高一数学必修5不等式题型总结

含参数的一元二次不等式的解法

解含参数的一元二次不等式，通常情 况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
一、按x
项的系数
a
的符号分类，即
a?0,a?0,a?0
;
例1 解不等式：
ax
2
2
?
?
a?2
?
x?1?0

2
2
分析：本题二次项系数含有参数，??
?
a?2
?
?4a?a
系数进行分类讨论。
解 ：∵
??
?
a?2
?
?4a?a
2
2
?4 ?0
，故只需对二次项
?4?0

解得方程
ax
2?
?
a?2
?
x?1?0
两根
x
1
?
?a?2?
2a
a?4
2
,
x
2
?
?a?2?
2a
a?4
2

22
?
?a?2?a ?4?a?2?a?4
?
??
或x?
∴当
a?0
时,解集为
?
x|x?
?

2a2a
??
??
当a?0
时，不等式为
2x?1?0
,解集为
?
x|x?
?
?
1
?
?

2
?
22
?
?a?2?a?4?a?2?a?4
?
??
?x?
当
a?0
时, 解集为
?
x|
?

2a2a
??
??
例2 解不等式
ax
解 < br>?a(x
2
2
?5ax?6a?0
?
a?0
?

分析 因为
a?0
，
??0
，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
?5 x?6)?a
?
x?2
??
x?3
?
?0

?
当
a?0
时，解集为
?
x|x?2或x?3
?
；当
a?0
时，解集为
?
x|2?x?3
?

二、按判别式
?
的符号分类，即
??0,??0,??0
；
例3 解不等式
x
2
?ax?4?0

2
分析 本题中由于
x
的系数大于0,故只需考虑
?
与根的情况。
解：∵
??a
2
?
a
?
?16
∴当< br>a?
?
?4,4
?
即
??0
时，解集为
R< br>；当
a??4
即
Δ
＝0时，解集为
?
xx?R且x?
?
；
2
??
当
a?4
或
a??4
即
??0
,此时两根分别为
x
1
?
?a?a?16
2
2
，
x
2
?
?a?a?16
2
2，显然
x
1
?x
2
,
22
?
?a ?a?16?a?a?16
?
或x〈
∴不等式的解集为
?
xx?22
?
?
例4 解不等式
m
解 因
m
2
?
2
?1x?4x?1?0
?
m?R
?

2
2
?
?
?
?

?
?
1
??
3
，即
??0
时，解集为
?
x|x?
?
；
2
??
?1?0,
??(?4)?4m?1?43?m
?
2
??
2
?
，所以当
m??
当
?3? m?
22
?
2?3?m2?3?m
?
3
，即
??0
时，解集为
?
xx?或x〈
22
m?1m?1
?
?
?
?
?
；
?
?
当
m??3或m?
2
3
，即
??0
时，解集为R。
三、按方程
ax?bx ?c?0
的根
x
1
,x
2
的大小来分类，即
x1
?x
2
,x
1
?x
2
,x
1
?x
2
；
2
例5 解不等式
x?(a?
1
a
)x?1?0 (a?0)

1
a
)?0
，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。 分析 ：此不等式可以分解为：
?
x?a
?
(x?
解：原不等式可化为：< br>?
x?a
?
(x?
1
a
)?0
，令
a?
1
a
，可得：
a??1
，∴当
a??1
或0?a?1
时，
a?
1
a
，故原不

等 式的解集为
?
x|a?x?
?
?
1
1
?
?
；当
a?1
或
a??1
时，
a?
,可得其解集为< br>?
；
a
?
a
1
a
,解集为
?x|
当
?1?a?0
或
a?1
时,
a?
例6 解不等式
x
2
?
?
1
?
?x?a
?
。
a
?
?5ax?6a
2
2
?0
，
a ?0

