高中数学运算素养活页-汉铁高中数学教研组
高中数学必修5模块期末综合测试卷
班级----------姓名
------------座号-------------
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.在△ABC中,a=5,b=15,A=30°,则c等于( )
A.25
B.5 C.25或5 D.35
2.当01
A.(1-a)>(1-a)
b
b
b
C.(1-a)
b
>(1-a)
2
B.(1+a)
a
>(1+b)
b
D.(1-a)
a
>(1-b)
b
3.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是( )
A.a<-7或a>24
C.-7B.a=7或a=24
D.-244.数列1,3,7,15,…的通项公式a
n
等于(
)
A.2
n
B.2
n
+1
C.2
n
-1 D.2
n
-1
5.△ABC中,a、b、c分
别为A、B、C的对边,如果a,b,c成等差数列,B=30°,
3
△ABC的面积为,那么
b=( )
2
1+32+3
A. B.1+3 C.
D.2+3
22
6.若数列{x
n
}满足lg
x
n
+
1
=1+lg x
n
(n∈N
*
)
,且x
1
+x
2
+x
3
+…+x
100
=
100,则lg(x
101
+x
102
+…+x
200
)的
值为( )
A.102 B.101 C.100 D.99
7.在△ABC
中,角A、B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C=120°,c=2a,
则( )
A.a>b B.a<b C.a=b D.a与b的大小关系不能确定
x≥0,?
?
8.设变量x,y满足约束条件
?
x-y≥0,
?
?
2x-y-2≤0,
A.0 B.2 C.4 D.6
则z=3x-2y的最大值为( )
1
9.函数f(x)=ln(x
2<
br>-3x+2+-x
2
-3x+4)的定义域为( )
x
A.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.[-4,0)∪(0,1]
B.(-4,0)∪(0,1)
D.[-4,0)∪(0,1)
x
2
-4x+5
5
10.已知x≥,则f(x)=有( )
2
2x-4
55
A.最小值 B.最大值 C.最小值1
D.最大值1
44
?
1
?
11.已知{a
n
}是
首项为1的等比数列,S
n
是{a
n
}的前n项和,且9S
3
=S
6
.则数列
?
a
?
的
?
n
?
前5项和为( )
153131
A.或5 B.或5 C.
81616
15
D.
8
12.已知各项均为正数的等差数列{a<
br>n
}的前20项和为100,那么a
3
·a
18
的最大值是(
)
A.50 B.25 C.100
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.在△ABC中,已知a=4,b=6,C=120°,则sin A的值是________.
14.设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和,若S
3=3,S
6
=24,则a
9
=________.
15.某公
司租地建仓库,每月土地占用费y
1
与仓库到车站的距离成反比,而每月库存
货物的运
费y
2
与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项
费用
y
1
和y
2
分别为2万元和8万元,那么要使两项费用之和最小,仓库应建在
离车
站________处.
16.已知关于x的不等式(a
2
-4)x<
br>2
+(a+2)x-1≥0的解集为空集,则实数a的取值范
围是________.
三、解答题
17.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,且2sin
A=3cos A.
(1)若a
2
-c
2
=b
2
-mbc,求实数m的值;(2)若a=3,求△ABC面积的最大值.
1
?
n
+
1
1
18.(本小
题满分12分)数列{a
n
}中,a
1
=,前n项和S
n
满
足S
n
+
1
-S
n
=
?
(n∈N
*
).
3
??
3
(1)求数列{a
n
}的通项公
式a
n
以及前n项和S
n
;
D.220
(2)若S
1
,t(S
1
+S
2
),3(S
2+S
3
)成等差数列,求实数t的值.
19.(本小题满分12分)已知全集U=R,集合A={x|x2
+(a-1)x-a>0},B={x|(x+a)(x
+b)>0(a≠b)},M=
{x|x
2
-2x-3≤0}.
(1)若?
U
B=M,求a,b的值;
(2)若-1(3)若-32
-1∈?
U
A,求实数a的取值范围.
20.(本小题满分12分)某人有楼房一幢,室内面积共180
m
2
,拟分隔成两类房间作为
旅游客房.大客房每间面积为18
m
2
,可住游客5名,每名游客每天住宿费为40元;小房
间每间15
m
2
,可住游客3名,每名游客每天住宿费为50元;装修大房间每间需1
000元,
装修小房间每间需600元.如果他只能筹款8
000元用于装修,且游客能住满客房,他应
隔出大房间和小房间各多少间,才能获得最大收益?
21.(本小题满分12分)森林失火,火势以每分钟100 m
2
的速度顺风蔓延,
消防站接
到报警后立即派消防员前去,在失火5分钟到达现场开始救火,已知消防员在现场平均每
人每分钟可灭火50 m
2
,所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用平均每人每分钟125元,
所
消耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元,而每烧毁1 m
2
的森林损失费为60元,
设消防队派x名消防队员前去救火,从到现场把火完全扑灭共用n分钟.
(1)求出x与n的关系式;
(2)求x为何值时,才能使总损失最少.
2
2.(本小题满分14分)已知等差数列{a
n
}满足:a
3
=7,a
5
+a
7
=26.{a
n
}的前n项和为
S
n<
br>.
