高中数学数列难度-高中数学三角函数的诱导公式ppt
-------------------------------------------
------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------
-------------------------------------------
必修5综合测试
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共6
0分.在每小题
给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设
a
<
b
<0,则下列不等式一定成立的是( )
A.
a
2
<
ab
<
b
2
C.
a
2
<
b
2
<
ab
答案 B
2.关于数列3,9,…,2187,…,以下结论正确的是( )
A.此数列不是等差数列,也不是等比数列
B.此数列可能是等差数列,也可能是等比数列
C.此数列可能是等差数列,但不是等比数列
D.此数列不是等差数列,但可能是等比数列
解析 记
a
1
=3,
a
2
=9,…,
a<
br>n
=2187,…
若该数列为等差数列,则公差
d
=9-3=6,
B.
b
2
<
ab
<
a
2
D.
ab
<
b
2
<
a
2
信达
---------------------------
----------------------------------------奋斗没有终点任何时候
都是一个起点--------------------------------------------
---------
a
n
=3+(
n
-1)×
6=2187,∴
n
=365.
∴{
a
n
}可为等差数列.
若{
a
}为等比数列
,则公比
q
=
9
n
3
=3.
a
n
=3·3
n
-1
=2187=3
7
,∴
n
=7.
∴{
a
n
}也可能为等比数列.
答案 B
3.在△ABC
中,若sin
2
A
+sin
2
B
=2s
in
2
C
,则角
C
为( )
A.钝角 B.直角
C.锐角 D.60°
解析 由sin
2
A
+sin
2<
br>B
=2sin
2
C
,得
a
2
+
b<
br>2
=2
c
2
.
即
a
2
+
b
2
-
c
2
=
c
2
>0,cos
C
>0.
答案 C
4.定义新运算
a
*
b
=<
br>?
?
?
a
,
a
≤
b
,
?<
br>?
b
,
a
>
b
,
例如1](
)
A.(-∞,+∞) B.(-∞,1)
C.(1,+∞)
D.(-∞,1)∪(1,+∞)
2
解析
?
?
?
x≤2
x
-1,
?
?
x
2
<1,
或
?
?
2
?
x
>2
x
-1,
?
?
2
x
-1<1.
解得
x
<1.
答案 B
5.一张报纸,其厚度为
a,面积为
b
,现将此报纸对折7次,这
( )
A.8
a
,
b
8
B.64
a
,
b
64
信达
时报纸的厚度和面积
分别为
------------------------------------
-------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---
--------------------------------------------------
C.128
a
,
128
答案 C
b
D.256
a
,
256
b
6.不等式
y
≤3
x
+
b
所表示的区域恰好使点(3,4)不在此区域内,而点(4,4)在此区域内,则
b
的范围是( )
A.-8≤
b
≤-5
C.-8≤
b
<-5
B.
b
≤-8或
b
>-5
D.
b
≤-8或
b
≥-5
解析
∵4>3×3+
b
,且4≤3×4+
b
,
∴-8≤
b
<-5.
答案 C
?
?
m
-
n
≤2,
7.已知实数
m
,
n
满足不等式组?
m
+
n
≤3,
?
?
m
≥0,
( )
A.7,-4
C.4,-7
2
m
+
n
≤4,
则关于
x
的<
br>方程
x
2
-(3
m
+2
n
)
x+6
mn
=0的两根之和的最大值和最小值分别是
B.8,-8
D.6,-6
解析 两根之和
z
=3
m
+2
n<
br>,画出可行域,当
m
=1,
n
=2时,
z
max=7;当
m
=0,
n
=-2时,
z
min
=-
4.
答案 A
8.已知
a
,
b
,
c
成
等比数列,
a
,
x
,
b
成等差数列,
b
,
y
,
c
成
ac
等差数列,则+的值等于( )
xy
1
A.
4
信达
1
B.
