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高中数学必修五解答题综合100题(附答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 22:47
tags:高中数学必修五

高中数学概念课课题-高中数学司马红丽必须2



必修5解答题综合100题
一、解答题
1、
在锐角三角 形ABC中,A=2B,a,b,c所对的角分别为A,B,C,求
b
的取值范围.




a

2、
在△ABC中,已知a=23,b=6,A=30°,解三角形.




3、
在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若a =2,C=
4

B25
cos
=,求△ABC的面积S.
25




π

4、
△ABC 中,内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知b
2
=ac且cos B=
4
.
11
(1)求
+的值;
tan Atan C
(2)设
BA
·
BC
=





3
3
,求a+c的值.
2

a2
-b
2
sin?A-B?
5、
在△ABC中,求证:
c
2

sin C
.


6、
如图,在 山脚
A
测得出山顶
P
的仰角为
a
,沿倾斜角为
?< br>的斜坡向上走
a
米到
B
,在
B
处测得山顶
P
的仰角为
?
,求证:山高




γ


B
asinasin
?
?
?
?
?
h?

sin
?
?
-a
?< br>



β

a

α




7、
如图,为测量河对岸A、B两点的距离,在河的这边测 出CD的长为
km,∠ADB=∠CDB=30°,
2
∠ACD=60°,∠ACB= 45°,求A、B两点间的距离.
3




8、
如图所示,在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α,在塔底C处测得A处的俯角为β.
已知铁 塔BC部分的高为h,求山高CD.



9、
江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°, 而且两条船与
炮台底部连成30°角,求两条船之间的距离.










10、
轮船A和轮船B在中 午12时离开海港C,两艘轮船的航行方向之间的夹角为
120
,轮船A的航行速
度是 25 n mileh,轮船B的航行速度是15 n mileh,下午2时两船之间的距离是多少?




o

11、
在△
ABC
中,
D
为边
BC
上一点,
BD

DC,∠
ADB
=120°,
AD
=2.若△
ADC
的面积 为3-3,求∠
BAC
.

1
2

12、
如图,一艘船以32.2n mileh的速度向正北航行.在A处看灯塔S在船的北偏东
20
的方向,30 min
后航行到B处,在B处看灯塔在船的北偏东
65
的方向,已知距离此灯塔6.5n mile以外的海区为航行安全
区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗?

o
o



65
o
S

B
西

20
o

A









13、
一架飞以 326kmh的速度,沿北偏东
75
的航向从城市A出发向城市B飞行,18min以后,飞机 由于
天气原因按命令改飞另一个城市C,问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行,此时离城市C的距离是 多少?


o

14、
在△ABC中,角A、B、C所对的边长分别是a、b、c,且cos A=
5
.
B+C
+cos 2A的值;
2
(2)若b=2,△ABC的面积S=3,求a.
(1)求sin
2


4

15、
已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且
3
a=2,cos B=.
5
(1)若b=4,求sin A的值;
(2)若△ABC的面积S

ABC
=4,求b,c的值.




16、
已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),
n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).
(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;
π
(2)若m⊥p,边长c=2,角C=
,求△ABC的面积.
3





17、
如图所示,△ACD是等边三角形,△AB C是等腰直角三角形,∠ACB=90°,BD交AC于E,
AB=2.
(1)求cos∠CBE的值;
(2)求AE.



2
18、
(本题满分12分)在△ABC中,BC=a,AC=b,a,b是方程
x? 23x?2?0
的两个根,且
2cos
?
A?B
?
?1
求:(1)角C的度数; (2)AB的长度。


19、
某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口
O北偏西 30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该
小艇 沿直线方向以v海里时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?
(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.





20、
在△ABC中,a比b长2,b 比c长2,且最大角的正弦值是
2
,求△ABC的面积.

3
< br>21、
已知{a
n
}是首项为19,公差为-2的等差数列,S
n为{a
n
}的前n项和.
(1)求通项a
n
及S
n

(2)设{b
n-a
n
}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b
n
}的通项公式 及前n项和T
n
.





22、
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos 2C=-
4
.
(1)求sin C的值;
(2)当a=2,2sin A=sin C时,求b及c的长.

1

tanA2c?b
?,
b
23、

?
ABC中,设
tanB
,求A的值。





24、
如图所示,我艇在A处发现一走 私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里
的速度向方位角105°的方向逃窜, 我艇立即以14海里小时的速度追击,求我艇追上走私船所需要的时间.



25、
设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2bsin A.
(1)求B的大小.
(2)若a=33,c=5,求b.







26、
如图,H、G、B三点在同一条直线上,在 G、H两点用测角仪器测得A的仰角分别为α,β,CD
=a,测角仪器的高是h,用a,h,α,β表 示建筑物高度AB.

















27、
半径为1的圆内接三角形的面积为0.25,求此三角形三边长的乘积






28、
设数列
?
a< br>n
?
满足
a
1
?1

a
n?1?a
n
?3n
2
?3n?1
,写出这个数列的前5项并归纳通项 公式。













29、
在数列{a
n
}中,a< br>1

2
,a
n
=1-
(1)求证:a
n
3
=a
n
; (2)求a
2 011
.

1
(n≥2,n∈N
*
).
a
n

1
1

30、
设数列
?< br>a
n
?
满足
a
1
?1

a
n
?1?







1
?
n?1
?
,写出这个数列的前5项。
a
n?1



9
n
?n+1?31、
已知a
n

10
n
(n∈N
*
),试问数列{a
n
}中有没有最大项?如果有,求出这个最大项;如果没
有,说明 理由.



n
2
?n?1
,n?N
*

32、
数列
?
a
n
?
中,已知
a
n
?
3??
(1)写出
a
10
,a
n?1
; (2)
79







2
是否是数列中的项?如果是,是第几项?
3

33、
已 知数列{a
n
}满足a
1

5
,且当n>1,n∈N
*
时,有
a
=,设b
n


a
n
1-2a
n
n
n∈N
*
.
(1)求证:数列{b
n
}为等差数列.
(2)试问a
1
a
2
是否是数列{a
n
}中的项?如果是,是第几项; 如果不是,请说明理由.





1
a
n

1
2a
n

1
+1
1
< br>34、
若sin
θ
,sin
α
,cos
θ
成 等差数列,sin
θ
,sin
β
,cos
θ
成等比数列,求 证:2cos2
α
=cos2
β
.


35、
已知
a
>0,求证:

a
2

2
-2≥
a
+-2.
aa
11

36、
数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?3a
n
?n(n?N
*
)
,问是否存在适当的
a
1
,使是等差数列?
























37、
数列
?
a
n?
满足
a
1
?4,a
n
?4?
4
a< br>n?1
(n?2),
,设
b
n
?
1

a
n
?2
(1) 判断数列
?
b
n
?
是等差数列吗?试证明。
(2) 求数列
?
a
n
?
的通项公式















38、
在公差不为零的等差数列
?
a
n
?
中,
a
1
,a
2
为方程
x
2
?a
3
x?a
4
?0
的跟,求
?
a
n?
的通项公式。








39、
在等差数列
?
a
n
?中,已知
a
5
?10,a
12
?31,
,求首项
a
1
与公差d








40、
已知两个等差数列{a
n
}:5,8,11,…,{bn
}:3,7,11,…,都有100项,试问它们有多少个共同的
项?






41、
设等差数列{a
n}满足a
3
=5,a
10
=-9.
(1)求{a
n
}的通项公式;
(2)求{a
n
}的前n 项和S
n
及使得S
n
最大的序号n的值.



42、
设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知a3
=12,且S
12
>0,S
13
<0.
(1)求公差d的范围;
(2)问前几项的和最大,并说明理由








?
的前n项和,
4 3、
设{a
n
}为等差数列,S
n
为数列{a
n
} 的前n项和,已知S
7
=7,S
15
=75,T
n
为数列< br>?
?
n
?
?
S
n
?
求T
n
.



44、
在等差数列{a
n
}中 ,已知d=2,a
n
=11,S
n
=35,求a
1
和n.


45、
设等差数列
?
a
n
?
的第10项为23,第25项为
?22
,求:
(1)数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)数列
?
a
n
?
前50项的绝对值之和。




























46、
已知等差数列
?
a
n
?
的前4项和为10,且
a
2
,a
3
,a
7
成等比数列,
求数列
?
a
n
?
的通项公式。
























47、
已知{a
n
}为等比数列 ,a
3
=2,a
2
+a
4

3
,求{a< br>n
}的通项公式.

20

48、
设{a
n
}、{b
n
}是公比不相等的两个等比数列,c
n
=a
n
+b
n
,证明数列{c
n
}不是等比数列.



49、
等比数列{a
n
}同时满足下列三个条件:
3224
①a
1
+a
6
=11 ②a
3
·a
4

③三个数
a
2
,a2
3
,a
4

依次成等差数列,试求数列{a
n
}的通项公式.
93a





50、已知数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n

1< br>=2a
n
+1,
(1)求证:数列{a
n
+1}是等比数列;
(2)求a
n
的表达式.






51、
有四个数,前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项和为21, 中间两项和为18,
求这四个数.


52、
某旅游公司年初以9 8万元购进一辆豪华旅游车,第一年各种费用为12万元,以后每年都增加4万元,
该车每年的旅游效益 为50万元,设第n年开始获利,列出关于n的不等关系.









53、
某车 间有20名工人,每人每天可加工甲种零件5件或乙种零件4件。在这20名工人中,派x人加
工乙种零 件,其余的加工甲种零件,已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利
24元, 若要使车间每天获利不低于1800元,写出x所要满足的不等关系.






54、
已知数列{a
n
}的前n项和Sn
=2
n

2
-4.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设b
n
=a< br>n
·log
2
a
n
,求数列{b
n
}的前n 项和T
n
.






