高中数学必修一至必修五知识点精选

高中数学必修一至必修五知识点精选
必修一
1.函数奇偶性：
（1）偶函数：对于函数f(x)定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)．图象关于y轴对
称．
（2）奇函数：对于函数f(x)定义域内 任意一个x，都有f(－x)＝-f(x)．图象关于原点
对称．
奇函数和偶函数的性质：
（1）若函数
f(x)
为奇函数，且在
x?0
处有定义，则
f(0)?0
．
（2）奇函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数 在
y
轴两侧相对称的区间增减
性相反．
2.分数指数幂的运算性质
①
a?a?a
rr
rsr?s
(a?0,r,s?R)
②
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)< br>
③
(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)

x
3.对 数式与指数式的互化：
x?log
a
N?a?N(a?0,a?1,N?0)
．
r
4.几个重要的对数恒等式
log
a
1?0
，log
a
a?1
，
log
a
a
b
?b
．
5.常用对数：
lgN
，即
log
10
N
自然对数：
lnN
，即
log
e
N
（其中
e?2. 71828
…）．
6.对数的运算性质
（1）
log
aM?log
a
N?log
a
(MN)
（2)log
a
M?log
a
N?log
a
logN
n
（3）
nlog
a
M?log
a
M(n?R)
（4）
a
a
?N

M

N
（5）
log
a
b
M
n
?
7.指数函数
log
b
N
n
(b?0,且b?1)

log
a
M(b?0,n?R)
（6)
log
a
N?
log
b
a
b
（1）定义：形如
y?a(a?0,且 a?1)
的函数，叫指数函数。
（2）指数函数的图象和性质
x
a
＞1

0＜
a
＜1
图象

性质

定义域

值域

过定点

单调性

奇偶性


8.对数函数

R
(0，＋∞)
(0，1)，即当
x
＝0时，
y
＝1
在R上是增函数

非奇非偶函数

在R上是减函数
（1 ）定义：形如
y?log
a
x(a?0,且a?1)
的函数，叫对数函数
（2）对数函数的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图
象

性质
定义域
值域
过定点
单调性
奇偶性
9.幂函数
（1）定义：一般地，函数
y?x
叫做幂函数，其中x
是自变量，
a
是常数．
（2）幂函数的性质:
(1)恒过点(1，1)，且不过第四象限．
(2)当
a
＞0时，幂函数在 (0，＋∞)上都是增函数；当
a
＜0时，幂函数在(0，＋∞)
上都是减函数．
(3)在第一象限内，直线
x
＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小． < br>(4)当
a
为偶数时，
y?x
是偶函数；当
a
为奇数 时，
y?x
是奇函数.
10.二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)

2


(0，＋∞)
R
(1，0)，即当x＝1时，y＝0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
非奇非偶函数
a
aa
b4ac?b
2
b
)
．（1）二次函数的图象是一条抛物线，对 称轴方程为
x??

,
顶点坐标是
(?,
2a4a
2a
（2）当
a?0
时，抛物线开口向上，函数在
(??,?
bb
]
上递减，在
[?,??)
上递增，当
2a
2a4ac?b
2
b
b
时，
f
min
(x)?；当
a?0
时，抛物线开口向下，函数在
(??,?]
上递
x? ?
4a
2a
2a

4ac?b
2
b
b
增，在
[?
时，
f
max
(x)?
．
, ??)
上递减，当
x??
4a
2a
2a
（3）二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)
当
??b
2
?4ac?0
时，图象与
x
轴有两个交点．
11.函数的零点
对于函数
y?f(x)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫做函数
y ?f(x)
的零点.
12.函数零点与方程根的关系
函数
y?f( x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的 图象与
x
轴
交点的横坐标。即：方程
f(x)?0
有实数根
函数
y?f(x)
有零点．
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
2
必修2
1.空间几何体的表面积公式
圆柱的表面积 ：
S?2
?
rl?2
?
r
2
圆锥的表面积：
S
球的表面积：
S
?
?
rl?
?
r
2

