高中数学必修5__第一、二章复习知识点总结与练习

高中数学必修5 第一章 解三角形复习
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理:
abc
???2R
(
R
为三角形外接圆的半径).
sinAsinBsinC
abc
2.正弦定理的一些变式：
?
i
?
a?b?c?sinA?sinB?sinC
；
?
ii
?
sinA?
2R
,sinB?
2R
,sinC?
2R
；
?
iii
?
a?2RsinA,b?2RsinB,b?2RsinC
；（4）
sinA?sinB?sinC
3．两类正弦定理解三角形的问题：
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）
4.在
?ABC
中，已知a,b及A时，解得情况：
解法一：利用正弦定理计算
解法二：



图形







一解

A为锐角

a?b?c
?2R

A为钝角或直角


关系式

解的个数

两解 一解 一解 无解

【余弦定理】
?
a
2
?b
2?c
2
?2bccosA
?
222
1．余弦定理：
?
b?a?c?2accosB

?
c
2
?b< br>2
?a
2
?2bacosC
?
?
b
2
?c
2
?a
2
?
cosA?
2bc
?
a
2
?c
2
?b
2
?
.
?
cos B?
2ac
?
?
b
2
?a
2
?c
2
?
cosC?
2ab
?
2.推论：
设
a
、
b
、
c
是
???C
的角
?
、
?
、
C
的对边，则：
①若
a?b?c
，则
C?90
；
②若
a?b?c
，则
C?90
；
③若
a?b?c
，则
C?90
．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.
1
222
222
222
?
?
?

（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

【面积公式】
已知三角形的三边为a,b,c,
1.
S?
1
ah
a< br>?
1
absinC?
1
r(a?b?c)
（其中
r< br>为三角形内切圆半径）
222
2.设
p?
1
(a?b?c)
,
S?
2
p(p?a)(p?b)(p?c)
(海伦公式)

【三角形中的常见结论】

（1）
A?B?C?
?
(2)
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC,tan(A?B)??tanC,
sin
A?BCA?BC
?cos
,
cos?sin
;
sin2A?2sinA?cosA
,
2222
（3）若
A?B ?C?a?b?c
?
sinA?sinB?sinC

若
sinA? sinB?sinC
?
a?b?c
?
A?B?C

（大边对大角，小边对小角）
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（5）三角形中最大角大于等于
60
，最小角小于等于
60

(6) 锐角三角形
?
三内角都是锐角
?
三内角的余弦值为正值?
任两角和都是钝角
?
任意两边的平
方和大于第三边的平方.
钝角三角形
?
最大角是钝角
?
最大角的余弦值为负值
（7）
?ABC
中，A,B,C成等差数列的充要条件是
B?60
.
(8)
?ABC
为正三角形的充要条件是A,B,C成等差数列，且a,b,c成等比数列.
二、题型汇总
题型1【判定三角形形状】
判断三角形的类型
（1）利用 三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统
一成边的 形式或角的形式.
?
??
a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是直角??ABC是直角三角形
（2）在
?ABC
中，由余弦定理可知:
a
2
?
b
2
?c
2
?
A
是钝角??ABC是钝角三角形

a
2
?
b
2
?
c
2
?
A
是锐角?? ABC是锐角三角形
（注意：
A
是锐角??ABC是锐角三角形
）
(3) 若
sin2A?sin2B
，则A=B或
A?B?
?
2
.
例1.在
?ABC
中，
c?2bcosA
，且
(a?b?c )(a?b?c)?3ab
，试判断
?ABC
形状.
题型2【解三角形及求面积】

一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
2

题型3【证明等式成立】
证明等式成立的方法：（1）左
?
右，（2）右
?
左，（3）左右互相推.
题型4【解三角形在实际中的应用】
仰角 俯角 方向角 方位角 视角




数列知识点总结
一、 数列的定义：（1）按一定次序排成的一列数
(2)数列可以看作是项数n的函数f(n)=an,其定义域为正整数集或它的子集。
二、数列的分类：
1、按项数分类：有穷数列
无穷数列
+ 2、按增减性分类：递增数列——对于任何n
?
N，具有
a
n?1
>
a
n