55 、
现在有某企业进行技术改造,有两种方案,甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万
元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元,两方案使用期都是10年,到期后一次性归还本息,若银行贷款利息均按本息10%的复< br>利计算,试比较两种方案谁获利更多?(精确到千元,数据1.1
10
≈2.594,1 .3
10
≈13.79)






56、
求和:S
n
=x+2x
2
+3x
3
+…+nx
n
(x≠0).



57、
已知 公差大于零的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且满足:a
3< br>·a
4
=117,a
2
+a
5
=22.
(1)求数列{a
n
}的通项公式a
n

S
n< br>(2)若数列{b
n
}是等差数列,且b
n

,求非零常数c .
n+c



58、
已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?1(n?N
*
).

(I)求数列
?
a
n
?
的通项公式;








(II)若数列?
b
n
?
满足
4
1
.4
b?1b2
?1
...4
b
n
?1
?(a
n
? 1)
b
n
(n?N
?
)
,证明:
?
bn
?
是等差数列;

59、
已知正项数列{a
n}的前n项和S
n

4
(a
n
+1)
2
,求{a
n
}的通项公式.




1

60、
设数列{a
n
}满足a
1
=2 ,a
n

1
-a
n
=3·2
2
n

1
.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)令b
n
=na
n
,求数列{b
n
}的前n项和S
n.


61、
已知等差数列{a
n
}满足:a
3
=7,a
5
+a
7
=26,{a
n
}的前n项 和为S
n
.
(1)求a
n
及S
n

1
(2)令b
n

2
(n∈N
*
),求数列{bn
}的前n项和T
n
.
a
n
-1


62、
甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前 n年
2
?
n

1
a
的总销售额为
(n2
-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a
?
?
3< br>?
万元.
2
(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式;
(2) 若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪
一超 市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?







63、
设S
n
是等差数列{a
n
}的 前n项和,已知
3
S
3

4
S
4
的等比中 项为
5
S
5

3
S
3

4
S
4
的等差中项为1,求
数列{a
n
}的通项公式.












11111









64、
在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
n

1
=2a
n
+2
n
.
a
n
(1)设b
n

n

1
.证明:数列{b
n
}是等差数列;
2
(2)求数列{a
n
}的前n项和.


65、
甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分
钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,
那么开始运动几分钟后第二次相遇?


66、
已知数列{a
n
}为等差数列,公差d≠0,其中ak
1
,ak
2
,…, ak
n
恰为等比数列,若k
1
=1,k
2
=5,
k
3
=17,求k
1
+k
2
+…+k
n
.


1
?
211
67、
设{a
n
}是等差数列,b
n

?
a
,b
n
,已知:b1
+b
2
+b
3

1
b
2
b
3

,求等差数列的通项a
n
.
?
2
?
88


68、
已知数列{an
}的各项均为正数,对任意n∈N
*
,它的前n项和S
n
满足 S
n

6
(a
n
+1)(a
n
+2),并 且
a
2
,a
4
,a
9
成等比数列.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;

(2)设b
n=(-1)
n
1
a
n
a
n

1
,T
n
为数列{b
n
}的前n项和,求T
2n
.



1

69、
设x,y,z∈R,试比较5x
2
+y
2
+z
2
与2xy+4x+2z-2的大小.







70、
若x, y R
+
,且

求u=x+y的最小值






71、
解不等式





72、
已知实数a,b满足:关于x的不等式 |x
2
+ax+b|≤|2x
2
-4x-16|对一切x∈R均成立
(1)验证a=-2 , b=-8满足题意; (2)求出满足题意的实数a,b的值,并说明理由;
2
(3)若对一切x>2,都有不等式x+ax+b≥(m+2)x-m-15成立,求实数m的取值范围。












a
2
-b
2
a-b
73、
设a>b>0,试比较
22
与的大小.
a
+b
a+b


74、
设f(x)=1+log
x
3,g(x)=2log
x
2,其中x>0且x≠1,试比较f(x)与g (x)的大小.



x|-
≤x≤2
?
,求关 于x的不等式cx
2
-bx+a<0的解集.
75、
若不等式ax
2
+bx+c≥0的解集为
?
3
??

?
1
?

2x+y-5≥0
?
?
76、< br>已知
?
3x-y-5≤0
?
?
x-2y+5≥0



,求x
2
+y
2
的最小值和最大值.

x+3y≥12
?
?
77、
线性约束条件
?x+y≤10
?
?
3x+y≥12

下,求z=2x-y的最大值和最小值.





78、
是否存在常数c,使得不等式
你的结论.
xyxy
??c??
对任意正数x, y恒成立?试证明
2x?yx?2yx?2y2x?y














79、
某运输公司接受了向抗洪救灾地区每天送至少
180t
支援物资的任务 .该公司有
8
辆载重
6t

A

卡车与
4
辆载重为
10t

B
型卡车,有
10
名驾驶员,每 辆卡车每天往返的次数为
A
型卡车
4
次,
B
型卡

3
次;每辆卡车每天往返的成本费
A
型为
320
元,
B
型为
504
元.请为公司安排一下,应如何调配车辆,
才能使公司所花的 成本费最低?若只安排
A
型或
B
型卡车,所花的成本费分别是多少?


80、
预算用
2000
元购买单价为
50元的桌子和
20
元的椅子,并希望桌椅的总数尽可能多,但椅子数不能
少于桌子数 ,且不多于桌子数的
1.5
倍.问:桌、椅各买多少才合适?



81、
已知:
x
2
?y
2
?a,m2
?n
2
?b(a,b?0)
, 求mx+ny的最大值.








x≥3
?< br>?
82、
利用平面区域求不等式组
?
y≥2
的整数解.
?
?
6x+7y≤50



2x+y-2≥0< br>?
?
83、
已知实数x、y满足
?
x-2y+4≥0
?
?
3x-y-3≤0










y+1
,试求z=的最大值和最小值.
x+1

84、
设a、b、c都是正数,求证:
a

b

c
≥a+b+c.

bccaab

85、
已知a,b,c为不等正实数,且abc=1.
111
求证:a+b+c<++
.
abc








86、
(本小题满分12分)对任意< br>a?[?1,1]
,函数
f(x)?x
2
?(a?4)x?4?2a< br>的值恒大于零,求
x

取值范围。


























87、
(本小题满分12分)如图所示,校园内计 划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器。已
知喷水器的喷水区域是半径为5m的圆。问如 何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置,才能使花坛
的面积最大且能全部喷到水?
















喷水器

喷水器
??

2
88、
(本小题满分14分)已知函数
f(x)?x?ax?b

(1)若对任意的实数
x
,都有
f(x)?2x?a
,求
b
的取值范围;
(2)当
x?[?1,1]
时,
f(x)
的 最大值为M,求证:
M?b?1

a
2
1
?1?b??a.
(3)若
a?(0,)
,求证:对于任意的
x?[?1,1]

|f(x)|?1
的充要条件是4
2

























x
x
2
x
3
89、
(本题满分13分)已知1≤lg≤2,2≤lg≤3 ,求lg的取值范围。
3
y
yy










90、
如图所示,将一矩形 花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN
上,且对角线MN过 C点,已知AB=3米,AD=2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?
(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.

















91、
已知a,b,c∈(0,+∞).
abc1
求证:(
)·()·()≤.
a+bb+cc+a
8


92、
某商店预备在一个月内分 批购买每张价值为20元的书桌共36台,每批都购入x台(x是正整数),
且每批均需付运费4元,储 存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,
若每批购入4台,则该 月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管
费.
(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用f(x);
(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.




93、
(本小题满分13分)已知
a?1
, 解关于
x
的不等式















ax
?1

x?2

94、
某工厂生产甲、乙两 种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润
及每天资源限额(最大供应量) 如表所示:
产品消耗量资源
(每吨)
(每吨)
(每天)
煤(t)
电力(kw· h)
甲产品
乙产品
资源限额

9
4




4
5




360
200



劳动力(个) 3 10 300
利润(万元) 6 12
问:每天生产甲、乙两种产品各多少吨时,获得利润总额最大?




95、
(本小题满分12分)已知
a?b?c?0
,求证:
ab?bc?ca?0





















96、
设a∈R,关于x的一元二次方程7x2
-(a+13)x+a
2
-a-2=0有两实根x
1
,x2
,且01
<12
<2,
求a的取值范围.


97、
记等差数列
{
a
n
}
的前n项和为S
n
,设S
3
=12,且2a
1
,a
2
,a
3
+1成等比数列,求S
n
.




98、
在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且1+
tan B

b
.
(1)求角A;
(2)若a=3,试判断bc取得最大值时△ABC形状.









tan A2c




















99、
C位于A 城的南偏西20°的位置,B位于A城的南偏东40°的位置,有一人距C为31千米的B
处正沿公路向 A城走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米
才能到达A 城?


100、
在△ABC中,A、B、C所对的边分别是a、b、c,且有bcos C+ccos B=2acos B.
(1)求B的大小;
33
(2)若△ABC的面积是
,且a+c=5,求b.
4












以下是答案
一、解答题
1、
解 在锐角三角形ABC中,A,B,C<90°,
B<90°,
?
?

?
2B<90°,
?
?
180°-3B<90°,

∴30°asin Asin 2B
由正弦定理知:===2cos B∈(2,3),
bsin Bsin B
a
故的取值范围是(2,3).
b

2、
解 a=23,b=6,a又因为bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A,
所以本题有两解,由正弦定理得:



bsin A6sin 30°3
sin B=
==,故B=60°或120°.
a2
23
当B=60°时,C=90°,c=a
2
+b
2
=43;
当B=120°时,C=30°,c=a=23.
所以B=60°,C=90°,c=43或B=120°,C=30°,c=23.

