高一数学必修五考试试题(含答案和评分标准)

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2013-2014 学年度第二学期阶段2联考
高一数学试题（以必修5为主）
一．选择题
1.已知全集U=R，集合
A?{x|x?2x?0}
，则等于( )
A． { x ∣0
?
x
?
2} B.{ x ∣0C． { x ∣x<0或x>2} D.{ x ∣x
?
0或x
?
2}
2. 已知锐角
?AB C
的面积为
33
，
BC?4,CA?3
，则角
C
的 大小为（ ）
A.75° B.60° B.45° D.30°
3．下列函数
f(x)
中，满足“对任意
x
1
，
x
2
?
（0，
? ?
），当
x
1
<
x
2
时，都有
f(x1
)
>
f(x
2
)
A.
f(x)
=< br>的是（ ）
”
2
1
2
B.
f(x)
=
(x?1)

x
C.
f(x)
=
e
x
D.
f(x)?ln(x?1)

4．在右图中的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差
数列，每一纵列成等比数列，那么
x?y?z
的值为( )
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4

5平面向量
a
与
b
的夹角为
60
0
，|
a
|＝2, |
b
|＝1，则 |
a
＋2
b
|＝（ ）
A.
3
B.12 C.4 D.2
3

6.函数
f(x)?e?x?2
的零点所在的一个区间是 （ ）
A.（-2，-1） B.（-1，0） C. (0,1) D. (1,2)
7、已知不等式
ax
2
?5x?b?0
的解集是
{x|?3?x??2}
，则不等式
bx
2
?5x?a?0
的解集是（ ）
A.
{x|x??3或x??2}
B.
{x|x??或x??}

C.
{x|?
x
1
2
1
3
11
?x??}
D.
{x|?3?x??2}

23
0≤
x
≤2，
?
?
8．在平面直角坐标系
xOy
上的区域
D
由不等式组< br>?
y
≤2，
?
x
≤2
y
?
→→坐标为(2，1)，则
z
＝
OM
·
OA
的最大值为( )．
A．42 B．32 C．4 D．3

，若
M
(
x
，
y
)为
D
上的动点，点
A
的

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9、在下列函数中，最小值为2的函数是 （ ）
x
2
?1
A.
y?x?2?
B.
y?
2< br>x

x?2

2
1
C.
y?x(22?x),(0?x?22)
D.
y?
x
2
?2
x?1
2

a
＋
b
，
ab
≤0，
?
?
10．定义运算
a
*
b
＝
?
a
，
ab
>0，
?< br>?
b

则函数
f
(
x
)＝sin
x
*cos
x
的最小值为( )．
A．－2 B．－1 C．0 D．1
二．填空题
11．若
x?0
，则
x?
2
的最小值为 .
x
?
y?1,
?
12.若变量
x,y
满足约束 条件
?
x?y?0,
则
z?x?2y
的最大值为
?
x?y?2?0,
?
14．我市民间刺绣有着悠久的历史，下图(1)、( 2)、(3)、(4)为我市民间刺绣最简单的四个图案， 这些
图案都是由小正方形构成，小正方形数 越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相
同)，设第
n
个图形包 含
f
(
n
)个小正方形，则
f
(
n
)的表 达式为
f
(
n
)＝________(
n
∈N)．
*

三．解答题
15．（本小题满分12分）已知
{a
n
}
是等差数列，其前n项和为S
n
，已知
a
3
?1 1,S
9
?153,

（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
n
（2）设< br>b
n
?2
，证明
{b
n
}
是等比数列，并求 其前n项和T
n
.










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?
π
?
16（本小题满分12分）已知向量
a
＝(sin
θ
，cos
θ
)，其中
θ
∈
?
0，
?
.
2
??
(1)若
b
＝(2,1)，
a∥b
，求sin
θ
和cos
θ
的值；
2）若
sin(
?
?
?
)?