(1)求a
n
及S
n
;
1
(2)令b
n
=
2
(n∈N
*
),求数列{b
n
}的
前n项和T
n
.
a
n
-1
高中数学必修5模块期末综合测试卷
参考答案
1.
2<
br>b
2
+c
2
-a
2
3
15+c
-5
解析: 由余弦定理:cos A=
,∴=,即c
2
-35c+10=0,
2bc2
2×15×c
∴c=5或25,经检验,a,b,c能构成三角形.故选C.
答案: C
131
1119
1-
?
2
=
??2
=
.(1-a)
b
=
?
1-
?
2.
解析: 特值法.取a=
,b=,则(1-a)=
?
?
4
?
42b
?
4
??
4
?
16
13
=
.
22
1
∴(1-a)
<(1-a)
b
.故排除
A.同理可排除B,C.答案: D
b
3.解析:
(3×3-2×1+a)·(-3×4-2×6+a)<0?-74.解析:
取n=1时,a
1
=1,排除A、B,取n=2时,a
2
=3,排除D.答案
: C
13
5.解析: 2b=a+c,S=acsin B=
∴ac=6又∵b<
br>2
=a
2
+c
2
-2accos
B∴b
2
=(a+c)
2
22
-2ac-2accos 30°
∴b
2
=4+23,即b=1+3,故选B.答案: B
x
n+1
6.解析: 由lg x
n+1
=1+lg x
n
得
=10,∴数列{x
n
}是公比为10的等比数列,又
x
n
x
101
=x
1
·q
100
,
x102
=x
2
·q
100
,…,x
200
=x
100
·q
100
,∴x
101
+x
102
+…+x
200
=q
100
(x
1
+x
2
+…+x
100
)=
10
100
·100=10
102<
br>.
∴lg(x
101
+x
102
+…+x
200<
br>)=102.答案: A
aca2a61
7.解析:
由正弦定理得
=即=∴sin A=
>
sin Asin Csin Asin
120°42
∴A>30°,则B<30°故A>B,∴a>b答案: A
8.解析:
作出可行域如图所示
31
目标函数y=
x-z易知过A(
0,-2)时z
max
=4答案: C
22
9.解析: 由已知得
?
?
-x-3x+4≥0,
?
x
-3x+2+-x-3x+4>0
,
?
?
x≠0.
2
22
x
2
-3x+2≥
0,
?
?
-4≤x≤1,
?
?
x
-3x
+2+
?
?
x≠0.
2
x≤1或x≥2,
-x
2<
br>-3x+4>0,
?x∈[-4,0)∪(0,1).答案: D
10.解析: f(x)=
?x-2?
2
+1
2?x-2?
=
?x-2?
15
+
.∵x≥
,∴x-2>0,∴f(x)≥222
2?x-2?
1
=1.
4
x-2
1
当且仅
当=,
2
2?x-2?
即x=3时,取等号.答案: C
11.解析:
9S
3
=S
6
而S
6
=S
3
+a
4
+a
5
+a
6
∴8(a
1
+a
2
+a
3
)=a
4
+a
5
+a
6
即q3
=8∴q=2
?
1-
?
1
?
5
?<
br>1·
??
2
??
31
?
1
?
1∴数列
?
a
?
是以1为首项,为公比的等比数列.S′
5
=
=
.答案: C
2116
?
n
?
1-
2
20?a
1
+a
20
?20?a
3
+a
18
?
12.解析: 由题可知S
20
=
==100,所以a3
+a
18
=10,故
22
a
3
·a
18
≤
?
?
a
3
+a
18
?
2<
br>?
=25.故选B.
?
2
?
13.解析:
根据余弦定理c
2
=a
2
+b
2
-2abcos C=4<
br>2
+6
2
-2×4×6cos120°=76.所以
c
=219,
asin C4sin 120°5757
根据正弦定理,得sin
A===
.答案:
c1919
219
?
?
S
3
=3
14.解析:
由
?
?
S
6
=24
?
3×?3-1?<
br>?
?
3a+
2
d=3
知
?
6?6-1??
?
6a+
2
d=24
1
1
??<
br>?
a
1
+d=1
?
a
1
=-1
即<
br>?
,∴
?
2a+5d=8d=2
?
1
?
??
∴a
9
=-1+8×2=15答案: 15
15.解析: 由已知得y1
=
费用之和y=y
1
+y
2
=0.8x+
立
.答案: 5 km
16.解析:
当a=-2时,原不等式可化为0·x
2
+0·x-1≥0,解集为空集,符合题
意.
当a=2时,原不等式可化为0.x
2
+4x-1≥0,解集不能为空集.
2
?
?
a
-4<0
66
当
?
,不等式的解
集为空集.∴-2<a<综上-2≤a<
.
55
?
?
Δ=?a+2
?
2
+4?a
2
-4?<0
20
,y
2
=
0.8x(x为仓库与车站的距离).
x
2020
0.8x·
=8,当且仅
当0.8x=即x=5时等号成
xx
20
≥2
x
6
-2,
?
