a

C．
?a?a
2
?a??a
2
D．
a
2
??a?a??a
2

8、若
??3x< br>2
?x?1
，
??2x
2
?x
，则（ ）
A．
???
B．
???
C．
???
D．
???

9、若
x?2
或
y??1
，
??x
2
?y
2
? 4x?2y
，
???5
，则
?
与
?
的大小关系是（ ）
A．
???
B．
???
C．
???
D．
???

10、不等式①
a
2
?2?2a
，②
a
2
?b
2
?2
?
a?b?1
?
，③
a
2
?b
2
?ab
恒成立的个数是（ ）
A．
0
B．
1
C．
2
D．
3

11、已知
a?b?0
，
b?0
，那么< br>a
，
b
，
?a
，
?b
的大小关系是（ ）
A．
a?b??b??a
B．
a??b??a?b

C．
a??b?b??a
D．
a?b??a??b

12 、给出下列命题：①
a?b?ac
2
?bc
2
；②
a?b? a
2
?b
2
；③
a?b?a
3
?b
3；
a?b?a
2
?b
2
．其中正确的命题是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
13、已知实数
a
和
b
均为非负数，下面表达正确的是（ ）
A．
a?0
且
b?0
B．
a?0
或
b?0

C．
a?0
或
b?0
D．
a?0
且
b?0

14、已知
a
，
b
，
c
，
d
均为实数，且
ab?0
，
?c
a
??
d
b
，则下列不等式中成立的是（ ）
A．
bc?ad
B．
bc?ad
C．
a
c
?
b
d
D．
ab
c
?
d

15、若
f
?
x
?
?3x
2
?x?1
，
g
?
x
?
?2x
2
?x?1
，则
f
?
x
?
，
g
?
x
?
的大小关系是（ ）
A．
f
?
x
?
?g
?
x
?
B．
f
?
x
?
?g
?
x
?
C．
f
?
x
?
?g
?
x
?
D．随
x
值的变化而变化
16、用“
?
”“
?
” 号填空：如果
a?b?0?c
，那么
cc
a
________
b
．
17、若
0?a?b
，且
a?b?
1
2< br>，则
1
2
，
a
，
2ab
，
a
2
?b
2
中最大的是_______________．
18、已知a
、
b?R
?
，且
a?b
，比较
a
5
?b
5
与
a
3
b
2
?a
2
b
3
的大小．
④

3.2 一元二次不等式及其解法
一元二次不等式概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2
的不等式．
二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：
判别式
??b
2
?4ac

??0

??0

??0

二次函数
y?ax
2
?bx?c

?
a?0
?
的图象


有两个相异实数根
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0

x?
?b? ?
有两个相等实数根
1,2
?
a?0
?
的根
2a

xx
b
没有实数根
1
?
2
??
?
2a

x
1
?x
2
?

ax
2
?bx?c?0

?
xx?x
1
或 x?x
2
?
?
一元二次
?
?
xx??
b?
?
a?0
?


2a
?
?

R

不等式的
解集
ax
2
?bx?c?0

?x?x
?

?

a?0
?
?
xx
12
?

?

【典型例题】
1、 不等式|x
2
－3x|＞4的解集是________。
2、不等式
6x
2
?5x?4
的解集为（ ）
A．
?
?
??,?
4
?
3
?
?
U?
?
1
??
2
,??
?
?
?
B．
?
?
41
?
?
?
3
,
2?
?

C．
?
?
1
?
?
?? ,?
2
?
?
U
?
?
4
?
3
,??
?
?
?
D．
??
14
?
?
?
2
,
3
?
?< br>
3、设集合
??
?
x1?x?2
?
，
??
?
xx?a?0
?
，若
?I???
，那么实数
a< br>的取值范围是（
A．
?
1,??
?
B．
?
2,??
?
C．
?
??,2
?
D．
?
1,??
?

4、若不等式
x
2
? mx?1?0
的解集为
R
，则
m
的取值范围是（ ）
A．
R
B．
?
?2,2
?
C．
?
??,?2
?
U
?
2,??
?
D．
?
?2,2
?

）

5、不等 式
?
?
1
?
?
?
2
?
2x
2
?6x?9
?
1
?
?
??
?
2
?
x
2
?3x?19
的解集是（ ）
A．
?
?1,10
?
B．
?
??,?1
?
U
?
10,??
?

C．
R
D．
?
??,?1
?
U
?
10,??
?