递减数列——对于任何n< br>?
N，具有
a
n?1
<
a
n

+
摆动数列
常数数列
3、按是否有界分类：有界数列——
?
M
?
N，使
a
n
?
M
+
无界数 列——
?
?
M
?
N，总有
a
n
?
M
+
三、数列的表示法
1、解析法（公式法）通项公式或递推公式
2、列表法：
3、图象法:数列可用一群孤立的点表示
四、通项公式
五、数列的前n项和
六、递推公式
七、等差数列与等比数列

定义
等差数列 等比数列
a
n?1
-
a
n
=d
a
n?1
a
n
=q(q
?
0)
通项公式
递推公式
中项
a
n
=
a
1
+（n-1）d
a
n
=
a
n?1
+d,
a
n
=
a
m
+(n-m)d
a
n?k
?a
n?k
a?b
A= 推广：A=
2
2
（n,k
a
n
=
a
1< br>q
n?1
(q
?
0)
a
n
=
a
n?1
q
a
n
=
a
m
q
n?m

G
2
?ab
。推广：G=
?a
n?k
a
n?k
（n ,k
?
N
+
;n>k>0）。任意两数a
、
c不一定有等
?
N
+
;n>k>0） 比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有
两个
3

前n项和
n
（
a
1
+
a
n
）
2
n(n?1)
d
S
n
=n
a
1
+
2
S
n
=
a
1
(1?q
n)
S
n
=
1?q

S
n
=
性质
（ 1）若
m?n
（2）数列
a
1
?a
n
q

1?q
）若
?p?q
，则
a
m
?a
n?a
p
?a
q
；

（1
m?n?p?q
，则
?
a
2n?1
??
,a
2n
??
, a
2n?1
?
仍为等差数列，
a
m
·a
n
?a
p
·a
q

（2）
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍n
公
S
n
，S
2n
?S
n
，S
3n
?S
2n
……
仍为等差数列，
为等比数列,公比为
q

差为
n
2
d
；
（3）若三个成等差数列，可设为
a?d，a，a?d

（4）若
a
n
，b
n
是等差数列，且前
n
项和分别为
S
n
，T
n
，则
（5）
a
m
S
2m?1< br>?
b
m
T
2m?1

?
a
n
?
为等差数列
?S
n
?an
2
?bn
（
a，b
a
m
?a
n
m?n
(m
?
n)
为常数，是关于
n
的常数项为0的二次函数）
（6）d=
(7)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列
八、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
1、数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
a
n
?a
n?1
?d(n?2,d为常数)
< br>②2
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
)
③
a
n
?kn?b
(
n,k
为常数).
2、数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
a
n
?a
n ?1
q(n?2,q为常数,且?0)

2
②
a
n
?a
n?1
?a
n?1
(
n?2
，
a
n< br>a
n?1
a
n?1
?0
)
①


③
a
n
?cq
n
(
c,q
为非零常数).
④正数列{
a
n
}成等比的充要条件是数列{
log
xa
n
}（
x?1
）成等比数列.
九、求数列通项公式的方法
1、给出数列的前几项，求数列的一个通项公式——观察法。
例1、分别写出下面数列{a
n
}的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数。
（１）１，３，５，７，…，
(２)１,２,１,２,…,
(３)２,２２,２２２,２２２２,…,
2、通项公式法
4

3、涉及前ｎ项和S
n
求通项公式，利用a
n与S
n
的基本关系式来求。即
a
n
?
?
?s
1
?a
1
(n?1)

