数学必修5 必修2 综合试题 有答案

高一数学第二学期月考复习试题
(必修2+必修5)

第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的 四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把答案填写在答题纸上）
1、已知集合
M?
?
?
?
xy??
3
4
x
?
?
?
,N?
?
?
x,y
??
x?2
?
2
?
?
y?1
?
2
?4
?
，则集合M?N

中元素的个数为( )
A、0 B、1 C、2 D、不确定
2、
已知等比数列
a
n
?0，前
n
项和为
S
n
，且
a
1
?a4
?8,S
6
?56
，则公比为( )
A．2 B．
?3
C．2或
?3
D．2或3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3、
已知
?AB C
的面积为
3
2
，且
AC?2,AB?3
，则
?A
等于( )
A、
30
?

B、
30
?
或150
?

C、
60
?
D、
60
?
或120
?

4、
x?(?
3
?
4
,
?
4
)
且
cos
??
?
?
4
?x
?
?
?
??
3
5
则cos2x的值是（ ）
A、
?
7
25
B、
?
24
25
C、
247
25
D、
25

5、直线
xcos
?
?y?1?0
的倾斜角的范围是( )
A、
?
?
??
??
?
?
4
,
2
?
?
?
?
?
2
,
3
?
?
4
?
?
B、
?
?
?
? ?
3
?
?
?
0,
4
?
?
?
?
?
4
,
?
?
?

C、
??
?
0,
3
?
?
4
?
?
D、
?
?
?
?
4
,
3
?
?
4
?
?

6、
已知
x?2y?1
，则
2
x
?4
y
的最小值为( )
A 8 B 6 C
22
D
32

7、
若两直线
l
1
:mx?2y?m?2?0,l
2
:4x ?(m?2)y?2?0
互相平行,则常数m等于（ ）
A.－2 B.4 C.－2或4 D.0
8、
函数
y?sin
4
x? cos
4
x
的值域是（ ）

A
?
0,1
?
B
?
?1,1
?
C
?
?
1
,
3
?
?
D ?
1
?
?
22
?
?
?
2
,1
?
?

9、在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差
．．
数列，每一纵列
成等比
．．
数列，则
a?b?c
的值为( )
1 2
0.5

1

a



b



c

A、1 B、2 C、3 D、4
10、在等差数列
?
a
n
?
中，
a
10
?0,a
11
?0
，< br>且a
11
?a
10
，
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项
和，则使
S
n
?0
的
n
的最小值为( )
A、10 B、11 C、20 D、21
11、从点P
?
x,3
?
向圆
?
x?2
?
2?
?
y?2
?
2
?1
作切线，切线长度的最小值等于( )
A、4 B、
26
C、5 D、
11
2

12、
点P(－2, －1)到直线l:
(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ
的距离为d, 则d的取值范围是( )
A. 0≤d
?
13
B. d≥0 C. d =
13
D. d≥
13


题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分） 、
设
x,y,z
为正实数，满足
x?2y?3z?0
，则
y
2
13
xz
的最小值是_______。
14、若直线
y?x?k
与曲线
x?1?y
2
恰有一个公共点，则实数
k

的取值范围是 。
15、在
? ABC
中，若
a
cosA
?
bc
cosB
?
sinC
，则
?ABC
为 三角形。

16、
已知过点P
(1,4)
的直线
l
与两坐标轴正半轴交于点(a,0)、(0,b)
，则直线
l
与坐标轴围成的三角
形面积最小值为
。

三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）
(1)已知直线l过点P（3，4），它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程. < br>(2)求与圆C:
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
同圆心，且与直线2x–y+1=0相切的圆的方程.

18、（本小题满分12分）
若关于x的不 等式
x
2
?4x?4?m
2
≤0
在[－1，3]上恒成立， 求实数m的取值范围.









19、（本小题满分12分）
某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定 为8
m
，最大装水量为72
m
3
，池底和池壁的
造价分别为
2a
元
m
2
、
a
元
m
2
，怎样设计水池底的另一边长和水池的高，才能使水池的总造价最
低？最低造价是多少？

















20（本小题满分12分）
已知圆
C
和
y
轴相切，圆心在直线
x?3y?0
上，且被 直线
y?x
截得的弦长为
27
，求圆
C
的方
程.












21、（本小题满分13分）
等差数列
?
a
S
2n
n
?
中，
a
1
?1
，前
n
项和
S
n
满足条件
S
?4,n?1,2,?
，
n
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式和
S
n
；
（2）记
b
n
?a
n
?2
n?1
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和T
n
















22、
（本小题满分 13 分）已知圆
C:(x?3)
2
?(y? 4)
2
?4
，直线
l
1
过定点 A (1，0)．

（1）若
l
1
与圆C相切，求
l
1
的方程；
（2）若
l
p
1
的倾斜角为
4
，
l
1
与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若
l
1
与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时
l
1
的 直线方程．

1、已知集合
M?
?
?
xy??
3
4
x
?
?
,N?
?
?
x,y
??
x?2
?
2
??
y?1
?
2
?4
?
，则集合
M?N
中元素的个数为
?
(A)
?

