人教A版高中数学必修五正弦定理(一)

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正弦定理（一）

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掌握正弦定理，会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题．

一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)










1．已知△ABC中，a＝4，b＝4
3
，∠A＝30°，则∠B等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为( )
A．9 B．18
C．9










3
D．18
3

3．已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶
3
∶2，则A∶B∶C等于( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶1
C．1∶3∶2 D．3∶1∶2
4．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠ 0)，则k的取值范围为( )
A．(2，＋∞) B．(-∞，0)














1
C．(-
2
，0)
5．在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

1
D．(
2
，＋∞)
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．在△ABC中，若∠B＝30°，A B＝2
3
，AC＝2，则△ABC的面积是________．
2．在△ABC中，若b＝2csinB，则∠C＝________．
3．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R＝________．

3
4．已知△ABC的面积为
2
，且b＝2，c＝
3
，则∠ A＝________．
5．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，a＝2(
3
＋1)，那么△ABC的面积为________．

三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
1．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．

(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．


(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．


2．在△A BC中，已知a
2
-a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c-3，若sinC∶sinA＝4∶< br>

13
，求a，b，c．
．


4．△ABC中，A、B、C成等差数列，b＝1，求证：1＜a＋c≤2．


5．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于



参考答案
一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
A?B
a?b
2
?
a?b
tan
A?B
2
3．在△ABC中，求证
tan
3
．
1．D
ab
?
sinB
， 分析：由正弦定理得，
sinA








∴ ，
∴ ∠B＝60°或∠B＝120°．
2．C 分析：∵ ∠A＝30°，∠B＝120°，
∴ ∠C＝30°，∴ BA＝BC＝6，
bsinA3
?
a2
sinB＝
∴ S
△
1
ABC
＝
2
3．A
3
1×BA×BC×sinB＝
2
×6×6×
2
＝9
3
．
abc
??
sinBsinC
， 分析：由正弦定理得，
sinA
∴ sinA∶sinB∶sinC＝1∶∶
∴ A∶B∶C＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．
4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．
5．C 分析：A＞B
?
a ＞b
?
2RsinA＞2RsinB
?
sinA＞sinB．
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1
3
∶2＝
2
3
2
∶1，
1．2
3
或
23sin30?3
?
3
分析：sinC＝< br>22
，于是，∠C＝60°或120°，故∠A＝90°或30°，
△
ABC< br>由S
△
1
AB×AC×sinA，可得S
ABC
＝
2
×＝2
3
或S
△
ABC
＝
3
．
，

bc2csinBc
?得?
sinCsinBsinC
2．30°或150°分析：由b＝2csinB及正弦定理
sinB
1
∴ sinC＝
2
，∴ ∠C＝30°或150°．

3．2
2
分析：∵ c＝2RsinC，∴
c
?22
2sinC
R＝．
31
2
＝
2
×2× 4．60°或120° 分析：∵ S
△
1
ABC
＝
2
bcsinA，∴
3
sinA，∴ sinA＝
3
2
，
∴ ∠A＝60°或120°．
ab
5．6＋2
3
分析：∵
sinA
?
sinB
，
2(3?1)b
∴
sin(180??45??60?)
?
sin45?
，
∴ b＝4．
1
∴ S
△
ABC
＝
2
absinC＝6＋2
3
．
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)
1．解：(1)∵ a＋b＝16，∴ b＝16-a
1
S＝
2
absinC
1
＝
2
a(16-a)sin60°
3
＝
4
(16a-a
2
)
3
＝-
4
(a- 8)
2
＋16
3
（0＜a＜16)
(2)由(1)知，当a＝8时，S有最大值16
3
．
2．解：∵ sinC∶sinA＝4∶
13

∴ c∶a＝4∶
13

设c＝4k，a＝
13
k，则
?
?
?
13k
2
?13k?2(b?4k)

?
?
13k?2b?8k?3
由①、②消去2b，得

13k
2
-16k＋3＝0
3
解得k＝
13
或k＝1，
3
∵ k＝
13
时b＜0，故舍去．
5?13
∴ k＝1，此时a＝
13
，b＝
2
，c＝4．
3．证明：由正弦定理，知
a＝2RsinA，b＝2RsinB

③

?

4．证明：∵ A、B、C成等差数列，
∴ 2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，
a?b2RsinA?2RsinBsinA? sinB
??
a?b2RsinA?2RsinBsinA?sinB
A?BA?BA ?BA?B
sin(?)?sin(?)
2222
?
A?BA?BA?BA? B
sin(?)?sin(?)
2222
A?BA?BA?B
2sincos tan
22
?
2
?
A?BA?BA?B
2sincosta n
222

∴ ．
∵ b＝1，设△ABC的外接圆半径为R，
?
2
?
B＝
3
，A＋C＝
3
?
b ＝2Rsin
3

3
1＝2R·
2
，
∴
∴
3
R＝1． ∴
∴ a＋c＝2RsinA＋2RsinC
＝2R(sinA＋sinC)

2
?
＝2R［sin(
3
-C)＋sinC］
＝2R(
3
3
2
cosC＋
2
sinC)







∴ 1＜a＋c≤2．
5．证明：在△ABC中，设C≥120°，则c最长，令最短边为a，由正弦定理得
3
1< br>＝2
3
R(
2
cosC＋
2
sinC)
?
＝2
3
Rsin(C＋
6
)
?
＝2sin(C＋
6
)
2
?
2
?
∵ A＋C＝
3
，∴ 0＜C＜
3
??
5
?
∴
6
＜C＋
6
＜
6

1
?
∴
2
＜sin(C＋
6
)≤1
?
∴ 1＜2sin(C＋
6
)≤2


csinCsin(A?B)
??
asinAsinA

∵ A≤B
∴ 2A≤A＋B≤180°-C≤60°
∵
∴ sin(A＋B)≥sin2A＞0
?
正弦函数在(0，
3
)上是增函数，
csin(A?B)sin 2A2sinAcosA
??
asinA
≥
sinAsinA
＝2c osA
c
a
≥2cosA
3
2

∴
∴
∵ 2A≤60°
∴ 0°＜A≤30°
∴ cosA≥cos30°＝
∴
∴
3
c
a
≥2·
2

c
a
≥
3

∴ 最长边与最短边之比不小于