2
分析 此不等式
??
?
?5a
?
?24a?a
2
?0
，又不等式可分解为
?
x?2a
?< br>(x?3a)?0
，故只需比较两根
2a
与
3a
的大小.
解 原不等式可化为：
?
x?2a
?
(x?3a)?0
，对 应方程
?
x?2a
?
(x?3a)?0
的两根为
x
1
?2a,x
2
?3a
，当
a?0
时，即< br>2a?3a
，解集为
?
x|x?3a或x?2a
?
；当
a?0
时，即
2a?3a
，解集为
?
x|x?2a或x?3
?
a

一元二次不等式 参考例题（2）
x?1
2x
?1
（
{x|x??1,或x?0}
） 1．(1)解不等式




(2)不等式
ax
x?1
?1
的解集为
{x|x?1，或x?2}
，求
a
的值 . （
a?
1
2
）





2．解下列关于
x
的不等式：
（1）
x
2
?(a?





(1)当a??1,或0?a?1时，{x|a?x?
1
a
}
(1)当a?? 2时，{x|x?a,或?2?x?3}
1
a
)x?1?0
（2）
x?a
(x?2)(x?3)
?0(a?3，且a??2)


(2)当a??1时，?
(3)当a?1,或?1?a?0时，{x|
1
a< br>?x?a}

(2)当?2?a?3时，{x|x??2,或a?x?3}

(3)当a?3时，{x|x??2,或3?x?a}
（3）
ax
2
?(a?1)x?1?0
（4）
(x?2)(ax?2)?0










(1)当a?0时，{x|x?
1a
,或x?1}(1)当a?0时,{x|
2
a
?x?2}
(2 )当a?0时，{x|x?1}(2)当a?0时,{x|x?2}
1
a
}

(3)当0?a?1时,{x|x?2,或x?
(4)当a?1时,{x|x?2}
2
a
}

(3)当0?a?1时，{x|1?x?
(4)当a?1 时，?
(5)当a?1时，{x|
2
1
a
?x?1}(5)当a?1 时,{x|x?
x
x?1
2
a
,或x?2}
（5）
ax?x?1?0
（6）

?1?a(a?R)

(1)当a?0时，{x|x ?
?1?1?4a
2a
,或x?
?1?1?4a
2a
}(1)当a?0时，{x|
a?1
a
(2)当a?0时，{x|x??1}
(3)当0?a?
(4)当a?
1
4
1
4
时，{x|?1?1?4a
2a
?x?
?1?1?4a
2a
}
?x ?1}

(2)当a?0时，{x|x?1}
(3)当a?0时，{x|x ?1,或x?
a?1
a
}

时，?

3．（1）若不等式
(a?2)x
2
?2(a?2)x?4?0
对< br>x?R
恒成立，求实数
a
的取值范围.（
?2?a?2
）




（2）若不等式




4．（1）已知
A?{x|x
2
?3x?2?0},B?{x|x
2
?(a?1)x?a?0}
，
①若
A
（
a?2
）
B
，求实数
a
的取值范围.；



②若
B?A
，求实数
a
的取值范围.；（
1?a?2
）



③若
A?B
为仅含有一个元素的集合，求
a
的值.（
a?1
）



（2）已知
A?{x|
x?1
x?3
?0}
，
B?{x|x?(a?1)x?a ?0},且A?B?B
，求实数
a
的取值范围.
2
2x
2
?2mx?m
2
4x?6x?3
?1
的解集为
R
，求实数
m
的取值范围.（
1?m?3
）
（
1?a?3
）


(3) 关于
x
的不等 式
|x?
(a?1)
2
2
|?
(a?1)
2
2
与
x?3(a?1)x?2(3a?1)?0
的解集依次为
A
与
B
，
2
若
A?B
，求实数
a
的取值范围. （
a??1,或1?a?3
）



（4）设全集U?R
，集合
A?{x|
x?a
x?1
?0},B?{x||2 x?1|?3}
，若
A?B?R
，
求实数
a
的取值范围. （
?2?a?1
）




