高中数学必修五 第二章：数列专题

必修五 数学专题
《必修五数列专题》
第一讲：数列的概念
知识要点：
一、数列的概念：
一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数 列的项，数列的一般形式
可以写成
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
n
,?
，简记为数列
?
a
n
?
，其中第一项
a
1
也成为首项；
a
n
是数列的第< br>n
项，也叫做
数列的通项.
数列可看作是定义域为正整数集
N
（或它的子集）的函数，当自变量从小到大取值时，该函数对应
的一列函数值就是这个数列.
?
二、数列的分类：
按数列中项的多数分为：
（1） 有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限；
（2） 无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限.
三、通项公式：
如果数列
?
a
n
?
的第
n
项
a
n
与项数
n
之间的函数关系可以用一个式子表示成
a
n
?f
?
n
?
，那么这个式
子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
四、数列的函数特征：

一般地，一个数列
?
a
n
?
，
如果从第二项起， 每一项都大于它前面的一项，即
a
n?1
?a
n
，那么这个数列叫做 递增数列;
如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即
a
n?1
?a
n
，那么这个数列叫做递减数列;
如果数列
?
a
n
?
的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.
五、递推公式：
某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式．
典型例题：
【例1】已知数列的通项公式是
a
n
?
（1）
n
.

n?1
96
，
是不是该数列的项？如果是，是第几项？
1011
999
（2）从第几项开始该数列的项大于.
1000


【例2】写出下面数列的一个通项公式，使得它的前4项分别是下列各数：
- 1 -

必修五 数学专题
212
325
10201040
（2）
，，，；

39981
2345
（3）
?，，-，；

381524
1111
.
（4）
，-，，-
261220
（1）
1，，，;





【例3】已知数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
?n
2
?10n?40,
数列
?
a
n
?
中的最小项为________.

【例4】已知 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?0,a
n?1
?
a
n
?3
?
n?N
?
?
，则
a
20
?
?

?
.
3a
n
?1
C.
3

n
A.0 B.
?3
D.
3

2
?
10
?
【例5】在数列
?
a
n
?
中，
a
n
??
n?1
?
??
?
n?N
?
?
. < br>?
11
?
（1）求证：数列
?
a
n
?
先递增，后递减；
（2）求数列
?
a
n
?
的最大项.






【例6】设函数
f
?
x
?
?log
2
x?log
x
4
?0?x?1
?
,
数列
?
a
n
?
的通项
a
n
满足
f2
（1） 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2） 数列
?< br>a
n
?
中有没有最小项？若有，试求出最小项和相应的项数；若没有，请说明理 由.



??
?2n
?
n?N
?
.
a
n
?
强化训练：
1、下列说法正确的是（ ）.
- 2 -

必修五 数学专题
A、数列{1，3，5，7}和数列{3，1，5，7}是同一个数列.
B、同一个数在数列中可能重复出现.
C、数列的通项公式是定义域为正整数集
N
?
的函数.
D、数列的通项公式是唯一的.
2、数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?3,
则
?
a
n
?
中的第5项是________.
3、数列7,77,777,777，??的一个通项公式为________.
4、在数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,na
n ?1
?
?
n?1
?
a
n
?2,
则
a
4
?
________.
5、观察下面数列的特点，用适当的数填空.
1
，?
;

（1）
2
，
?

?
,
，，
??
，，
（2）
?14

，，-9,16,-25,
?

?
，?49,?；
（3）
19

，，，25
?

?
,81,?；
11
48< br>1
32
?
.

（4）
1
，0,
,0,,0,
?

?
,0，，

6、观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每一个数列的一个通项公式：
1
2
1
3
1
5
3
，
5
，
（1）1
，
?

?
,
?
;

（2）
2，

5，17,?；
?

?
，
（3）
?，，-，
?

?
,?
1
2
1
4
1
8
11
24
5
8
29
,?；

32
（4）
5172637
，
?

?
,，，
,
?
.

3152435
7、已 知数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
??2n
2
?15n?3,
数列
?
a
n
?
中的最大 项为________.
8、若函数
f
?
x
?
?2?2,
数列
?
a
n
?
的通项
a
n
满足< br>f
?
log
2
a
n
?
??2n
?< br>n?N
?
?
.
x?x
（1） 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2） 证明数列
?
a
n
?
是递减数列.
- 3 -

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第二讲：等差数列（一）

知识要点：
一、等差数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这 个数列久叫做等差数列，这个常数
叫做等差数列的公差.
即
a
n?1
?a
n
?d
（常数），这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据.
二、等差数列的通项公式：