3、
解 cos B=2cos
2

2
-1=
5

4
故B为锐角,sin B=
.
5

72
-B
?
=所以sin A=sin(π-B-C)=sin
?
?
4
?
10
.
asin C10
由正弦定理得c==,
sin A7
111048
所以S

ABC

acsin B=
×2××=
.
22757

3
?
2
7
1-
?

?
4
?
4
.
由b
2
=ac及正弦定理得sin
2
B=sin Asin C.
11cos Acos C
于是+=+
tan Atan Csin Asin C
sin Ccos A+cos Csin Asin?A+C?
==
sin Asin Csin
2
B
sin B147

2
==
.
sin Bsin B7
B3
4、
解 (1)由cos B=
4
,得sin B=
3
(2)由
BA
·
BC
=
33
得ca·cosB =
22
3
由cos B=,可得ca=2,即b
2
=2.
4
由余弦定理:b
2
=a
2
+c
2
-2ac·cos B,
得a
2
+c
2
=b
2
+2ac·cos B=5,
∴(a+c)
2
=a
2
+c
2
+2ac=5+4= 9,∴a+c=3.

sin Acos B-cos Asin B
sin Asin B

·cos B-·cos A
sin Csin Csin Ca
a
2
+c
2
-b
2
b
b
2
+c
2
-a
2
a
2
+c
2
-b< br>2
b
2
+c
2
-a
2
a
2
-b
2

·

·
=-=
2
=左边. c2acc2bc2c
2
2c
2
c
a
2
-b< br>2
sin?A-B?
所以
2

.
csin C
5、
证明 右边=

6、


△ABP
中,
o

?ABP?180?
?
+
?

?BPA?180
o
?
?
?
-
?
?
??ABP

?180?
?
?
-
?
?
?1 80?
?
+
?

oo
??
=
?
-
?


△ABP
中,根据正弦定理,



APAB
?
sin?ABPsin?APB
AP
?

?
o
sin
?
180?
?
+
?
?
sin
?
?
-
?
?
α
?
sin< br>?
?
-
?
?
AP?
sin
?
?-
?
?
所以山高为
h?APsin
?
?

?
sin
?
sin
?
?
-
?
?

sin
?
?
-
?
?
7、
解 在△BDC中,∠CBD=180°-30°-105°=45°,
BCCD
由正弦定理得=,
sin 30°sin 45°
CDsin 30°6
则BC==
(km).
sin 45°4
在△ACD中,∠CAD=180°-60°-60°=60°,
3
∴△ACD为正三角形.∴AC=CD=
(km).
2
在△ABC中,由余弦定理得
AB
2
=AC
2
+BC
2
-2AC·BC·cos 45°
363623
=+-2×××=,
4162428
6
∴AB=
(km).
4
6
答 河对岸A、B两点间距离为
km.
4

8、
解 在△ABC中,∠BCA=90°+β,
∠ABC=90°-α,
∠BAC=α-β,∠CAD=β.
ACBC
根据正弦定理得:=,
sin∠ABCsin∠BAC
ACBC
即=,
sin?90°-α?sin?α-β?
BCcos α
∴AC=
sin?α-β?
hcos α

.
sin?α-β?
在Rt△ACD中,CD=ACsin∠CAD=ACsin β
hcos αsin β

.
sin?α-β?
hcos αsin β
即山高CD为
.
sin?α-β?

9、
解 如图所示:



∠CBD=30°,∠ADB=30°,∠ACB=45°
∵AB=30,
∴BC=30,
30
BD=

tan 30°
=303.
在△BCD中,
CD
2
=BC
2
+BD
2
-2BC·BD·cos 30°=900,
∴CD=30,即两船相距30 m.



10、
70 n mile.


11、
解:

1
如图所示,由
S

ADC
=3-3和
S

ADC

AD
·
DC
sin60°,得
2
13
3-3=·2·
DC
·,
22

DC
=2(3-1).
1

BD

DC
=3-1.
2
?
1
?
2222
在△
ABD
中,
AB

B D

AD
-2
BD
·
AD
cos120°=(3- 1)+4-2(3-1)×2×
?

?
=6,∴
AB
=6.
?
2
?
222
在△
ADC
中,
AC

AD

DC
-2
AD
·
DC
cos6 0°
1
22
=2+[2(3-1)]-2×2×2(3-1)×
2
=24-123,

AC
=6(3-1).
AB2

AC
2

BC
2
在△
ABC中,cos∠
BAC


AB
·
AC


6+24-123-9
2×6×6
3-1
3-1
2

=,∴∠
BAC
=.
23
?

12、
答案:在
△ABS
中,< br>AB?32.2?0.5?16.1n
mile,
?ABS?115
根据正弦定 理,
ASAB
?

sin?ABS
sin
?
65
o
?20
o
?



AS?
AB?si nB
?AB?sin?ABS?2?16.1?sin115
o
?2
oo
sin
?
65?20
?
S
到直线
AB的距离是
d?AS?sin20
o
?16.1?sin115
o
?2?sin20
o
?7.06
(cm).
所以这艘船可以继续沿正北方向航行.



13、
AE
=
326?18
?97.8
km,
60

△ACD
中,根据余弦定理:
AC?AD
2
?CD
2
?2gADgCDgcos66
o

?57
2< br>?110
2
?2?57?110gcos66
o

?101.235


根据正弦定理:
ADAC
?

sin?ACDsin?ADC
ADgsin?AD C57gsin66
o
sin?ACD???0.5144

AC101. 235
?ACD?30.96
o

?ACB?133
o
?3 0.96
o
?102.04
o


△ABC
中,根据余弦定理:
AB?AC
2
?BC
2
?2gACgBCgcos?ACB

?101.235
2
?204
2
?2?101.235?204gc os102.04
o

?245.93

AB
2
?AC
2
?BC
2
cos?BAC?

2gABgAC245.93
2
?101.235
2
?204
2
?
2?245.93?101.235
?0.5847

?BAC?54.21
o


△ACE
中,根据余弦定理:
CE?AC
2
?AE
2
?2gACgAEgcos?EAC

?101.235
2
?97.8
2
?2?101.235?97.8 ?0.5487



?90.75

AE
2
?EC
2
?AC
2
cos?AEC?

2gA EgEC
97.8
2
?90.75
2
?101.235
2< br>??0.4254

2?97.8?90.75
?AEC?64.82
o

180o
??AEC?
?
180
o
?75
o
?
?75
o
?64.82
o
?10.18
o

所 以,飞机应该以南偏西
10.18
的方向飞行,飞行距离约
90.75
km.

o
B
E
A
D
C

B+C

1-cos?B+C?1+cos A
59
+cos 2A=+2cos
2
A-1=.
2250
14、
解 (1)sin
2

2
+cos 2A=
43
(2)∵cos A=
,∴sin A=
.
55
113
由S

ABC

bcsin A,得3=
×2c×,解得c=5.
225
由余弦定理a
2
=b< br>2
+c
2
-2bccos A,可得
4
a
2
=4+25-2×2×5×=13,∴a=13.
5

15、
解 (1)∵cos B=
5
>0,且04
∴sin B=1-cos
2
B=.
5
ab
由正弦定理得=,
sin Asin B
4

5
2asin B
sin A=
==
.
b45
114
(2)∵S

ABC
=acsin B=4,∴
×2×c×=4,
225
∴c=5.
3
由余弦定理得 b
2
=a
2
+c
2
-2accos B=2
2
+5
2
-2×2×5×=17,∴b=17.
5

3



16、
(1)证明 ∵m∥n,∴asin A=bsin B,
ab
即a·=b·,
2R2R
其中R是△ABC外接圆半径,∴a=b.
∴△ABC为等腰三角形.
(2)解 由题意知m·p=0,
即a(b-2)+b(a-2)=0.
∴a+b=ab.
由余弦定理可知,4=a
2
+b
2
-a b=(a+b)
2
-3ab,
即(ab)
2
-3ab-4=0.
∴ab=4(舍去ab=-1),
11π
∴S

ABC

absin C=
×4×sin=3.
223


17、
解 (1)∵∠BCD=90°+60°=150°,CB=AC=CD,
∴∠CBE=15°.
∴cos∠CBE=cos(45°-30°)=
6+2
.
4
(2)在△ABE中,AB=2,
AEAB
由正弦定理得=,
sin∠ABEsin∠AEB
AE2
即=,
sin?45°-15°?s in?90°+15°?
1

2
2sin 30°
故AE===6-2.
cos 15°
6+2
4

1
18、
解:1)
cosC?cos
?
?
?
?A?B
?
?
??cos
?
A?B
?
??

2

?
C=120°
(2)由题设:
?
a?b?2
?
?
ab?2
3


?AB
2
?AC
2
?BC
2
?2AC?BCcosC?a
2
?b
2
?2abcos120?

?a
2
?b
2
?ab?
?
a?b
?
?ab?23?2?10

2
??
2

?AB?10


19、
解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方
向.
如图所示,设小艇与轮船在C处相遇.
在Rt△OAC中,
OC=20cos 30°=103,
AC=20sin 30°=10.



又AC=30t,OC=vt.
101
此时,轮船航行时间t==,
303
103
v=
=303.
1
3
即小艇以303 海里时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.
(2)如图所示,设小艇与轮船在B处相遇.
由题意,可得(vt)
2
=2 0
2
+(30t)
2
-2·20·30t·cos(90°-30°),
400600
化简,得v
2

2
-+900
tt
13
=400(-
)
2
+675.
t4
11
由于02t
1
所以当=2时,
t
v取得最小值1013,
即小艇航行速度的最小值为1013海里时.