s?s(n?2)
n ?1
?
n
例２、在数列｛a
n
｝中，S
n
表示其前 ｎ项和，且S
n
=n
2
,求通项a
n
.
ａ
ｎ
＝２ｎ－１(ｎ≥１).
例３、在数列｛ａ
ｎ｝
中， Ｓ
ｎ
表示其前ｎ项和，且Ｓ
ｎ
＝２－３ａ
ｎ
,求通项ａｎ
.
4、已知递推公式（初始条件与递推关系），求通项公式。
（１）待定系数法。
若题目特征符合递推关系式ａ
１
＝Ａ,ａ
ｎ＋ １
＝Ｂａ
ｎ
＋Ｃ(Ａ,Ｂ,Ｃ均为常数，Ｂ≠１,Ｃ≠０)时，可用待
定系数 法构造等比数列求其通项公式。
例４、已知数列｛ａ
ｎ
｝满足ａ
１
＝４,ａ
ｎ
＝３ａ
ｎ－１
－２,求通项ａ
ｎ
.
（２）逐差相加法。
若题目特征符合递推关系式ａ
１
＝Ａ(Ａ为常数)，a
n+1
=a
n
+f(n)时，可用逐差相加法求数列的通项公式。
例５、在数列{a
n
}中，a
1
=3,a
n+1
=a
n
+2
n
,求通项a
n
.
（3）逐比连乘法。
若题目特征符合递推关系式a
1
=A（A为常数）,a
n+1
=f(n)· a
n
时，可用逐比连乘法求数列的通项公式。
n
例6、在数列{a
n
}中，a
1
=3,a
n+1
=a
n
·2
,求通项a
n
.
（4）倒数法。
若题目特征符合递推关系式a
1
=A,Ba
n
+Ca
n+1
+Da
n
·a
n+1
=0
(A,B,C,D均为常数)时，可用倒数法求数列的通项公式。
例7 、在数列{a
n
}中，已知a
1
=1,a
n+1
=,求数列 的通项a
n
.
（5）归纳法。
这是一种通过计算、观察、归纳规律，进而 猜想、验证（证明）的思维方法，是一种普遍适用的方法。
在前面所有的问题中，只要转化为递推公式， 就可以由初始条件逐次代入递推关系，观察计算结果，直到
看出规律为止。
2
例9、 在数列{a
n
}中，a
1
=3,a
n+1
=a
n< br>,求数列的通项公式a
n
.
十、求数列的前n项和的方法
1、、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列求和公式：
S
n
?
n(a
1
?a
n< br>)
n(n?1)
?na
1
?d

22
(q?1)
?
na
1
?
n
等比数列求和公式：
S< br>n
?
?
a
1
(1?q)
a
1
?a< br>n
q

?(q?1)
?
1?q
?
1?q2、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a
n
· b
n
}的前n项和，其中
{a
n
}
、
{b
n
}
分别是等差数列和等比数列.
3、倒序相加 法求和：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反
序），再把它 与原数列相加，就可以得到
n
个
(a
1
?a
n
)< br>.
4、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个
等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
5、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通 项）
分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解
（裂项）
如：
6、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起 就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的
5

和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S
n
.
7、利用数列的通项求 和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数
列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法.
十一、在等差数列｛
a
n
｝中,有关S
n
的最值问题 < br>：(1)当
a
1
>0,d<0时，满足
?
?
a
m
?0
的项数m使得
s
m
取最大值.
?
a
m?1
?0
?
a
m
?0
( 2)当
a
1
<0,d>0时，满足
?
的项数m使得
s
m
取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转
a?0
?
m?1化思想的应用

十二、 等比数列的前
n
项和公式的常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为
a
，年增长率为
r
，则每年的产量成等比数列，
公比为
1?r
. 其中第
n
年产量为
a(1?r)
n?1
，且过
n
年后总产量为：
2 n?1
a?a(1?r)?a(1?r)?...?a(1?r)
a[a?(1?r)
n
]
?.

1?(1?r)
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如： 一年中每月初到银行存
a
元，利息为
r
，每月利息按复利计算，则每
月的
a
元过
n
个月后便成为
a(1?r)
n
元. 因此，第二年年初可存款：
121110
a(1?r)?a(1?r)?a(1?r)
a(1?r)[1?(1?r)
12
]
.
?...?a(1?r)
=
1?(1?r)
⑶分期付款应用题：
a
为分期付款方式贷款为a元；m为 m个月将款全部付清；
r
为年利率.
a
?
1?r
?
?x
?
1?r
?
mm?1
?x
?
1?r
?
m?2
?......x
?
1?r
?
?x?a
?
1?r
?
m
x
?
1?r
?
m
?1 ar
?
1?r
?
m
??x?

r
?
1?r
?
m
?1

6