2
------------------------------------------
-------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------
--------------------------------------------
C.2 D.1
解析
用特殊值法,令
a
=
b
=
c
.
答案 C
9.制作一个面积为1m
2
,形状为直角三角形的铁架框,有下列四
种长度的铁管供
选择,较经济的(够用、又耗材最少)是( )
A.4.6m
C.5m
B.4.8m
D.5.2m
解析 设三角形两直角边长为
a
m,
b
m,则
ab
=2,周长
C
=
a
+
b
+
a
2
+
b
2
≥2
ab
+2
ab
=22+2≈4.828(m).
答案 C
10.设{
a<
br>n
}是正数等差数列,{
b
n
}是正数等比数列,且
a
1
=
b
1
,
a
2
n
+1
=b
2
n
+1,
则( )
A.
a
n
+1
>
b
n
+1
C.
a
n
+1
<
b
n
+1
解析
a
n
+1
=
答案 B
11.下表给出一个“直角三角形数阵”:
1
4
11
,
24
333
,,
4816
……
满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,
信达
B.
a
n
+1
≥
b
n
+1
D.
a
n
+1
=
b
n
+1
a
1
+
a
2
n
+1
2
≥
a<
br>1
a
2
n
+1
=
b
1
b
2
n
+1
=
b
n
+1
.
-
--------------------------------------------------
----------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------
-----------------------------------
且每一行的公比相等,记第
i
行第
j
列的数为
a
i
j
(
i
≥
j
,
i
,
j
∈N*),
则
a
83
等于( )
1
A.
8
1
C.
2
1
B.
4
D.1
11238
解析 第1列为,=,,…,所以第8行第1个数为,又每
4244418111
一行都成等比数列且公比为,所以
a
83
=××=.
24222
答案 C
y
+
x
-1≤0,
?
?
12.已知变量
x
,
y
满足约束条件
?
y-3
x
-1≤0,
?
?
y
-
x
+1≥
0,
+
y
的最大值为( )
A.4
C.1
B.2
D.-4
则
z
=2
x
解析
先作出约束条件满足的平面区域,如图所示.
信达
------
--------------------------------------------------
-----------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------
------------------------------
由
图可知,当直线
y
+2
x
=0,经过点(1,0)时,
z
有
最大值,此时
z
=2×1+0=2.
答案 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.共20分.把答案填
在题中横线上)
1
3.在△
ABC
中,
B
=45°,
C
=60°,
c
=1,则最短边的边长等于
________.
解析 ∵
B
=45
°,
C
=60°,∴
A
=180°-
B
-
C
=75°.
c
sin
B
1×sin45°6
∴最短边为
b
.由正弦定理,得
b
===.
sin
C
sin60°3
6
答案
3
b
14.锐角△
ABC
中,若
B
=2
A
,则的取值范围是__
________.
a
解析 ∵△
ABC
为锐角三角形,
??
∴
?
π
0<π-
A
-
B
<,
?
?
2
ππ
∴
A
∈(,).
64
π
0<
B
=2
A
<,
2
<
br>?
?
∴
?
ππ
?
?
6
<
A
<
3
.
π
0<
A
<,
4
b
sin
B
∴==2cos
A
.
a
sin
A
b
∴∈(2,3).
a
答案
(2,3)
15.数列{
a
n
}满足
a
1
=3,
a
n
+1
-2
a
n
=0,数列{
b
n
}的通项公式满足
信达
------------------
-------------------------------------------------奋
斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------
------------------
关系式
a
n
·
b
n
=(-1)
n
(
n
∈N
*
),则
b
n
=________.
解析 ∵
a
1
=3,
a
n
+1
=2
a
n
,
∴数列{
a
n
}为等比数列,且公比
q
=2.
∴
a
n
=3·2
n
-1
.