A、0 B、1 C、2 D、不确定
2、
已知等比数列
a
n
?0，前
n
项和为
S
n
，且
a
1
?a4
?8,S
6
?56
，则公比为(A)
A．2 B．
?3
C．2或
?3
D．2或3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3、
已知
?AB C
的面积为
3
2
，且
AC?2,AB?3
，则
?A
等于(D)
A、
30
?

B、
30
?
或150
?

C、
60
?
D、
60
?
或120
?

4、
x?(?
3
?
4
,
?
4
)
且
cos
??
?
?
4
?x
?
?
?
??
3
5
则cos2x的值是（ B ）
A、
?
7
25
B、
?
24
25
C、
24
25
D、
7
25

5、直线
xcos
?
?y?1?0
的倾斜角的范围是(B)
A、
?
?
??
??
?
3
?
??
?
??
3
?
?
?
4
,
2
?
?
?
?
?
2
,
4
?
?
B、
?
?
0,
4
?
?
?
?
?4
,
?
?
?

C、
?
?
?< br>0,
3
?
?
4
?
?
?
3
?
?
?
D、
?
?
4
,
4
?

6、
已知< br>x?2y?1
，则
2
x
?4
y
?
的最小值为 (C)
A 8 B 6 C
22
D
32

7、
若两直线
l
1
:mx?2y?m ?2?0,l
2
:4x?(m?2)y?2?0
互相平行,则常数m等于（A）
A.－2 B.4 C.－2或4 D.0
8、
函数
y?sin
4
x?cos
4
x
的 值域是（ D ）

A
?
0,1
?
B
?
?1,1
?
C
?
?
1
,
3
?
?
D
?
1
?
9、在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差
?22
?

?
?
2
,1
?
．．
数列，每一纵列
?


成等比
．．
数列，则
a?b?c
的值为(A)
1 2
0.5

1

a



b



c

A、1 B、2 C、3 D、4
10、在等差数列
?
a
n
?
中，
a
10
?0,a
11
?0
，< br>且a
11
?a
10
，
S
n
为数列
?
a
n
?
的前
n
项
和，则使
S
n
?0
的
n
的最小值为（C）
A、10 B、11 C、20 D、21
11、从点P
?
x,3
?
向圆
?
x?2
?
2?
?
y?2
?
2
?1
作切线，切线长度的最小值等于( B)
A、4 B、
26
C、5 D、
11

12、
2
点P(－2, －1)到直线l:
(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ
的距离为d, 则d的取值范围是(A)
A. 0≤d
?
13
B. d≥0 C. d =
13
D. d≥
13

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A A D B B C A D A C B A
第Ⅱ卷（非选择题）

二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分） x,y,z
为正实数，满足
x?2y?3z?0
，则
y
2
13、
设
xz
的最小值是___3____。
14、若直线
y? x?k
与曲线
x?1?y
2
恰有一个公共点，则实数
k

的取值范围是
?1?k?1或k??2
。
15、在
?ABC
中，若
a
cosA
?
bcosB
?
c
sinC
，则
?ABC
为 等腰直角 三角形。

16、
已知过点P
(1,4)
的直线
l
与两坐标轴正半轴交于点
(a,0)、(0,b)
，则直线
l
与坐标轴围成的 三角
形面积最小值为
8 。

三、解答题：（本题共6小题，共74分 ，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）
(1)已知直线l过点P（3，4），它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程. < br>(2)求与圆C:
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0
同圆心，且与直线2x–y+1=0相切的圆的方程.
解：(1)当直线l过原点时，斜率k＝
44
3
,直线方程为
y?
3
x
. ………………2分
（2）当直线l不过原点时，设直线方程为
x
a
?
y
2a
?1
.
?
3
a
?
4
2a
?1,a?5

?直线方程为2x?y?10.
∴所求直线l方程为
y?
4
3
x或2x?y?10.??????????4分

（2）
?
x
2
?y
2
?2x?4y?1?0,
?(x?1 )
2
?(y?2)
2
?4,
?圆心C为(1,?2).
?? ???????
6分
?
所求圆与直线2x?y?1?0相切,

?r ?
|2?2?1|
4?1
?5.
?所求圆的方程为(x?1)
2?(y?2)
2
?5.
?????????
8分
18、（本小题 满分12分）
若关于x的不等式
x
2
?4x?4?m
2
≤ 0
在[－1，3]上恒成立，求实数m的取值范围.
?
x
2
?4x ?4?m
2
≤0,
?[x?(2?m)][x?(2?m)]≤0.
???? ??????
2分
(1)当m?0时，不等式解为2?m?x?2?m.