20、
解 据题意知a-b=2,b-c=2,
∴边长a最大,∴sin A=
3

2
1
∴cos A=±1-sin
2
A=±.
2
1
∵a最大,∴cos A=-
.
2
又a=b+2,c=b-2,
b
2
+c
2
-a
2
∴cos A=
2b c
b
2
+?b-2?
2
-?b+2?
2
1
==-,
2
2b?b-2?
解得b=5,∴a=7,c=3,
1
∴S

ABC

bcsin A
2
13153
=×5×3×=
.
224

21、
解 (1)∵{a
n
}是首项为a
1
=19,
公差为d=-2的等差数列,
∴a
n
=19-2(n-1)=21-2n,
1
S
n
=19n+n(n-1)×(-2)=20n-n
2
.
2
--
(2)由题意得b
n
-a
n
=3
n
1
,即b
n
=a
n
+3
n
1


∴b
n
=3
n
1
-2n+21,
3
n
-1
n

12
∴T
n
=S
n
+(1+3+…+3)=-n
+20n+
.
2



22、
解 (1)∵cos 2C=1-2sin
2
C=-
4
,0∴sin C=
10
.
4
ac
=,
sin Asin C
1
(2)当a=2,2sin A=sin C时,由正弦定理
得c=4.
1
由cos 2C=2cos
2
C-1=-
及04
6
得cos C=±
.
4
由余弦定理c
2=a
2
+b
2
-2abcos C,
得b
2
±6b-12=0(b>0),
解得b=6或26,
?< br>b=6,
?
b=26,

?

?

c=4c=4.
??


23、
?
tanA2c?bsinAcosB2sinC?sinB

???
tanBbcosAsinBsinB
?sinAcosB?sinBcosA?2s inCcosA

1
?
?sin(A?B)?2sinCcosA

cosA?

?0?A?
?
?A?

23

24、
解 设我艇追上走私船所需时间为t小时,则
BC=10t,AC=14t,在△ABC中,
由∠ABC=180°+45°-105°=120°,
根据余弦定理知:
(14 t)
2
=(10t)
2
+12
2
-2·12·10tcos 120°,
∴t=2.
答 我艇追上走私船所需的时间为2小时.

25、
解 (1)∵a=2bsin A,∴sin A=2sin B·sin A,

∴sin B=
.∵0,∴B=30°.
22
(2)∵a=33,c=5,B=30°.
由余弦定理b
2
=a
2
+c
2
-2accos B
=(33)
2
+5
2
-2×33×5×cos 30°=7.
∴b=7.

26、
解 在△ACD中,∠DAC=α-β,
ACDC
由正弦定理,得=,
sin β
sin?α-β?
asin β
∴AC=
sin?α-β?
asin βsin α
∴AB=AE+EB=ACsin α+h=+h.
sin?α-β?

27、
设△ABC的三边长为
a,b,c
,则
S?
1b

acsinB?0.25,

sinB?
22R




?

abc?1


abc
?
0.25

4R
28、
a
1?1,a
2
?8,a
3
?27,a
4
?64,a
5
?125

a
n
?n
3


29、
(1)证明 a
n

3
=1-
1
a
n

2
=1-
1
1

1-
a
n

1
1
=1-
1
1-
1
1-
a
n
111
=1-=1-=1-
a
n
a
n
-1-a
n
-1
1-
a
n
-1
a
n
-1a
n
-1
=1-(1-a
n
)=a
n
.
∴a
n

3
=a
n
.
(2)解 由(1)知数列{a
n
}的周期T=3,
1
a
1

,a
2
=-1,a
3
=2.
2
11
又∵a
2 011
=a
3
×
670

1
=a
1

,∴a
2 011
=.
22

30、
a
1
?1,a
2
?2,a< br>3
?

358
,a
4
?,a
5
?

235
9
?
n

1
?
9
?
n
·(n+ 1)
31、
解 因为a
n

1
-a
n

?
·(n+2)-
?
10
??
10
?
9< br>?
n

1
?
1098-n
?n+2?-?n+1?< br>?

??
n

1
·

?
·
,则
9
?
10
????
10
?
9
9
?
n

1
8-n
当n≤7时,
?
?< br>10
?
·
9
>0,
9
?
n
1
8-n
当n=8时,
?
?
10
?
·
9
=0,
9
?
n

1
8-n
当n≥9时 ,
?
?
10
?
·
9
<0,
所以a
1
2
3
<…7
8=a
9
>a
10
>a
11
>a
12
> …,
9
9
故数列{a
n
}存在最大项,最大项为a
8=a
9

8
.
10

32、
n
2
?3n?1
109
(1)
a
10
?

a
n?1
?

3
3
(2)是,第15项

33、
(1)证明 当n>1,n∈N
*
时,
a
=?= < br>a
n
1-2a
n
a
n

1
n
a
n

1
2a
n

1
+11-2an
2a
n

1
+1



1111 1
?-2=2+?-=4?b
n
-b
n

1
=4, 且b
1

=5.
a
n
a
1
a
n

1
a
n
a
n

1
∴{b
n
}是等差数列,且公差为4,首项为5.
(2)解 由(1)知b
n
=b
1
+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1.
11
∴a
n

=,n∈N
*
.
b
n
4n+1
11111
∴a
1

,a
2

,∴a
1
a
2
=.令a
n

=,
5945
4n+1
45
∴n=11.
即a
1
a< br>2
=a
11
,∴a
1
a
2
是数列{a
n
}中的项,是第11项.

34、
证明:由sin
θ
,sin
α
,cos
θ
成等差数列,得
sin
θ
+cos
θ
=2sin
α

2 2
则1+2sin
θ
cos
θ
=4sin
α
,即s in2
θ
=4sin
α
-1.①
2
由sin
θ< br>,sin
β
,cos
θ
成等比数列,得sin
θ
co s
θ
=sin
β

2
即sin2
θ
=2sin
β
.②
22
由①②得4sin
α
-1=2sin
β

所以2(1-cos2
α
)-1=1-cos2
β

所以2cos2
α
=cos2
β
.

11
35、
证明:要证
只需证
因为
a
>0,
故只需证(
1
2
即证
a

2
+4
1
a
2

2
-2≥a
+-2,
aa
1
a
2

2
+2≥
a
++2.
aa
a
2

2
+2)
2
≥(
a
++2)
2

aa
a
2
2
+4≥
a
2
+2+
2
+22(
a
+)+2,
aaa
a
2

2
≥2(
a
+),
aa
aa
11
111
11
a
从而只需证2
11< br>22
只需证4(
a

2
)≥2(
a
+2+< br>2
),
1
2
即证
a

2
≥2,而此不等式显然成立.
a
故原不等式成立.

36、
解:假设存在这样的
a
1
满足题目条件。
a
n?2
?3a
n?1
?n?1(n?N
*
)

?a
n?2
?a
n?1
?2a
n?1
?n?1

*
由已知
a
n?1
?3a
n
?n(n?N)
可得
a
n?1
?a
n
?2a
n
?n

?a
n?2
?a
n?1
?a
n?1
?a
n

2a
n?1
?n?1?2a
n
?n
1
?a
n?1
?a
n
??
,满足等差数列的定义,故假 设是正确的。即存在适当的
a
1
的值使数列
?
a
n
?
为公差为
2
1
?
的等差数列。
2



由已知条件
a
n?1
?3a
n
?n
,令
n?1

?a
2
?3a
1
?1

a
1
?

13
?3a
1
?1
,解得
a
1
??

24
37、
解:(1)
b
n?1
?
1
?
a
n?1?2
a
n
1
?

4
2a
n
? 4
4?02
a
n
b
n?1
?b
n
??a
n
11
??

2a
n
?4a
n
?22
1
的等差数列。
2
?
数列
?
b
n
?
是公差为
( 2)
b
1
?
11
11n
?

b
n
??
?
n?1
?
??

a
1
?2 2
222
?
n1
2
?
n?1
?
?

?a
n
?

2a
n
?2
n
注:有 学生在解本题第二问的时候,通过已知条件写出数列
?
a
n
?
的前几 项,然后猜想通项公式,由于猜想
的公式需要证明,所以这种解法在现阶段是有问题的。

38、
a
n
?2n


39、
a
1
??2,d?3


40、
解 在数列{a
n
}中,a
1
=5,公差d
1
=8-5=3.
∴a
n
=a
1
+(n-1)d
1
=3n+2. < br>在数列{b
n
}中,b
1
=3,公差d
2
=7-3= 4,
∴b
n
=b
1
+(n-1)d
2
=4n-1. < br>4m
令a
n
=b
m
,则3n+2=4m-1,∴n=
-1.
3
∵m、n∈N
*
,∴m=3k(k∈N
*
),
?
?
0
?
,解得0?
0?
∴0<3k≤75,∴0∴k=1,2,3,…,25
∴两个数列共有25个公共项.


41、
解 (1)由a
n
=a
1
+(n-1)d及a
3
=5,a
10
=-9得
??
?
a
1
+2d=5,
?
a
1
=9,
?
可解得
?

?
a
1
+9d=-9,
?
??
d=-2,

所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
=11-2n.



n?n-1?
(2)由(1)知,S
n
=na1
+d=10n-n
2
.
2
2
因为S
n
=-(n-5)
+25,
所以当n=5时,S
n
取得最大值.

?
13×12
42、
解 (1)根据题意,有:
?
13a+ d<0,
2
?
a+2d=12,
1
1
12×11
1 2a
1
+d>0,
2

2a
1
+11d>0,
?
?
整理得:
?
a
1
+6d<0,
?
?
a
1
+2d=12.


