高中数学必修五习题与解析

必修五
第一章 解三角形
1.在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．非钝角三角形 5
2
＋6
2
－8
2
3
解析：最大边AC所对角 为B，则cosB＝＝－<0，∴B为钝角． 答案 C
2×5×620
2．在△ABC中， 已知a＝1，b＝3，A＝30°，B为锐角，那么A，B，C的大小关系为( )
A．A>B>C B．B>A>C C．C>B>A D．C>A>B
abbsinA3
解析 由正弦定理＝，∴sinB＝＝.
sinAsinBa2
∵B为锐角，∴B＝60°，则C＝90°，故C>B>A. 答案 C
3．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )
32
A．42 B．43 C．46 D.
3
3
8×< br>2
asinB8×sin60°
解:由A＋B＋C＝180°，可求得A＝45°，由正 弦定理，得b＝＝＝＝46.
sinA
sin45°
2
2
答案 C
→→
4．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则BA
·BC
的值 为( )
A．5 B．－5 C．15 D．－15
解析 在△ABC中，由余弦定理得
AB
2
＋BC
2
－AC
2< br>25＋49－641
cosB＝＝＝.
7
2AB·BC2×5×7
1
∴BA
·BC
＝|BA|·|BC|cosB＝5×7×＝5. 答案 A
7
5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )
A．1：2：3 B．1：3：2 C．1：2：3 D.2：3：2
3a
2
→→→→
a
2
＋
解析 设三边长分别为a， 3a,2a，设最大角为A，则cosA＝
－2a
2
2·a·3a
＝0，∴A ＝90°.
设最小角为B，则cosB＝
2a
2
＋3a
2
－a
2
2·2a·3a
＝
3
，
2
∴B＝30°，∴C＝60°. 因此三角之比为1：2：3. 答案 A
6．在△ABC中，若a＝6，b＝9，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定
2
9×
2
3 2babsinA
解析 由＝，得sinB＝＝＝>1.
sinBsinAa64
∴此三角形无解． 答案 A

7．已知△ ABC的外接圆半径为R，且2R(sin
2
A－sin
2
C)＝(2a－b )sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C
的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析 根据正弦定理，原式可化为
a
2
c
2
?
b
?
－
2R
?
2， ∴a
2
－c
2
＝(2a－b)b，∴a
2
＋b2
－c
2
＝2ab，
2
?
＝(2a－b)·
2R
?
4R4R
?
a
2
＋b
2
－c
2
2
∴cosC＝＝，∴C＝45°. 答案 B
2ab2
8．在△A BC中，已知sin
2
A＋sin
2
B－sinAsinB＝sin
2
C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为( )
A．1 B．2 C.2 D.3
abc
解析 由＝＝＝2R，又sin
2
A＋sin
2B－sinAsinB＝sin
2
C，
sinAsinBsinC
a< br>2
＋b
2
－c
2
13
可得a＋b－ab＝c.∴co sC＝＝，∴C＝60°，sinC＝.
2ab22
222
1
∴S
△ABC
＝absinC＝3.答案 D
2
sinB
9．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为( )
sinC
8
A.
5
553
B. C. D.
835
解析 由余弦定理，得
AB
2
＋AC
2－BC
2
sinBAC3
cosA＝，解得AC＝3. 由正弦定理＝＝. 答案 D
sinCAB5
2AB·AC
10.在三角形ABC中，AB＝5，AC＝ 3，BC＝7，则∠BAC的大小为( )
2π5π3π
A. B. C.
364
π
D.
3
AB
2
＋AC
2
－BC
2
5
2
＋3
2
－7
2
12π解析 由余弦定理，得cos∠BAC＝＝＝－，∴∠BAC＝.
23
2AB·AC2×5×3
答案 A
11．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改
为10°，则坡底要加长( )
A．0.5 km B．1 km C．1.5 km D.
3
km
2
解析 如图，AC＝AB·sin20°＝sin20°，
AC
BC＝A B·cos20°＝cos20°，DC＝＝2cos
2
10°，
tan10°
∴DB＝DC－BC＝2cos
2
10°－cos20°＝1. 答案 B
12．已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝7 5°，则b为( )
A．2 B．4＋23 C．4－23 D.6－2
解析 在△ABC中，由余弦定理，得a
2
＝b
2
＋c
2
－2bc cosA，∵a＝c，∴0＝b
2
－2bccosA＝b
2
－2b(6＋2) cos75°，
2
?
31
?
1
－
?
＝(6 －2)，∴b
2
－2b(6＋2)cos75°＝
?
2
?
2 2
?
4
而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－s in30°sin45°＝

