高中数学必修五《基本不等式》精品教案

《基本不等式：

ab?
a?b
》教案
2

《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修5（人教A版）第三章3.4节

一．教学目标
①知识与技能目标：学会推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义， 并掌握式子中取等号
的条件，会用基本不等式解决简单的数学问题。
②过程方法与能力目标： 通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进
一步培养学生的解题能力，创 新能力，勇于探索的精神。
③情感、态度与价值观目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活并用于 生活，增强学生应用数学
的意识，激发学生学习数学的兴趣。让学生享受学习数学带来的情感体验和成功 喜悦。

二．教学重点、难点
教学重点：创设代数与几何背景理解基本不等式，并 从不同角度探索基本不等式
ab?
教学难点：理解“当且仅当
a?b
时取“< br>?
”号”的数学内涵，基本不等式的简单应用。
a?b
。
2

三、教学方法与手段
本节课采用启发引导，讲练结合，自主探究的互动 式教学方法。以学生为主体，以基本不等式为主线，
从实际问题出发，让学生探究思索。以多媒体作为教 学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

四、教学过程设计
教学
环节
问题 设计意图 师生活动
教师利用多媒体展示问题情景：
1．（投影出）在北京召开的第
24
届国际数学家大会的会标——风车。
设
置
情
景
，
导
入
新
课
1．图中的面 积有哪些相等和不等
的关系？
2．正方形
ABCD
的面积肯定大
于
4
个直角三角形的面积和吗？有没
有相等的情况呢？


1．让学生观察
常见的图形，目的
是调动学生的学习
兴趣，让学生感受
到数学 来源于生
活，从而激发他们
的学习动机。
2．借助《几何
画板》动态演示和
数据验算让学生更
容易理解“当且仅
当
a?b
时取“=”
号 ”的数学内涵，
突破一个难点。

2．让学生直观观察（多媒体动画
演示, “当正方形
EFGH
缩为一个点
时，它们的面积相等”。） 自主探究，
从而 归纳出：“正方形
ABCD
的面积
不小于
4
个直角三角形的面积和” 。


2

教学
环节
问题 设计意图
1．通过面积的
直观比较，利用数
形结合抽象出不等
师生活动
探< br>索
求
知
，
得
出
结
论
3． 如图,正方形ABCD和直角三
角形的面积各是什么?

4．根据前面得到的面积关系的结
论，可得出什么关系式？

5．结论中等号何时成立？是否仅
仅当
a?b
时等号才成立？
< br>6．你能用代数的方法对不等式
a
2
?b
2
?2ab
进行证明吗”。
7．如果用
a
、
b
去替换不
等式
a?b?2ab
中
a
，
b
,前提是
什么？能得到什么结论 ?
8．你能用代数的方法完成基本不
等式的证明？
9．请用语言文字表述基本不等
式？从数列的角度又如何描述呢？
10．你们能利用这个图形说说基
本不等式的几何意义吗？
22
教师引导学 生：设直角三角形的
两条直角边长分别为
a
和
b
，
学生动 手分别求正方形
ABCD
式
a
2
?b
2
?2ab< br>。
的面积与
4
个直角三角形的面积和。
2、发挥学生自学生自己总 结得出结论：
主能动性，让学生
a
2
?b
2
?2ab
（当且仅当
a?b
时取
在证明过程中体会
式子
a
2
?b
2
?2ab
“
?
”号）
中的
a
，
b
可取任
22
教师板书：“
a?b?2ab
（当
意 数，并再次理解
“当且仅当
a?b
且仅当
a?b
时取“
?< br>”号）”
时取“
?
”号”的学生自己用代数的方法对不等式
数学内涵 。突破了
a
2
?b
2
?2ab
进行证明。
一个难点。
1、让学生先体
会分析法的证明思
想，为以后学习不
等 式的证明作准
备；
2、从代数、几
何的不同角度理解
不等式，开拓了学
生的思维空间
3．利用多媒体
作为辅助手段，目
的是让学生从直
观、动态的角度加
深基本不 等式的认
识和理解，培养学
生数形结合的思想
方法，多方面思考
问题的能力。
基本不等式的
简单应用是这一节
课的又一个难点，
为了突破这一难
点 ， 师生先一起分
析基本不等式的特
征，以便学生记忆
和应用，
学生归纳得出基本不等式：
认
识
基
本
不
等式
剖
析
基
本
不
等
式




a?b
(a?0,b?0)
当
2
且仅当
a?b
时取“
?
”号）
ab?
教师板书基本不等式：
a?b
(a?0,b?0)
当
2
且仅当
a?b
时取“
?
”号）
ab?
学生自己填空教材第98页基本
不等式的证明。
a?b
”称为两个
2
正数
a
、
b
的算术平均数， “
ab
”
称为两个正数
a
、
b
的几何平均数。
教师指明：“
教师多媒体动画演示教材第98
页的“探究”中左图的变化过程， 学生观察
CD
与半径
DO
的关
系。并计算
CD
的长度与半径
DO
？
思考等号何时成立？
师生一起分析基本不等式的特征
AC?a,CB?b


