高中数学必修5解三角形知识总结及练习

解三角形
一、知识点：
1、正弦定理：在
???C
中，< br>a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，
R
为
???C
的外接
圆的半径，则 有
abc
???2R
．（两类正弦定理解三角形的问题：1、已知
sin?s in?sinC
两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.）
2、正弦定理的变形公式：①
a?2Rsi n?
，
b?2Rsin?
，
c?2RsinC
；
②
sin??
等式中）
③
a:b:c?sin?:sin?:sinC
；
abc
，
sin??
，
sinC?
；（正弦定理的变形经常用在有三角函数的
2R2 R2R
a?b?cabc
．
???
sin??sin??sinCsin? sin?sinC
111
3、三角形面积公式：
S
???C
?bcs in??absinC?acsin?

222
④
?
a
2< br>?b
2
?c
2
?2bccosA
?
222
4 ．余弦定理：
?
b?a?c?2accosB
或
?
c
2
?b
2
?a
2
?2bacosC
?
?
b
2
?c
2
?a
2
?
cosA?
2bc?
a
2
?c
2
?b
2
?

?
cosB?
2ac
?
?
b
2
?a
2
?c
2
?
cosC?
2ab
?
（两类余弦定理解三角形的 问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三
边和其他两角.）
5、设< br>a
、
b
、
c
是
???C
的角
?、
?
、
C
的对边，则：①若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
o
为
直角三角形；②若a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
o< br>为锐角三角形；③若
a
2
?b
2
?c
2
，则
C?90
o
为
钝角三角形．
6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.
7． 解题中利用
?ABC
中
A?B?C?
?
，以及由此推得的一些基本关 系式进行三角变换的
运算，如：
sin(A?B)?sinC,cos(A?B)??cosC ,tan(A?B)??tanC,


sin








A?BCA?BCA?BC
?cos,cos?sin,tan?cot

222222

二、知识演练
1、ΔABC中,a=1,b=
3
, ∠A=30°,则∠B等于 （ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
2、若(a+b+c)(b+c－a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
3．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( )．
A．90° B．120° C．130° D．150°
222
4．在△ABC 中，
a?b?c?bc
，则A等于（ ）
A．60° B．45° C．120° D．30°
5．在△ABC中，A为锐角，
lgb- lgc
=
lgsinA
=－
lg
2
, 则△ABC为（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
b
6、锐角
?ABC
中，B=2A，则
a
的取值范围是（ ）
A（-2，2） B（0，2） C（
2
，2） D
2,3
）
7.在
?
ABC中．
sinA?sinB?s inC?sinBsinC
．则A的取值范围是
222

?
?
?
?
A．（0，
6
] B．[
6
，
?
） C．（0，
3
] D．[
3
，
?
）
o
8.在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝< br>45
，若△ABC有两解，则x的取值范围是_______________
9.
?ABC
中，
B?60?,AC?3,
，则AB+2BC的最大值为____ _____．
10．a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12
3
，b c＝48，b-c＝2，求a
11.在
?ABC
中，角
A,B,C
所对的边分别为
a,b,c
，且满足
cos
A25
?
25< br>，
uuuruuur
AB?AC?3
．（I）求
?ABC
的面 积； （II）若
b?c?6
，求
a
的值．

12、 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足
S?
3
2
(a?b
2
?c
2
)
4
。
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求
sinA?sinB
的最大值。

cosA-2cosC2c-a
=
cosBb
． 13、在
?
ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
sinC
（I）求
sinA
的值；
1
（II）若cosB=
4
，b=2，
?ABC
的面积S。