设等差数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
，公差为
d
，则通项公式为：
a< br>n
?a
1
?
?
n?1
?
d?a
m< br>?
?
n?m
?
d,
?
n、m?N
?
?
.
三、等差中项：
（1）若
a、A、b
成等差数列，则
A
叫做
a
与
b
的等差中项，且
A=
a?b
;
2
（2）若数列
?
a
n
?
为等差数列，则< br>a
n
,a
n?1
,a
n?2
成等差数列，即
a
n?1
是
a
n
与
a
n?2
的等差中项， 且
a
n
?a
n?2
a?a
n?2
；反之若数列?
a
n
?
满足
a
n?1
=
n
，则数列
?
a
n
?
是等差数列.
22
四、等差数列的性质：
a
n?1
=
，
（1） 等差数列
?
a
n
?
中，若
m?n?p?q
?
m、n、p、q?N
?
?
,
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
，若
m?n?2p
则
a< br>m
?a
n
?2a
p
；
（2）若数列
?a
n
?
和
?
b
n
?
均为等差数列，则 数列
?
a
n
?b
n
?
也为等差数列；
（3）等差数列
?
a
n
?
的公差为
d
，则
d?0?
?
a
n
?
为递增数列，
d?0?
?
a
n
?
为递减数列，
d?0?
?
a
n< br>?
为常数列.
典型例题：
【例1】已知数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?3n?5,
这个数列是否为等差数 列？



【例2】已知等差数列
?
a
n
?
的公差
d?0
且
a
3
a
7
??12, a
3
?a
7
??4,求a
n
.



- 4 -

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【例3】已知等差数列
?
a
n
?
中，< br>a
15
?33,a
45
?153,
试问217是否为此数列的 项？若是，说明是第几项？
若不是，说明理由.




【例4】在等差数列
?
a
n
?
中，
（1）若a
3
?a
4
?a
5
?a
6
?a
7
?350,
则
a
2
?a
8
?_____;
（2）若
a
2
?a
3
?a
4
?a< br>5
?34,a
2
?a
5
?52且a
4
?a< br>2
,则a
5
?____;

（3）若
a
3
?6,则a
1
?2a
4
?____.





【例5】等差数列
?
a
n
?
的公差< br>d?0
，试比较
a
4
a
9
与a
6
a
7
的大小.




【例6】已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为




【例7】设数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
均为等差数列，且
a
1
?25,b
1
?75, a
2
?b
2
?100,
那么数列
?
a
n< br>?b
n
?
的第100
项为_______.




【例8】已知数列
?
a
n
?
对于任意 的
p、q?N
?
满足
a
p?q
?a
p
?a
q
,且a
2
??6
，则
a
10
?____ .





85
，求这5个数.
9
强化训练：

- 5 -

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1、如果等差数列
?
a
n
?
中，
a
3
?a
4
?a
5
?12,那么a
1
? a
2
???a
7
?___.


2、已知
?
a
n
?
为等差数列，
a
1
?a
3
?a
5
?105,a
2
?a
4
?a
6
? 99,则a
20
?__.


3、在等差数列
?
a
n
?
中，
a
3
?7,a
5
?a
2
?6,则a
6
?____.


4、已知方程
(x
2
?2x?m)(x
2
?2x?n)?0
的四个根组成一个首项为< br>
5、若
lg2,lg(2
x
?1),lg(2
x
? 3)
成等差数列，则
x
的值等于（ ）
A．
1
B．
0
或
32
C．
32
D．
log
2
5


6、成等差数列的4个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.



7、设
x?y
，数列
x,a
1
,a< br>2
,y
与数列
x,b
1
,b
2
,b
3
,y
都是等差数列，则
1
的等差数列，则
m?n?____.
4
a
2
?a
1
?_____.

b
2
?b
1
8、如果
a
1
,a
2
, a
3
,?,a
8
组成各项均大于零的等差数列，且公差
d?0
，则（ ）
A.
a
1
a
8
?a
4
a
5
B.
a
1
a
8
?a
4
a
5
C.
a
1
?a
8
?a
4
?a
5
D.
a
1
a
8
?a
4
a
5


9、在-1和7之间顺次插入3个数
a、b、c
，使这5个数成等差数列， 则这个数列为______.

10、在等差数列2,5,8，?，3n-1中，每相邻两数 间插入3个数，构成的新数列仍为等差数列，问：
（1）原数列的第12项是新数列的第几项？
（2）新数列的第29项是原数列的第几项？
- 6 -

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第三讲：等差数列（二）

知识要点：
一、数列前n项和
S
n
：
（1） 数列
?
an
?
的前n项和
S
n
=
a
1
?a2
?a
3
???a
n?1
?a
n
,
?
n?N
?
?
；
（2） 数列
?
a
n?
的通项与前n项和
S
n
的关系：
a
n
??
S
1
,n?1
.

?
S
n
?S
n?1
,n?2
?
二、等差数列前n项和
S
n
：
设等差数列
?
a
n
?
的首项为
a
1< br>,
公差为
d
，则前n项和
S
n
=
n
?
a
1
?a
n
?
n
?
n?1
?< br>?na
1
?d.