2222
（ 5）已知全集
U?R
，
A?{x|x?x?6?0},B?{x|x?2x?8?0} ,C?{x|x?4ax?3a?0}
，

若
(A?B)?C
，求实数
a
的取值范围.（
1?a?2
）
一元二次不等式及其解法
1．二次函数的图象及性质:二次函数
y?ax
2．二次函数的解析式的三种形式：
2
；
f(x)?ax?bx?c
（一般式）
2
?
b4ac?b
2
，顶点坐标是
?
?
?bx?c
的图象的对称 轴方程是
x??
?
2a
，
4a
2a
?
b< br>?
?
．
?
?
；
f(x)?a(x?x
1
)?(x?x
2
)
（零点式）
．
f(x)?a(x?m)?n
（顶点式）
3．一元二次不等式的解法
一元二 次不等式
ax?bx?c?0
或ax?bx?c?0
?
a?0
?的解集：
2
2
2
设相应的一元二次方程
ax?bx?c?0< br>?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且 x
1
?x
2
，
??b
2
2

?4ac
，则不等式的解的各种情况如下表：

??0



??0

??0

y?ax

二次函数
2
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax
2
?bx?c

y?ax

?bx?c

（
a?0
）的图象



无实根

一元二次方程
2

有两相等实根
ax?bx?c?0
有两相异实根

?
a?0
?
的根
2
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b
2aax?bx?c?0
(a?0)的解集
ax?bx?c?0
(a?0)的解集2

?
xx?x或x?x
?

12
?
b
?
xx??
??

2a
??

?


R


?


?
xx
1
?x?x
2
?


4．解一元二次不等式的步骤：
(1)将二次项系数化为“+”：A=
ax
(3)写出解集．
5．讨论二次 函数
y?ax
(1)注意对称轴
x??
2
2
?bx?c>0(或<0)(a>0)；
(2)计算判别式
?
，分析不等式的解的情况；
?bx?c
?
a?0
?
在指定区间
?
p,q
?
上的最值问题：
b
2a
与区间
?
p,q
?< br>的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴
?
b
2a
在区间左 边，函数在此区间上具有单
调性；②对称轴
?
（2）函数
y?ax
三 、典型例题选讲
b
2a
2
在区间之内；③对称轴
?
b2a
在区间右边．
?bx?c
?
a?0
?
在区间?
p,q
?
上的单调性．要注意系数
a
的符号对抛物线开口的影 响．
6．二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．
题型1：考查一元二次函数的性质
例1 函数
y?x?bx?c (x?[0,??))
是单调函数的充要条件是（ ）
A．
b?0
B．
b?0
C．
b?0
D．
b?0

2

解：∵函数
y?x?bx?c ( x?[0,??))
的对称轴为
x??
2
2
b
2
，
∴函数
y?x?bx?c(x?[0,??)
）是单调函数
?
-< br>b
2
b
?(0,??)
?
?
b
2
? 0
，
?
b?0
．故选A．
归纳小结：二次函数的单调区间是
(??,?
例2 已知二次函数的对称轴为
x??
解：∵二次函数的对称轴为
x??
b
2a
]
和[?
2a
,??)
，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出
b的范围．
2
，截
x
轴上的弦长为
4
，且过点
(0,?1)
，求函数的解析．
2)?b
，∵
f(x)
截
x
轴上的弦长为
4
，
2
2
，可设所求函数为
f( x)?a(x?
1
?
?
4a?b?0
?
a?
∴f(x)
过点
(?2?2,0)
和
(?2?2,0)
，
f(x)
又过点
(0,?1)
，∴
?
，解之得
?
2
，
2a?b??1
?
?
b??2
?
1
2
∴
f(x)?(x?2)?2
．
2
归纳小结：求二次函数的解析式 一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确
的 选择会使解题过程得到简化．
题型2：简单不等式的求解问题
例3 求下列不等式的解集．
（1）
4x?4x?1?0
；（2）
?x?2x?3?0