1
b
2
－2b(6＋2)·(6－ 2)＝b
2
－2b＝0，解得b＝2，或b＝0(舍去)．故选A. 答案 A
4< br>13．在△ABC中，A＝60°，C＝45°，b＝4，则此三角形的最小边是___________ _．
bsinC4sin45°
解析 由A＋B＋C＝180°，得B＝75°，∴c为最小边，由正弦定理，知c＝＝＝4(3－1)． 答案 4(3
sinB
sin75°
－1)
14．在△ABC中，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________.
解析 由B＝A＋60°，得
13
sinB＝sin(A＋60°)＝sinA＋cosA. 22
13
又由b＝2a，知sinB＝2sinA.∴2sinA＝sinA＋cosA.
22
33
即sinA＝cosA.∵cosA≠0，
22
3
∴tanA＝
.∵0°3
15．在△ABC中，A＋C＝2B，BC＝5，且△ABC的面积为103，则B ＝_______，AB＝_______.
解析 由A＋C＝2B及A＋B＋C＝180°，得B＝60°.
11
又S＝AB·BC·sinB，∴10 3＝AB×5×sin60°，∴AB＝8. 答案 60° 8
22
16．在△ABC中，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)＝8 ：9：10，则sinA：sinB：sinC＝________.
?
b＋c＝8k，
?
解析 设
?
c＋a＝9k，
?
?
a＋b＝10k，

可得a：b：c＝11：9：7.
∴sinA：sinB：sinC＝11：9：7. 答案 11：9：7
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在非等腰△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a
2
＝b(b＋c)．
(1)求证：A＝2B；
(2)若a＝3b，试判断△ABC的形状．
a
2
＋c
2
－b
2
bc＋c
2
b ＋casinA
解 (1)证明：在△ABC中，∵a＝b·(b＋c)＝b＋bc，由余弦定理，得cosB＝＝＝＝＝，
2ac2ac2a2b2sinB
22
∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B.
则A＝2B或A＋2B＝π.
若A＋2B＝π，又A＋B＋C＝π，∴B＝C.这与已知相矛盾，故A＝2B.
(2)∵a ＝3b，由a
2
＝b(b＋c)，得3b
2
＝b
2
＋bc， ∴c＝2b.
又a
2
＋b
2
＝4b
2
＝c
2
.
故△ABC为直角三角形．
18．(12分)锐角三角形ABC中，边a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两根，角A，B满足2sin(A＋B)－3＝0.求：
(1)角C的度数；
(2)边c的长度及△ABC的面积．
解 (1)由2sin(A＋B)－3＝0，得sin(A＋B)＝
3
.
2
∵△ABC为锐角三角形，∴A＋B＝120°，∴∠C＝60°.