22
三、等差数列的和的性质：
（1）等差数列
?
a
n
?
中，连续m项的和仍组成等差数列，即a
1
?a
2
???a
m
,a
m?1
? a
m?2
???a
2m
,

；
a
2m? 1
?a
2m?2
???a
3m
,仍为等差数列（即
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m< br>,?
成等差数列）
（2）等差数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
=na
1
?
二次函数，且不含常数项；
n
?
n?1
?
dd
??
d=n
2< br>?
?
a
1
?
?
n,
当
d?0
时，
S
n
可看作关于n的
222
??
S
奇
n?1
（3）若等差数列
?
a
n
?
共有2n+1（奇数） 项，则
S
奇
?S
偶
=a
n?1
?
中间项< br>?
且=,
若等差数列
?
a
n
?
共
S
偶
n
有2n（偶数）项，则
S
偶
?S
奇
= nd且
S
偶
a
n?1
=.

S
奇
a
n
四、等差数列前n项和
S
n
的最值问题：
设等差数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
,
公差为
d
，则
（1）
a
1
?0且d?0
（即首正递减） 时，
S
n
有最大值且
S
n
的最大值为所有非负数项之和；
（2）
a
1
?0且d?0
（即首负递增）时，
S
n
有最小值且
S
n
的最小值为所有非正数项之和.
- 7 -

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典型例题：
【例1】等差数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
,已知：
a
10
?30,a< br>20
?50.

（1）求通项
a
n
;
（2）若
S
n
=242，求n.



【例2】（10年辽宁卷14题）设
S
n
是等差数列
?
a
n
?
的前n项和，若
S
3
?3,S
6
?24
,则
a
9
?__.



【例3】（09年全国卷 14题）设等差数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n< br>，若
S
9
?72,则a
2
?a
4
?a
9
?___.



【例4】等差数列
{a
n< br>}
,
{b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
,
T
n
,若
S
n
a
2n
,则
n
=（ ）
?
T
n
3n?1b
n
D．

A．
2

3
B．
2n?12n?1
C．
3n?13n?1
2n?1

3n?4
【例5】等差数列
?
a
n
?
的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为__ ______.

【例6】已知数列
?
a
n
?
的 前n项和
S
n
=?

【例7】设等差数列
?
an
?
共有奇数项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则该数列共< br>有多少项？中间项为_____.


【例8】等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?25,S
17
?S9
,
问数列前多少项之和最大?，求此最大项.



3
2
205
n?n,
则数列
?
a
n
?< br>的通项公式为________.
22
- 8 -

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强化训练：
1、已知等差数列
?
a
n
?
中，
a
2
?a
7
?a
12
?24,求
S
13
.

2、等差数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋a
3
＝－24，a
18
＋a< br>19
＋a
20
＝78，则此数列前20项和等于( )


3、已知等差数列
?
a
n
?
中,
3
?a
3
?a
5
?
?2
?
a
7
? a
10
?a
13
?
?24,
那么数列
?
a
n
?
的前13项和
S
13
=_____.


4、等差数列
?
a
n
?
的公差
d?
5、{a
n
}为等差数列，a
10
＝33，a
2
＝1， S
n
为数列{a
n
}的前n项和，则S
20
－2S
10
等于( )


6、等差数列
?
a
n?
中，
a
1
??2且S
4
?S
6
,< br>那么当
S
n
取最小值时，n=_______.

7、等差 数列
?
a
n
?
中，
a
1
?0,S
9
?S
12
,该数列前多少项的和最小？

8、若等差数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
?m,
前m项 和
S
m
?n,
则前n+m项的和
S
n?m
?___ .


9、设等差数列
?
a
n
?
的前n项 和为
S
n
,
若
S
10
?S
20
, 则
S
30
?____.


10、数列
?
a
n
?
是等差数列，
a
1
?50,d??0.6,

（1）从第几项开始有
a
n
?0
；
（2）求此数列前n项和的最大值.
A．40 B．200 C．400 D．20
A．160 B．180 C．200 D．220
1
,
且
S
100
?145
,则
a
1
?a
3
?a
5
???a
99
?__ __.

2




- 9 -

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第四讲：等比数列（一）

知识要点：
一、等比数列的概念：
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数 ，那么这个数列就叫做等比数
列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q
表 示（
q?0
）.
即
a
n?1
?q
?
q为 非零常数
?
，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据.
a
n设等比数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
， 公比为
q
，则通项公式为：
a
n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m
,
?
n?m,n、m?N< br>?
?
.
二、等比数列的通项公式：

三、等比中项： （1）若
a、A、b
成等比数列，则
A
叫做
a
与
b
的等比中项，且
A=ab
;
（2）若数列
?
a
n
?
为等比数列，则
a
n
,a
n?1
,a
n?2
成等比数列，即
a
n?1
是
a
n
与
a
n?2
的等比中项，且
22
a
n?1
=a
n< br>?a
n?2
；反之若数列
?
a
n
?
满足a
n?1
=a
n
?a
n?2
，则数列
?
a
n
?
是等比数列.
2
四、等比数列的性质：
，（1）等比数列
?
a
n
?
中，若
m?n?p?q
?
m、n、p、q?N
?
?
,
则
a
m
? a
n
?a
p
?a
q
，若
m?n?2p
则< br>a
m
?a
n
?a
2
p
；
（2）若 数列
?
a
n
?
和
?
b
n
?
均为等比数列，则数列
?
a
n
?b
n
?
也为等比 数列；
（3）等比数列
?
a
n
?
的首项为
a1
，公比为
q
，则
?
a
1
?0
?< br>a
1
?0
?
a
1
?0
?
a
1
?0
为递增数列，
或?a或?
?
a
n
?
为递减数列，
?
n
?
????
?
q?1
?
0?q?1
?
0?q?1
?
q?1
q?1?
?
a
n
?
为常数列.
典型例题：
2
【例1】已知等比数列< br>?
a
n
?
的公比为正数，且
a
3
a
9
?2a
5
,a
2
?1,则a
1
?___.