17（本小题满分14分）已知
a
＝(2cos
ωx
，2cos
ωx
)，
b
＝(cos
ωx
，3sin
ωx
)(其中0<
ω
<1)，函数
10
?
,0?
?
?
，求
cos
?
的值．
102
f
(
x
)＝
a·b
，若直线
x＝是函数
f
(
x
)图象的一条对称轴．
(1)试求
ω
的值；
2π
(2)若函数
y
＝g
(
x
)的图象是由
y
＝
f
(
x)的图象的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个
3
单位长度得到，求
y
＝
g
(
x
)的单调增区间．








18（本小题满分14分）等比数列{
a
n
}的各项均为正数，且2
a
1
＋3
a
2
＝1，
a
3
＝9
a
2
a
6
.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
?
1
?(2)设
b
n
＝log
3
a
1
＋log
3
a
2
＋…＋log
3
a
n
，求数列
? ?
的前
n
项和．
?
b
n
?
2
π
3




***************************************** **************************************

********************************************* **********************************





19、（本小题满分14分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通 状况，在一般情况下，大桥
上的车流速度v（单位：千米小时）是车流密度
x
（单位： 辆千米）的函数，当桥上的车流密度达到200
辆千米时，造成堵塞，此时车速度为0；当车流密度不超 过20辆千米时，车流速度为60千米,小时，
研究表明：当
20?x?200
时，车 流速度v是车流密度
x
的一次函数.(Ⅰ)当
0?x?200
时，求函数v(x)
的表
达式；(Ⅱ)当车流密度
x
为多大时，车流量（单位时间内 通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆小时）
f(x)?x?v(x)
可以达到最大，并求出最 大值.（精确到1辆小时）









20. （本小题满分14分）设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
?1
，且对任意正整数
n
,点
?
a
n?1
,S
n
?
在直线
2x?y?2?0
上.
(Ⅰ) 求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数
?
，使得数列
?
S
n
?
?
?n?
则说明 理由.
?
?
?
为等差数列？若存在，求出
?
的值；若不存 在，
2
n
?
?
?
1
n
2
?k1
??
（Ⅲ）求证： .(注：)
?
6
k?1
(a< br>k
?1)(a
k?1
?1)2







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2013-2014 学年度第二学期阶段2联考高一数学参考答案
一、选择题 ABABD CCCDB
1．【答案】：A
[解析]∵计算可得
A?xx?0
或
x?2?
∴
CuA?x0?x?2
?
.故选A
2解析解析 由正弦定理得
S?
三角形，故C=
60
°，选B
3．【答案】：A
4．第一行是以2为首项，以 1为公差的等差数列，第一列是以2为首项，并且每一列都是以
的等比数列，由等差数列和等比数列的通项公式可求得
x?1,y?
?
?
11 3
BC·CA·sinC?33??4?3?sinC?sinC?
，注意到其是锐角
222
1
由为公比
2
53
,z?
，所以它们的和等于2，故
88
选B。
5.【解析】由已知|a|＝2,|a＋2b|
2
＝a
2
＋4a·b＋4b
2
＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴
a?2b?
23
【答案】D
6.C 7.C 8. 作出区域D，目标函数z＝2x＋y过点B(2，2)时取最大值，故z的最大值为2×2＋< br>2＝4，故选C.
?
?
sin x＋cos x，sin xcos x≤0，
9.D 10. 解析 依题意知：f(x)＝
?
sin x

?
?
cos x
，sin xcos x>0，
?
?
2sin
?
?
x＋
4
?
，kπ－
2
≤x ≤kπ?k∈Z?，
＝
?
π
tan x，kπ＋kπ?k∈Z?.
?
2
二、填空题
π
π


结合图象可知f(x)
min
＝－1.答案 B
13
14、2n
2
－2n＋1
?a?
22
；
22
解析：11.解:
Qx?0
?x??22
，当且仅当
x??x?2
时取等号.
xx
11、
22
； 12、3； 13.
?
12. 3【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析】画出可行域（如右图），
z?x?2y?y?
大，且最大值为
zmax
?1?2?(?1)?3
.


