人教A版高中数学必修五第二章检测试题

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第二章 检测试题
(时间:90分钟 满分:120分)
【选题明细表】
知识点、方法
通项公式与递推关系式
等差数列及其性质
等比数列及其性质
a
n
与S
n
的关系
数列求和
综合问题
题号
1、2
6、7、11
5、12
4、14
3、10、13、16
8、9、15、17、18
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.数列3,5,9,17,33,…的通项公式a
n
等于( B )
(A)2
n
(B)2
n
+1 (C)2
n
-1 (D)2
n+1

解析:由于3=2+1,5=2
2
+1,9=2
3
+1,…,
所以通项公式是a
n
=2
n
+1,

故选B.
2.数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n
=


-
-

(n≥2),则a
5
的值为( C )

(A)

(B) (C) (D)

解析:依题意a
n
>0且n≥2时,



=1+


,
-
即



-


=1,
-
∴数列{



}是以1为首项,1为公差的等差数列,
∴


=1+(5-1)×1=5,∴a
5
=

.故选C.


3.(2014淄博高二期末)数列{a
n
}的通项公式a
n=n
2
+n,则数列｛



｝的
前10项和为( B )

(A)

(B)

(C) (D)


解析:



=

=

-,


∴S
10
=

-+-+…+-=.故选B.

4.(2014景德镇高二期末)已知数列{a
n
}的 前n项和为S
n
,满足
S
n
=2a
n
-2(n∈N
+
),则a
n
等于( A )
(A)2
n
(B)2
n+1

(C)2
n
+1 (D)2
n
+2
解析:当n≥2时,S
n-1
=2a
n-1
-2.
∴a
n
=2a
n
-2a
n-1
,
∴



=2.
-
又a
1
=2,
∴a
n
=2
n
,故选A.
5.在等比数列{a
n
}中,若a
3
a
5
a
7
a
9
a
11
=243,则的值为( C )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)9
解析:因为{a
n
}是等比数列,
所以a
3
a
11
=a
5
a
9
=



,
因此a
3
a
5
a
7
a
9a
11
=



=243,解得a
7
=3,
又因为=a
7
a
11
,所以=a
7
=3.故选C.








6.(20 14宿州质检)已知{a
n
}为等差数列,其公差为-2,且a
7
是a
3
与a
9
的等比中项,S
n
为{a
n
}的前n项 和,n∈N
*
,则S
10
的值为( D )
(A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110
解析:由题意得(a
1
-12)
2
=(a
1
-4)(a
1
-16),
解得a
1
=20.
S
10
=10a
1
+

×(-2)=110.故选D.

7.(2014南阳高二期末)已知等差数列{a
n
},前n项和用S
n
表示,若
2a
5
+3a7
+2a
9
=14,则S
13
等于( A )
(A)26 (B)28 (C)52 (D)13
解析:∵a
5
+a
9
=2a
7
,
∴2a
5
+3a
7
+2a
9
=7a
7
=14,
∴a
7
=2,


∴S
13
=




=a
7
×13=26.故选A.
8.(2014九江高二检测)一个只有有 限项的等差数列,它的前5项和为
34,最后5项和为146,所有项的和为234,则它的第7项等于 ( D )
(A)22 (B)21 (C)19 (D)18
解析:据题意知a
1
+a
2
+a
3
+a
4
+a
5
= 34,

a
n-4
+a
n-3
+a
n-2< br>+a
n-1
+a
n
=146,
又∵a
1
+ a
n
=a
2
+a
n-1
=a
3
+a
n-2
=a
4
+a
n-3
=a
5
+a
n -4
,
∴a
1
+a
n
=36.
又S
n
=

n(a
1
+a
n
)=234,

∴n=13,
∴a
1
+a
13
=2a
7
=36,
∴a
7
=18.故选D.
9.已知公差不为零的等差数列{a
n< br>}满足a
1
,a
3
,a
4
成等比数列,S
n
为{a
n
}

-

的前n项和,则

的值为( A )
-


(A)2 (B)3 (C)

(D)4


解析:设{a
n
}的公差为d,则依题意有



=a
1
·a
4
,即



=a
1
·(a
1
+3d),


-

-

整理得a
1
d+4d
2
=0,由 于d≠0,所以a
1
=-4d.故

===2.故选A.
-



-



10.已知数列{a
n
}中,a
1
=1,前n项和为S
n
,且点P(a
n
,a
n+1
)(n∈N
*
)在直线
x-y+1=0上,则



+



+



+…+



等于( A )

(A)

(B)



(C)

(D)

解析:依题意有a< br>n
-a
n+1
+1=0,即a
n+1
-a
n
=1,所以{a
n
}是等差数列,且
a
n
=1+(n-1)=n,于 是S
n
=

,


所以



=

=2(

-),

所以



+



+



+…+





=2(1-

+-+…+-)


=

.

故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
11.(2014浙江嘉兴模拟)已 知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且
a
1
+ a
5
=3a
3
,a
10
=14,则S
12
= .
解析:由a
1
+a
5
=3a
3
,得 2a
3
=3a
3
,
∴a
3
=0.
又a
10
=14,
∴S
12
=






=






=6×14=84.
答案:84
12.设等比数列{a< br>n
}的公比q=2,前n项和为S
n
,则




= .
解析:设{a
n
}的首项为a
1
,



则S
4
=15a
1
,a
2
=2a
1
,

=.