11．公式两边具有何种运算结构？
12．回忆一下你所学的知识中，有
哪些地方出现过“和”与“积” 的
结构？
< br>a?b?2ab(a?0,b?0)
ab?
ab?(
a?b
(a?0, b?0)
或
2
a?b
2
)(a?0,b?0)

2
（当且仅当
a?b
时取“
?
”号）
3

教学
环节
问题
1． 练习：
设计意图 师生活动
教师引导学生分析：
练习（1）（2）用
a?b?2ab
，
练习（3）直接用
ab?(
1
(x?0)
与 2
x
的大小关系？若将条件
x?0
去掉,
① 试判断
x?
例
题
讲
解
，
强
化
应
用
① 在讲解例
上述结论是否仍然成立 题前先设计了三小
② 已知
x?0
，当
x
= 时，
题练习，直接用公
1< br>式就可以求解。目
x?
的值最小？最小值
的是先让学生初步
x
是 。 体会“积是定值，
③ 已知
0?x?1
，当
x?

可以求和的最小
值；和是定值，可
时,
x(1?x)
的值最大？最大值
以求积的最大值”。
是 。 为讲解教材的例题
2．讲解例题 作准备。
例1：
（1）用篱笆围一个面积 为②利用多媒体
显示解答过程，对
100m
2
的矩形菜园，问这个矩形的< br>学生规范表达起个
长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，示范作用。同时也
最短的篱笆是 多少？ 有利于增加课堂容
量，提高课堂效率。

③通过例题让
（2） 一段长为
36m
的篱笆围成一
学生明确基本不等
个矩形菜园，问这个矩形的长 、宽各式的应用。
为多少时，菜园的面积最大，最大面
积是多少？

（1）已知
x?0
，当
x?

时, 函数
y?x?
2
a?b
2
)
。
2
例1第（1）小题实际上是已知
xy?100
，求当
x
= ；
y
=
时，
2(x?y)
的值最小？
第（2）小题实际上是已知
x?y?18
，求当
x
= ；
y
=
时，
xy
的值最大？最大值是 ?
教师利用多媒体显示解答过程；
教师引导学生进行归纳总结，将
求解思路一般化：
对于两个正数
x
，
y

（1）如果积
xy
是定值
P
，那么当
巩
固
练
习
，
加
深
理
解



x?y
时，和
x?y
有最小值
2P
；
（2）如果 和
x?y
是定值
S
，那么
当
x?y
时，积
xy
有最大值
1
2
S
。
4
（3）注意 “一正二定三相等” 的
条件。
81
的值最小？最
2
x
小值是 。
（2）已知直角三角形的面积等于
50
，两条直角边各为多少时，两条
直角边的和 最小，最小值是多少？

（3）用
20cm
长的铁丝折成一个
面积最大的矩形，应当怎样折？

例题处理后，
设计的这一组练习
是突破难点的关
键，也是作为对知
识应用的实时检
测，给学生提供进
一步比较、类比、
归纳的机会，为熟
练使用新知解决问
题打下基础。
学生练习，教师边巡视学生边个
别辅导，对学生解 答中的亮点进行表
扬，不足之处，指出后及时鼓励，使
学生爱数学，愿意学数学。
教师简单点评，指出要注意“一
正二定三相等” 的条件
4

教学
环节
问题 设计意图
知识性内容的
总结，可 以把课堂
教学传授的知识尽
快地转化为学生的
素质，从而培养学
生概括归纳的 能
力；
师生活动
回
顾
整
理
，
归
纳
小
结
（1）你学到了什么知识？

（2）你知道了哪些方法？

让学生发表自己的看法，有哪些
收获，教师对学生作出肯定，并对知
识方法 进一步完善。
任
务
后
延
，
布
置
作
业
五、板书设计
板书设计方面主要板书两个不等式和应用不等式求最值的问题，例题及练习 则利用多媒体课件展现，
这样有利增加课堂容量，提高课堂效率。

课题：§3.4基本不等式
1．重要不等式 应用基本不等式求最值问题：
对于两个正数
x
，
y

（1）如果积
xy
是定值
P
，那么当

a
2
?b
2
?2ab
（当且仅当
a?b
时取“
?”号）
2．基本不等式

x?y
时，和
x?y
有最小值
2P
；
a?b?2 ab(a?0,b?0)
（当且仅当
a?b
时取“
?
”号）
文字表述：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平
均数。
数列解释：两个正数的正的等比中项不大于它们的等差
中项。
几何解释：同圆的半弦不大于半径。



作业：课本第100页第1、2题。
课后思考：
①当
x?2
时，函数
y?x?
最小值是
2
吗？
②求函数
y?x?

在布置作业时
设计了课后探究
题，为下 一个课时
作准备。同时也照
顾了程度不同的学
生。

1
的
x
1
(x?0)
的值
x
域？
③已知
x?1
，当
x
取什么值时,

x?
1
的值最小？最小值是多少？
x?1
ab?
a?b< br>a?b
2
(a?0,b?0)
或
ab?()(a?0,b?0)

2
2
（当且仅当
a?b
时取“
?
”号）
（2）如果和
x?y
定值
S
，那么当
1
x?y
时， 积
xy
有最大值
S
2

4
（3）注意 “一正二定三相等” 的条
件
5