则有：f(2)－f(1)＝4＝1×4，
f(3)－f(2)＝8＝2×4，

14. 解析 f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，…
11< br>x?z
，由图可知,当直线
l
经过点A(1,-1)时，z最
22y

y?x

l
0
:x?2y?0
A
x?y?0

1

O

2

x
A

?2

************************ ************************************************** *****

x?y?2?0

************ ************************************************** *****************

f(4)－f(3)＝12＝3×4，
……
f(n)－f(n－1)＝(n－1)×4，
n?n－1?
∴f(n )＝f(1)＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]4＝1＋
·4＝2n
2
－2n＋1.
2
答案 2n
2
－2n＋1



三、解答题
15. （本小题满分12分）
?
a
1
?2d?11
?
解：（1）
?
< br>解得d?3,a
1
?5,?a
n
?3n?2.
9?8
9a?d?153
1
?
2
?
.................5
b
n?1
2
a
n?1
（2）
b
n
?2,??
a
n
?2
a
n?1
?a
n
?2
3
?8,?{b
n
}
是公比为8的等比数列.
b
n
2
a
n

....9
又有
b
1
?2
a
1
?32
32(1?8
n
)32
n
?T
n
??(8?1).

1?87
....................12
16. （本小题满分12分）解 (1)∵a
∥
b，a＝(sin θ，cos θ)，即sin θ＝2cos θ....................2
又∵sin
2
θ＋cos
2
θ＝1，∴4cos
2
θ＋cos
2
θ＝1，
14即cos
2
θ＝
，∴sin
2
θ＝
......... ................................4
55
π
255
0，
?
，∴sin θ＝又θ∈
?
，cos θ＝...........................................6
?
2
?
55
（2）∵
0?
?
?
∴
?
?
2
，
0?
?
?
?
2
， < br>?
2
?
?
?
?
?
?
2
，. ............................7
2
则
cos(?
?
?
)?1?sin(
?
?
?
)?
310

10
...............9
2
................12
2< br>∴
cos
?
?cos[
?
?(
?
?
?
)]?cos
?
cos(
?
?
?
)?sin?
sin(
?
?
?
)?
17．（本小题满分14分）解 f(x)＝a·b＝(2cos ωx，2cos ωx)·(cos ωx，3sin ωx)
＝2cos
2
ωx＋23cos ωxsin ωx＝1＋cos 2ωx＋3sin 2ωx
π
2ωx＋
?
............................ ................................3 ＝1+2sin
?
6
??
π
(1)∵直线x＝为对称轴，
3
2ωπ
ππ
∴＋＝kπ＋(k∈Z)．................... .........................5
362
31
∴ω＝k＋( k∈Z)．............................................. .....6
22
1
∵0<ω<1，∴k＝0，∴ω＝．............ .................8
2
2π
π
π
1
x ＋
?
，∴g(x)＝1＋2sin
?
?
x＋
3
?< br>＋
?
(2)由(1)，得f(x)＝1＋2sin
?
?
6< br>?
?
6
?
?
2
?

******* ************************************************** **********************

*********** ************************************************** ******************

1
π
?
1
x＋
＝1＋2cosx................................11 ＝1＋ 2sin
?
?
22
?
2
1
由2kπ－π≤x≤2k π(k∈Z)，得4kπ－2π≤x≤4kπ(k∈Z)，
2
∴g(x)的单调增区间为[4 kπ－2π，4kπ](k∈Z)．.........................14
18. （本小题满分14分）(1)解 设数列{a
n
}的公比为q，(1分) < br>22
由a
2
3
＝9a
2
a
6
，得a
3
＝9a
4
，
11
所以q
2
＝.由条件可知q＞0，故q＝，(3分)
93由2a
1
＋3a
2
＝1得2a
1
＋3a
1q＝1，
1
所以a
1
＝.(5分)
3
1
故 数列{a
n
}的通项公式为a
n
＝
n
.(6分)
3
(2)解 b
n
＝log
3
a
1
＋lo g
3
a
2
＋…＋log
3
a
n