24
解之得:-
7
(2)∵d<0,
13?a
1
+a
13
?
而S
13

=13a
7
<0,∴a
7
<0.
2
12?a
1
+a
12
?
又S
12

=6(a
1
+a
12
)=6(a
6
+a
7
)>0,
2
∴a
6
>0.
∴数列{a
n
}的前6项和S
6
最大.


43、
解 设等差数列{a
n
}的公差为d,
1
则S
n
=na
1
+n(n-1)d,
2
?
?
7a
1
+21d=7
∵S
7
=7,S
15
=75,∴
?

?
15a
1
+105d=75
?

?
a< br>1
+3d=1
?
a
1
=-2
??

?
,解得
?

??
?
a
1
+7d=5< br>?
d=1
S
n
11
∴=a
1
+(n-1)d =-2+(n-1),
n22
S
n

1
S
n
1
∵-=,
n+1
n2
?
S
n
?
1
∴数列
?
n
?
是等差数列,其首项为-2,公差为,
2
??
n?n -1?
11
2
9
∴T
n
=n×(-2)+
×=n

n.
2244


a=a+?n-1?d,
?
?
n1
44、
解 由
?

n?n-1?
S=na+d,
n1
?
2?
a+2?n-1?=11,
?
?
1

?
< br>n?n-1?
?
?
na
1

2
×2=35,
??
?
n=5
?
n=7,
?
解方程组得或
?

?
a
1
=3
?
??
a
1=-1.




45、
解:由已知可知
a
10
?23,a
25
??22

a
25
? a
10
?15d



??22?23?15d
,解得
d??3

a
1
?a
10
?9d?50

?a
n??3n?53
。所以此数列的前17项均为正数,从第18项开始均为负数。
前50项的绝对值之和
S?a
1
?a
2
?a
3< br>???a
n?1
?a
n
?a
1
?a
2
?a
3
???a
17
?
?
a
18
?a< br>19
???a
50
?
?S
17
?
?
S
50
?S
17
?
?2S
17
?S
50< br>?2?442?
?
?1175
?
?2059




46、
解:
设数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
,公差为
d
,则
a
1?a
2
?a
3
?a
4
?10
,则
2a
1
?3d?5

2
2
由于
a
2
,a
3
,a
7
成等比数列,所以
a
3
?a
2
a
7
, 化简得
3a
1
d?2d?0

5
?
a??2
?
?
2a
1
?3d?5
?< br>a
1
?
1
所以
?
解得或
?
?2
2
d?3
?
3a
1
d?2d?0
?
?
d?0
?
所以数列
?
a
n
?
的通项公式 为
a
n
?

5

a
n
?3n?5

2
47、
解 设等比数列{a
n
}的公比为q,则q≠0.
a
3
2
a
2

=,a
4
=a
3
q=2q,
qq
220
∴+2q=
.
q3
1
解得q
1

,q
2
=3.
3
1
当q=时,a
1
=18,
3
1
?
n

13

n
.
∴a
n
=18×
?
=2×3
?
3
?
2< br>当q=3时,a
1


9
2
--
∴an

×3
n
1
=2×3
n
3
. 9
1

综上,当q=时,a
n
=2×3
3
n< br>;
3

当q=3时,a
n
=2×3
n
3
.

48、
证明 设{a
n
}、{b
n
}的公比分别 为p、q,p≠0,q≠0,p≠q,c
n
=a
n
+b
n
.
要证{c
n
}不是等比数列,只需证c
2
2
≠c
1
·c
3
成立即可.
22222
事实上,c
2
2< br>=(a
1
p+b
1
q)
=a
1
p
+ b
1
q
+2a
1
b
1
pq,
c
1
c
3
=(a
1
+b
1
)(a
1
p
2
+b
1
q
2
)
22222
=a2
1
p
+b
1
q
+a
1
b
1
(p
+q
).
22
由于c
1
c
3
-c
2
2
=a
1
b
1
(p-q)
≠0, 因此c
2
≠c
1
·c
3
,故{c
n
}不是 等比数列.



49、
解 由等比数列的性质知a
1
a
6
=a
3
a
4

9

a+a=11
?
?
a
1

3
?
16
?
解得
?
32
32
a·a=
?
?< br>16
9
a=
6
?
3
32

1

?
a=
3

?
1
a=?
3
1
6
32

?

?
32
a=
?
3
6
1
a
1

3


时q=2
1

∴a
n
=·2
n
1

3243232
2
=a
2
+a
4

=,2a3

3999
24
2

a
2
,a3
,a
4

成等差数列,
39
1

∴a
n
=·2
n
1
< br>3
32
a
1

3
11

当时q=, a
n
=·2
6
n

23
1
a
6

3
24
2
, a< br>2
+a
4

≠2a
3
39
∴不符合题意,
1

∴通项公式a
n
=·2
n
1
.
3
?
?
?

50、
(1)证明 ∵a
n

1
=2a
n
+1,
∴a
n

1
+1=2(a
n
+1),
a
n

1
+1
∴=2.
a
n
+ 1
∴{a
n
+1}是等比数列,公比为2,首项为2.
(2)解 由(1)知{a
n
+1}是等比数列.
公比为2,首项a
1
+1=2.

∴a
n
+1= (a
1
+1)·2
n
1
=2
n
.
∴a
n
=2
n
-1.


51、
解 设这四个数分别为x,y,18-y,21-x,
2
?
?
y
=x?18-y?
则由题意得
?

?
2?18-y?=y+?21-x?
?

?
?
x =3
解得
?

?
y=6
?

?
?
45
?
y=
4
75
x=

4

.
7545279
故所求的四个数为3,6,12,18或,,,
.
4444

52、
98+12+(12+4)+(12+4×2)+…+[1 2+(n-1)×4]<50n



53、
16×5×(20-x)+24×4x≥1800

54、
解 (1)由题意,S
n
=2
n

2
-4,
n≥2时 ,a
n
=S
n
-S
n

1
=2
n
2
-2
n
1
=2
n
1

当n= 1时,a
1
=S
1
=2
3
-4=4,也适合上式,

∴数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2
n
1< br>,n∈N
*
.

(2)∵b
n
=a
nlog
2
a
n
=(n+1)·2
n
1

∴T
n
=2·2
2
+3·2
3
+4·24
+…+n·2
n
+(n+1)·2
n
1
, ①
++
2T
n
=2·2
3
+3·2
4
+ 4·2
5
+…+n·2
n
1
+(n+1)·2
n
2
. ②
②-①得,
++
T
n
= -2
3
-2
3
-2
4
-2
5
-…-2n
1
+(n+1)·2
n
2

3
?1-2n

1
?
2

=-2
3
-+(n+1 )·2
n
2

1-2
-+
=-2
3
-2< br>3
(2
n
1
-1)+(n+1)·2
n
2

+-
=(n+1)·2
n
2
-2
3
·2
n
1

+++
=(n+1)·2
n
2
-2
n
2
=n·2
n
2
.

+++
55、
解 甲方案10年中每年获利数组成首项为1,公比为1+30%的等比数列,其和为
1+(1+30%) +(1+30%)
2
+…+(1+30%)
9

1.3
10
-1
≈42.63(万元),
1.3-1
到期时银行贷款的本息为
10(1+0.1)
10
≈10×2.594=25.94(万元),
∴甲方案扣除贷款本息后,净获利约为42.63-25.94≈16.7(万元).
乙方案10年中逐年获利数组成等差数列,
1+1.5+…+(1+9×0.5)
10?1+5.5?

2
=32.50(万元),
而贷款本利和为1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)
9
]
1.1
10
-1
=1.1×≈17.53(万元).
1.1-1< br>∴乙方案扣除贷款本息后,净获利约为32.50-17.53≈15.0(万元),
比较得,甲方案净获利多于乙方案净获利.

56、
解 分x=1和x≠1两种情况.
n?n+1?
(1)当x=1时,S
n
=1+2+3+…+n=.
2
(2)当x≠1时,S
n
=x+2x
2
+3x
3
+…+nx
n


xS
n
=x
2
+2x
3
+3x
4
+…+(n-1)x
n
+nx
n
1

x?1-x
n
?

nn

123
∴(1-x)S
n
=x+x
+x+…+x-nx=-nx
n
1
.
1-x

x?1-x
n
?
nx
n< br>1
∴S
n


.
?1-x?
2
1-x
综上可得S
n

n?n+1?
?
?
2
?x=1?
?
x ?1-x
?
nx
?
?
?1-x?

1-x
?x≠1且x≠0?
nn

1
2

.

57、
解 (1)设等差数列{a
n
}的公差为d,且d>0.
∵ a
3
+a
4
=a
2
+a
5
=22,又a< br>3
·a
4
=117,



又公差d>0,∴a
3
4
,∴a
3
=9,a
4
=13.

?
?
?
a
1
+2d=9

?< br>?
a
1
?
?
a
,∴
?
=1

,∴a
n
=4n-3.
1
+3d=13
?
?d=4
(2)由(1)知,Sn·1+
n?n-1?
n

2·4=2n
2
-n,
∴b
S
2n
2

n

n
n+c

n
n+c
.
∴b1615
1

1+c
,b
2

2+c
,b
3

3+c
.
∵{b
n
}是等差数列,∴2 b
2
=b
1
+b
3

∴2c
2
+c=0,∴c=-
1
2
(c=0舍去).

58、
(I):
Qa
*
n?1
?2a
n
?1(n?N),


?a
n?1
?1?2(a
n
?1),


?
?
a
n
?1
?
是以
a
1
?1? 2
为首项,2为公比的等比数列。

?a
n
?1?2
n
.


a
2*
n
?2?1(n?N).

(II)证法一:Q4
b
1
?1
4
b
2
?1
...4< br>b
n
?1
?(a
n
?1)
b
n
.< br>

?4
(b
1
?b
2
?...?b
n
)?n
?2
nb
n
.