?4
?
R
2

?S
底
?h
锥体的体积 ：
V?
1
S
底
?h

3
2．空间几何体的体积公式
柱体的体积 ：
V
4
V?
?
R
3
球体的体积：
3
3.直线、平面之间的位置关系的判定
（1）线面平行的判定定理 ：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直
线和这个平面平行。
（2）面面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平
面平行。
（3）线面垂直的判定定理：如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这
个平面。
（4）面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
4.两条异面直线所成的角
已知a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线 a′∥a,b′∥b,则a′
和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
异 面直线所成的角的求法：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直
oo
线所成 的角。异面直线所成角的范围：
0?
?
?90
；

5.直线与平面所成的角
一条直线与平面相交于A，在直线取一点P（异 于A点），过P作平面的垂线，垂足为
O，则线段AO叫做直线l在平面内的射影，直线l与射影AO所 成角就叫做直线l与平面所
成的角。直线与平面所成角的范围：
0
o
?
?
?90
o

6．直线的斜率

把一条直线的倾斜角?
的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母
k
表示，即
k
＝tan
?
.

7.直线的斜率公式
已知直线过两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，则其斜率k＝
8.直线方程的几种形式
（1）点斜式：直线l
经过点
P
，且斜率为
k
，则直线方程为
0
(x
0
,y
0
)
y
2
－y
1
(x
1
≠x
2
).
x
2
－x
1
y? y
0
?k(x?x
0
)

（2）斜截式：直线< br>l
的斜率为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)
，则直线方程为
（3）一般式：
Ax?By?C
9.两条直线的位置关系 已知直线l
1
：y＝k
1
x＋b
1
与直线l
2
：y＝k
2
x＋b
2
.
(1) l
1
∥ l
2
?k
1
＝k
2
且b
1
≠b
2
. (2) l
1
⊥l
2
?k
1
·k
2
＝－1.
10.两点间的距离公式
y?kx?b

?0
（当
B?0
时，斜率为
?
A
）
B
已知平面上的两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
),则它们的距离|P
1
P
2
|＝
(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
.
11.点到直线的距离公式
|Ax
0
＋By
0
＋C|
点P(x
0
，y
0
)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
22
A＋B
12.两条平行直线间的距离公式
22
|C
1
－C
2
|
两条平行直线l
1
：Ax＋By＋C
1
＝0与l
2
：Ax＋By＋C
2
＝0之间的距离d＝
2
.
A＋B
2
13.圆的方程
( 1)圆的标准方程：(
x
－
a
)＋(
y
－
b
)＝
r
22
222
其中圆心为
C
(
a，
b
)，，半径为
r
(
r
>0).
22(2)圆的一般方程:
x
＋
y
＋
Dx
＋
Ey< br>＋
F
＝0（其中
D
＋
E
－4
F
> 0）.圆心为(－，－)，半径为
22
1
2
D
＋
E
2
－4
F
.
2
14.点与圆的位置关系
DE

已知点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则
（1）
d
>
r
，点在圆外； （2）
d
＝
r
，点在圆上； （3）
d
<
r
，点在圆内．
15.直线与圆的位置关系的判定方法
设圆的半径为
r
，圆心到直线的距离为
d
，则
①直线与圆相交?
d
<
r
； ②直线与圆相切?
d
＝
r
； ③直线与圆相离?
d
>
r
.
16.圆与圆位置关系的判断
设两圆的半径分别为
r
1
、
r
2
， 两圆的圆心距为
l
，则
（1）当
l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C
2
相离； （2）当l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C< br>2
外切；
（3)当
|r
1
?r
2
|?l?r
1
?r
2
时，圆
C
1
与圆
C< br>2
相交；（4）当
l?|r
1
?r
2
|
时， 圆
C
1
与圆
C
2
内切；
（5）当
l? |r
1
?r
2
|
时，圆
C
1
与圆
C
2
内含；
17.空间两点间的距离公式： 已知空间中两点
p
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
,
p
2
(x
2
,y
2
,z
2)
，则
|p
1
p
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2?(z
2
?z
1
)
2


必修
1.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数
P(A)＝.