＝－(1＋2＋…＋n)
－n?n＋1?
＝.(9分)
2
11< br>12
故＝－＝－2
?
n
－
n＋1
?
，(11 分)
b
n
??
n?n＋1?
111
＋＋…＋＝
b
1
b
2
b
n
11
??
111
2 n
1－
?
＋
?
－
?
＋…＋
?
n< br>－
－2
?
?
＝－
?
?
2
??23
?
?
n＋1
??
n＋1
?
1
?< br>2n
所以数列
?
b
?
的前n项和为－.(14分)
?
n
?
n＋1
19. （本小题满分14分）

…… 2分



…… 6分 …… 7分



…… 9分





…… 12分




…… 14分
20. （本小题满分14分）【解析】(Ⅰ)由题意可得

2a
n?1
?S
n
?2?0.
①
n?2
时,
2a
n
?S
n?1
?2?0.
② …… 1分

**************************** ************************************************** *

******************************** ***********************************************

①─②得
2a
n?1
?2a
n
?a
n< br>?0?
a
n?1
1
1
?
?
n?2
?
， ……… 2分
?a
1
?1,2a
2
?a
1
?2?a
2
?

a
n
2
2
?
a
2
1
?
………………… 3分
a
12
n?1
1
?
1
?
?
?
a
n
?
是首项为
1
，公比为的等比数列，
?a
n
???
.
……………… 4分
2
?
2
?
1
1?
n
2
?2?
1
.
……………… 5分 （Ⅱ）解法一:
?S
n
?
1
2
n?1
1?< br>2
?
?
???
?
若
?
S
n
?
?
n?
n
?
为等差数列，则
S
1
??
?,S
2
?2
?
?
2
,S
3
?3
?
?
3
成等差数
2
?
2
22
?
列, …… 6分
9
?
?
3
?
25
?
3?
725
?
??
39
?
?
?S
3??2
?
???,

2
?
S
2
??
?S
1
?
?
?1?
42824248
??? ?
得
?
?2.
……………… 7分
2
又
?
?2
时，
S
n?2n?
n
?2n?2
，显然
?
2n?2
?
成 等差数列，
2
?
??
故存在实数
?
?2
，使得数 列
?
S
n
?
?
n?
n
?
成等差数 列. ……………… 8分
2
??
1
1?
n
2
?2?
1
.
……………… 5分 解法二:
?S
n
?
1
2
n?1
1?
2
?
1
?
1
?S
n
?
?
n?
n
?2?
n? 1
?
?
n?
n
?2?
?
n?
?
?
?2
?
n
.
…………… 6分
2222?
??
欲使
?
S
n
?
?
?n?
n
?
成等差数列,只须
?
?2?0
即
?
?2便可. ……………7分
2
??
?
??
故存在实数
?
?2
，使得数列
?
S
n
?
?
n ?
n
?
成等差数列. ……………… 8分
2
??1
1
1
1
?2
k
(
?
)
…… 9分
?
（Ⅲ）
?
11
1
1
(a
k
?1)(a
k?1
?1)
(?1)(
k
?1)
? 1
?1
k
k?1
2
k?1
2
2
2
nn
1
2
?k
1
)
………… 10分
?< br>?
?
?
(?
1
1
k?1
(a
k?1)(a
kt?1
?1)
k?1
?1
?1
k
k?1
2
2
1
1
11
11
?
)

?(?)?
(?)??
?(
1
1
11
1
? 1
1?1
?1?1
?1
?1
2
2
2
22
t
2
k?1
1
2
k
1
1
?
k
?
………… 11分
???
1
1?1< br>2?1
2
?1
2
k



**** ************************************************** *************************

******** ************************************************** *********************







************************************ *******************************************