?
不等式在[?1,3]上恒成立,
?2?m≤?1,且2?m≥3,
?m≥3.
??????????
5分

(2)当m?0时，不等式 解为2?m≤x≤2?m.
?2?m≤?1且2?m?3,
?m≤?3.
?????? ????
8分

(3)当m?0时，不合题意.
??????????
9分
?m的取值范围是m≥3或m≤?3.
??????????
10分
1 9、（本小题满分12分）
某工厂要建造一个无盖长方体水池，底面一边长固定为8
m
，最大装水量为72
m
3
，池底和池壁的
造价分别为
2a
元
m
2
、
a
元
m
2
，怎样设计水池底的另 一边长和水池的高，才能使水池的总造价最
低？最低造价是多少？
解：设池底一边长为
x
，水池的高为
9
x
，则总造价为z
?z
1
?2a?8x?16ax


z
2
?2?a?xy?2?a?8y?18a?
144a
x

?z?18a?a
?
?
?
16x?
144
?
x
?
?

x?0


?18a?2a16x?
144
x
?18a?96a?114a

当且仅当
16x?
144
x
即
x?3,y?
9x
?3
时，总造价最低，
z
min
?114a

答：将水池底的矩形另一边和长方体高都设计为
3m
时，总造价最低，最低造价为114a元 。

20已知圆
C
和
y
轴相切，圆心在直线
x? 3y?0
上，且被直线
y?x
截得的弦长为
27
，求圆
C< br>的
方程.
3t?t
r?
d??2t
解：设圆心为
(3t,t),
半径为
3t
，令
2

而
(7)< br>2
?r
2
?d
2
,9t
2
?2t
2
?7,t??1

?(x?3)
2
?(y?1)
2
?9
，或
(x?3)
2
?(y?1)
2
?9

21、（本小题满分12分）
等差数列
?
a
S
2n
n
?
中，
a
1
?1
，前
n
项和
S
n
满足条件
S
?4,n?1,2,?
，
n
（ 1）求数列
?
a
n
?
的通项公式和
S
n
；
（2）记
b
?1
n
?a
n
?2
n
，求数列
?
b
n
?
的前
n
项和
T
n

解：（1）设等差数列
?
a
S
n
n
?
的公差为
d
,由
2
S
?4

n
得 ：
a
1
?a
2
a
?4
，所以
a
2
?3a
1
?3
，且
d?a
2
?a
1
?2
，所以
1
a
n
?a
1
?(n?1)d?1? 2(n?1)?2n?1

S
n(1?2n?1)
n
?
2
?n
2
< br>（2）由
b
?1
n
?a
n
?2
n
， 得
b
n
?(2n?1)?2
n?1

所以
T< br>n
?1?3?2
1
?5?2
2
???(2n?1)?2
n?1
， ……①…
2T
3
n
?2?3?2
2
?5?2???(2n?3)?2
n?1
?(2n?1)?2
n
， …… ②…
①-②得
?T
n
?1?2?2?2?2
2
? ??2?2
n?1
?(2n?1)?2
n
?2(1?2?2
2
???2
n?1
)?(2n?1)?2
n
?1

?
2(1?2
n
)
1?2
?(2n?1)?2
n
?1

所以
T
n
?(2n?3)?2
n
?3

22、（本小题满分 12 分）已知圆
C:(x?3)
2
?(y?4)2
?4
，直线
l
1
过定点 A (1，0)．
（1）若
l
1
与圆C相切，求
l
1
的方程；
（2）若
l
p
1
的倾斜角为
4
，
l
1
与圆C相交于P，Q两点，求线段PQ的中点M的坐标；
（3）若
l
1
与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时
l
1
的 直线方程．
(1) 解：①若直线
l
1
的斜率不存在，则直线
x?1
，符合题意． …………………1 分
②若直线
l
1
斜率存在，设直线
l< br>1
为
y?k(x?1)
，即
kx?y?k?0
．
由 题意知，圆心（3，4）到已知直线
l
3k?4?k
1
的距离等于半径2，即 ：
k
2
?1
?2
，
解之得
k?
3
4
.
所求直线方程是
x?1
，或
3x?4y?3?0
． …………………………………… 3分
(2) 直线
l
1
方程为y=x-1.
∵PQ⊥CM,
∴CM方程为y－4=－(x－3),即x＋y－7＝0.
∵
?
?
y?x?1,
?
x?y?7?0,

∴
?
?
x?4,

?
y?3.
∴M点坐标（4，3）． ……………………………………6

(3) 直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,设直线方程为
kx?y?k?0
，
则圆
心到直
l
|2k?4|
1
的距离
d?
1?k
2
.
?????????
7
分

又?三角形CPQ面
积
S?
1
d?24?d
2
?d4?d
2
2

?4d
2
?d
4
??(d
2
?2)
2?4，
∴当d＝
2
时，S取得最小值2. …………………………………9分
?d?
|2k?4|
1?k
2
? 2,k?1
或
k?7.
????????????
11
分

∴直线方程为y＝x－1,或y＝7x－7. …………………………………12分