解法一：因为
??0,方程4x
2
2
22
?4x?1?0的解是x< br>1
?x
2
?
1
2
．所以，原不等式的解集是
?
x
?
?
x?
1
?
?
．
2
?
解法二：整理，得
x?2x?3?0
．
因为
??0,方程x?2x?3?0
无实数解，所以不等式
x?2x?3?0
的解集是?
．从而，原不等式的解集是
?
．
归纳小结：解一元二次不等式要抓住 “三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．
例4 不等式
ax?bx?2?0
的解集为
?
x?1?x?2?
，求
a
与
b
的值．
2
2
2
解法一：设
ax
2
?bx?2?0
的两根为
x
1
、
x
2
，由韦达定理得：
b
??
x?x???
12
??
??
a
由题意得
??
2
?
x?x??
?
?
12
? ?
a
??
b
a
2
a
??1?2
∴
a?1
，
b??1
，此时满足
a?0
，
??b?4a?(? 2)?0
．
2
??1?2
解法二：构造解集为
?
x?1? x?2
?
的一元二次不等式：
22
(x?1)(x?2)?0
，即
x?x?2?0
，此不等式与原不等式
ax?bx?2?0
应为同解不等式， 故
a?1
，
b??1
．
归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维 题，要使解集为
?
x?1?x?2
?
，不等式
ax?bx?2?0< br>需满足条件
a?0
，
??0
，
2
ax?bx?2?0
的两根为
x
1
??1
，
x
2
?2
．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系．
题型3：含参不等式的求解问题
例5 解关于
x
的不等式
ax?(a?1)x?1?0
．
证：分以下情况讨论
(1)当
a?0
时，原不等式变为：
?x?1 ?0
，∴
x?1
，
即不等式的解集为
{x|x?1}

(2)当
a?0
时，原不等式变为：
(ax?1)(x?1)?0
① ①当
a?0
时，①式变为
(x?
2
2
1
a
)(x?1)?0
，∴不等式的解为
x?1
或
1
a
1
a
x?
1
a
．即不等式的解集为
{x|x?1或x?1
a
}
；②当
a?0
时，①式变为
(x?
1< br>a
1
a
)(x?1)?0
．②，∵
?1?
1?aa
，
∴当
0?a?1
时，
当
a?1
时，1
a
?1
，此时②的解为
1?x?
．即不等式的解集为
{x|1?x?
1
a
}
；当
a?1
时，
?1
，此时②的解为
?
．
1
a
?1
，即不等式的解集为{x|
1
a
?x?1}
．
归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类： < /p>

?
a?0
?
?
a?0
?
?
?
a?R
?
?
0?a?1

?
?
a?0?
a?0
?
a?1
?
?
?
?
a?1< br>?
?
?
?
?
分类应做到使所给参数
a
的集合 的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论
a?0
时，解一元 二次不
等式
ax
2
?(a?1)x?1?0
应首选做到将二次项系数 变为正数再求解．
题型4：一元二次不等式的应用
例6 （1）已知函数
f?
x
?
?
?
?
?x?1
?
x?1x?0
x?0
，则不等式
x?
?
x?1
?
f< br>?
x?1
?
?1
的解集是（ ）
?
C．
?
x|x?
A．
x|?1?x?
?

B．
?
x|x?1
?

D．
?
x|?2?1?x?2?1
?