答案:
?
5
??
17.解析: (1)将2sin A=3cos
A两边平方,得2sin
2
A=3cos A,即(2cos A-1)(cos
1
A+2)=0.解得cos A=
>0,
2
π
∵0<A<,∴A=60°.
2
b
2
+c<
br>2
-a
2
mm1
a
2
-c
2
=b<
br>2
-mbc可以变形得=
.即cos A=
=,∴m=1.
2bc2
22
b
2
+c
2
-a
2
1
(2)∵cos
A=
=,∴bc=b
2
+c
2
-a
2
≥2bc-a
2
,即bc≤a
2
.
2bc2
bca2
3333
故S
△ABC
=
sin
A≤×
=
.∴△ABC面积的最大值为3.
22244
1
?
n
+
1
?
1
?
n
+
1
(n∈N
*
);又a
1
=
1
,故a
n
=
?
1
?
n
(n18.解析: (1)由S
n+1
-S
n
=
?
得a
n+1
=
?
3
??
3
??
3
?
3
∈N
*
).
1
??
1
?
n
?
×1-
3
??
3
??<
br>1
??
1
?
n
?
从而,S
n
==
?
1-
?
3
??
(n∈N
*
).
12
1-
3
1413
(2)由(1)可得S
1
=<
br>,S
2
=
,S
3
=.从而由S
1
,t(S<
br>1
+S
2
),3(S
2
+S
3
)成等差数列
可得:
3927
14
?
1
?
413
?
+
3
?
9
+
27
?
=2×
?
?
3<
br>+
9
?
t,
3
解得t=2.
19.解析: 由题
意,得A={x|(x+a)(x-1)>0},?
U
B={x|(x+a)(x+b)≤0}
,M={x|(x
+1)(x-3)≤0}.
(1)若?
U
B=M,则(x
+a)(x+b)=(x+1)(x-3),所以a=1,b=-3,或a=-3,b=1.
(2)若
-11},B={x|x<-a或x>
-b}.
故A∩B={x|x<-a或x>1}.
(3)若-3-a},?
U
A={x|1≤x≤-a}.又由?
a
2
-2≥0
-1-5
?
a
2
-1
∈?
U
A,得1≤a
2
-1≤-a,即
?
,解得
≤
a≤-2.
2
2
?
?
a
+a-1≤0
20.解析:
设隔出大房间x间,小房间y间,获得收益为z元,
18x+15y≤180,
?
?
则
?
1
000x+600y≤8 000,
?
?
x≥0,y≥0,且x,y∈N
6x+5y≤60,①
?
?
即
?
5x+3y≤4
0,②
?
?
x≥0,y≥0,且x,y∈N
.
目标函数为z=200x+150y画出可行域如图阴影部分所示.
2060
?
作出直线l:200x+150y=0,即直线4x+3y=0.当l经过平移过可行域上的
点A
?
?
7
,
7
?
时,z有最大值,由于A的坐标
不是整数,而x,y∈N,所以A不是
最优解.
调整最优解:
37-4x
由x,y∈N,知z′=4x+3y≤37,令4x+3y=37,即y=,
3
5
代入
约束条件①,②,可解得
≤x≤3.
2
25
由于x∈N,得x=3,但此时y=
?N.
3
再次调整最优解:
36-4x
令4x+3y=36,即y=,代入约束条件①,②,
3
可解得0≤x≤4(x∈N).
21
当x=0时,y=12;当x=1时
,y=10;当x=2时,y=9;当x=3时,y=8;当x
33
2
=4时,y=6
.
3
所以最优解为(0,12)和(3,8),这时z′
max
=
36,z
max
=1 800.
所以应隔出小房间12间或大房间3间、小房间8间,可以获得最大收益.
21.
10
解析: (1)由已知可得50nx=100(n+5),所以n=(x>2).
x-2
?
10
+5
?
1
250x
(2)设总损失为y元,则y=6 000(n+5)+100x+125nx=6 000<
br>?
+100x+
?
?
x-2
?
x-2
=62 500
+100(x-2)+31 450
x-2
62
500
≥26250 000+31 450=36 450,当且仅当
=100(x-2),
即x=27时,y取最小
x-2
值.
答:需派27名消防员,才能使总损失最小,最小值为36 450元.
22.解析:
(1)设等差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,
由于a3
=7,a
5
+a
7
=26,所以a
1
+2d
=7,2a
1
+10d=26,
n?a
1
+a
n
?
解得a
1
=3,d=2.由于a
n
=a
1
+(n
-1)d,S
n
=
(2)因为a
n
=2n+1,所以a
n<
br>2
-1=4n(n+1),
因此b
11
?
1
n=
4n?n+1?
=
4
?
?
n
-
1<
br>?
n+1
?
?
.
故T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=
1
?
4
?
1-
1
+
1
-
1
+…+
1
?
223n
-
1
?
n+1
?
?
=
1
?
4
?
?1-
1
?
n+1
?
?
=
n
4?n+1?
所以数列{b
n
}的前n项和
T
n
=
n
4?n+1?
.
2
,所以a
n
=2n+1,S
n
=n(n+2).
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