高中数学必修5《基本不等式》教案

课题：基本不等式
教材：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4
一、教学目标：
1、探 索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并
掌握定理中的不等号“≥”或“≤ ”取等号的条件是：当且仅当这两个数
相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
2、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；
3、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；
4、培养学生严谨、规范 的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能
力，分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式
a?b
ab?
的证明过程；
2
a?b
难点：注意基本不 等式
ab?
等号成立条件以及应用于解决简单的最大
2
(小)值问题。
三、教学方法：启发、探究式相结合
四、教学工具：多媒体课件
五、教学过程：
一、问题引入:
如图是2002年在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风
车，代表中国人民热情好客 。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等
关系吗？




二、探究过程：
1．问题探究——探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象 成如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方 形的边长为
a
2
?b
2
。
探究1：
（1）正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿
（2）四个直角三角形的面积和
S’=＿＿
（3）S与S’有什么样的关系？
这样，三角形的面积的和是2ab， 正方形的面积为
a
2
?b
2
。由于4个直角三角形
B
D
G
A
H
F
C
E

的面 积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：
a
2
?b
2
?2a b

《几何画板》课件动画显示，当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正
方形EFGH缩为一个点，这时有
a
2
?b
2
?2ab
。
问题：你能证明这个结论吗？
证明：（作差法）
因为
a
2
?b
2
?2ab?(a?b)
2

当
a?b
时，
(a?b)
2
?0

当
a?b
时，
(a?b)
2
?0

所以，
(a?b)
2
?0
，即
(a
2
?b
2)?2ab.

总结结论1：
一般的，如果
a,b?R,那么a2
?b
2
?2ab
(当且仅当a?b时取?号)

文字叙述为:两数的平方和不小于积的2倍。

2、从几何图形的面积关系认识基本不等式
ab?
探究2：
（1）特别的，如果a>0,b>0,我们用
a
、
b
分别代替a、b ，可得到什么
结论？
替换后得到：
a?b?2ab
，
a?b
?ab(a?0,b?0)

2
通常我们把上式写作：
a?b
ab?(a>0,b>0)

2
a?b
（2）你能证明基本不等式
ab?
吗？
2
总结结论2：
a?b
ab?(a>0,b>0)

2
当且仅当a=b时，等号成立。
探究3：
a?b
理解基本不等式
ab?
的几何意义
2
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，
a?b

2

AC=a,BC=b。过点C作垂直 于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出
a?b
基本不等式
ab?< br>的几何解释吗？
2
易证
Ｒt
△
AＣD
∽
Ｒ t
△
DＣB
，或利用相交弦定理，那么
CD
2
=CACB< br>
即CD＝
ab
.
a?b
a?b
?ab
， 其中当且仅当，显然，它大于或等于
CD
，即
22
点
C
与圆 心重合，即
a
＝
b
时，等号成立.
a?b
因此：基本不等式
ab?
几何意义是“半径不小于半弦”
2
这个圆的半径为
当且仅当a=b时“＝”号成立
三、应用举例
例1.（1）用篱笆围一个面积为100 m 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多
少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）一段长为
36
m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，
菜园的面积最大？最大面积是多少?
例1反思：
1.两个正数的和为定值时，它们 的积有最大值，即若
a,b?R
，且a＋b＝M，M
为定值，则
?
M
2
ab?
4

等号当且仅当
a＝b
时成立.
2.两个正数的积为定值时，它们的和有最 小值，即若
a,b?R
，且
ab
＝
P
，
P
为定值，则
?
a?b?2P

等号当且仅当
a
＝
b
时成立.
变1：若 x<0 呢？
1
的最小值
x?3
再次归纳小结，加深印象，得到升华：
利用基本不等式求函数最值应注意:
①函数式中相关项必须为正;
②所求函数式中,含变数的各项和或积
必须为定值;
③必须有自变量的值能使函数取到 “=” 号.
即是：一正、二定、三相等。
四、课堂小结：
例2、若x>0，求
y?x?
1
的最小值
x
变2：若x>3 ,求
y?x?

1、本节课主要探究基本不等式的证明与初步应用。
（1）
a,b?R,那么a2
?b
2
?2ab
(当且仅当a?b时取?号)

a?b
(a>0,b>0)

2
当且仅当a=b时，等号成立
2、注意公式的正向、逆向使用的条件以及“=”成立的条件。
（2）
ab?
（1）
a,b?R,那么a
2
?b
2
?2ab
(当且仅当 a?b时取?号)

a?b
(a>0,b>0)

2
当且仅当a=b时，等号成立
3、会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
五、课堂练习：
1、已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各为多少时,两条直角边的
和最小，最小值是多少？
2、用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应怎样折？

3、若
0，求
x（1-x）
的最大
六、作业与思考：
1、课本P100 习题3.4 A组 1﹑2
1
2、思考：若x<0,求
x?
的最大值。
x
（2）
ab?
课题：基本不等式
教材：《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》3.4
一、教材分析：
1.教材的地位和作用
基本不等式是《普通高中课程标准实验教科书数学必修5》第 三章的内容，
a?b
这节课的内容是学习基本不等式：
ab?
。这个不等式不 管在数学解题还
2
是在解决实际问题上都有着极大的应用，而学生常常不会利用这个式子或者使 用
的时候没有注意适用的条件。
2．教学重点和难点：
重点：应用数形结合的思想 理解基本不等式，并从不同角度探索不等式
a?b
ab?
的证明过程；
2
a?b
难点：注意基本不等式
ab?
等号成立条件以及应用于解决简单的最大 (小)值问
2
题。

二、教学目标：

( 1)、探索并了解基本不等式的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，
并掌握定理中的不等号“≥ ”或“≤”取等号的条件是：当且仅当这两个
数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。
(2)、通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；
(3)、通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；
(4)、培养学生严 谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的
能力，分析问题、解决问题的能力。
三、教学方法：启发、探究式相结合
四、教学工具：多媒体课件
五、教学过程
教师活动
一、问题引入:

学生活动

观察、思考
设计意图
提出研究的问题，让学生明确
学习的目标，提高学生探究的
兴趣
培养学生从特殊到一般的数学
思想方法、数形结合的思想方
法，加深对基本不等式的理 解，
让学生体会数学知识的严谨
性；结论的得出尽量发挥学生
自主能动性，让学生总结 ，教
师适时点拨引导；让学生体会
从一般到特殊的思想；培养学
生类比的思想方法；培 养学生
的团队合作的意识
深入理解基本不等式

进一步提高学生的基础知识 应
用的能力；提高学生把实际问
题转化为数学问题的能力；做
完练习之后及时总结、归 纳养
成良好的思维习惯，体会数学
来源于生活，提高学习数学的
兴趣；再次归纳小结， 加深印
象，得到升华。
启发学生对所学内容总结，提
示学生重视探究问题的方法和< br>过程，进一步加深对基本不等
式的理解
理清知识脉络，强化重点，内
化知识，培养能力
巩固、提高、发展

二、探究过程： 观察、归纳、思考、
由图示得出不等关系归比较、小组讨论、板
纳出 基本不等式，再从演过程、口答问题。
数、形两方面加深对基本
不等式的了解与认识
三、应用举例
对例1.例2进行分析并通
过反思归纳如何利用基
本不等式解 决问题和解
决问题时应该注意的各
个方面。

思考、运用基本不
四、课堂小结：

等式解决简单的最
大(小)值 问题。归
纳、总结、思考如何
运用、何时应用基本
不等式求解，并注意
限制条 件

学生思考，引导学生
从知识、方法和应用
能力方面总结
独立思考、完成练习 五、课堂练习：
六、作业与思考：