【例2】已知各项均为正数的等比数列
?
a
n
?,中，a
1
a
2
a
3
?5,
a
7a
8
a
9
?10,则a
4
a
5
a6
?___.



- 10 -

必修五 数学专题
【例3】公差不为零的等差数列
?
a
n
?
中，
a
1
?2,且a
1
,a
3
,a
6< br>成等比数列，则
?
a
n
?
的前n项和
S
n< br>?___.




【例4】已知等比数列
?
a
n
?
中，各项都是正数，且
a
1
,a
3
,2a
2
成等差数列，则
1
2
a
9
?a
10
?__.

a
7
?a
8



【例5】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16 ，
第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.




【例6】设
S
n
是等比数列
?
a
n
?
的 前n项和，已知
3S
3
?a
4
?2,3S
2
?a< br>3
?2
，则公比q=____.



【例7】等 比数列
?
a
n
?
中，已知
a
1
?2,a< br>4
?16.

（1）求
?
a
n
?
的通项公式；
（2）若
a
3
,a
5
分别为等差数列
?
b
n
?< br>的第3项和第5项，试求数列
?
b
n
?
的通项公式及前n项和 .




【例8】在等差数列
?
a
n
?
中，公差
d?0
，
a
2
是a
1
与a
4
的等比中项，已知数列
a
1
,a
3
,a1
k
1
,a
1
k
2
,?,a
1
k
n
成
等比数列，求数列
?
k
n
?
的通 项
k
n
.








- 11 -

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强化训练：
1、在等比数列
?
a
n
?
中，
a
2
?2,a
6
?162
，求
a10
?___.


2、已知等比数列{a
n
}中，a
3
＝3，a
10
＝384，则该数列的通项a
n
＝____ ____.

3、若等比数列首项为

4、在正项等比数列
?a
n
?
中，
a
1
a
5
?2a
3
a
5
?a
3
a
7
?25
，则
a
3
?a
5
?
_______
.

5、等 比数列
?
a
n
?
中，
a
1
?a
2
?a
3
?7,a
1
a
2
a
3
?8 ,
求
a
n
.


6、在各项均为整数的等比数列< br>?
a
n
?
中，若
a
5
a
6
?9
，则
log
3
alog
1
?

7、已 知数列
?1，a
1
,a
2
,?4
成等差数列，
?1 ,b
1
,b
2
,b
3
,?4
成等比数列，则

8、三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就构成等比数列，求 此三数.

9、在等比数列{a
n
}中，a
9
＋a
10
＝a(a≠0)，a
19
＋a
20
＝b，则a
99< br>＋a
100
等于( )


10、在等比数列{a
n
}中，a
3
＝7，前3项之和S
3
＝21，则公比q的值为( )
A．1
1
B．－
2
1
C．1或－
2
1
D．－1或
2
32
912
，末项为，公比为，则这个数列的项数为_______. < br>833
al?og
33
a??lo?g
310
a__?__.

a
2
?a
1
的值为_______.

b
2
b
9
A.
8

a
?
b
?
B.
??

?
a
?
9
b
10
C.
9

a
?
b
?
D.
??

?
a
?
10
- 12 -

必修五 数学专题
第五讲：等比数列（二）

知识要点：
一、等比数列的前n项和：
?
na
1
,q?1
?
.
设等比数列
?< br>a
n
?
的首项为
a
1
，公比为
q
?
q?0
?
，则
S
n
?
?
a
1?
1?q
n
?
,q?1
?
1?q
?
由 等比数列的通项公式及前n项和公式可知，已知
a
1
,q,n,a
n
,S
n
中任意三个，便可建立方程组求出另外两
个.
二、等比数列和的性质：
设等比数列
?
a
n
?
中 ，首项为
a
1
，公比为
q
?
q?0
?
，则
（1）连续m项的和仍组成等比数列，即
a
1
?a
2
??? a
m
,a
m?1
?a
m?2
???a
2m
,a
2m?1
?a
2m?2
???a
3m
,
仍为等 比数列（即
S
m
,S
2m
?S
m
,S
3m
?S
2m
,?
成等差数列）；
（2）当
q?1
时 ，
S
n
?
a
1
?
1?q
n
?1?q
?
a
1
aaaa
?
?
1?q
n
?
?
1
?
1
?q
n
?
1
?q
n
?
1
，
1?q1?q1?qq?1q?1
设
a
1
?t
，则
S
n
?tq
n
?t
.
q?1
典型例题：
【例1】（10年北京卷16题）已知
?
a
n
?
为等差数列，且
a
3
??6,a
6
?0.