【练习】
1、若
0?a?1
，则不等式
(x?a)(x?
1
)?0
的解是___________________
a
2、
x
2
?x?6
有意义，则x的取值范围是___________________
2
3、若
ax?bx?1?0
的解集为
x?1?x?2
，则
a?
________，
b?
________．
??
4、解下列不等式
(1)
（x?1）(3?x)?5?2x
(2)
x(x?11)?3(x?1)
2
(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x
2
＋2)
(4)3x
2
? 3x?1＞?
3
2
x
2
1
(5)x
2
?x ?1＞x(x?1)
3
5、不等式
1?x?

1
的解集是
1?x
x?3
?0
同解的不等式是（） 6、与不等式
2?x
2?x
A．(x－3)(2－x)≥0B．0＜x－2≤1
C．≥0
D．(x－3)(2－x)≤0
x?3
ax
?1
的解为
xx?1或x?2
，则a的值为__ _____ 7、不等式
x?1
??
8、设一元二次不等式
ax?bx?1? 0
的解集为
?
x?1?x?
?
，则
ab
的值是（ ）
2
?
?
1?
3
?
A．
?6

2
B．
?5

2
C．
6
D．
5

9、不等式
x?ax?12a?0
?
a?0
?
的解集是（ ）
A．
?
?3a,4a
?
B．
?
4a,?3a
?
C．
?
?3,4
?
D．
?
2a,6a
?

10、不等式
ax?bx?2?0< br>的解集是
?
x?
2
?
?
11?
?x?
?
，则
a?b?
（ ）
23
?
A．
?14
B．
14
C．
?10
D．
10

11、不等式
?
x?1
??
2?x
?
?0
的解集是（ ）
A．
x1?x?2
B．
xx?1或x?2
C．
x1?x?2
D．
xx?1或x?2

??
??
??
??

12、不等式
ax
2
?bx? c?
?
a?0
?
的解集为
?
，那么（ ）
A．
a?0
，
??0
B．
a?0
，
??0
C．
a?0
，
??0
D．
a?0
，
??0

13、设
f
?
x< br>?
?x
2
?bx?1
，且
f
?
?1
?
?f
?
3
?
，则
f
?
x
??0
的解集是（ ）
A．
?
??,?1
?
U< br>?
3,??
?
B．
R
C．
xx?1

14、若
0?a?1
，则不等式
?
a?x
?
?
x?
A．
a?x?
??
D．
x x?1

??
?
?
1
?
?
?0
的解是（ ）
a
?
1

a
1

a
C．
x?a
或
x?
1
?x?a

a
1
D．
x?
或
x?a

a
B．
15、不等式
x
?
1?3x
?
?0
的解集是（ ）
A．
?
??,
?

2
?
?
1
?
3
?
B．
?
??,0
?
U
?< br>0,
?
C．
?
,??
?
?
?
1
?
3
?
?
1
?
3?
?
D．
?
0,
?

?
?
1
?
3
?
16、二次函数
y?ax?bx?c
?
x? R
?
的部分对应值如下表：
x

y

2
?3

6

?2

0

?1

?4

0

?6

1

?6

2

?4

3

0

4

6

则不等式ax?bx?c?0
的解集是____________________________． < br>17、若
a?b?0
，则
?
a?bx
??
ax?b< br>?
?0
的解集是_____________________________． < br>18、不等式
ax?bx?c?0
的解集为
________________ ________．
19、不等式
x?2x?3?0
的解集是__________ _________________．
20、不等式
?x?5x?6?0
的解集是 ______________________________．
21、
?
k? 1
?
x?6x?8?0
的解集是
?
xx??2或x?
22
2
?
x2?x?3
?
，则不等式
ax?bx?c?0
的解集是
2
2
?
?
4?
?
，则
k ?
_________．
5
?
22、已知不等式
x?px?q?0
的解集是
x?3?x?2
，则
p?q?
________．
23、不等式
x?x?0
的解集为____________________．
24、求下列不等式的解集：
⑴
?
x?4
??
?x?1
?
?0
； ⑵
?3x?x?2
； ⑶
4x?4x?1?0

2
2
3
2
??