又
a
n
·
b
n
=(-1)
n
.
n
-1
∴
b
n
=(-1)
n
·=.
a
n
3·2
n
-1
1
-1
n
答案
3·2
n
-1
16.不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0的解集为{
x
|-1<
x
<2},那么不
等式
a
(
x
2
+1)+
b
(
x
-
1)+
c
>2
ax
的解集为________.
?
?
-1+2=-
b
,
a
解析 由题意,得
?
?
-1×2=
c
,
?
a
解得0<
x<
br><3.
答案 {
x
|0<
x
<3}
a
<0,
b
=-
a
,
?
?则
?
c
=-2
a
,
?
?
a
<
0.
所求不等式可化为
x
2
+1-(
x
-1)+(-2)<2
x
,
三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写
出必要的文
字说明、证明过程或演算步骤)
??
3
2
17.(10
分)已知全集
U
=R,
A
=
?
x
|-
x<
br>+
x
+1>0
?
,
B
={
x
|3<
br>x
2
4
??
-4
x
+1>0},求?
U(
A
∩
B
).
??
2
解
A
={
x
|3
x
-4
x
-4<0}=
?
x
|-<
x
<2
?
,
3
??
2
信达
----------------
--------------------------------------------------
-奋斗没有终点任何时候都是一个起点---------------------------------
--------------------
??
1
B
=
?
x
|
x
<,或
x
>1
?<
br>.
3
??
??
21
A
∩
B
=?
x
|-<
x
<,或1<
x
<2
?
,
33
??
21
?
U
(
A
∩
B)={
x
|
x
≤-,或≤
x
≤1,或
x
≥2}.
33
18.(12分)在△
ABC
中,
a
,<
br>b
,
c
分别是角
A
,
B
,
C
的对边,且
8sin
2
B
+
C
2
-2cos2<
br>A
=7.
(1)求角
A
的大小;
(2)若
a=3,
b
+
c
=3,求
b
和
c
的值.
解 (1)在△
ABC
中,有
B
+
C
=
π
-
A
,
由条件可得4[1-cos(
B
+
C)]-4cos
2
A
+2=7,
即(2cos
A
-1)
2
=0,
1
∴cos
A
=.
2
又0<
A
<π,∴
A
=.
3
1
b
2
+
c
2
-
a
2
1
(2)由
cos
A
=,得=,即(
b
+
c
)
2
-<
br>a
2
=3
bc
,则3
2
-
22
bc
2
(3)
2
=3
bc
,即
bc
=2. <
br>?
?
b
+
c
=3,
由
?
?
bc
=2,
?
π
?
?
b
=1,
解得
?
?
c
=2,
?
?
?
b<
br>=2,
或
?
?
c
=1.
?
19.(12分)递增等比数列{
a
n
}满足
a
2
+<
br>a
3
+
a
4
=28,且
a
3
+2是
a
2
和
a
4
的等差中项.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式;
信达
-------------------------------------------------
------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点----------------
-------------------------------------
(2)若
b
n
=
a
n
·log
1
a
n
,求数列{
b
n
}的前
n
项和.
2
解 (1)设等比数列的公比为
q
(
q
>1),
23
?
aq
+
aq
+
aq
=28,
11
1
?
则有
?
32
?
?
a
1
q+
a
1
q
=2
a
1
q
+2,
?
?
a
1
=2,
解得
?
??
q
=2,
2
a
=32,
?
?或
?
1
q
=,
?
?
2
1
(舍去).
所以
a
n
=2·2
n
-1
=
2
n
.
(2)
b
n
=
a
n
·log
1
a
n
=-
n
·2
n
,
S
n=-(1·2+2·2
2
+3·2
3
+…+
n
·2n
),
2
S
n
=-(1·2
2
+2·23
+…+(
n
-1)·2
n
+
n
·2
n
+1
).
n
21-2
两式相减,得
S
n
=2+2
2
+2
3
+…+2
n
-
n
·2
n
+1
=-
n
·2
n
1-2
+1
=-(
n
-1)·2
n
+1
-2.