（1）求
?
a
n
?
的通项公式；
（2）若等比数列
?
b
n
?
满足
b
1
? ?8,b
2
?a
1
?a
2
?a
3
，求?
b
n
?
的前n项和
T
n
.




【例2】等比数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，已知
S
1
,S
3
, S
2
成等差数列.
（1）求
?
a
n
?
的公比
q;

（2）若
a
1
?a
3
?3,求S
n
.



【例3】（10年广东卷4题）已知数列
?
a
n
?
为等比数列，
S
n
是它的前n项和，若
a
2
a
3
?2a
1
,且a
4
与2a
7
的
- 13 -

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等差中项为



【例4】等比数列前n项和为54，前2n项和为60，则前3n项的和为( )


【例5】若等比数列
?
a
n
?
的公比
q ?0
，前n项和为
S
n
，则
S
8
a
9与S
9
a
8
的大小关系是________.

【例 6】（10年重庆卷16题）已知
?
a
n
?
是首项为19，公差为- 2的等差数列，
S
n
为
?
a
n
?
的前n项 和.
（1）求通项
a
n
及
S
n
；
（2 ）设
?
b
n
?a
n
?
是首项为1，公比为3的等比 数列，求数列
?
b
n
?
的通项公式及前n项和.





【例7】设数列
?
a
n
?
满足
log
2
a
n?1
?1?log
2
a
n
,
且
a
1
?a
2
???a
1 0
?10,则a
11
?a
12
???a
20
?__ __.


【例8】09年陕西卷21题）已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2< br>?
（1）令
b
n
?a
n?1
?a
n
,
证明：
?
b
n
?
是等比数列；
（2）求
?
a
n
?
的通项公式.





A．54 B．64
2
C．66
3
2
D．60
3
5
，则
S
5
=_____.
4
a
n
?a
n?1
,n?N
?
.
2
- 14 -

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强化训练：

1、已知数列
?
a
n?
为等比数列，若
a
1
?a
2
?a
3
?18,a
2
?a
3
?a
4
??9,
则前7项的和
S
7
?
_____.
2、（10年浙江卷5题）设
Sn
是等比数列
?
a
n
?
的前n项和，
8a2
?a
5
?0,则
S
5
?___.

S
2
3、设
S
n
为等比数列
?
a
n
?
的前n项和， 若
S
10
?10，S
20
?30，则
S
30
=______.

4、各项均为正数的等比数列< br>?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，若
S
n
?2，S
3n
?14，
则
S
4n
=_ _____.

5、等比数列
?
a
n
?
的前n项 和为
S
n
,
S
6
1S
?,则
9
? ____.

S
3
2S
6
1
的等比数列，则
m?n?____.

2
6、已知方程
(x
2
?mx?2 )(x
2
?nx?2)?0
的四个根组成一个首项为

7、（10年 陕西卷16题）已知
?
a
n
?
是公差不为零的等差数列，
a
1
?1,且a
1
,a
3
,a
9
成等比数列 .
（1）求
?
a
n
?
的通项公式；
（2）求数列
2




8、（09年安徽卷19 题）已知数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n
? 2n
2
?2n,
数列
?
b
n
?
的前n项和
T
n
?2?b
n
.

（1）求
?
a
n
?
与
?
b
n
?
的通项公式；
2
（2）设
c
n
?a
n
b
n
，证明：当 且仅当
n?3时，c
n?1
?c
n
.

??
的前n项和
S
a
n
n
.





- 15 -

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第六讲：数列求和

知识要点：
一、常用求和方法：
1.公式法
直接应用等差数列，等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解.
2.分组求和法
一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求 和时可用分组求和法，分别求
和而后相加减.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项和就变成了首尾少数项之和.
4.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组 成的，此时可把式子
得到
qS
n
?a
1
q?a
2< br>q???a
n?1
q?a
n
q
，
S
n
?a
1
?a
2
???a
n?1
?a
n
的 两边同乘以公比
q(q?0且q?1)
，
两式错位相减整理即可求出
S
n
.
二、常用公式：
1、平方和公式：
1?2??
?
n?1
?
?n?
222
2
n
?
n?1
??
2n?1
?

6
2
2
?
n
?n?1
?
?
333
1?2?
?
?n?1?n?
2、立方和公式：
1?2?
?
?
n?1
?
?n?
? ?
??
??
?
2
?

??
3
3、裂项公式：
11111
?
11
?
?
分式裂项：??; ???
??

?
n
?n?1
?
nn?1n
?
n?k
?
k
?
nn?k
?
?
.
?

111
?
根式裂项：?n?1?n; ??n?k?n
?
k
n?n?1n?n?k
?
??
典型例题：
【例1】若数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n
?2
n?2n?1
，则数列
?
a
n
?
的前n项和为( )


【例2】求数列
1?4,2?5,3?6，?，n
?
n ?3
?
,?
的前n项和
S
n
.
A．
2?n?1

n2
B．
2
n?1
?n
2
?1
C．
2
n?1
?n
2
?2
D.
2?n?2

n2




- 16 -

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【例3】数列
1,



【例4】数列
?
a
n
?
的通项公式是
a
n
?