答案:



13.(2014青州高二检测)已知{a
n
}是等差数列,a
4
=-20 ,a
16
=16,则
|a
1
|+|a
2
|+…+| a
20
|= .
解析:a
16
-a
4
=12d=36,
∴d=3,a
n
=3n-32.
∴当n≤10时,a
n
<0,当n≥11时,a
n
>0.
|a
1
|+|a
2
|+…+|a
20
|=-(a
1
+a
2
+…+a
10
)+(a
11
+a
1 2
+…
+a
20
)=(a
20
-a
10
) +(a
19
-a
9
)+…+(a
11
-a
1
)=100d=300.
答案:300

14.已知数列{a
n< br>}的前n项和为S
n
,a
1
=2,na
n+1
=S< br>n
+n(n+1),则{a
n
}的通项
公式为 .
解析:∵na
n+1
=S
n
+n(n+1),
∴(n-1)a
n
=S
n-1
+n(n-1)(n≥2) ,
∴na
n+1
-(n-1)a
n

=S
n
+n(n+1)-S
n-1
-n(n-1) (n≥2).
∵S
n
-S
n-1
=a
n
,
∴a
n+1
-a
n
=2(n≥2),
又当n=1时,a< br>2
=S
1
+2,即a
2
-a
1
=2,
∴对于所有正整数n都有a
n+1
-a
n
=2,
∴数列{a
n
}是等差数列,其中a
1
=2,公差d=2,
∴a
n
=2n.
答案:a
n
=2n
三、解答题(本大题共4小题,共50分)
15.(本小题满分12分)
(201 4济南历城高二期末)已知数列{a
n
}为等差数列,且a
3
=5,a
7
=13.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)若数列 {b
n
}满足a
n
=log
4
b
n
,求数 列{b
n
}的前n项和T
n
.



解:(1)设a
n
=a
1
+(n-1)d,则





解得a
1
=1,d=2.
所以{a
n
}的通项公式为a
n
=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)依题意得b
n
=



=4
2n-1
,

因为







-
==16,
所以{b< br>n
}是首项为b
1
=4
1
=4,公比为16的等比数列,
n
-
所以{b
n
}的前n项和T
n
=

=(16-1).

-

16.(本小题满分12分)
(2014珠海高二期末)等差数列{a
n
}中,前三项分别为x,2x,5x-4, 前n
项和为S
n
,且S
k
=2550.
(1)求x和k的值;
(2)求T=



+



+



+…+



的值.
解:(1)由4x=x+5x-4得x=2,
∴a
n
=2n,S
n
=n(n+1),
∴k(k+1)=2550得k=50.
(2)∵S
n
=n(n+1),

∴



=

=

-,


∴T=(1-

)+(-)+…+(-)=1-=.

17.(本小题满分12分)
(2014菏泽高二期末)设数列{a
n
}为 等差数列,且a
3
=5,a
5
=9;数列{b
n
}
n
的前n项和为S
n
,且S
n
=2[1-(

)].

(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式;
*

(2)若c
n
=

(n∈N),T
n
为数列{c
n
}的前n项和,求T
n
.


解:(1)数列{a
n
}为等差数列,则公差d=

(a
5
-a
3
)=2,

因为a
3=5,所以a
1
=1.故a
n
=2n-1,
当n=1时,S
1
=b
1
=1,

n

n-1

n-1
当n≥2时,b
n
=S
n
-S
n-1
=2[1-(

)]-2[1-()]=(),

又n=1时,b
1
=1适合上式,
n-1
∴b
n
=(

).

n-1

(2)由(1)知c
n
=

=(2n-1)·2,


∴T
n
=1·2
0< br>+3·2
1
+5·2
2
+…+(2n-3)·2
n-2
+(2n-1)2
n-1
,
2T
n
=1·2+3·2
2
+…+(2n-3)·2
n-1
+(2n-1)·2
n
,
∴-T
n
=1+2·2
1
+2·2
2
+…+2·2
n-1
-(2n-1)·2
n

=1+2×
-
-

-
-(2n-1)2
n

=1-4+(3-2n)·2
n
,
∴T
n
=3+(2n-3)·2
n
.
18.(本小题满分14分)
*


(2014广州高二期末)已知数列{a
n
}满足a
1
=

,a,n∈N.
n+1
=



(1)求证:数列{



-1}为等比数列;
(2)是 否存在互不相等的正整数m,s,t,使m,s,t成等差数列,且
a
m
-1,as
-1,a
t
-1成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m,s,t;如< br>果不存在,请说明理由.


解:(1)因为a
n+1
=

,



所以


=

+.



所以


-1=

(-1),



因为a
1
=

,则-1=,




所以数列{



-1}是首项为

,公比为的等比数列.


n-1

(2)由(1)知,



-1=

×()=


,

所以a=


n



.
假设存在互不相等的正整数m,s,t满足条件,
则有

-






-

-
由a=
得(


n



与(a
s
-1)
2
=(a
m
-1)( a
t
-1),
2





-1)=(





-1)(





-1).
即3
m+t
+2× 3
m
+2×3
t
=3
2s
+4×3
s
.
因为m+t=2s,
所以3
m
+3
t
=2×3
s
.
因为3
m
+3
t
≥2


=2×3
s
,当且仅当m=t时等号成立,这与m,s,t互不
相等矛盾.
所以不存在互不相等的正整数m,s,t满足条件.