高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题及解析

在基础和跨越间架设金桥 在起步和成功间开辟通道
高中数学必修5正弦定理、余弦定理水平测试题

一、选择题
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a
2＋c
2
－b
2
＝3ac，则角B的值为( )
πππ5ππ2π
A. B. C. 或 D. 或
636633
2．已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为 ( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
3．(2010·上海高考)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC ( )
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )
5337
A. B. C. D.
18428
5．(2010·湖南高考)在 △ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝
2a，则 ( )
A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a与b大小不能确定
二、填空题
6．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对 的边，已知a＝3，b＝3，C＝30°，则A＝________.
7．(2010·山东高考)在 △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B
＝2，则角A的大小为________．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数 列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为
________．
三、解答题
9．△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.若a
2
－c
2
＝2b，且sin B＝4cos Asin C，求b.











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在基础和跨越间架设金桥 在起步和成功间开辟通道
10．在△ ABC中，已知a
2
＋b
2
＝c
2
＋ab.
（1）求角C的大小；
3
（2）又若sin Asin B＝，判断△ABC的形状．
4

















11．(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设 S为△ABC的面积，
3
且S＝(a
2
＋b
2
－c
2
)．
4
（1）求角C的大小；
（2）求sin A＋sin B的最大值．















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在基础和跨越间架设金桥 在起步和成功间开辟通道
答案及解析
a
2
＋c
2
－b
2
3
π
1．【解 析】由余弦定理cos B＝，由a
2
＋c
2
－b
2
＝3ac，∴cos B＝，又0＜B＜π，∴B＝.
2ac26
【答案】A
13
2．【解析】S
△
ABC
＝×3×4sin C＝33，∴sin C＝. ∵△ABC是锐角三角形，∴C＝60°.
22
【答案】B
3．【解析】由sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，得a∶b∶c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13.
∴c< br>2
＞a
2
＋b
2
＝5
2
＋11
2< br>＝146，∴c
2
＞a
2
＋b
2
，根据余弦定理，易 知△ABC为钝角三角形．
【答案】C
4．【解析】不妨设底面边长为1，则两腰长的和为4，一个腰长为2，由余弦定理得顶角的余弦值为
2
2
＋2
2
－1
2
7
＝.
8
2×2×2
【答案】D
5．【解析】∵∠C＝120°，c＝2a，∴由 余弦定理，得(2a)
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos 120°，故ab＝a
2
－b
2
＝
(a－b)(a＋b)＞0，∴a－b＞0，故a＞b.
【答案】A
6．【解析】∵c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C＝3，∴c＝3，∴a＝c，则A＝C＝30°.
【答案】30°
πππ
ab1
7．【解析】∵sin B＋cos B＝2sin(B＋)＝2，∴sin(B＋)＝1，∴B＝. 又＝，得sin A＝，
444sin Asin B2
π
A＝.
6
π
【答案】
6
π
1
8．【解析】∵A，B，C成等差数列，且A＋B＋C＝π，∴2B＝ A＋C，∴B＝，又BD＝BC＝2，
32
∴在△ABD中，AD＝AB
2
＋BD
2
－2AB·BDcos B＝3.
【答案】3
bc
9．【解析】法一 ∵sin B＝4cos Asin C，由正弦定理，得＝4cos A，∴b＝4ccos A，由余弦定理
2R2R
222
b＋c－a
得b＝ 4c·，∴b
2
＝2(b
2
＋c
2
－a
2
)，∴b
2
＝2(b
2
－2b)，∴b＝4.
2bc
法二 由余弦定理，得a
2
－c
2
＝b
2
－2bccos A，∵a
2
－c
2
＝2b，b≠0，∴b＝2ccos A＋2，①
bsin Bsin B
由正弦定理，得＝，又由已知得，＝4cos A，∴b＝4ccos A．②
csin Csin C
解①②得b＝4.
a
2
＋b2
－c
2
ab1
π
222
10．【解析】(1)由题设 得a＋b－c＝ab，∴cos C＝＝＝，又C∈(0，π)，∴C＝.
2ab2ab23
2113
(2)由(1)知A＋B＝
π，∴cos(A＋B)＝－
，即cos Acos B－sin Asin B＝－. 又sin Asin B＝，
3224
311
∴cos Acos B＝－＝，从而cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝1，由A，B∈(0，π)，∴A－B
424
＝0，即 A＝B，从而△ABC为等边三角形．
13
π
11．【解析】(1)由题意可知absin C＝·2abcos C，所以tan C＝3. 因0＜C＜π，故C＝.
243
2π
31
(2)由已知sin A＋sin B＝sin A＋sin(π－C－A)＝sin A＋sin(－A)＝sin A＋cos A＋sin A
3 22
ππ2πππ5πππππ
＝3sin(A＋)，∵C＝，∴0＜A＜，∴＜A＋＜，∴当 A＋＝，即A＝时，3sin(A＋)
6336666236
取最大值3. ∴sin A＋sin B的最大值为3.
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