高中数学米勒定理-高中数学导数重要不等式
解三角形
一、知识点复习
1、正弦定理及其变形
abc
???2R
sinAsinBsinC
(R为三角形外接圆半径）
（）1a?2RsinA,b?2RsinB,c?2R
sinC
(边化角公式）
（2）sinA?
abc
(角化边公式）
,sinB?,sinC?
2R2R2R
（3）a:b:c?sinA:sinB:s
inC
(4)
asinAasinAbsinB
?,?,?
bsinBcsinCcsinC
3、余弦定理及其推论
b2
?c
2
?a
2
cosA?
2bc
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
a
2
?
c
2
?b
2
222
b?a?c?2accosB
cosB?
2ac
c
2
?a
2
?b2
?2abcosC
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
5、常用的三角形面积公式
1
?底?高
； <
br>2
111
（2）
S
?ABC
?absinC?bcsinA?
casinB
（两边夹一角）；
222
6、三角形中常用结论
（1）S
?ABC
?
（1）
a?b?c,b?c?a,a?c?b(即两边之和
大于第三边，两边之差小于第三边）
（2）
在?ABC中，A?B?a?b?sin
A?sinB(即大边对大角，大角对大边）
（3）在△ABC中，A+B+C=π，所以s
in(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；
A?BCA?BC
tan(A+
B)=－tanC。
sin?cos,cos?sin
2222
二、典型例题
（1）用正、余弦定理解三角形
例1、已知在
?ABC中，c?10,A?45,C?30,求a,b和B
练习：
?ABC中，c?
00
6,A?45
0
,a?2,求b和B,C
（2）三角形解的个数
1、知道3边、3角，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解，
2、两边及一边的对角时：
A为锐角
图
形
A为钝角或直角
关
系
解
A
A=bsinA
一解
bsinA
a
≥
b
一解
a
≤
b
无解
例1：在
?ABC
中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】
A、
a?7
，
b?14
，
A?30?
；
C、
b?4
，
c?5
，
B?30?
；
（3） 面积问题
[例4]
?ABC
的一个内角为120°，并且三边构
成公差为4的等差数列，则
?ABC
的面积为
1
、在ΔABC中，若S
Δ
ABC
=
B、
b?25
，
c?30
，
C?150?
；
D、
a?6
，
b?3
，
B?60?
。
1
222
(a+b－c),那么角∠C=______
4
2、△ABC中，
A:B?1:2
，
C
的平分线
CD
把三角形面积分成
3:2
两部分，则
cosA?
3、
?
ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
，已知
b
?2
，
B?
面积为（ ）
A.
23?2
B.
3?1
C.
23?2
D.
3?1
4、、在ΔABC中，A=60°,
c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.
5、若△ABC的周长等于20，面积是
103
，A＝60°，则BC边的长是（
）
A． 5
B．6 C．7 D．8
?
6
，
C?
?
4
，则
?ABC
的
（4）边角互化思想：
1、判断三角形形状
[例5] 在
?ABC
中，已知
(a
2
?b
2
)?sin(A?B)?(a
2<
br>?b
2
)?sin(A?B)
,判断该三角形
的形状。
练习：
1、设△
ABC
的内角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a, b, c
,
若
bcosC?ccosB?asinA
, 则△
ABC
的形状为 (
)
A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
2、若△ABC
的三个内角满足
sinA:sinB:sinC?5:11:13
，则△<
br>ABC
（A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2、与向量的联系
例：在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则
AB?BC
的值为( )
A．79 B．69
C．5 D．-5
3、大题练习：
例：在
△ABC
中，内角
A，B，C
对边的边长分别是
a，b，c
，已知
c?2
，
C?
（Ⅰ）若
△ABC
的面积等于
3
，求
a，b
；
（Ⅱ）若
sinB?2sinA
，求
△ABC
的面积．
练习：
1、在
△ABC
中，
cosA??
?
．
3
53
，
cosB?
．
135
（Ⅰ）求
sinC
的值；
（Ⅱ）设
BC?5
，求
△ABC
的面积．
2、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知
b?c?a?3b
c
，求：
（Ⅰ）A的大小;
（Ⅱ）
2sinBcosC?sin(B?C)
的值.
3、在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且
（1）确定角C的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求a+b的值．
222
．