20.(12分)配制
两种药剂,需要甲、乙两种原料.已知配
A
种药
需要甲料3毫克,乙料5毫克;配B
种药需要甲料5毫克、乙料4毫
克.今有甲料20毫克,乙料25毫克,若
A<
br>,
B
两种药至少各配一剂,
问
A
、
B
两种药
最多能各配几剂?
解 设
A
、
B
两种药分别能配
x
,
y
剂,
x
,
y
∈N
*
,则
?
?
y
≥1,
?
3
x
+5
y
≤20
,
?
?
5
x
+4
y
≤25,
x
≥
1,
作出可行域,图中阴影部分的整点有(1,1),
(1,2),(1,3),(
2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1).
信达
--
--------------------------------------------------
---------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-------------------
----------------------------------
所以,在保证
A
,
B
两种药至少各配一剂的条件下,A
种药最多配
4剂,
B
种药最多配3剂.
a
+
b
sin
B
21.(12分)在△
ABC
中,已知=,且cos(
A
-
B
)
a
sin
B
-sin
A
+cos
C
=1-cos2
C
.
(1)试确定△
ABC
的形状;
a
+
c
(2)求的范围.
b
a
+
b
sin
B
解 (1)由=,
a
sin
B
-sin
A
a
+
bb
得=,即<
br>b
2
-
a
2
=
ab
,①
ab-
a
又cos(
A
-
B
)+cos
C
=1-cos2
C
,
所以cos(
A
-
B
)-c
os(
A
+
B
)=2sin
2
C
.
si
n
A
·sin
B
=sin
2
C
,则
ab<
br>=
c
2
.②
由①②知
b
2
-
a<
br>2
=
c
2
,即
b
2
=
a
2
+
c
2
.所以△
ABC
为直角三角形.
a
+
c
(2)在△
ABC
中,
a
+
c
><
br>b
,即>1.
b
信达
-------------
--------------------------------------------------
----奋斗没有终点任何时候都是一个起点------------------------------
-----------------------
a
+c
又=
b
a
2
+
c
2
+2
a
c
≤
b
2
2
a
2
+
c
2
b
2
=
2
b
2
a
+
c
=2,故<
br>b
2
b
的取值范围为(1,2].
22.(12分)设{
a
n
}是公差不为零的等差数列,
S
n
为其前
n
项和
,
222
满足
a
2
2
+
a
3
=<
br>a
4
+
a
5
,
S
7
=7.
(1)求数列{
a
n
}的通项公式及前
n
项和
S
n
;
a
m
a
m
+1
(2)试求所有的正整数m
,使得为数列{
a
n
}中的项.
a
m
+2
解 (1)由题意,设等差数列{
a
n
}
的通项公式为
a
n
=
a
1
+(
n
-1)<
br>d
,
(
d
≠0).
222
由
a
2
2
+
a
3
=
a
4
+
a
5
,知2
a
1
+5
d
=0.①
又因为
S<
br>7
=7,所以
a
1
+3
d
=1.②
由①②可得
a
1
=-5,
d
=2.
所以数列{<
br>a
n
}的通项公式
a
n
=2
n
-7,
S
n
=
na
1
+
a
n
2
=n
2
-6
n
.
a
m
a
m
+
1
a
m
+2
-4
a
m
+2
-28
(2)因为==
a
m
+2
-6+为数列{
a
n
}<
br>a
m
+2
a
m
+2
a
m
+2
中的项,故
8
a
m
+2
为整数,又由(1)知
a
m
+2
为奇数,所以
a
m
+2
=2
m
-3
=±
1,即
m
=1,2.
a
m
a
m
+1
-5×-3
当
m
=1时,==-15.
a
m
+2
-1
显然它不是数列{
a
n
}中的项.
当
m=2时,
a
m
·
a
m
+1
-3×-1
==1.
a
m
+3
3
它是数列{
a
n
}中的项.
因此,符合题意的正整数只有
m
=2.
信达