(2)∵a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两个根，
∴a＋b＝23，ab＝2.
∴c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC＝(a＋b)
2
－3ab＝12－6＝6.
∴c＝6.
1133
S
△
ABC
＝absinC＝
×2×
＝.
2222

19．(12分)如右图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126
nmile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83 nmile，货轮由A处
向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处的距离；
(2)灯塔C与D处的距离．
2
126×2
ABsinB
6，由正弦定理，得AD＝＝＝24(nmile)．
sin∠ADB
3
2
解 (1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，AB＝12
(2)在△ADC中，由余弦定理，得
CD
2
＝AD
2
＋ AC
2
－2AD·AC·cos30°.
解得CD＝83(nmile)．
∴A处与D处的距离为24 nmile，灯塔C与D处的距离为83 nmile.
20． (12分)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB， sinA)，p＝(b－2，
a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
π
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
3
解 (1)证明：∵m∥n，∴asinA＝bsinB.
由正弦定得知，sinA＝
abab< br>，sinB＝(其中R为△ABC外接圆的半径)，代入上式，得a·＝b·，∴a＝b.故△ABC2R2R2R2R
为等腰三角形．
(2)∵m⊥p，∴m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.
由余弦定理c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcosC得
4＝(a＋b)
2
－3ab，即(ab)
2
－3ab－4＝0.
解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．
11
π
∴△ABC的面积S＝absinC＝
×4×sin
＝3.
223

第二章 数列
1．已知正项数列{a
n
}中，a
1
=l，a
2
=2，
A．16 B．4 C．2 D．45
（n≥2），则a
6
=（ ）

【解答】解：∵正项数列{ a
n
}中，a
1
=1，a
2
=2，2a
n
2
=a
n+1
2
+a
n
﹣
1
2
（ n≥2），
∴a
n+1
2
﹣a
n
2
=a
n
2
﹣a
n
﹣
1
2
，
∴数列{a
n
2
}为等差数列，首项为1，公差d=a
2
2
﹣a
1< br>2
=3，
∴a
n
2
=1+3（n﹣1）=3n﹣2，∴a< br>n
=
∴a
6
==4， 故选：B

2．《丘建算经 》卷上第22题﹣﹣“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量
相同 ．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
【解答】解：设该妇子织布每天增加d尺，
由题意知，解得d=．
故该女子织布每天增加尺．故选：B．
3．已知数列{a
n
}满足a
1
=1，a
n+1
=
A．16 B．20 C．33 D．120
，则其前6项之和是（ ）
【解答】解：∵a
1
=1，a
n+1
=，
∴a
2
=2a
1
=2，a
3
=a
2
+1=2+1=3，a
4
=2a
3
=6，a
5
=a
4
+1=7， a
6
=2a
5
=14
∴其前6项之和是1+2+3+6+7+14=33故选C．
4．定义
则
A．
为n个正数p
1
，p
2
，…p
n
的“均倒数”．若已知数列{a
n
}的前n项的“均倒数”为
=（ ）
B． C． D．
∴a
1
+a
2
+…+a
n
=n（2n+1）=S
n

，又，
【解答】解：由已知得 ，
当n≥2时，a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1< br>=4n﹣1，验证知当n=1时也成立，∴a
n
=4n﹣1，
∴
∴
，∴
=(1-)+

． 故选C．
5．已 知等比数列{a
n
}是递增数列，S
n
是{a
n
}的前n项 和．若a
1
，a
3
是方程x
2
﹣5x+4=0的两个根，则 S
6
= 63 ．
【解答】解：解方程x
2
﹣5x+4=0，得x
1
=1，x
2
=4．
因为数列{a
n
}是递增数 列，且a
1
，a
3
是方程x
2
﹣5x+4=0的两个根，
所以a
1
=1，a
3
=4．设等比数列{a
n
}的 公比为q，则
则． 故答案为63．
，所以q=2．
6．如图给出一个“三角形数 阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公
比都相等，记第i 行第j列的数为a
ij
（i≥j，i，j∈N
*
），则a
53
等于 ，a
mn
= （m≥3）．