A．11
111
,,
?
,,
?
的前n项和
S
n
等于______.
1?21?2?3 1?2?
?
?n
1
n?n?1
，若前n项和为10，则项数为( )
C．120 D．121 B．99
【例5】若数列
?
an
?
的通项
a
n
?(2n?1)?3
n
，求此 数列的前
n
项和
S
n
.










【例6】求数列
?

















?
n
?
的前n项和
S
n
.
n
?
?
2
?
强化训练：
- 17 -

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1、求数列


392565
,,,,
?
的前n项和.
24816
2n
?3
n
2、已知数列{a
n
}的通项公式为
a
n
?
，则其前n项和
S
n
=______.
4
n


3.求和：

4.求和：


5.求数列
1,3a,5a
2
，?
,(2n?1)an?1
(a?0)
的前
n
项和
S
n
.



6、在等差数列
?
a
n
?
中，
a
17
?a
18
?a
19
?a
9??36
，其前n项的和为
S
n
.
（1）求
S
n
的最小值，并求出
S
n
取最小值时n的值；
（2）求
T
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
n
.



7、（10年山东卷18题）已知等差数列
?
a
n
?
满足：
a
3
?7,a
5
?a
7
?26,
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
.
（1）求通项
a
n
及
S
n
；
（2）令
b
n
?



8、（10年四川 卷20题）已知等差数列
?
a
n
?
的前3项的和为6，前8项的和为 -4.
（1）求
?
a
n
?
的通项公式；
- 18 -
1111
.
???
?
?
1?32?43?5n(n?2)
1111
.
???
?
?
2?13?24?3n?1?n
1
n?N
?
?
，求数列
?
b
n
?
的前n项和
T< br>n
.

?
2
a
n
?1

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n?1
q?0,n?N
?
，求数列
?
b
n
?
的前n项和
T
n
.
（2）设
bn
?
?
4?a
n
?
q
??






- 19 -

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第七讲：递推数列
知识要点：
一、递推数列的概念：
一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把
由 递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列.
二、两个恒等式：
对于任意的数列
?
a
n
?
恒有：
（1）
a
n
?a
1
?
?
a
2
?a
1?
?
?
a
3
?a
2
?
?
?< br>a
4
?a
3
?
???
?
a
n
?a
n?1
?

（2）
a
n
?a
1?
a
2
a
3
a
4
a
?????
n
,
?
a
n
?0,n?N
?
?

a
1
a
2
a
3
a
n?1
三、递推数列的 类型：
（1）已知：数列
?
a
n
?
的首项
a1
,且
a
n?1
?a
n
?f
?
n?
,
?
n?N
?
?
，求
通项a
n.
给递推公式
a
n?1
?a
n
?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?
中的n一次取1,2,3， ??，n-1,可得到下面n-1个式子：
a
2
?a
1
?f
?
1
?
,a
3
?a
2
?f
?
2
?
,a
4
?a
3
?f
?
3
?,?,a
n
?a
n?1
?f
?
n?1
?
.

利用公式
a
n
?a
1
?
?
a
2
?a
1
?
?
?
a
3
?a2
?
?
?
a
4
?a
3
?
?? ?
?
a
n
?a
n?1
?
可得：
a
n
?a
1
?f
?
1
?
?f
?
2
?
?f
?
3
?
???f
?
n?1
?
.

（2）已知：数列
?
a
n
?
的首项
a
1
,且
a
n?1
?f
?
n
?< br>,
?
n?N
?
?
，求
通项a
n
.
a
n
给递推公式
a
n?1
?f
?
n
?
,
?
n?N
?
?
中的n一次取1,2,3，??，n- 1,可得到下面n-1个式子：
a
n
a
2
aaa
?f?
1
?
,
3
?f
?
2
?
,< br>4
?f
?
3
?
,?,
n
?f
?n?1
?
.

a
1
a
2
a
3
a
n?1
利用公式
a
n
?a
1
?
a
2
a
3
a
4
a
?????
n
,
?
a
n
?0,n?N
?
?
可得：
a1
a
2
a
3
a
n?1
a
n
? a
1
?f
?
1
?
?f
?
2
??f
?
3
?
???f
?
n?1
?
.< br>
- 20 -

必修五 数学专题
（3）已知：数列
?
a
n
?
的首项a
1
,且
a
n?1
?pa
n
?q,p
?
p?1
?
q?0,n?N
?
，求
通项a
n
.
设
b
n
?a
n
?
??
qqq
< br>?a
n?1
=b
n?1
?，
,则a
n
=b< br>n
?，
p?1
p?1p?1
?a
n?1
?pa
n
?q?b
n?1
?
?
qq
?
=p?
?
b
n
?
?
?q

p?1p?1
??
?b
n?1
?
qpqpqqq?pq
=p?b
n
??q? b
n?1
?p?b
n
??q??b
n?1
?p?b
n
?q??b
n?1
?p?b
n
p?1p?1p?1p?1p?1< br>q
为首项，
p
为公比的等比数列.
p?1
∴数列
?
b
n
?
是以
b
1
?a
1
?
∴
b
n
?b
1
p
n?1
?a
n
?
??
qq
?
n?1
q
?
n?1
q
?
?
a
1
??p?a?a??p?.

