高中数学必修5-均值不等式

高中数学必修5-均值不等式

均值不等式复习（学案）

基础知识回顾
1．均值不等式：
ab
≤
a
＋
b
2
(1)均值不等式成立的条件：
___ ____________
.
(2)等号成立的条件：当且仅当
____________
时取
等号．
2．几个重要的不等式

ba
(1)
a
＋
b≥2
ab
(
a
，
b
∈R)． (2)＋≥2(
a
，
b
ab
22
同号)．
22< br>?
a
＋
b
?
2
a
＋
b
?< br>a
＋
b
?
?
(
a
，
b
∈R )． (4)
?
(3)
ab
≤
?
≥
?2
?
2
??
2
?
2
(
a
，< br>b
∈R)．
注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二
定、三相等”
3．算术平均数与几何平均数
a
＋
b
设
a
＞0，
b
＞0，则
a
，
b
的算术平均数为，几
2
何平均数为
ab
，均值不等式可叙述为两个正数的算术
平均数大于或等于它的几何平均 数．
4．利用均值不等式求最值问题
已知
x
＞0，
y
＞0，则
(1) 如果积
xy< br>是定值
p
，那么当且仅当
________
时，
______ ____
有最_____值是_____(简记：积定和最
小)

2

(2)如果和
x
＋
y
是定值
s< br>，那么当且仅当
_____
时，
____
有最______值是___ ____.(简记：和定积最
大)
双基自测
1
1．函数
y
＝
x
＋(
x
＞0)的值域为( )．
x

A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，
＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋
∞) a
＋
b
1
22
2．下列不等式：①
a
＋1＞2
a
；②≤2；③
x
＋
2
x
＋1
ab
≥1.其中正确的个数是( )．
A．0 B．1 C．2
D．3
3．若正实数
a
，
b
满足a
＋
b
＝1，则( )．
1
A.＋有最大值4 B．
ab
有最小值
ab
4
C.
a
＋
b
有最大值2 D．
a
2
＋
b
2
有最小
2
值
2
4.若实数
a,b
满足
a?b?2
，则
3?3
的最 小值是( )
A．18 B. 6 C.
D.
23

ab
4
11
23


3

5.若正数
a,b
满足
a b?a?b?3
，则
ab
的取值范围
是 .
1
?
的最小值为 . 6.若
x,y?R
, 且
2x?y?1
，则
1
xy
?
典型例题
类型一 利用均值不等式求最值
1
1．若函数
f
(
x
)＝
x
＋(
x
＞2)的最小值为
x
－2
___________ _.
2
t
－4
t
＋1
2．已知
t
＞0， 则函数
y
＝的最小值为
t
________．
2
x
3. 当
x
＞0时，则
f
(
x
)＝
2
的最大值为
x
＋1
________．
11
4. 已知
x
＞0，
y
＞0，且2
x
＋
y
＝1，则＋的最小
xy
值为________；
5. 若x
，
y
∈(0，＋∞)且2
x
＋8
y
－
xy
＝0，则
x
＋
y
的最小值为________．
2
2
6. 已知0＜
x
＜，则
y
＝2
x< br>－5
x
的最大值为
5
________．
3
??2,(x?0,y?0)
,则
xy
的最小值是7. 已知
5
xy
_____________
8．已知
x
，< br>y
∈R，且满足＋＝1，则
xy
的最大
34

4
＋
xy

值为________．
类型二. 证明题
1
1.已知
a
＞0，
b
＞0，
c
＞0，且
a
＋
b
＋
c
＝1. 求证：＋
11
b
＋
c
≥9.








2.正数
a
，
b，
c
满足
a
＋
b
＋
c
＝1，求证：< br>－
c
)≥8
abc









类型三. 恒成立问题

5
a
－
a
)(1－
b
)(1(1

< br>x
1.若对任意
x
＞0，
2
≤
a
恒成立，则
a
的取值范
x
＋3
x
＋1
围是________．
a
2.已知不等式
(x?y)(
1
则正实
?)?9
对任意正实数
x,y
恒成立，
xy
数
a
的最小值为
巩固练习
1．已知
x
＞0，
y
＞0，
x
，
a
，
b
，
y
成等差数列，
x
，
c
，
d
，
y
成等比数列，则
(a?b)
2
cd
的最小值是
A．0 B．1 C．2 D．4
2．已知0＜
x
＜1，则
x
(3－3
x
)取得最大值时
x
的值为
( )．
1132
A. B. C. D.
3243
3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，
则两个正方形面积之和的最 小值为( )．
A．4 B．8 C．16 D．32
4. 设x、y为正数，则有(x+y)(＋)的最小值为（ ）
14
xy
A．15 B．12 C．9 D．6
5. 已知
x,y?R
，且
x?4y?1
，则
x?y
的最大值为 .

?

6

1
6. 已知
x?
5
，则函数的最大值为
y?4x?2?
44x?5
2
7. 已知
x
、
y< br>为正实数，且
1
+=1
，则x+y的最小
xy
值 。
8. 已知
x?0，y?0
，且
x?2y?xy?30
，则xy
的最大
值 ．
2
9. 已知
lgx?lgy?1
，则
5
?
的最小值是 .
xy
10.若
x
，y是正数，则
(x?
2
1< br>y
)
11. 函数
y?a
1?x
2
?(y?
1
2
)
2x
的最小值是
(a?0，a?1 )
的图象恒过定点
A
，若点
A
在直线
mx?ny?1?0( mn?0)
11
上，则
m
?
的最小值为 ．
n
12. 已知
a
＞0，
b
＞0，且
a
＋
b
＝1，则＋的最小
12
ab
值 ．
13.（1）求



（2）求函数
y?




7
x
2
?7x?10
y?(x??1)
x?1
的值域。
x
2
?5
x?4
2
的值域。

14．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，
x
的值.
x
2
?3x?1
(1)y?,(x?0)
x



(2)y?2x?
1
,(x?3)

x?3


1
(3)y?2sinx?,x?(0,
?
)

sinx


9
??1
，求使不等式
x?y?m
恒成立的实15. 已知
x?0,y?0
且
1
xy
数
m
的取值范围。



16．已知
x
＞0，
y
＞0，且2
x
＋8
y
－
xy
＝0，求：(1)
xy
的 最小值； (2)
x
＋
y
的最小值．




8

17. 某种汽车，购买时费用为10万元；每年应交保险费、
养路费及汽油费合计9千元；汽车的维修费平均为 第
一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成
等差数列递增。问这种汽车使用多少年报 废最合算
（及使用多少年的年平均费用最少）？








18.研究函数
质。
（1）定义域
（2）值域
（3）奇偶性

9
b
f(x)?ax?(a、b?0)
x
图象及性?
y
b
2ab
a
o
?2ab
x
ba

（4）单调性
（5）极值点
（6）图象
练习：若x、y
?R
，求
f(x)?x?
4< br>(0?x?1)
的最小值。
?

x
10