< br>【解答】解：①第k行的所含的数的个数为k，∴前n行所含的数的总数=1+2+…+n=
a< br>53
表示的是第5行的第三个数，由每一列数成等差数列，且第一列是首项为，公差d=
一列的第5 个数=;
．
的等差数列，∴第
又从第三行起，每一行数成等比数列， 而且每一行的公比都相等，由第三行可知公比q==，∴第5行是以为首项，
为公比的等比数列，∴．
，∴． ②a
mn
表示的是第m行的第n个数，由①可知：第一列的第m 个数=
故答案分别为，．
7．等差数列{a
n
}中，a
7
=4，a
19
=2a
9
，
（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；
（Ⅱ）设b
n
=，求数 列{b
n
}的前n项和S
n
．
【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．
【分析】（I）由a
7< br>=4，a
19
=2a
9
，结合等差数列的通项公式可求a
1< br>，d，进而可求a
n

（II）由，利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列{a
n
}的公差为d
∵a
7
=4，a
19
=2a
9
，∴
解得，a
1
=1，d =∴
（II）∵
∴




． 8．已知等差数列 {a
n
}，的前n项和为S
n
，且a
2
=2，S
5
=15，数列{b
n
}满足b
1
=，b
n+1
=< br>（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式；
（2）记T
n
为数列{b
n
}的前n项和，
请说明理由．
将
，试问f（n）是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在
b
n整理，得到{}是首项为，公比为的等比数列，应用等比数列的通项即可求出b
n
； （2）运用错位相减法求出前n项和T
n
，化简f（n），运用相邻两项的差f（n+1） ﹣f（n），判断f（n）的增减性，
从而判断f（n）是否存在最大值．
【解答】解：（1）设等差数列{a
n
}首项为a
1
，公差为d，

则解得a
1
=1，d=1，∴a
n
=n，又，
即{}是首项为，公比为的等比数列，
∴，∴；
，
，
（2） 由（1）得：
相减，得
∴
∴
∴
，又S
n
=n（n+ 1），
，
， =，
，
当n＞3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，数列{f（n）}是递减数列，
又,,
∴f（n）存在最大值，且为．
9．设数列
（1）设
（2）求数列
解：（1）∵
两式相减，得
∴
∴
∴数列
， 即
，即
是等比数列。
即

对一切正整数都成立。
的前 项
n
和为，若对于任意的正整数
n
都有
，求证：数列
的前< br>n
项和.
对于任意的正整数都成立，∴


是等比数列，并求出
.
的通项公式。
由已知得
S
1
?2a
1
?3

∴首项，公比q=2，∴a
1
?2a
1
?3,?a
1
?3
。

。

(2)
Q
na
n
?3?n?2
n
?3n,
?S
n
?3(1?2?2?2
2
?3?2
3
?
L
?n?2
n
)?3(1?2?3?
L
?n ),
2S
n
?3(1?2
2
?2?2
3
?3?2< br>4
?
L
?n?2
n?1
)?6(1?2?3?
L?n),
?S
n
?3(2?2
2
?2
3
?L
?2
n
)?3n?2
n?1
?3(1?2?3?
L< br>?n),
2(2
n
?1)3n(n?1)
?3??6n?2
n
?
2?12
3n(n?1)
?S
n
?(6n?6)?2n
?6?.
2
10．设数列{
a
n
}的前
n< br>项为
S
n
，点
（1）求数列{
a
n
}的通项 公式。
（2）设
解：（1）∵点
，T
n
为数列{
b
n
}的前
n
项和，求使得
在函数
y
= 3
x
－2的图象上，
对所有都成立的最小正整数
m
.

均在函数
y
= 3
x
－2的图象上.
S
n?3n?2,即S
n
?3n
2
?2n
n

∴
a
1
=
s
1
=1
?
当< br>n?2时,a
n
?S
n
?S
n?1
?(3n
2
?2n)?[3(n?1)
2
?2(n?1)]?6n?5
n?N
*

?a
n
?6n?5

33111
b
n
???(?)
a?a(6n?5)(6n?1)26n?56n?1
nn?1
（2）
T
n
?b
1
?b
2
?b
3
???b
n

111111111
?[(?)?(?)?(?)???(? )]
?
1
(1?
1
)
71313196n?56n?1
26n?1

217
∴，使得

第三章 不等式
成立的
m
必须且仅需满足，故满足要求的最小整数
m
为10.
1.若bA.> B.|a|>|b| C.+>2 D.a+b>ab
【解析】选C.取b=-2，a=-1代入验证得C正确.
2.(2015·高二检测)不等式x-
A.(-∞，-1)∪(3，+∞)
【解析】选C.不等式x-
即
<1的解集是( )
D.(-1，3) B.(-1，1)∪(3，+∞) C.(-∞，-1)∪(1，3)
<1化为<0，
<0，由穿根法可得不等式的解集为(-∞，-1)∪(1，3).