基本事件的总数
2.几何概型的概率公式
3

P(A)＝
构成事件
A
的区域长度面积或体积

试验全部结果所构成的区域长度面积或体积

必修
1.象限角的定义
4
在直角坐标系内，使角的顶点与原点 重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则终边在
第几象限就是第几象限角.
2.终边相同的角
所有与角α终边相同的角可表示成β＝α＋k·360°，k∈Z.
3.角的弧度数的计算

l
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝.

r
4.一些特殊角与弧度数的对应关系.

度

弧

度

30°

π

6
45°

π

4
60°

π

3
90°

π

2
120°

2π

3
135°

3π

4
150°

5π

6
180°

π

270°

3π

2
360°

2π

5.
扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角的弧度数，则
11
(1)扇形的弧长l＝αR (2)扇形的面积S＝lR＝
αR
2

22
6.同角三角函数基本关系式
sin α
π
（1）平方关系：sin
2
α＋cos
2
α＝1. （2）商数关系：＝tanα(α≠kπ＋，k∈Z)．
cos α2
7.诱导公式
(1)sin(
2k
π＋α)＝sinα; cos(
2k
π＋α)＝cosα； tan(
2k
π＋α)＝tanα.


(2)sin(π＋α)＝－sinα; cos(π＋α)＝－cosα； tan(π＋α)＝tanα.

(3)sin(－α)＝－sinα； cos(－α)＝cosα； tan(－α)＝－tanα.

(4)sin(π－α)＝sinα； cos(π－α)＝－cosα； tan(π－α)＝－tanα.

??
－α)＝cosα; cos(－α)＝sinα.
22
??
(6)sin(＋α)＝cosα; cos(＋α)＝－sinα.
22
(5)sin(
8.三角函数的定义

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)那么：

(1)y叫做α的正弦，记作sinα，即sin α＝y；

(2)x叫做α的余弦，记作cosα，即cos α＝x；

yy
(3)叫做α的正切，记作tanα，即tan α＝(x≠0)．

xx


9.已知
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点的距离是
rr?
则
sin
?
?

10.三角函数在各象限的符号



?
x
2
?y
2
?0
，
?
yxy< br>，
cos
?
?
，
tan
?
?
?x?0
?
．
rrx

口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

11.正弦函数和余弦函数的图像与性质

定义域

值域

周期性

y＝sin x

R

[－1,1]

最小正周期为2π

y＝cos x

图象

奇偶性

单调性

对称轴

对称中心

最值

奇函数

ππ
在[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)上是增函数；
22
π
3
在[2kπ＋，2kπ＋
π](k∈Z)上是减函数

22
π
x＝kπ＋(k∈Z)

2
(kπ，0)，(k∈Z)

π
x＝2kπ＋(k∈Z)时，y
max
＝1；
2
π
x＝2kπ－(k∈Z)时，y
min
＝－1

2

偶函数


在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函数；
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数

x＝kπ(k∈Z)

π
(kπ＋，0)(k∈Z)
< br>2
x＝2kπ时，y
max
＝1；x＝2kπ＋π时，y
min
＝－1


12．正切函数y＝tan x的图象与性质

解析式

图象

y＝tan x

定义域

值域

周期

奇偶性


π
{x|x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z}

2
R

π

奇


13.函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Atan(ωx＋φ)的周期

（ 1）y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T=
2
?
π
;（2）y＝At an(ωx＋φ)的最小正周期为T=.
|ω|
|
?
|
14.平面 向量的夹角：已知两个非零向量a和b，作
OA
＝a，
OB
＝b，则∠AOB ＝θ叫做向
量a与b的夹角．




15.向量的坐标运算
已知a＝(x
1
，y
1
)，b＝ (x
2
，y
2
)，则
（1）a＋b＝(x
1
＋x
2
，y
1
＋y
2
)； （2）a－b＝(x
1
－x
2
，y
1
－y
2
)； （3）λa＝(λx
1
，λy
1
).