25、已知不等式
ax?bx?2?0< br>的解集为
?
x?
2
?
?
11?
?x?
?
，求
a
、
b
的值．
23
?
26、已 知集合
??xx?9?0
，
??xx?4x?3?0
，求
?U?，
?I?
．
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
概念：
1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是
1
的不等式．
2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．
3、二元一次不等式（组） 的解集：满足二元一次不等式组的
x
和
y
的取值构成有序数对
?x,y
?
，所有这样
的有序数对
?
x,y
?
构 成的集合．
4、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
，坐标平面内的 点
?
?
x
0
,y
0
?
．
①若< br>??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点< br>?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x?? y?C?0
的上方．
②若
??0
，
?x
0
??y
0
?C?0
，则点
?
?
x
0
,y
0
?
在直线
?x??y?C?0
的下方．
5、在平面直角坐标系中，已知直线
?x??y?C?0
．
①若
? ?0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区 域；
?x??y?C?0
表示直线
?
2
?
?
2?
?x??y?C?0
下方的区域．
②若
??0
，则
?x??y?C?0
表示直线
?x??y?C?0
下方的区域；
?x??y? C?0
表示直线
?x??y?C?0
上方的区域．
6、线性约束条件：由< br>x
，
y
的不等式（或方程）组成的不等式组，是
x
，
y
的线性约束条件．
目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量
x
，
y
的解析式．
线性目标函数：目标函数为
x
，
y
的一次解析式．
线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．
可行解：满足线性约束条件的解
?
x,y
?
．
可行域：所有可行解组成的集合．
最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解．
【典型例题】
1、画出不等式2
x
+
y
-6＜0表示的平面区域.
2、 点
(?2,t)
在直线
2x?3y?6?0
的上方,则
t
的 取值范围是________.

?
x?y?5?0
?
3、画 出不等式组
?
x?y?0
表示的平面区域。
?
x?3
?< br>?
x?4y??3
?
4、设
x,y
满足约束条件：
?
3x?5y?25
，分别求下列目标函数的的最大值与最小值：
?
x?1
?
（1）
z?6x?10y
； （2）
z?2x?y
； （3）
?
?x
2
?y
2
； （4）
?
?
y

x?1
5、某企业生产甲、乙两种产品，已 知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用
A原料1吨，B原料3吨，销售每 吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业
在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨，B原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润。

【练习】
1、不等式
x?2y?0
表示的平面区域是

A．
22

B． C．

D．

2、满足不等式
y?x?0
的点
(x,y)
的集合（用阴影表示）是

A． B．
3、画出下列不等式表示的区域

C．

D．

(1)
(x?y)(x?y?1)?0
； (2)
x?y?2x

?2x?y?3?0
?
4、利用区域求不等式组
?
2x?3y?6?0的整数解
?
3x?5y?15?0
?
5、画出下列不等式表示的区域
（1）
y?x?1
； （2）．
x?y
； （3）．
x?y

?
x?y?6?0
?
x? y?0
?
6、画出不等式组
?
表示的平面区域
y?3
?< br>?
?
x?5
?
y?x,
?
7、求z=2x+y的最大 值，使式中的x、y 满足约束条件
?
x?y?1,

?
y??1.
?
?
x?y?2
?
8、求
z?x?y
的最大值、最 小值，使
x
、
y
满足条件
?
x?0

?< br>y?0
?
?
x?4y??3
?
9、设
z?2x?y< br>，式中变量
x
、
y
满足
?
3x?5y?25
，求z的最值。
?
x?1
?

?
x?y?4
?
10、已知点
P(x,y)
的坐标满足条件
?
y?x
，点
O
为坐标原点，那么
|PO|
的最小 值等于_______,最大
?
x?1
?
值等于____________.

?
x?y?1?0
?
11、如果实数
x、y
满足 条件
?
y?1?0
，那么
2x?y
的最大值为
?
x?y?1?0
?
A．
2
B．
1
C．
?2
D．
?3

?
x?2?0,
?
12、已知点P（x，y）在 不等式组
?
y?1?0,
表示的平面区域上运动，则
z?x?y
的取 值范围
?
x?2y?2?0
?



?
x?y?5?0
?
13、已知满足约束条件
?
x?y?0
，则z?2x?4y
的最小值是
?
x?3
?
?
x?y?2 ?0,
?
14、在平面直角坐标系中，不等式组
?
x?y?2?0,
表示的平面区域的面积是
?
x?2
?
15、点
P(a,4)到直线
x?2y?2?0
的距离为
25
，且
P
在
3x?y?3?0
表示的区域内，则
a?
_____