?2[(b
1
?b
2
?...?b
n
)?n]?nb
n
,


2[(b
1
?b
2
?...?b
n
?b
n?1
)?(n?1)]?(n?1)b
n?1
.

②-①,得
2(b
n?1
?1)?(n?1)b
n?1
?nb
n
,


(n?1)b
n?1
?nb
n
?2?0,



nb
n?2
?(n?1)b
n?1
?2?0.


④-③,得
nb
n?2
?2nb
n?1
?nb
n
?0,


b
n?2
?2b
n?1
?b
n
?0,


?b
n?2
?b
n?1
?b
n?1
?b
n
(n?N
*
),


?
?
b
n
?
是等差数列。

59、
解 当n=1时,a
1
1
=S
1
,所以a< br>1

4
(a
1
+1)
2







解得a
1
=1.
111
当n≥2时,a
n
=S< br>n
-S
n

1
=(a
n
+1)
2< br>-
(a
n

1
+1)
2

(a2
-a
2
+2a
n
-2a
n

1),
444
nn

1
2
∴a
2
n< br>-a
n

1
-2(a
n
+a
n
-< br>1
)=0,
∴(a
n
+a
n

1
)(a
n
-a
n

1
-2)=0.
∵a
n
+a
n

1
>0,∴a
n
-a
n

1
-2=0.
∴a
n
-a
n

1
=2.
∴{a
n
}是首项为1,公差为2的等差数列.
∴a
n
=1+2(n-1)=2n-1.


--
60、
解 (1)由已知,当n≥1时,a
n

1=[(a
n

1
-a
n
)+(a
n
- a
n

1
)+…+(a
2
-a
1
)]+a
1
=3(2
2
n
1
+2
2
n
3< br>+…
+2)+2=2
2(
n
1)1
.

而 a
1
=2,符合上式,所以数列{a
n
}的通项公式为a
n
=2
2
n
1
.

(2)由b
n
=na< br>n
=n·2
2
n
1


S
n=1·2+2·2
3
+3·2
5
+…+n·2
2
n1
, ①

从而2< br>2
·S
n
=1·2
3
+2·2
5
+3·2< br>7
+…+n·2
2
n
1
. ②
-+
①-②得(1-2
2
)S
n
=2+2
3< br>+2
5
+…+2
2
n
1
-n·2
2
n
1

1

即S
n

[(3n-1)2
2
n
1
+2].
9

+-
61、
解 (1)设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d.
?
a
1
+2d=7,
?
因为a
3
=7,a
5
+a
7
=26,所以
?

?
2a+10d=26,
?
1
?
?
a
1
=3,
n?n-1?
解得< br>?
所以a
n
=3+2(n-1)=2n+1,S
n
=3n+< br>×2=n
2
+2n.
2
?
?
d=2.


所以,a
n
=2n+1,S
n
=n
2
+2n.
(2)由(1)知a
n
=2n+1,
1111
所以b
n

2
==
·

2
a
n
-1
?2n+1?-1
4
n?n+1?
1< br>1
1

·
?
n

n+1
?

4
??
111111
所以T
n
=·(1-
+- +…+-
)
4223n
n+1
11n

·(1-)=

4< br>n+14?n+1?
n
即数列{b
n
}的前n项和T
n
=.
4?n+1?

62、
解 (1)设甲、乙两超市第n年的销售额分 别为a
n
,b
n
.则有:a
1
=a,n≥2时:
aa
a
n
=(n
2
-n+2)-[(n-1)
2
- (n-1)+2]
22
=(n-1)a.
?
?
a, n=1,
∴a
n

?

?
?n-1?a, n≥ 2.
?
b
n
=b
1
+(b
2
-b
1
)+(b
3
-b
2
)+…+(b
n
-b
n

1
)
2
??
2
?
2
+…+ a
?
2
?
n

1
=a+a
?
+ a
?
3
??
3
??
3
?
?
2?
n

1
?
a,(n∈N
*
).

?
3-2
??
3
??
(2)易知b
n
<3 a,所以乙超市将被甲超市收购,



1
?
2?
n

1
?
a<
1
(n-1)a.
由b
n
n
得:
?
3-2
??
3
??
22
2
?
n

1
∴n+4
?
?
3
?
>7,∴n≥7.
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.


63、
解 设等差数列{a
n
}的首项a
1
=a,公差为d ,则S
n
=na+
?
3a+
3×2
d
?
×
1
?
4a+
4×3
d
?

1
?< br>5a+
5×4
d
?

?
1
3
?2
?
4
?
2
?
25
?
2
?< br>?
1
?
3×2
?
1
?
4×3
??
3
?
3a+
2
d
?

4
?
4a+
2
d
?
=1×2,
2
n?n-1?
d,依题意,有
2


3ad+5d
2
=0,
?
?
整理得
?
< br>5
2a+d=2,
?
2
?
12
∴a=1,d=0或a =4,d=-
.
5
3212
∴a
n
=1或a
n< br>=

n,
55
3212
经检验,a
n
=1 和a
n


n均合题意.
55
3212
∴所求等 差数列的通项公式为a
n
=1或a
n


n.
55


64、
(1)证明 由已知a
n

1
=2a
n
+2
n
a
n

1
2a
n
+2
n
a
n
得b
n

1

n
==
n

1
+1=b
n
+1.
22
n
2
∴b
n

1
-b
n
=1,又b
1
=a
1
=1.
∴{b
n
}是首项为1,公差为1的等差数列.
a
n

(2)解 由(1)知,b
n
=n,
n
1
=b
n
=n.∴a
n
=n·2
n
1
.
2

∴S
n
=1+2·2
1
+3· 2
2
+…+n·2
n
1


两边乘以2得:2S< br>n
=1·2
1
+2·2
2
+…+(n-1)·2
n< br>1
+n·2
n


两式相减得:-S
n
= 1+2
1
+2
2
+…+2
n
1
-n·2
n

=2
n
-1-n·2
n
=(1-n)2
n
-1,
∴S
n
=(n-1)·2
n
+1.

65、
解 (1)设n分钟后第1次相遇,依题意,
n?n-1?
有2n++5n=70,
2
整理得n
2
+13n-140=0.
解之得n=7,n=-20(舍去).
第1次相遇是在开始运动后7分钟.
(2)设n分钟后第2次相遇,依题意,有
n?n-1?
2n+
+5n=3×70,
2
整理得n
2
+13n-420=0.
解之得n=15,n=-28(舍去).
第2次相遇是在开始运动后15分钟.



66、
解 由题意知a
2
5
=a
1
a
17

即(a
1
+4d)
2
=a
1
(a
1
+16d).
∵d≠0,由此解得2d=a
1
.
公比q=
a
5
a

a
1
+4d
1
=3.∴ak
n
=a< br>1
·3
n

1
1
a
.
又ak(k
k
n
+1
n
=a
1

n
-1)d=
2
a
1

∴a
1

k
n
+1
1
·3
n

2
a
1
.
∵a
1
≠0,∴k
n
=2·3
n

1-1,
∴k
1
+k
2
+…+k
n
=2(1+ 3+…+3
n

1
)-n
=3
n
-n-1.
67、
解 设等差数列{a
n
}的公差为d,

b
?
1
?
n

1
?
2
?
a
n

1
1
b1
??
1
n

??

?
a
n

1
-a
n

a
?
2
??
2
?
?
d
.
?2
?
n
∴数列{b
1
n
}是等比数列,公比q=
?
?
2
?
?
d
.
∴b
11
1
b
2
b
3
=b
3
2

8
,∴b
2

2
.
?
b=
17
1
+b
3
1
?
?
b
1
=2

?8
?
,解得
?
?
b
1

8

?
?
b
1
1
·b
3

4

?
?
b
3
=2

?
?
b
3

1

.
8
?

?
?
b
1
1

8

时,q
2
=16,∴q=4(q=-4<0舍去)
?
?
b
3
=2
此时,b
n
=b
1
q
n

1

?
1
?
8
?
?
·4
n

1
=2
2
n

5
.
由b< br>1
n

?
?
2
?
?
5
-< br>2
n

?
1
?
2
?
?
a< br>n
,∴a
n
=5-2n.
?
b=2

?
1
?
?
1

时,q
2

11
16
,∴q=
4
?
1< br>?
q=-
4
<0舍去
?
?
b
3
=< br>8
?