16.向量平行和垂直的判定
已知a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，则
（1）ab
?
x< br>1
y
2
－x
2
y
1
＝0 （2）a⊥b
?
x
1
x
2+
y
1
y
2
?0


17.平面向量的数量积
已知两非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或
内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.

常用结论：
(1)a⊥b?a·b＝0； (2)a·a＝|a|
2
； (3)cos θ＝
18.平面向量数量积的坐标表示

设向量a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，a与b的夹角为θ
，
则
2
(1)a·b＝x
1
x
2
＋y
1
y
2
（2）|a|＝x
2
1
＋y
1
.

a·b
； (4)|a·b|≤|a||b|.
|a||b|
(3)cos θ＝
a·bx
1
x
2
＋y
1
y2
＝
2
.
222
|a|·|b|
x
1
＋y
1
·x
2
＋y
2
19.两角和与差的正弦、余弦和正 切公式：
（1）cos(α＋β)＝cosαcos β - sinαsin β
；
(2)cos(α－β)＝cosαcos β＋sinαsin β.

（3）sin(α＋β)＝sinαcos β＋cosαsin β
；
(4)sin(α－β)＝sinαcos β＋cosαsin β .

（5）tan(α＋β)＝
tan α＋tan βtan α－tan β
； (6)tan(α－β)＝.
1－tan αtan β1＋tan αtan β
20.二倍角正弦、余弦和正切公式：
（1）sin 2α＝2sin αcos α （2）cos 2α＝cos
2
α－sin
2
α=2cos
2
α-1=1－2sin
2
α
2tan α
（3）tan 2α＝

1－tan
2
α

必修5
abc
(R
??
sinAsinBsinC
1.正 弦定理：在
?ABC
中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，，则有
为
? ABC
的外接圆的半径)
2.余弦定理：在
?ABC
中，有
a?
b
?
c
?
2bc
?
cosA
;b?a?c?2ac?cosB
；
222222
c
2
?a
2
?b
2
?2ab?cosC
.
b
2
?c2
?a
2
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?b
2
?c
2
推论:
cosA?
;< br>cosB?
;
cosC?
.
2bc2ac2ab
3.三角形 面积公式：
S
?ABC
?
4．等差数列与等比数列
(一)等差数列
（1）定义：
a
n
－
a
n?1
=d（n≥2，n∈ N）
?
111
ab
sin
C
?
bc
sin
A
?
ac
sin
B

222

（ 2）通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d?a
m
?(n?m)d
，
（3）前n项和公式：
S
n
?na
1< br>?
(4)等差数列的性质：
（1）若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；特别地，若m+n=2p，
则
a
m
?a
n
?2a
p
.
*
（2）数列
{a
n
}
为等差数列,每隔k(k
?
N
)项取出一项仍为等 差数列，例如：
n
?
n?1
?
n
?
a
1< br>?a
n
?
d?
22
.
a
m
,a< br>m?k
,a
m?2k
,a
m?3k
,???
仍为等差 数列。
(二)等比数列
（1）定义：
a
n
?
q

a
n?1
n?1n?m
（2）通项公式：
a
n
?a
1
q?a
m
q

（3）前n项和公式：S
n
?
(4)等比数列的性质：
a
1
?
1? q
n
?
1?q
?
a
1
?a
n
q< br>1?q
.
(1)数列
{a
n
}
为等比数列,每 隔k(k
?
N
*
)项取出一项仍为等比数列，例如：
a
m< br>,a
m?k
,a
m?2k
,a
m?3k
,???仍为等比数列
(2)
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N< br>?
?
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；特别地，若m+n=2p，则
a
m
?a
n
?a
p
.
5.均值定理： 如果
a,b?R
，那么
a? b?2ab
（当且仅
a?b
时，取“＝” 号）




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