3.(2015·高二检测)若mA.p【解析】选B.将p，q看成变量，则m4.若变量x，y满足约束条件
A.1 B.2
则z=2x+y的最大值为( )
C.3 D.4
【解析】选C.可行域 是由A(-1，-1)，B(-1，4)，C(1，1)构成的三角形，可知目标函数过C时最大，最大值为3.
5.(2015·高二检测)已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是( )
A.3 B.4 C. D.
， 【解析】选B.考查基本不等式 x+2y=8-x·(2y)≥8-
整理得
即
+4-32≥0，
≥0，
又x+2y>0，所以x+2y≥4.
当且仅当x=2，y=1时取等号.
6.设不等式组
是( )
A.(1，3]
表示的平面区域为D，若 指数函数y=a
x
的图象上存在区域D上的点，则a的取值围
B.[2，3] C.(1，2] D.[3，+∞)
【解析】选A.作出区域D的图象，联系指数函数y=a
x
的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点(2，9)时，a
可以取到最大值3，而显然 只要a大于1，图象必然经过区域的点，故a的取值围为(1，3].
7.当x>1时，不等式x+
A.(-∞，2]
≥a恒成立，则实数a的取值围是( )
D.(-∞，3] B.[2，+∞) C.[3，+∞)
=x-1+【解析】选D.因为x>1，所以x-1>0，则x++1≥2+1= 3，当且仅当x=2时取等号，所以a≤3.
8.(2015·高二检测)已知函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象经过点(-1，3)和(1，1)两点，若0A.(1，3) B.(1，2) C.[2，3) D.[1，3][来源:Z,xx,]

【解题指南】由函数图象经过两点，将两点的坐 标代入，可得a，b，c的关系，又因为0值围.
【解析】选B.a+c=2，c=2-a，0<2-a<1，19.(2015· 高二检测)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费
工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工 出
4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲 、乙两车间耗
费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A.甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B.甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C.甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D.甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
【解析】选B.设甲车间加工原料x箱， 乙车间加工原料y箱.则
可得：当x=15，y=55时z最大，本题也可以将答案逐项代入检验.
10.已知M是△ABC的一点，且
则+的最小值为( )
A.16 B.18
·

=2
C.20 D.24
·=2
目标函数z=280x+200y，结合图象
，∠BAC=，若△MBC，△MCA，△MAB的面积 分别为，x，y，
【解析】选B.因为
∴||||cos=2
，∠BAC=，
，∴bc=4，∴S
△ABC
=bcsin=bc=1.
∵△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，∴+x+y=1，化为x+y=.
∴+=2(x+y)=2≥2=18，
当且仅当y=2x=时取等号，故+的最小值为18.
11.已知两点O(0，0)，A(1，1)及直线l：x+y=a，它们满足：O，A有一点在直线l 上或O，A在直线l的两侧，设
h(a)=a
2
+2a+3，则使不等式x
2
+4x-2≤h(a)恒成立的x的取值围是( )
A.[0，2] B.[-5，1] C.[3，11] D.[2，3]
【解析】选B.由O，A有一点在直线l上可得a=0或a=2，[来源:]
由O，A在直线l的两侧可得a(a-2)<0，
解得0又函数h(a)=(a+1)
2
+2在[0，2]上单调递增，
所以h(a )
max
=h(2)=11，h(a)
min
=h(0)=3，