2?1
2?1

?
解：依题意得
?
?
x? 1?0
?
x?1?0

或
?
?
x?(x?1)(? x)?1
?
x?(x?1)x?1
?
x??1
?
?
x??1
所以
?
或
?
x?R
?
?
?
?2?1?x?
（2）若函数f(x) =
解：
?
函数
f(x)?
?x??1或?1?x?
2?1
2?1?x?2?1
，选C．
2< br>x?2ax?a
x?2ax?a
2
2
?1
的定义域为R，则a 的取值范围为_______．
x
?1
的定义域为R，
?
对一切< br>x?R
都有
2
2
2
?2ax?a
?1
恒成立 ，即
x?2ax?a?0
恒成立，
2
???0
成立，即
4 a
2
?4a?0
，
??1?a?0
，故选A．
归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，
一般 是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质 ，体现“三个二
次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．
例7 已知 函数
y??sinx?asinx?
2
a
4
?
1
2
的最大值为
2
，求
a
的值．
解：令
t?sinx
，
t?[?1,1]
，∴
y??(t?
a
2
)?< br>2
1
4
(a?a?2)
，对称轴为
t?
2
a
2
，当
?1?
a
2
2
?1
，即
? 2?a?2
时，
1
4
a
2
(a?a?2)
在
[?1,1]
)?
2
2
y
max
?
1
4
(a?a?2)?2
，得
a??2
或
a?3
（舍去）．当< br>1
4
a?
1
2
1
4
?2
，得
a?
a?
1
2
2
a
2
即
a?2
时，函数
y??(t?
?1
，
a
2
)?
上单调递增 ，由
y
max
??1?a?
10
3
；当
a
2
??1
，即
a??2
时，函数
y??(t?
1
4
(a?a?2)
在
2
[?1,1]
上单调递减，由
y
max
??1?a?
综上可得，
a
的值为
a??2
或a?
?2
，得
a??2
（舍去）．
10
3
．
归纳小结：令
t?sinx
，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区 间
[?1,1]
的三种位置关系的讨论就可求得
a
的值．此
题中要注 意
a?0
的条件．
例8 设不等式
x?2ax?a?2?0
的解 集为
M
，如果
M
?
[1,4]
，求实数
a
的取值范围？
解：
M
?
[1,4]
有两种情况：其一是
M
=
?
，此时
?
＜0；其二是M≠
?
，此时
?
=0或
?
＞0，分三种情况计算a的取值范围．设
222
f(x) ?x?2ax?a?2
，有
?
=
(?2a)?4(a?2)
=
4(a?a?2)
，当
?
＜0时，－1＜
a
＜2，
M=
?
?
[1,4]
；当
?
=0
2
时，
a
=－1或2；当
a
=－1时
M
=
{?1}
?
[1,4]
；当
a
=2时，
m
=
{2}
?
[1,4]

当
?
＞0时，a＜－1或a＞2．设方程
f(x)?0
的两根
x
1
，
x
2
，且
x< br>1
＜
x
2
，那么M=［
x
1
，
x< br>2
］，M
?
[1,4]
?
1≤x
1
＜x2
≤

4
?
?
?a?3?0 ，
?
?
18?7a?0 ，
?
f(1)?0,且f(4)?0< br>18
，即
?
解得2＜
a
＜
?
7
?< br>1?a?4,且??0
?
a?0 ，
?
?< br>a??1或a?2，
，∴
M
?
［1，4］时，
a
的取 值范围是(－1，
18
7
)．
一元二次不等式解法应试能力测试
1．不等式
6?x?2x
2
?0
的解集是( )
A．
{x|?
3
2
?x?2}
B．
{x|?2?x?
2
3
2
}
C．
{x|x??
3
2
或x?2}
D．
{x|x??2或x?
3
2
}