此时,b
1
n
=b
1
qn

1
=2·
?
?
4
?
?
n

1

?
1
?
2
?
?
2
n

3

?
1
?
2
?
?
a
n

∴a
n
=2n-3.
综上所述,a
n
=5-2n或a
n
=2n-3.
68、
解 (1)∵对任意n∈N
*
,有S
1
n

6
(a
n
+1)(a
n
+2),
∴当n=1时,有 S
1
1
=a
1

6
(a
1
+1) (a
1
+2),
解得a
1
=1或2.
当n≥2时,有S
1
n

1

6
(a
n

1
+1)(a
n

1
+2).
①-② 并整理得(a
n
+a
n

1
)(a
n
-a
n

1
-3)=0.
而数列{a
n
}的各项均为 正数,∴a
n
-a
n

1
=3.
当a
1
=1时,a
n
=1+3(n-1)=3n-2,
此时a
2
4
=a
2
a
9
成立;
当a
1
=2时,a
n
=2+3(n-1)=3n-1,







此时a
2
4
=a
2
a
9
不成立,舍去.
∴a
n
=3n-2,n∈N
*
.
(2)T
2n< br>=b
1
+b
2
+…+b
2n

=a
1
a
2
-a
2
a
3
+a
3
a4
-a
4
a
5
+…-a
2n
a
2n< br>+
1

=a
2
(a
1
-a
3
)+a
4
(a
3
-a
5
)+…+a
2n
(a
2n

1
-a
2n

1
)
=-6a
2
-6a
4
-…-6a
2n

=-6(a
2
+a
4
+…+a
2n
)
n
?4+6
n
-2?
2
=-6×=-18
n
-6n
.
2


69、
解 ∵5x
2
+y
2
+z
2
-(2xy+4x+2z-2) < br>=4x
2
-4x+1+x
2
-2xy+y
2
+z2
-2z+1
=(2x-1)
2
+(x-y)
2
+( z-1)
2
≥0,
∴5x
2
+y
2
+z
2
≥2xy+4x+2z-2,
1
当且仅当x=y=且z=1时取到等号.
2

70、
解析:面对

的条件,常见的应用主要有 “1”的替换或“三角替换”以及“解出代入”等手法,不同的视角便产
生不同的解法。
解法一(解出——代入):由

得:


∵y>4 ∴y-4>0



(当且仅当


时等号成立)



(当且仅当x=3且y=6时取得)
解法二(1的替换):
∵x, y R
+


(当且仅当





即x=3且y=6时,等号成立)

x=3且y=6时取得)
71、
解:循着求解分式不等式的思路

原不等式





(x-2)[(a-1)x-(a-2)]>0 ①
注意到当a-1≠0时,



(1)当a=1时,原不等式 x-2>0 x>2
(2)当a≠1时
若0

∴由得①原不等式




为确定两个因式的根的大小而讨论:
(当且仅当






若a>1时,a-1>0且


∴由得原不等式


于是由(1)、(2)知 当0原不等式解集为



当 a=1时,原不等式解集为(2,+∞);
当a>1时,原不等式解集为




2222
72、
(1)当a=-2,b=-8时,所给不等式左 边=x+ax+b|=|x-2x-8|≤2|x-2x-8|=|2x-4x-16|=右边
∴此时所给不等式对一切x∈R成立
(2)注意到 2x-4x-16=0 x-2x-8=0 (x+2)(x-4)=0 x=-2或x=4
2
∴当x=-2或x=4时 |2x-4x-16|=0
22
∴在不等式|x+ax+b|≤|2x-4x-16|中分别取x=-2,x=4得

22



又注意到(1)知当a=-2,b=-8时,所给不等式互对一切x
能a=-2,b=-8一组
2
(3)由已知不等式x-2x-8≥(m+2)x-m-15
对一切x>2成立

x-4x+7≥m(x-1)对一切x>2成立
2
R均成立。∴满足题意的实数a,b只












则(1) m≤g(x)的最小值



又当x>2时,x-1>0


(当且仅当



时等号成立)
∴g(x)的最小值为6(当且仅当x=3时取得)
③∴由②③得 m≤2 ∴所求实数m的取值范围为(-∞,2]


73、
解 方法一 作差法
a
2
-b
2
a-b
?a+b??a
2
-b
2
?-?a-b??a
2
+b
2
?
-=
a
2
+b
2
a+b
?a
2
+b
2
??a+b?
?a-b?[?a+b?
2
-?a
2
+b
2< br>?]
2ab?a-b?
==
?a
2
+b
2
??a+b??a+b??a
2
+b
2
?
∵a>b>0,∴a+b> 0,a-b>0,2ab>0.
2ab?a-b?a
2
-b
2
a- b

>0,∴
2
>.
?a+b??a
2
+b2
?
a
+b
2
a+b
方法二 作商法
a2
-b
2
a-b
∵a>b>0,∴
22
>0,>0.
a
+b
a+b
a
2
-b
2
a
2< br>+b
2
?a+b?
2
a
2
+b
2
+ 2ab
2ab
∴=
2
==1+
22
>1.
222
a-ba
+b
a
+b
a
+b
a+b
a2
-b
2
a-b

22
>.
a
+b
a+b

74、
解 f(x)-g(x)=1+lo g
x
3-2log
x
2=log
x
4

3x



0<x<1,x>1,
??
??
①当
?
3x

?
3x

??
?
4>1,
?
0<
4
<1,
43x
即1<x<时,log< br>x
<0,∴f(x)<g(x);
34
3x43x
②当=1,即x= 时,log
x
=0,即f(x)=g(x);
434
0<x<1,x>1,
??
??
③当
?
3x

?
3x

0<
<1,>1,
??
?
4
?
4
43x< br>即0<x<1,或x>时,log
x
>0,即f(x)>g(x).
34
4
综上所述,当1<x<时,f(x)<g(x);
3
4
当x=时,f(x)=g(x);
3
4
当0<x<1,或x>时,f(x)>g(x).
3



x|-
≤x≤2
?

75、
解 由ax
2
+bx+c≥0的解集为
?
3
??
1
知a <0,且关于x的方程ax
2
+bx+c=0的两个根分别为-,2,
3
1 b
-+2=-
3a
52
∴,∴b=-
a,c=-a.
33
1c
-×2=
3a
?
1
?
?
?
?

所以不等式cx
2
-bx+a<0可变形为
?

2
a
?
x
2

?

5
a
?
x+a<0,
?
3
??
3
?
即2ax
2
-5ax-3a>0.
又因为a<0,所以2x
2
-5x-3<0,
1
??
所以所求不等式的解集为
?
x|-
2
?
.
??

76、
解 作出不等式组
2x+ y-5≥0
?
?
?
3x-y-5≤0
?
?
x-2y +5≥0

的可行域如图所示,

?
?
x-2y+5=0

?
,得A(1,3),
?
?
2x+y-5=0
?
x-2y+5=0
?

?
,得B(3,4),
?
3x-y-5=0
?




?
?
3x-y-5=0

?
,得C(2,1),
?
2x+y-5=0
?

设z=x
2
+y
2
,则它表示可行域内的点到原点的距离的平方,结合图形知,原点到点B的距离最大,注
意到 OC⊥AC,∴原点到点C的距离最小.
故z
max
=|OB|
2
=25,z
min
=|OC|
2
=5.

77、
解 如图作出线性约束条件
x+3y≥12
?
?
?
x+y≤10
?
?
3x+y≥12


下的可行域,包含边界:其中三条直线中x+3y=12与3x+y=12交于点A(3,3),
x+y=10与x+3y=12交于点B(9,1),
x+y=10与3x+y=12交于点C(1,9),
作一组与直线2x-y=0平行的直线l:2x-y=z,
即y=2x-z,然后平行移动直 线l,直线l在y轴上的截距为-z,当l经过点B时,-z取最小值,此
时z最大,即z
ma x
=2×9-1=17;当l经过点C时,-z取最大值,此时z最小,即z
min
= 2×1-9=-7.
∴z
max
=17,z
min
=-7.



2
78、
存在,
c?

3



79、
解:设需
A
型、
B
型卡车分别为
x
辆和
y
辆.列表分析数据.

车辆数
运物吨数
费用
由表可知
x

y
满足的线性条件:
A
型车
x

B
型车
y

30y

504y

限量
10

180

z

24x

320x













?
x?y≤10
?
24x?30y≥180
?
,且
z?320x?504y

?
?
0≤x≤8
?
?
0≤y≤4
0)
时,
z
最小,但
A(7.5,0)
不是整点 ,作出线性区域,如图所示,可知当直线
z?320x?504y

A(7.5,2)
是最优解.这时
z
min
?320?5?504?2?2 608< br>(元)继续向上平移直线
z?320x?504y
可知,
(5,
即用
5

A
型车,
2

B
型车,成本 费最低.
若只用
A
型车,成本费为
8?320?2560
(元), 只用
B
型车,成本费为



180
?504?3024
(元).
30
80、
答案:解 :设桌椅分别买
x

y
张,由题意得
?
50x?20y≤ 2000,
200
?
y≤1.5x,
?
x?,
?
?
?
x?y,
?
7
?

?
解得
?< br>
?
x≤y,
200
50x?20y?2000,
?
?
y?
?
x≥0,

?
7
?
?
?
?
y≥0.














?
200200
?

?



A
的坐标为
?
7
??
7
?
x?25,
?< br>y?1.5x,
?

?
解得
?
75

50x?20y?2000,
y?.
?
?
?2
75
??< br>25,


B
的坐标为
??

2
??
以上不等式所表示的区域如图所示,
即以
A
?75
??
200200
??

?

B
?
25,
?

O(0,0)
为顶点的△
AOB
及其 内部.
772
????
对△
AOB
内的点
P(x,y)< br>,设
x?y?a


y??x?a
为斜率为
?1< br>,
y
轴上截距为
a
的平行直线系.
只有点
P

B
重合,即取
x?25

y?
75
时,
a
取最大值.
2
∵y?Z

∴y?37

∴< br>买桌子
25
张,椅子
37
张时,是最优选择.



81、
ab


82、
解 先画出平面区域,再用代入法逐个验证.