n
?1
p?1
?
p?1
?
p?1
?
p?1
???
pa
n
,
?
r?0,n?N
?
?
， 求
通项a
n
.
qa
n
?r
（4）已知：数列?
a
n
?
的首项
a
1
,且
a
n?1
?
a
n?1
?
pa
n
1qa?r1rq1r 1q
??
n
???????

qa
n
?ra
n?1
pa
n
a
n?1
pa
n
pa
n? 1
pa
n
p
rq
11
,则b
n?1
?.< br>?b
n?1
??b
n
?
，
pp
a
n
a
n?1
qqq
?b
n?1
?b
n
=< br>，即数列
?
b
n
?
是以为公差的等差数列.
ppp
设
b
n
?
若
r?p,
则
b
n?1
?b
n
?
若
r?p,
则
b
n?1
?
rq
b
n
?
（类型三）.
pp
n?1
（5）已知：数列
?
a
n
?
的首项
a
1
, 且
a
n?1
?pa
n
?q,p
?
p?1
?
q?0,n?N
?
，求
通项a
n
.
??
a
n?1
?pa
n
?q
n
?
a
n?1pa
n
1a
n?1
pa
n
1
?????
n
?.

n?1n?1n?1
qqqqqqq
设
b
n
?
a
n
a
n?1
p1
,则b?.?b??b?
，
n?1n?1n
q
n
q
n?1
qq
1 11
?b
n?1
?b
n
=
，即数列
?
b< br>n
?
是以为公差的等差数列.
q
qq
若
p?q,< br>则
b
n?1
?b
n
?
若
p?q,
则
b
n?1
?
p1
b
n
?
（类型三）.
qq
- 21 -

必修五 数学专题
典型例题：
【例1】已知数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?a
n
?3n?2且a
1
?2,求a
n
.




【例2】已知数列
?
a
n
?
满足

【例3 】数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n
?a
1
?2a
2
?3a
3
???
?< br>n?1
?
?a
n?1
,(n?2),
求数列
?
a
n
?
的通项公式.




【例4 】知数列
?
a
n
?
中，
a
1
?1
，
a
n?1
?2a
n
?3
，求
a
n
.




【例5】已数列
?
a
n< br>?
中，
a
1
?1
且
a
n?1
?
【例6】已知数列{
a
n
}满足
a
1
=1，
a
n?1
?



【例7】已数列
?a
n
?
中，
a
1
??1
，
a
n?1
?a
n
?a
n?1
?a
n
，则数列通项a
n
?
____.

【例8】已知数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?6a
n
?2
n?1
,a
1
?1,
求
a
n
.





a
n?1
n?2
?(n?N
*)
，且
a
1
?1
，则
a
n
?
.
a
n
n
1
a
n
?1,则a
n
?____.

2
3a
n
，求
a
n

3a
n
?6
- 22 -

必修五 数学专题
强化训练：
1、已知数列{a
n
}满足a
1< br>＝2，a
n＋1
＝a
n
＋2n，则a
100
等于( )
A．9900 B．9902 C．9904 D．11000
2、已知数列
?
a
n
?
满足
a
n?1?a
n
=2
n
?n且a
1
?1,求a
n
.


3、已知数列
?
a
n
?
满足a
1
?

4、若数列{a
n
}是首项为1的正项数列， 且(n＋1)a
n＋1
－na
n
＋a
n＋1
a
n< br>＝0(n∈N
+
)，则它的通项公式是a
n
＝______.

5、若数列
?
a
n
?
满足关系
a
1
?4,a
n?1
?5a
n
?4
，求数列
?a
n
?
的通项公式.

6、在数列
?
an
?
中,
a
1
?1,a
n?1
?
< br>7、在数列{
a
n
}中，
a
1
?1，a
n< br>a
n?1
?2
n
，
求a
n

8、已知数列{
a
n
}满足
a
n
?4a
n?1
?2
n
(n?2，n?N
*
)，且a
1
?2.求
a
n


2
9、（06年石家庄模拟）若数列{a
n
}中，
a
1
?3
且
a
n?1?a
n
(n为正整数)
，则数列{
a
n
}的通项公为_ __.
22
11
，
a
n?1
?a
n
?< br>2
，求
a
n
.
2
n?n
2
an
?1,
求通项
a
n
.

3

10、（2006，福建,文,22）已知数列
?
a
n
?
满足a
1
?1,a
2
?3,a
n?2
?3a
n?1
?2a
n
(n?N
*
).

（I）证明：数列< br>?
a
n?1
?a
n
?
是等比数列；
（II）求数列
?
a
n
?
的通项公式.