?
x?0
?
16、若
A
为不等式组
?
y?0
表示的平面区域，则当
a
从－2连续变化到1时，动直线
x?y?a
扫过
A
?
y?x?2
?
中的那部分区域的面积为
?
y?x
?
17、设变量
x
、
y
满足约束 条件
?
x?y?2
，则目标函数
z?2x?y
的最小值为_____ __
?
y?3x?6
?
?
3x?y?6?0
?
1 8、设x，y满足约束条件
?
x?y?2?0
，
?
x?0 ,y?0
?
若目标函数
z?ax?by(a?0,b?0)
的是最大值为12 ，则
23
?
的最小值为_______
ab
19、某厂生产A
与
B
两种产品，每公斤的产值分别为600元与400元.又知每生产1公斤< br>A
产品需要电力2
千瓦、煤4吨；而生产1公斤
B
产品需要电力3千瓦 、煤2吨.但该厂的电力供应不得超过100千瓦，
煤最多只有120吨.问如何安排生产计划以取得最 大产值?
20、某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投 资30万元组成；
进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成。已知每份稳健 型组合投资每年
可获利10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元。若可作投资用的资金中，金 融投资不超过
160万元，房地产投资不超过180万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一 年获利总额最
多？
21、某公司计划2009年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分 钟的广告，广告总费用不超过9万元，
甲、乙电视台的广告收费标准分别为
500
元分 钟和200元分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的
每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0. 3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的
广告时间，才能使公司的收益最大，最大 收益是多少万元？
3.4 基本不等式
a?b
称为正数
a
、b
的算术平均数，
ab
称为正数
a
、
b
的几何 平均数．
2
a?b
?ab
． 2、均值不等式定理： 若
a?0< br>，
b?0
，则
a?b?2ab
，即
2
1、设
a
、
b
是两个正数，则
a
2
?b
2
3、常 用的基本不等式：①
a?b?2ab
?
a,b?R
?
；②
a b?
?
a,b?R
?
；
2
22
a
2?b
2
?
a?b
?
?
a?b
?
③ab?
?
?
?
?
?
a?0,b?0
?
；④
?
?
a,b?R
?
．
2
?
2
?
?
2
?
4、极值定理：设
x
、
y
都为 正数，则有
2
2
s
2
⑴若
x?y?s
（和为定值 ），则当
x?y
时，积
xy
取得最大值．
4
⑵若
xy?p
（积为定值），则当
x?y
时，和
x?y
取得最小值
2p
．

【典型例题】
1、把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
2、把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？
【练习】
1、若实数x，y满足
x
2
?y
2
?4
，求xy的最大值
2、若x>0,求
f(x)?4x?
9
x
的最小值；若x<0,求< br>f(x)?4x?
9
x
的最大值
3、若
x?0
，求
y?x?
1
x
的最大值
4、求
f(x)?4x?
9
x?5
(x>5)的最小值.
5、求
y?
1
x?3
?x (x?3)
的最小值.
6、求
y?
12
x
?3x (x?0)
的最大值.
7、若
x?2
，求
y?2x?5?
1
x?2
的最小 值
8、若
x?0
，求
y?
x
2
?x?1
x
的最大值。
9、求
y?
x
2
?3
x?2
的最小值.
2
10、若x，y
?R
?
，x+y=5，求xy的最值
11、若x，y
?R
?
，2x+y=5，求xy的最值
12、已知
a
，
b
都是正数，则
a
＋
b a
2
＋
b
2
2
、
2
的大小关系是
13、已知
1
m
?
2
n
?1(m?0,n?0),
则mn的最小值是
14、已知：
2
x
?2
y
?6
， 则
2
x?y
的最大值是＿＿＿
15、已知正数
x、y
满足< br>xy?x?y?3
，则
xy
的范围是 。
16、给出下列命题：
①a,b都为正数时,不等式a+b≥2
ab
才成立 。②y=x+
1
x
的最小值为2。
③y=sinx+
2
s inx
(
0?x?
?
2
)的最小值为2
2
. ④当x>0时，y=x
2
+16x≥2
16x
3
,当x
2
＝16x时，即x=16,y取最小值512。
其中错误的命题是 。
17、已知正数
x,y
满足
x?2y?1
,求
1
x
?
1
y
的最小值。
。

18、 已知
14
??1
，且a>0，b>0,求a+b最小值。
ab
x< br>4
19、已知
x
＞0，函数
y
＝2－3
x
－ 有 值是 .
20、设
x??1
，则函数
y?x?
21 、函数
y?x?
4
?6
的最小值是 。
x?1
4
的值域是 。
x
a b
xy
2
22、已知
a
、
b
是正数，且＋＝1(< br>x
，
y
∈R
＋
，求证：
x
＋
y≥(
a
＋
b
).
23、某公司租地建仓库，每月土地占用费y
1
与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y
2
与到
车站 的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y
1
和y
2
分别 为2万元和8万元，那么要
使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处
24、已知直角三角形的面积为4平方厘米，求该三角形周长的最小值
25、某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面 用铁栅，
每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，屋顶每平方米造价20元，试计算：
（1）仓库面积S的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
2
26、（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最
短的篱笆是多少？
（2）段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的 长、宽各为多少时，菜园的面积最
大，最大面积是多少?