32
把x=3代入6x+7y≤50,得y≤,又∵y≥2,
7
∴整点有:(3,2)(3,3)(3,4);
把x=4代入6x+7y≤50,
26
得y≤,
7
∴整点有:(4,2)(4,3).
20
把x=5代入6x+7y≤50,得y≤,
7
∴整点有:(5,2);
把x=6代入6x+7y≤50,得y≤2,整点有(6,2);
8
把x=7代入6x+7y≤50,得y≤,与y≥2不符.
7
∴整数解共 有7个为(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2).

y+1y-?-1?
=,
x+1x-?-1?
所以z的几何意义是点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率,
y+1
因此的最值就是点(x,y)与点M(-1,-1)连线的斜率的最值,
x+1
结合图可知,直线MB的斜率最大,直线MC的斜率最小,即
z
max
=k
MB
=3,此时x=0,y=2;
1
z
min
=k
MC

,此时x=1,y=0.
2
1
∴z的最大值为3,最小值为
.
2

83、
解 由于z=


84、
证明 ∵a、b、c都是正数,∴
a

b

c
也都是正数.
bccacaabbcab
∴+≥2c,+≥2a,+≥2b,
abbcac
bccaab
?
三式相加得2
?
?
a

b

c
?
≥2(a+b+c),
bccaab
即++≥a+b+c.
abc

bccaab
85、
证明 ∵
a

b
≥2
11
+≥2
bc
1
=2a,
bc
111
=2c,
ab



111
+≥2 =2b,
caac
111
?
∴2
?
?
a

b

c
?
≥2(a+b+c),
111
即++≥a+b+c.
abc
∵a,b,c为不等正实数,
111
∴a+b+c<++
.
abc

86、
解 :设
g(a)?x
2
?(a?4)x?4?2a?(x?2)a?(x?2)
2


g(a)
的图象为一直线,在
a?[?1,1]
上恒大于0,故有
?
x
2
?5x?6?0
?
g(?1)?0
,即?
2
,解得:
x?1

x?3

?
?
g(1)?0
?
x?3x?2?0

x
的取值范围是
(??,1)?(3,??)


87、
解:设花坛的长、宽分别为
x
m,
y
m,根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰好位于喷水
x y
区域的边界。依题意得:
()
2
?()
2
?25
,(
x?0,y?0

42
x
2
?y
2
?100
的条件下,求
S?xy
的最大值。 问题转化为在
x?0,y?0< br>,
4
xx
法一:
?S?xy?2??y?()
2
?y
2
?100

22
x
2
x
?y
2
?100

x?0,y?0
得:
x?102,y?52

?y

4
2
?S
max
?100

x
2
?y
2
?100
, 法二:∵
x?0,y?0

4
x
2
x
2
1
2
?S?xy? x100?
=
x?(100?)??(x
2
?200)
2
? 10000

444
∴当
x
2
?200
,即
x?102

S
max
?100

x
2
?y
2
?100
可解得:
y?52
。 由
4
答:花坛的长为
102m
,宽为
52m
,两喷水器位于 矩形分成的两个正方形的中心,则符合要求。

88、
解:(1)对任意的
x?R
,都有
f(x)?2x?a?

22
对任意的
x?R

x?(a?2)x?(b?a)?0

???(a?2)?4(b?a)?0

a
2
?b?1??b?1(?a?R)

b?[1,??)
.
4
(2)证明:∵
f(1)?1?a?b? M,f(?1)?1?a?b?M,

2M?2b?2
,即
M?b?1

11aaa
(3)证明:由
0?a?
得,
????0

f(x)

[?1,?]
上是减函数,在
[?,1]
上是 增函数。
24222
a
2
a
∴当
|x|?1
时,
f(x)

x??
时取得最小值
b?
,在
x?1< br>时取得最大值
1?a?b
.
4
2



1?a?b?1
?
a
2
?
2
a
故对任意的
x?[?1,1]

|f(x)|?1?
?
??1?b??a.
< br>b???1
4
?
4
?
22
43
x
3
89、
≤lg≤。
3
9
9
y

90、
解 (1)设DN的长为x(x>0)米,
则AN=(x+2)米.
3?x+2?
DNDC
∵=,∴AM=,
ANAMx
3?x+2?
2
∴S
AMPN
=AN·AM=

x
3?x+2?
2
由S
AMPN
>32,得>32.
x
又x>0,得3x
2
-20x+12>0,
2
解得:06,
3
2
即DN长的取值范围是(0,
)∪(6,+∞).
3
(2)矩形花坛AMPN的面积为
3?x+2?
2
3x
2
+12x+12
y=

xx
1212
=3x++12≥23x·+12=24,
xx
12
当且仅当3x=,即x=2时,
x
矩形花坛AMPN的面积取得最小值24.
故DN的长为2米时,矩形AMPN的面积最小,
最小值为24平方米.

91、
证明 ∵a,b,c∈(0,+∞),
∴a+b≥2ab>0,b+c≥2bc>0,
c+a≥2ac>0,
∴(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc>0.
abc1
∴≤
?a +b??b+c??c+a?
8
abc1
即(
)·()·()≤.
a+bb+cc+a
8
当且仅当a=b=c时,取到“=”.

92、
解 (1)设题中比例系数为k,若每批购入x台,则共需分
x
批,每批价值20x.
36
由题意f(x)=
·4+k·20x,
x
161
由x=4时,y=52,得k==
.
805
144
∴f(x)=+4x (0*
).
x
144
(2)由(1)知f(x)=
+4x (0*
).
x
144
∴f(x)≥2
·4x=48(元).
x
36



144
当且仅当=4x,即x=6时,上式等号成立.
x
故只需每批购入6张书桌,可以使资金够用.


93、
解:不等式
ax(a?1)x?2
?1
可化为
?0

x ?2x?2
x?

a?1
,∴
a?1?0
,则原不等式可化 为
2
1?a
?0

x?2
2
}
1?a
故当
0?a?1
时,原不等式的解集为
{x|2?x?

a?0
时,原不等式的解集为
?


a?0
时,原不等式的解集为
{x|

2
?x?2}

1?a
94、
解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨,获得利润z万元.
?
?
4x+ 5y≤200
依题意可得约束条件:
?
3x+10y≤300
x≥0
?
?
y≥0
作出可行域如图.
9x+4y≤360


利润目标函数z=6x+12y,
由几何意义知,当直线l:z=6x+12y经过可行域上 的点M时,z=6x+12y取最大值.解方程组
?
?
3x+10y=300
?

?
4x+5y=200
?
得x=20,y=24,即M(20,24).
答 生产甲种产品20吨,乙种产品24吨,才能使此工厂获得最大利润.



95、
证明:法一(综合法)
?a?b?c?0

?(a?b?c)
2
?0

a
2
?b
2
?c
2
?0
展开并移项得:
ab?bc?ca??
2
?ab?bc?ca?0

法二(分析法)
要证
ab?bc?ca?0

?a?b?c?0< br>,故只要证
ab?bc?ca?(a?b?c)

222
即证
a?b?c?ab?bc?ca?0

2



也就是证
[(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
]?0

而此式显然成立,由于以上相应各步均可逆,
∴原不等式成立。
法三:
?a?b?c?0

??c?a?b

1
2
b
2
3b
2
?ab?bc?ca?ab?(b?a)c?ab?(a ?b)??a?b?ab??[(a?)?]?0
24
?ab?bc?ca?0

22
法四:
?a?b?2ab,

b
2
?c
2
?2bc

c
2
?a
2
?2ca

222

∴由三式相加得:
a
2
?b
2
? c
2
?ab?bc?ca

两边同时加上
2(ab?bc?ca)< br>得:
(a?b?c)?3(ab?bc?ca)

2
?a?b?c?0
, ∴
ab?bc?ca?0


96、
解 设f(x)=7x
2
-(a+13)x+a
2
-a-2.
因为x
1
,x
2
是方程f(x)=0的两个实根,
且01
<1,12
<2,
a
2
-a-2>0,
f?0?>0,
?
?
?
?
所以
?< br>f?1?<0,
?
?
7-?a+13?+a
2
-a-2<0,
?
?
?
f?2?>0
?
28-2?a+13?+a
2
-a-2>0
a
2
-a-2>0,
a<-1或a>2,
? ?
??
?
?
a
2
-2a-8<0,
?
?< br>-2??
?
a
2
-3a>0
?
a <0或a>3





?-2所以a的取值范围是{a|-2
2
?
?
2a
1
?a
3
+1?=a
2

97、
解 设数列
{
a
n
}
的公差为d,依题设有
?

?
a+a+a=12,
?
123
22
?
?
a1
+2a
1
d-d
+2a
1
=0,

?

?
a
1
+d=4.
?

??
?
a
1
=1,
?
a
1
=8,
解得
?

?

?
d=3
?
??
d=-4.



1
因此S
n
=n(3n-1)或S
n
=2n(5-n).
2

98、
解 (1)1+
tan B

b
?1+
sin Bcos A

sin B

sin Bcos A+sin Acos B
2sin C
=,
sin Bcos Asin B
sin?A+B?
2sin C1
∴=,∴cos A=
.
sin Bcos Asin B2
π
∵0.
3
(2)在△ABC中,a
2
=b
2
+c
2
-2bccos A,且a=3,
1< br>∴(3)
2
=b
2
+c
2
-2bc·=b
2
+c
2
-bc.
2
22
∵b+c≥2bc,∴3≥2bc-bc,
即bc≤3,当且仅当b=c=3时,bc取得最大值,
又a=3,

tan A2csin Acos B2sin C



故bc取得最大值时,△ABC为等边三角形.

99、

设∠ACD=α,∠CDB=β.
在△BCD中,由余弦定理得
BD
2
+CD
2
-CB
2
cos β=

2BD·CD
20
2
+21
2
-31
2
1
==-,
7
2×20×21
43
则sin β=,
7
而sin α=sin(β-60°)=sin βcos 60°-cos βsin 60°
4313153
=×+×=,
722714
21AD
在△ACD中,由正弦定理得=,
sin 60°sin α
53
21×
14
21sin α
∴AD===15(千米).
sin 60°
3
2
答 这人还要走15千米才能到达A城.


100、
解 (1)由bcos C+ccos B=2acos B及正弦定理得:
sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos B,
即sin(B+C)=2sin Acos B
又A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin A
从而sin A=2sin Acos B,又0
故cos B=,又0.
23
1π33
(2)又S=acsin
=,
234
所以ac=3,又a+c=5,
从而b
2
=a
2
+c
2
-2accos B=(a+c)
2
-3ac
=25-9=16,故b=4.


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