2．设集合M＝{x| 0≤x<2}，
N?{x|x?2x?3?0}
，则有M∩N＝( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|0≤x<2} C．{x|0≤x≤1} D．{x|0≤x≤2}
3．对于任意实数x，不等式
ax?2ax?(a?2)?0
恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．－1≤a≤0 B．－1≤a<0 C．－14．不等式
(x?4)(x?6)?0
的解集为( )
A．{x|－2≤x≤2} B．{x|x≤－2或x≥2} C．{x|－2≤x≤2或x＝6} D．{x|x≥2}
5．已知
A?{x| x?3x?4?0，x?Z}
，
B?{x|2x
A．2 B．3 C．7 D．8
6．已知
A?{x|x
2
22
2 2
2
?x?6?0，x?Z}
，则A∩B的非空真子集个数为( )
?0}
，且A∪B＝R，A∩B＝{x|3x?1
A．p＝－3，q＝－4 B．p＝－3，q＝4 C．p＝3，q＝－4 D．p＝3，q＝4
7．若关于x的二次不等式
mx? 8mx?21?0
的解集是{x|－7A．1 B．2 C．3 D．4
8．不等式axx?x?1?0
同解，则( )
A．a＝0且b≤0 B．b＝0且a>0 C．a＝0且b>0 D．b＝0且a<0

1．不等式
2x
2
?px?q?0}，
B?{x|
x?3
2
2
?3|x|?35?0
的解为 _______________．
2．使函数
y?x
2
?2x?3?1
3?|x|
有意义的x的取值范围是_______________．
3． 已知
A?{x|x
2
?3x?2?0}
，
B?{x|x
2< br>?(a?1)x?a?0}
，若
A
?
?
B
，则a的取 值范围是_______________；
若
A?B
，则a的取值范围是_______________．
4．关于x的不等式

1．为使周长为20cm的长方形面积大于
15cm< br>，不大于
20cm
，它的短边要取多长？





2．解不等式
|x



3．解关于x的不等式
ax





2
a?x
x?b
?0
(a＋b>0)的解集是_______________ ．
2
2
2
?2x|?
1
2
x
．
?2(a?1)x?4?0
(a>0)．
4．k为何值时，关于x的不等式

2x
2
2
?2kx?k
?6x?34x
?1
对一切 实数x恒成立．

参考答案
一、
1．D 2．B 3．C 4．C
5．A 提示：因为A∩B＝{3，4}
6．A 提示：因B＝ {x|x<－1或x>3}，由已知得A＝{x|－1≤x≤4}∴－1，4是
x
2
? px?q?0
的两根，∴p＝－3，q＝－4．
7．C 8．A，提示：因
x< br>2
?x?1?0
的解为
?
，只有a＝0且b≤0时，ax?

二、
1．x<－5或x>5 提示：原不等式化为
2|x|
2
?3|x|?35?0
，∴|x|>5
2．{x|－32，1≤a≤2 ，提示：∵A＝{x|1≤x≤2}，B＝ {x|(x－1)(x－a)≤0}，∵
A
?
?
B
，∴a>2 4．{x|x<－b或x>a}，提示：原不等式可化为(a－x)(x＋b)<0，即(x－a)(x＋b )>0，∵a＋b>0，∴a>－b，∴x>a或x<－b．
三、
?
?
x (10?x)?15
?
5?10?x?5?10
1．设长方形较短边长为x cm，则其邻边长(10－x)cm，显然0?
，∴
?
< br>x(10?x)?20
?
?
?
x?5?5或x?5?5
∴5?10?x?5?5
． 2．当x≤0时，不等式无解，当x>0时，不等式化为
x| x?2|?
1
2
x
，即
|x?2|?
1
2

35
2
2
2
解得：
?x?
3．原不等式化为(ax－2)(x－2)>0 ，∵a>0，∴
(x?)(x?2)?0
，当 a＝1时，
?2
，∴
(x?2)?0
，∴{x|x∈R
22a
a
且x≠2}，当a≠1时：若a>1，则
4．∵
4x
2
2
a
?2
，∴
{x|x?
2
2
a
或x?2}
，若02
2
a
?2
，∴
{x|x?2或x?
2
2
a
}
．
?6x?3
恒正，∴不等式化为2x
2
?2kx?k?4x?6x?3
，即
2x?(6?2k)x?(3 ?k)?0
恒成立
∴⊿
?(6?2k)?8(3?k)?0
，∴
k

2
?4k?3?0
，∴1