- 23 -

必修五 数学专题
第八讲：数列应用
知识要点：
一、零存整取模型：
银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可
以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.
注：单利的计算是仅在原本金上计算利息 ,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金×利率×
存期.以符号p代表本金,n代表 存期,r代表利率,s代表本金和利息和(即本利和),则有s=p(1+nr).
零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.
二、定期自动转存模型：
银行有一种 储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不
取出本利 和.则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.
注：复利是把上期末的本利和作为 下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式
是:s=p(1+r)n.
定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用.
三、分期付款模型：
分 期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额,
二 者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型.
采用分期 付款的方法，购买售价为a元的商品（或贷款a元），，每期付款数相同，购买后1个月（或
1年）付款 一次，如此下去，到第n次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为b，按复利计算，那
么每期付款 x元满足下列关系：
设第n次还款后，本利欠款数为
a
n
，则
a
1
?a
?
1?b
?
?x,
a
2
? a
1
?
1?b
?
?x,a
3
?a
2
?
1?b
?
?x,?,a
n
?a
n?1
?
1?b
?
?x,

由
a
n
?a
n?1< br>?
1?b
?
?x?a
n
?
xx
??
?
?
1?b
?
?
a
n?1
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知 ，
bb
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数列
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a
n
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?
x
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xxx
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是以
a??a1?b?x??1?ba?< br>????
?
?
1
?
为首项，
q?
?
1?b
?
为公比的等比数列.
b
?
bbb
??
? a
n
?
x
?
x
?
x
?
x
?
??
n
n?1
?
?
?
?
a
1< br>?
?
?q
n?1
?
?
?
1?b
?< br>?
a?
?
?
?
?
1?b
?
?
?
a?
?
?
1?b
?
,
b
?
b
?
b
?
b
?
?
?
?
?
x
?
x
n
?
?a
n
?
?
a?
?
?
1?b
?
?
.
b
?
b
?
ab
?
1?b
?
x
?
x
n
?令
a
n
?0
得：
?
a?
?
?
1?b
?
?=0
，
?x?

n
bb
??
?
1?b
?
?1
n
- 24 -

必修五 数学专题
典型例题：
【例1】某工厂为提高产品质量，扩大再生产，需要大量资金 ，其中征地需40万元，新建厂房需100万元，
购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工人培训需 15万元，该厂现有资金125万元，但流动资金需40
万元，厂内干部30人，工人180人，干部每 人投资4000元，工人每人投资1000元（不计利息仅在年底
利润中分红）.尚缺少的资金准备在今 年年底向银行贷款，按年利率9
0

0
的复利计算，若从明年年底开始分
5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，求该厂每年应还贷款多少万元（精确到0.1万元）？






【例2】某地区位于沙漠边缘地区，人与沙漠进 行长期不懈的斗争，到2002年年底全地区的绿化率已达到
30
0

0
，从2003年开始每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16
0

0
将栽上 树，改造为绿洲，同时，原有绿
州面积的4
0

0
又被侵蚀，变为沙漠 .设全区面积为1,2002年年底绿洲面积为
a
1
?
3
,
经过1年（指2003年
10
年底）绿洲面积为
a
2
，经过n年绿洲 面积为
a
n?1
，
则至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过
60
0

0
？








【例3】在2008年美国金融危机中南方外资企业在“减员增效”中 ，对部分人员进行分流，职工甲第一年
3
领取工资，该企业根据分流
4
5人员技术特长，计划创办新的经济实体，该实体第一年属于投资阶段，没有利润，第二年职工甲可获得
a
8
1
元收入，从第3年起每人每年的收入可在上一年基础上递增.
3< br>可在原单位领取工资a元，从第二年起、以后每年只能在原单位按上一年的
（1）试求职工甲分流 后第n年的收入.
（2）试求职工甲分流后前n年的总收入超过






71
a
的最小值n值.
8
- 25 -

必修五 数学专题
强化训练：

1、某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次 性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前
一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元， 第一年可获利1万元，以后每年都比前一年增加利润5千
元，两种方案使用期都是10年，到期一次性还 本付息，若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比
较两方案的优劣(计算时，确到千元，取1. 1
10
≈2.594，1.3
10
≈13.79)．








2、假设某市2008年新建住房4 00万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该
市每年新建住房面积平均 比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平
方米.那么,到哪 一年底：
(1)该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于47 50万平方米？
(2当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%（参考数据： 1.08≈1.36，1.08≈
1.47，1.08≈1.59）？








3、在2009年春季人才招聘会上，有A，B 两家公司分别开出它们的工资标准：A公司允诺第一年工资为
1500元，以后每年月工资增加230； B公司允诺第一年月工资2000元，以后每年月工资在上一年的月工
资的基础上递增5
0
0
,设某人年初被A,B两家公司同时录取.
（1）该人打算在一家公司工作1 0年，仅以工资收入总金额较多作为选择标准，该人应选择那家公司？为
什么？
（2）在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多多少元？并说明理由.




6
45
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